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专题2.6 一元二次方程应用-变化率问题（专项训练）
1．（2022·安徽模拟）疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用APP在线上购物，
某购物APP今年二月份用户比一月份增加了44%，三月份用户比二月份增加了21%，
求二、三两个月用户的平均每月增长率.设二、三两个月平均增长率为x，下列方程正
确的是( )
A．2(1+x) 2=(1+44%)(1+21%)
B．(1+2x) 2=(1+44%)(1+21%)
C．(1+x) 2=(1+44%)(1+21%)
D．1+(1+x)+(1+x) 2=(1+44%)(1+21%)
2．某厂家1~5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量
的平均月增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．180（1-x）2=461 B．180（1+x）2=461
C．368（1-x）2=442 D．368（1+x）2=442
3．（2021·松北期末）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．
设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196
C．50+50（1+x）+50（1+x2）=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）
=196
4.（2021·舒城期末）我县某贫围户2016年的家庭年收入为4000元，由于党的扶贫政策
的落实，2017、2018年家庭年收入增加到共15000元，设平均每年的增长率为x，可
得方程（ ）
A．4000（1+x）2=15000
B．4000+4000（1+x）+4000（1+x）2=15000C．4000（1+x）+4000（1+x）2=15000
D．4000+4000（1+x）2=15000
5.（2022•威宁县模拟）书籍是人类宝贵的精神财富，读书则是传承优秀文化的通道．我县
为响应全民阅读活动，利用春节假期面向社会开放县图书馆．据统计，第一天进馆 100
人次，进馆人次逐天增加，第三天进馆121人次．若进馆人次的日平均增长率相同．
（1）求进馆人次的日平均增长率；
（2）因疫情防控要求限制，县图书馆每天接纳能力不得超过200人次，在进馆人次的
日平均增长率不变的条件下，县图书馆能否接纳第四天的进馆人次，说明理由．
6.（2022春•巴州区校级月考）为了满足社区居民强身健体的需要，政府准备采购若干套健
身器材免费提供给社区，经过考察了解，飞跃公司有 A，B两种型号的健身器材可供选
择，已知飞跃公司2020年每套A型健身器材的售价为2.5万元，2020年每套B型健身
器材的售价为2万元，2022年每套A型健身器材售价为1.6万元，每套A型，B型健身
器材的年平均下降率相同．
（1）求2020年到2022年每套A型健身器材年平均下降率；
（2）2022年政府经过招标，决定年内采购并安装飞跃公司A，B两种型号的健身器材
共80套，政府采购专项经费总计不超过112万元，并且采购A型器材费用不能少于B
型器材的费用，请求出满足条件的采购方案．
7．（2021·南浔期末）科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径.当前居民接种疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏，某工厂及时补进了一条一次性注射器生
产线生产一次性注射器.开工第一天生产200万个，第三天生产288万个.试回答下列问
题：
（1）求前三天生产量的日平均增长率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/天，若每增加 1 条生产线，每
条生产线的最大产能将减少20万个/天.
①现该厂要保证每天生产一次性注射2600万个，在增加产能同时又要节省投入的条
件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每天生产一次性注射器5000万个，若能，应该增加几条
生产线？若不能，请说明理由.
8．（2021·余姚竞赛）随着全球疫情的爆发，医疗物资需求猛增，某企业及时引进一条
口罩生产线生产口罩，开工第一天生产口罩5000盒，第三天生产口罩7200盒，若每
天增长的百分率相同．
（1）求每天增长的百分率.
（2）经调查发现，1条生产线的最大产能是15000盒/天，但是每增加1条生产线，
每条生产线的产能将减少500盒/天，现该厂要保证每天生产口罩65000盒，在增加产
能的同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
9．（2020·宾阳期中）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个，1月底
因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月
份起扩大产量，3月份平均日产量达到36300个.（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
10.（2021•贵港）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两
年内由5万册增加到7.2万册．
（1）求这两年藏书的年均增长率；
（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年
新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么
到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？
专题2.6 一元二次方程应用-变化率问题（专项训练）
1．（2022·安徽模拟）疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用APP在线上购物，
某购物APP今年二月份用户比一月份增加了44%，三月份用户比二月份增加了21%，
求二、三两个月用户的平均每月增长率.设二、三两个月平均增长率为x，下列方程正
确的是( )A．2(1+x) 2=(1+44%)(1+21%)
B．(1+2x) 2=(1+44%)(1+21%)
C．(1+x) 2=(1+44%)(1+21%)
D．1+(1+x)+(1+x) 2=(1+44%)(1+21%)
【答案】C
【解答】解：设二、三两月用户的平均每月的平均增长率是x，
根据题意得：（1+x）2=（1+44%）（1+21%），
故答案为：C．
2．某厂家1~5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量
的平均月增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．180（1-x）2=461 B．180（1+x）2=461
C．368（1-x）2=442 D．368（1+x）2=442
【答案】B
【解答】解：根据统计图，2月份产量为180,4月份产量为461
设平均月增长率为x
∴180（x+1）2=461
故答案为：B.
3．（2021·松北期末）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．
设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196
C．50+50（1+x）+50（1+x2）=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）
=196
【答案】C
【解答】一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量：八、九月份的产量分别为
50（1+x）、50（1+x）2，从而根据题意得出方程：
50+50（1+x）+50（1+x2）=196．
故答案为：C．
4.（2021·舒城期末）我县某贫围户2016年的家庭年收入为4000元，由于党的扶贫政策
的落实，2017、2018年家庭年收入增加到共15000元，设平均每年的增长率为x，可
得方程（ ）
A．4000（1+x）2=15000
B．4000+4000（1+x）+4000（1+x）2=15000
C．4000（1+x）+4000（1+x）2=15000
D．4000+4000（1+x）2=15000
【答案】C
【解答】解：设平均每年的增长率是x，根据题意可得：
4000（1+x）+4000（1+x）2=15000．
故答案为：C．
5.（2022•威宁县模拟）书籍是人类宝贵的精神财富，读书则是传承优秀文化的通道．我县
为响应全民阅读活动，利用春节假期面向社会开放县图书馆．据统计，第一天进馆 100
人次，进馆人次逐天增加，第三天进馆121人次．若进馆人次的日平均增长率相同．
（1）求进馆人次的日平均增长率；
（2）因疫情防控要求限制，县图书馆每天接纳能力不得超过200人次，在进馆人次的
日平均增长率不变的条件下，县图书馆能否接纳第四天的进馆人次，说明理由．
【答案】（1）10%（2）能接纳第四天的进馆人次．
【解答】解：（1）设进馆人次的日平均增长率为x，
根据题得，100（1+x）2＝121，
解得x ＝0.1＝10%，x ＝﹣1.1（不符题意，舍去），
1 2
答：进馆人次的日平均增长率为10%；
（2）因为第四天的进馆人次为121×（1+0.1）＝133.1（人次），
而133.1＜200，
所以县图书馆能接纳第四天的进馆人次．
答：县图书馆能接纳第四天的进馆人次．
6.（2022春•巴州区校级月考）为了满足社区居民强身健体的需要，政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经过考察了解，飞跃公司有 A，B两种型号的健身器材可供选
择，已知飞跃公司2020年每套A型健身器材的售价为2.5万元，2020年每套B型健身
器材的售价为2万元，2022年每套A型健身器材售价为1.6万元，每套A型，B型健身
器材的年平均下降率相同．
（1）求2020年到2022年每套A型健身器材年平均下降率；
（2）2022年政府经过招标，决定年内采购并安装飞跃公司A，B两种型号的健身器材
共80套，政府采购专项经费总计不超过112万元，并且采购A型器材费用不能少于B
型器材的费用，请求出满足条件的采购方案．
【答案】（1）20% (2)6种购买方案
【解答】解：（1）设每套A型健身器材年平均下降率为x，
根据题意得：2.5（1﹣x）2＝1.6，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝1.8（舍去）．
1 2
答：每套A型健身器材年平均下降率为20%；
（2）2×（1﹣20%）2＝1.28（万元）．
设购买B型健身器材m套，则购买A型健身器材（80﹣m）套，
根据题意得：1.6（80﹣m）+1.28m≤112，
解得：m≤50．
又因为采购A型器材费用不能少于B型器材的费用，
所以1.6（80﹣m）≥1.28m，
解得m≥ ＝44 ．
故44 ≤m≤50．
因为m是正整数，
所以m的值为45，46，47，48，49，50，
则（80﹣m）的值为35，34，33，32，31，30，
所以共有6种购买方案：
方案一：购买A型健身器材35套，购买B型健身器材45套；
方案二：购买A型健身器材34套，购买B型健身器材46套；
方案三：购买A型健身器材33套，购买B型健身器材47套；
方案四：购买A型健身器材32套，购买B型健身器材48套；
方案五：购买A型健身器材31套，购买B型健身器材49套；方案六：购买A型健身器材30套，购买B型健身器材50套
7．（2021·南浔期末）科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径.当前居民接
种疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏，某工厂及时补进了一条一次性注射器生
产线生产一次性注射器.开工第一天生产200万个，第三天生产288万个.试回答下列问
题：
（1）求前三天生产量的日平均增长率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/天，若每增加 1 条生产线，每
条生产线的最大产能将减少20万个/天.
①现该厂要保证每天生产一次性注射2600万个，在增加产能同时又要节省投入的条
件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每天生产一次性注射器5000万个，若能，应该增加几条
生产线？若不能，请说明理由.
【答案】（1） 20% （2）① 4 ②不能
【解答】（1）解：设前三天日平均增长率为 x ，
依题意，得： 200(1+x) 2=288 ，
解得： x =0.2 ， x =−2.2 （不合题意，舍去）.
1 2
答：前三天日平均增长率为20%.
（2）解：①设应该增加 m 条生产线，则每条生产线的最大产能为 (600−20m) 万
个/天，
依题意，得： (1+m)(600−20m)=2600 ，
解得： m =4 ， m =25 ，
1 2
又 ∵ 在增加产能同时又要节省投入，
∴m=4 .
答：应该增加 4 条生产线.
②设增加 a 条生产线，则每条生产线的最大产能为 (600−20a) 万个/天；
依题意，得： (1+a)(600−20a)=5000 ，
化简得： a2−29a+220=0 ，
∵b2−4ac=(−29) 2−4×1×220=−39<0 ，方程无解.
∴ 不能增加生产线，使得每天生一次性注射器 5000 万个.
8．（2021·余姚竞赛）随着全球疫情的爆发，医疗物资需求猛增，某企业及时引进一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产口罩5000盒，第三天生产口罩7200盒，若每
天增长的百分率相同．
（1）求每天增长的百分率.
（2）经调查发现，1条生产线的最大产能是15000盒/天，但是每增加1条生产线，
每条生产线的产能将减少500盒/天，现该厂要保证每天生产口罩65000盒，在增加产
能的同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【答案】（1）20%（2）4
【解答】（1）解：设每天增长的百分率为x.
5000(1+x) 2=7200
x =0.2，x =2.2（舍去）
1 2
所以每天增长的百分率为20%
（2）解：设增加y条生产线,
(1+ y)(15000−500 y)=65000
y =4，y =25（舍去）
1 2
所以增加4条生产线
9．（2020·宾阳期中）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个，1月底
因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月
份起扩大产量，3月份平均日产量达到36300个.
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
【答案】（1）10% （2）39930个
【解答】（1）解：设口罩日产量的月平均增长率为x，
根据题意，得30000（1＋x）2＝36300，
解得x＝−2.1（舍去），x＝0.1＝10%，
1 2
答：口罩日产量的月平均增长率为10%
（2）解：36300（1＋10%）＝39930（个）.
答：预计4月份平均日产量为39930个.
10.（2021•贵港）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册．
（1）求这两年藏书的年均增长率；
（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年
新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么
到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？
【答案】（1）20% （2）10%
【解答】解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x，
5（1+x）2＝7.2，
解得，x ＝0.2，x ＝﹣2.2（舍去），
1 2
答：这两年藏书的年均增长率是20%；
（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有（7.2﹣5）×20%＝0.44（万册），
到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是： ×100%＝
10%，
答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．
