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专题2.1 一元二次方程（能力提升）（解析版）
一、选择题。
1．（2021秋•龙沙区期末）若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2020的值为（
）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】C。
【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴m2﹣m+2020＝1+2020＝2021．
故选：C．
2．（2022春•霍邱县期末）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项的系数和
一次项系数分别是（ ）
A．5，﹣1 B．5，4 C．5，﹣4 D．5，1
【答案】C。
【解答】解：5x2﹣1＝4x，
5x2﹣4x﹣1＝0，
二次项的系数和一次项系数分别是5、﹣4，
故选：C．
3．（2021秋•揭阳期末）若一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个根为﹣1，则下列等式成立的
是（ ）
A．a+b+c＝1 B．a﹣b+c＝0 C．a+b+c＝0 D．a﹣b+c＝1
【答案】B。
【解答】解：把x＝﹣1代入ax2+bx+c＝0得a﹣b+c＝0．
故选：B．
4．（2022春•惠民县期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）的一个解是x＝
1，则2021﹣a﹣b的值是（ ）
A．2016 B．2020 C．2025 D．2026
【答案】D。
【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx+5＝0得a+b+5＝0，
所以a+b＝﹣5，所以2021﹣a﹣b＝2021﹣（a+b）＝2021+5＝2026．
故选：D．
5．（2021秋•长汀县校级月考）若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2m2﹣2m+2020的
值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】D。
【解答】解：根据题意，将x＝m代入方程，得：m2﹣m﹣1＝0，
则m2﹣m＝1，
∴2m2﹣6m+2020＝2（m2﹣3m）+2020
＝2×1+2020
＝2022，
故选：D．
6．（2021•阳东区模拟）若方程x2﹣4x+c＝0的一个实数根是3，则c的值是（ ）
A．c＝﹣3 B．c＝3 C．c＝5 D．c＝0
【答案】B。
【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣4x+c＝0，得
32﹣4×3+c＝0．
解得c＝3．
故选：B．
7．（2021•宣州区校级自主招生）已知三个关于 x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a
＝0，cx2+ax+b＝0恰有一个公共实数根，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D。
【解答】解：设x 是它们的一个公共实数根，
0
则ax 2+bx +c＝0，bx 2+cx +a＝0，cx 2+ax +b＝0．
0 0 0 0 0 0
把上面三个式子相加，并整理得
（a+b+c）（x 2+x +1）＝0．
0 0
因为 ，所以a+b+c＝0．
于是 ＝
故选：D．
8．（2021秋•长安区校级期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． ﹣3x+2＝0 B．2x2+y﹣1＝0
C．2x﹣3y+1＝0 D．x2﹣ x﹣3＝0
【答案】D。
【解答】解：A、不是整式方程，故错误；
B、有两个未知数，故错误；
C、有两个未知数，故错误；
D、x2﹣ x﹣3＝0符合要求．
故选：D．
9．（2021•江油市模拟）关于x的方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3＝0的一个根是0，则m的
值是（ ）
A．7 B．﹣3 C．1或﹣3 D．0
【答案】C。
【解答】解：把x＝0代入方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3＝0，得m2+2m﹣3＝0，解得m
＝1或﹣3．
故选：C．
10．（2022春•淄川区期中）若关于 x的一元二次方程 ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为
2022，则方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有根为（ ）
A．2022 B．2020 C．2019 D．2021
【答案】D。
【解答】解：由a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5得到a（x+1）2+b（x+1）+5＝0，
对于一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5，
设t＝x+1，
所以at2+bt+5＝0，而关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为x＝2022，
所以at2+bt+5＝0有一个根为t＝2022，
则x+1＝2022，
解得x＝2021，
所以一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5有一根为x＝2021．
故选：D．
二、填空题。
11．（2021春•百色期末）一元二次方程x2﹣2x﹣8＝0的常数项是 ﹣ 8 ．
【答案】﹣8。
【解答】解：一元二次方程x2﹣2x﹣8＝0的常数项是﹣8．
故答案为：﹣8．
12．（2021秋•南沙区期末）若方程mx2+3x﹣4＝3x2是关于x的一元二次方程，则m的取
值范围是 m ≠ 3 ．
【答案】m≠3。
【解答】解：把方程mx2+3x﹣4＝3x2转化成一般形式，（m﹣3）x2+3x﹣4＝0，（m﹣
3）是二次项系数不能为0，即m﹣3≠0，得m≠3．
故答案为：m≠3．
13．（2021•饶平县校级模拟）若关于x的方程（a﹣1）x ﹣7＝0是一元二次方程，则
a＝ ﹣ 1 ．
【答案】﹣1。
【解答】解：方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程，
∴a2+1＝2，a﹣1≠0，
解得，a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
14．（2022•杭州模拟）已知a是方程x2+3x﹣4＝0的根，则代数式2a2+6a+4的值是 12
．
【答案】12。
【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣4＝0的根，
∴a2+3a﹣4＝0，
∴a2+3a＝4，
∴2a2+6a+4＝2（a2+3a）+4＝2×4+4＝12．故答案为：12．
15．（2021•思明区校级二模）若a是方程x2+x﹣2＝0的根，则代数式2021﹣ a2﹣ a的
值是 202 0 ．
【答案】2020。
【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2＝0的根，
∴a2+a﹣2＝0，
∴a2+a＝2，
∴2021﹣ a2﹣ a＝2021﹣ （a2+a）＝2021﹣ ×2＝2020．
故答案是：2020．
16．（2021春•江干区期末）若t是方程ax2+2x＝0（a≠0）的一个根，则Q＝（at+1）2的
值为 1 ．
【答案】1。
【解答】解：∵t是方程ax2+2x＝0（a≠0）的一个根，
∴at2+2t＝t（at+2）＝0，
∴t＝0或at＝﹣2．
当t＝0时，Q＝（at+1）2＝（0+1）2＝1；
当at＝﹣2时，Q＝（at+1）2＝（﹣2+1）2＝1；
综上所述，Q＝（at+1）2的值为1．
故答案是：1．
17．（2019秋•皇姑区期末）设 、 是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，则（ 2+2020 ﹣1）
（ 2+2020 +2）＝ 4 ． α β α α
【β答案】4β。
【解答】解：∵ 、 是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，
∴ 2+2020 ﹣2＝α0，β
2+α2020 ﹣α2＝0
β∴ 2+20β20 ＝2，
2+α2020 ＝α2
β∴（ 2+β2020 ﹣1）（ 2+2020 +2）
＝（α2﹣1）（α2+2）＝β4． β
故答案为4．18．（2021春•拱墅区校级月考）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值
为 201 9 ．
【答案】2019。
【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣a＝1．
∴原式＝﹣（a3﹣2a）+2020
＝﹣（a3﹣a2+a2﹣a﹣a）+2020
＝﹣[a（a2﹣a）+1﹣a]+2020
＝﹣（a+1﹣a）+2020
＝﹣1+2020
＝2019．
故答案为：2019．
三、解答题。
19．（2021春•阜南县期末）已知关于x的方程x2﹣6x+m2﹣4m﹣4＝0的一个根是﹣1，求
m的值．
【解答】解：∵方程x2﹣6x+m2﹣4m﹣4＝0的一个根是﹣1，
∴1+6+m2﹣4m﹣4＝0，
∴m2﹣4m+3＝0，
∴m ＝1，m ＝3．
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20．（2021秋•海珠区校级期中）已知x＝1是一元二次方程ax2+bx﹣60＝0的一个解，且
a≠b，求 的值．
【解答】解：∵x＝1是一元二次方程ax2+bx﹣60＝0的一个解，
∴a+b﹣60＝0，
∴a+b＝60，
∴ ＝ ＝30．
21．（2021•澧县模拟）已知2x2﹣10x﹣1＝0，求代数式（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2的值．
【解答】解：当2x2﹣10x﹣1＝0时，x2﹣5x＝ ．
原式＝2x2﹣3x+1﹣（x2+2x+1）
＝x2﹣5x
＝ ．
22．（2021秋•玉屏县期中）向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1） +（m﹣
2）x﹣1＝0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
【解答】解：（1）根据一元二次方程的定义可得 ，解得m＝1，此时方程为
2x2﹣x﹣1＝0，解得x ＝1，x ＝﹣ ；
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（2）由题可知m2+1＝1或m+1＝0或m2+1＝0时方程可能为一元一次方程
当m2+1＝1时，解得m＝0，此时方程为﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣1，
当m+1＝0时，解得m＝﹣1，此时方程为﹣3x﹣1＝0，解得x＝﹣ ．
当m2+1＝0时，方程无解．
23．（2022•双峰县一模）先化简，再求值： ，其中a是方程
的解．
【解答】解：∵a是方程 的解，
∴a2﹣a﹣ ＝0，
∴a﹣a2＝﹣＝{ }÷ ﹣a2
＝ ÷ ﹣a2
＝ × ﹣a2
＝a﹣a2，
∴代数式的值为﹣ ．
24．（2022•海淀区校级一模）已知x＝1是关于x的方程x2﹣mx﹣2m2＝0的一个根，求m
（2m+1）的值．
【解答】解：∵x＝1是关于x的方程x2﹣mx﹣2m2＝0的一个根，
∴1﹣m﹣2m2＝0．
∴2m2+m＝1．
∴m（2m+1）＝2m2+m＝1．
25．（2022•武功县模拟）已知3是一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根，求a的值和方程
的另一根．
【解答】解：将x＝3代入x2﹣2x+a＝0中得32﹣6+a＝0，
解得a＝﹣3，
将a＝﹣3代入x2﹣2x+a＝0中得：x2﹣2x﹣3＝0，
解得x ＝3，x ＝﹣1，
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所以a＝﹣3，方程的另一根为﹣1．
26．（2021•南通模拟）已知a是方程x2+4x﹣21＝0的根，求代数式 ÷（a+3﹣
）的值．
【解答】解： ÷（a+3﹣ ）＝ ÷（ ﹣ ）
＝ ÷
＝ •
＝
＝ ，
∵a是方程x2+4x﹣21＝0的根，
∴a2+4a﹣21＝0，即a2+4a＝21，
则原式＝ ＝
