文档内容
专题07 用一元二次方程解决实际问题(增长率、传播、数字、营销、动态几何、
与图形有关的问题)
考点一 用一元二次方程解决增长率问题 考点二 用一元二次方程解决传播问题
考点三 用一元二次方程解决数字问题 考点四 用一元二次方程解决营销问题
考点五 用一元二次方程解决动态几何问题 考点六 用一元二次方程解决与图形有关的问题
考点一 用一元二次方程解决增长率问题
例题：（2022·重庆·中考真题）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递
店揽件日平均增长率为 ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【详解】
解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，
∴可列方程为： ，
故选：A．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．
【变式训练】
1．（2022·河南省实验中学模拟预测）某市2020年底森林覆盖率为45%．为贯彻落实“绿水青山就是金山
银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2022年底森林覆盖率将达到48%．如果这两年森林覆盖
率的年平均增长率为 ，那么，符合题意的方程是（ ）
1
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用2022年底森林覆盖率＝2020年底森林覆盖率×（1+这两年的森林覆盖率年平均增长率）2，即可得出关
于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
依题意得： ，
即 ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
2．（2022·河南·模拟预测）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，其以国宝熊猫为原型设计创作，将
熊猫憨态可掬的形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技的特点，一经开售
供不应求．已知该款吉祥物在某电商平台上2月4日的销售量为5000个，2月5日和2月6日的总销售量
是22500个．若2月5日和6日较前一天的增长率均为x，则x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意分别表示出2月5日和2月6日的销量，进而相加得出等式即可．
【详解】
解：根据题意可得：
2月5日的销量为：5000（1+x），
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司2月6日的销量为：5000（1+x）（1+x）=5000（1+x）2，
故5000（1+x）+5000（1+x）2=22500．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出2月5日和2月6日的销量是解题关键．
考点二 用一元二次方程解决传播问题
例题：（2022·浙江杭州·八年级期中）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却
持续蔓延，此肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新
冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则根据题意可列出方程（ ）
A．x（1＋x）＝256 B．x＋（1＋x）2＝256
C．x＋x（1＋x）＝256 D．1＋x＋x（1＋x）＝256
【答案】D
【解析】
【分析】
分别计算出每轮的人数，然后求和即可得出方程．
【详解】
解：第一轮传染x个人，一轮后的人数为（1+x）人；
第二轮的人数为x(1+x)，
两轮的总人数为：1+x+x(1+x)=256，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出相应方程是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·山东枣庄·二模）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每
轮传染中平均一个人传染的人数是______人．
【答案】11
【解析】
【分析】
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得 ，然后求解即可．
3
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【详解】
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：
，
解得： （舍去），
故答案为：11．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
2．（2022·安徽·合肥市第四十二中学八年级期中）某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染
中一人将平均传染x人．
(1)现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）；
(2)在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔高并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？
【答案】(1) ；
(2)不会，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）设每轮传染中平均每人传染了 人，开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了
人，则第一轮后共有 人患了流感；
（2）第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了 人，因进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并
治愈，则第二轮后共有 人患了流感，而此时患流感人数为21，根据这个等量关系列出方程若
能求得正整数解即可会有21人患病．
(1)
解：由题意可知：
第一轮传染后患病的人数 人，
(2)
解：设在每轮传染中一人将平均传给 人，
根据题意得： ，
整理得： ，
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司解得： ， ，
∵ ， 都不是正整数，
∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能根据进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治
愈列出方程并求解．
考点三 用一元二次方程解决数字问题
例题：（2022·重庆南开中学三模）小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇·
赤壁怀古》：“大江东去浪海尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，
个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十
位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则可列方程（
）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为x-3，然后根据个位的平方恰好等于
该数列出方程即可．
【详解】
解：设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为x-3，
由题意得 ，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
【变式训练】
5
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司1．（2021·江西南昌·九年级阶段练习）在2021年10月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所
示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为180，则这个最小数为______．
【答案】10
【解析】
【分析】
根据日历表的特点，设最小的数为x，则最大的数为x+8，根据题意列出一元二次方程，然后解方程即可．
【详解】
解：设最小的数为x，则最大的数为x+8，根据题意，
得：x(x+8)=180，即x2+8x=180，
配方，得：（x+4）2=196，
直接开平方，得：x+4=±14，
解得：x=10，x=﹣18（不符题意，舍去），
1 2
∴这个最小数为10，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，熟悉日历表的特点，正确列出一元二次方程式解答的关键．
2．（2021·江苏镇江·九年级阶段练习）两个连续整数的平方和为113，则这两个连续整数为__________．
【答案】7，8或-8，-7
【解析】
【分析】
设较小的一个数为x，则另外一个数为（x+1），根据两个数的平方和是313，即可得出关于x的一元二次
方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设较小的一个数为x，则另外一个数为（x+1），
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司依题意，得：x2+（x+1）2=113，
整理，得：x2+x-56=0，
解得：x=7，x=-8，
1 2
∴x+1=8或x+1=-7．
故答案为：7，8或-8，-7．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
考点四 用一元二次方程解决营销问题
例题：（2022·浙江·长兴县教育研究中心八年级期末）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩开售时，就深受大
家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进冰墩墩200个，因销售量火爆，第三周购进冰墩墩288个，若购
进冰墩墩数量的周平均增长率相同.
(1)求今年2月第二周购进冰墩墩多少个？
(2)今年2月第一周，一个冰墩墩的售价定为100元，本周有m个冰墩墩没有售完；从第二周开始，供应商
决定调整冰墩墩的售价，每个冰墩墩的售价在第一周的基础上，下降m元；由于冬奥赛事的火热进行，到
第二周结束购进的冰墩墩全部售完，若这两周的总销售额为41500元，求m的值．
【答案】(1)240个
(2)10
【解析】
【分析】
（1）设周平均增长率x，根据题意列出方程求解；
（2）根据题意列出一元二次方程求解．
(1)
解：设周平均增长率x，
根据题意得 ，
解得 ， （舍去），
所以 （个）．
答：今年2月第二周购进冰墩墩240个；
(2)
7
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司解：根据题意得
，
解得 ， （舍去）．
故 ．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找出数量关系，列出方程是解答关键．
【变式训练】
1．（2022·安徽安庆·八年级期末）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为
了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
(1)每件服装降价多少元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元．
(2)商家能达到平均每天赢利1800元吗？请说明你的理由．
【答案】(1)20元
(2)不可能每天盈利1800元，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）设每件童装降价x元，则销售量为（20+2x）件，根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于x
的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
（2）设每件童装降价y元，则销售量为（20+2y）件，根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于y
的一元二次方程，由根的判别式Δ＜0可得出原方程无解，进而即可得出不可能每天盈利1800元．
(1)
解：设每件服装降价 元，则销售量为 件，
根据题意可得： ，
化简得： ，
解得： ， ，
又因为需要让利于顾客，所以 ，
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元．
(2)
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司解：设每件服装降价 元，
根据题意可得： ，
化简得： ，
∵ ，
∴此方程无解．
因此不可能每天盈利1800元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2022·广东·惠州一中八年级期末）某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支
出费用为600元（不含套餐成本）．试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400
份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售
价x（元）取整数，用y（元）表示该店每天的利润．
(1)若每份套餐售价不超过10元．
①试写出y与x的函数关系式；
②若要使该店每天的利润不少于800元，则每份套餐的售价应为多少元？
(2)该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若不能，请说明理由；若能，
求出每份套餐的售价应定为多少元时，既能保证利润又能吸引顾客？
【答案】(1)①y＝400x﹣2600．（5＜x≤10），②9元或10元
(2)能，套餐售价应定为11元
【解析】
【分析】
（1）①本题考查的是分段函数的知识点．当5＜x≤10时，y＝400（x﹣5）﹣600；②根据利润不少于800
列不等式，解不等式，再根据x为整数即可得答案；
（2）当x＞10时，y＝（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600，把y＝1560代入，并解答．
(1)
解：①y＝400（x﹣5）﹣600=400x﹣2600．（5＜x≤10）．
②依题意得：400x﹣2600≥800，解得：x≥8.5，
又∵5＜x≤10，
∴8.5≤x≤10．
9
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∵且每份套餐的售价x（元）取整数，
∴每份套餐的售价应为9元或10元．
(2)
能，理由如下：
依题意可知：每份套餐售价提高到10元以上时，
y＝（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600，
当y＝1560时，（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600＝1560，
解得：x＝11，x＝14，
1 2
为了保证净收入又能吸引顾客，应取x＝11，即x＝14不符合题意．
1 2
故该套餐售价应定为11元．
【点睛】
本题考查的是一次函数的实际应用和一元二次方程的应用的有关知识，解题的关键是根据题目中的等量关
系列出函数关系．
考点五 用一元二次方程解决动态几何问题
例题：（2021·山西临汾·九年级阶段练习）已知：如图所示，在 中， ， ，
，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s
的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果P、Q分别从A，B同时出发，那么几秒后， 的面积等于 ？
（2）如果P、Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于 ？
【答案】（1）1秒后△PBQ的面积等于4cm2；（2）3秒后，PQ的长度为 ；
【解析】
【分析】
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司（1）设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点
Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；
（2）利用勾股定理列出方程求解即可；
【详解】
解：（1）设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2（0＜x≤3.5），此时AP＝xcm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝
2xcm，
△PBQ面积为： ，得 ，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x＝1或x＝4（舍去）；
答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；
（2）设经过t秒后，PQ的长度等于 ，由PQ2＝BP2+BQ2，
即40＝（5﹣t）2+（2t）2，
解得：t＝﹣1（舍去）或3．
则3秒后，PQ的长度为 ；
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于
4cm2”“PQ的长度等于2 cm”，得到等量关系，列出方程是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从
顶点A出发沿折线A→B→C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发沿边CD向点D运动．当
其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．
（1）两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 ？
（2）是否存在某一时刻，点P与点Q之间的距离为 cm？若存在，直接写出运动所需的时间为 ；
若不存在，请说明理由．
（3）直接写出PQ长度的最小值 ．
11
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2） 或 ；（3）2．
【解析】
【分析】
（1）要使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 ，此时点P应在AB上，才能构成四边形．根据路程
=速度×时间，分别用t的代数式表示BP、CQ的长，再根据梯形的面积公式列方程求解；
（2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况考虑；
（3）由（2）得到线段PQ2的关系式，然后利用二次根式的性质，即可得到答案．
【详解】
解：（1）设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 ．
根据题意，得BP=6-2t，CQ=t，矩形的面积是12．
则有 （t+6 2t）×2=2×6× ，
解得t= ；
（2）设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为 ．
①当0＜t≤3时，如图1，则有（6-2t-t）2+4=5，
解得t= 或 ；
②当3＜t≤4时，如图2，则有（8-2t）2+t2=5，
得方程5t2 32t+59=0，
此时Δ＜0，此方程无解．
综上所述，当t= 或 时，点P与点Q之间的距离 ．
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司故答案为： 或 ；
（3）由（2）可知，
①当0＜t≤3时， ；
则 时，PQ有最小值2；
②当3＜t≤4时，
则 时，PQ有最小值 ；
∵ ；
∴PQ长度的最小值为2．
故答案为：2．
【点睛】
此题是一道动态题，有一定的难度，涉及到一元二次方程和勾股定理有关知识，注意分类讨论思想的运用．
2．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm.点M从A点出发沿AB
以1cm/s的速度向B点运动；同时点N从B点出发沿BC以2cm/s的速度向C点运动.当其中一点到达终点
时，另一点也停止运动.设点M、N的运动时间为t秒.
（1）当t为何值时，MN＝ cm？
（2）当t为何值时，MN的长度最短，最短长度是多少？
（3）当t为何值时，△DMN为等腰三角形．
13
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）t＝1 s或 s；（2）t＝ s；（3）t＝ (8－ )s或t＝ ( －18 )s
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件得到AM＝tcm，BM＝（6－t）cm，N＝2tcm，NC＝(12－2t)cm，在Rt△MBN中，根据
勾股定理计算即可；
（2）根据勾股定理和要使MN的长度最短，只需要MN2的值最小值计算即可；
（3）若△DMN为等腰三角形，有3种情况，当DM＝MN，当DM＝DN，当MN＝DN，分别求解即可；
【详解】
解：∵点M、N的运动时间为t．
点M从A点出发沿AB以1cm/s的速度向B点运动，同时点N从B点出发沿BC以2cm/s的速度向C点运动，
AB＝6cm，BC＝12cm
∴AM＝tcm，BM＝（6－t）cm，
BN＝2tcm，NC＝(12－2t)cm．
∵四边形ABCD是矩形，
∴△MBN、△DAM，△DNC都是直角三角形．
（1）在Rt△MBN中，根据勾股定理得，
BM2＋BN2＝MN2，即(6－t)2＋(2t)2＝( )2,
解得 t＝1，t＝ ,
1 2
∴当t＝1s或 s时，MN＝ cm；
（2）在Rt△MNB中，根据勾股定理，得，
MN2＝BM2＋BN2，
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司即MN2＝(6－t)2＋(2t)2，
＝5(t－ )2＋ ，
要使MN的长度最短，只需要MN2的值最小值即可，即求5(t－ )2＋ 的最小值．
当t＝ s时，MN2的值最小，最小为 ．
∴当t＝ s时，MN的长度最短，此时最短长度为 cm．
（3）在Rt△DAM，Rt△BMN和Rt△DNC中，根据勾股定理得，
DM2＝DA2＋AM2，MN2＝BM2＋BN2，DN2＝NC2＋DC2．
即DM2＝122＋t2，MN2＝(6－t)2＋(2t)2，DN2＝(12－2t)2＋62．
若△DMN为等腰三角形，有3种情况：
①当DM＝MN，即DM2＝MN2时，t2＋122＝(6－t)2＋(2t)2，
解得t＝ ，t＝ ；
1 2
∵0≤t≤6，
∴t＝ ，t＝ 均不合题意，舍去．
1 2
②当DM＝DN，即DM2＝DN2时，t2＋122＝(12－2t)2＋62，
解得 t＝8－ ，t＝8＋ ．
1 2
∵0≤t≤6，t＝8＋ 不合题意，舍去．
2
③当MN＝DN，即MN2＝DN2时，(6－t)2＋(2t)2＝(12－2t)2＋62，
解得 t＝ －18，t＝－ －18．
1 2
∵0≤t≤6，t＝－ －18不合题意，舍去，
2
综上所述，
当t＝ (8－ )s时，△DMN为等腰三角形，
15
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司当t＝ ( －18 )s时，△DMN为等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，一元二次方程的求解，准确计算是解
题的关键．
考点六 用一元二次方程解决与图形有关的问题
例题：（2022·浙江·宁波市第七中学八年级期中）如图，一块长 ，宽 的长方形空地上，修建同样宽
的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为
，则道路的宽应为_________m．
【答案】2
【解析】
【分析】
设道路的宽为xm，当道路移至边缘时花草面积为长方形，再由面积列方程求解即可；
【详解】
解：设道路的宽为xm，由平移的性质可得：
花草的面积=（12-x）（8-x）=60，
x2-20x+96=60，
x2-20x+36=0，
（x-18）（x-2）=0，
x=18或x=2，
∵x＜8，∴x=2，
∴道路的宽应为2m，
故答案为：2；
【点睛】
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司本题考查了一元二次方程的实际应用，利用平移的性质求得花草面积是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·安徽省安庆市外国语学校八年级期中）如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28m），围成一个
矩形花园ABCD，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙），现有砌60m
长的墙的材料．
(1)当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300m2；
(2)能否围成面积为480m2的矩形花园，为什么？
【答案】(1)当矩形的长BC为12m时，矩形花园的面积为300m2
(2)不能，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）设BC＝xm，则 m，根据矩形花园的面积为300m2，即可得出关于x的一元二次方程，
解之即可得出x的值，再结合墙EF最长可利用28m，即可得出结论．
（2）不能围成面积为480m2的矩形花园，设BC＝ym，则 m，根据矩形花园的面积为
480m2，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y的值，再结合墙EF最长可利用28m，即可得出
不能围成面积为480m2的矩形花园．
(1)
解：设BC＝xm，则 m，
依题意得： ，
整理得：x2-62x＋600＝0，
解得： ， ，
又∵墙EF最长可利用28m，
∴x＝12，
17
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司答：当矩形的长BC为12m时，矩形花园的面积为300m2．
(2)
不能围成面积为480m2的矩形花园，理由如下：
设BC＝ym，则 m，
依题意得： ，
整理得：y2-62y＋960＝0，
解得： ， ，
又∵墙EF最长可利用28m，
∴ ， 均不符合题意，舍去，
∴不能围成面积为480m2的矩形花园．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用问题，审清题意，根据题意列出方程是解题的关键．
2．（2022·安徽·合肥一六八中学八年级期中）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为
10米）围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米．
(1)若围成花圃的面积为36平方米，求此时宽AB；
(2)能围成面积52平方米的花圃吗？若能，请说明围法；若不能请说明理由．
【答案】(1)AB的长为6米
(2)不能围成面积52平方米的花圃，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由篱笆的总长度可得出花圃的长AD为（24−3x）米，根据花圃面积为36平方米，即可得出关于x的
一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的最大可用长度a为10米，即可得出结论；
（2）不能围成面积为52平方米的花圃，根据花圃面积为52平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由
根的判别式Δ＝−48＜0，可得出该方程无实数根，即不能围成面积为52平方米的花圃．
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司(1)
解:花圃的宽AB为x米，则BC＝（24﹣3x）米，
∴﹣3x2+24x＝36，
解得x＝2，x＝6，
1 2
当x＝2时，24﹣3x＝18＞15，不合题意，舍去；
当x＝6时，24﹣3x＝6＜15，符合题意，
故AB的长为6米；
(2)
不能，理由如下：
∴﹣3x2+24x＝52，
整理得：3x2﹣24x+52＝0，
∵△=242﹣4×3×52＜0，
方程无实数根，
∴不能围成面积52平方米的花圃．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二
次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
一、选择题
1．（2022·安徽合肥·八年级期末）电影《我和我的祖国》一上映就受到观众热烈追捧，第一天票房约3亿
元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元．若设增长率为x，则根据题意可
列方程为（ ）
A． B．
C． D．
19
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】
设平均每天票房的增长率为x，根据三天后累计票房收入达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此
题得解．
【详解】
解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2=10．
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2022·浙江宁波·八年级期末）一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后他先教会了x名同学，
然后这 名同学每人又教会了x名同学，这时恰好全班36人都会做这项实验了．根据以上情景，可列
方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设平均每一人教会x人，根据题意表示出全班会做实验的人数，进而得出答案．
【详解】
设平均每一人教会x人，根据题意可得:
1 +x+x(1+x)= 36，
故选： B．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出全班会做实验的人数是解题关键．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校八年级期中）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每
两队之间都赛一场），计划安排66场比赛，设应邀请x个球队参加比赛，根据题意，列出方程为（ ）
20
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数＝ x(x−1)，由此可得出方程．
【详解】
解：设邀请x个队，每个队都要赛（x−1）场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的
关系．
4．（2022·安徽合肥·八年级期末）某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，每
天可售出300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千克，
若每天的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降低x元，可列方程为（ ）
A．（45-30-x）（300+50x）=5500 B．（x-30）（300+50x）=5500
C．（x-30）[300+50（x-45）]=5500 D．（45-x）（300+50x）=5500
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出每千克的售价为 元，此时每天销量为 千克，再根据“利润 （售价 进价） 每天
销量”建立方程即可得．
【详解】
解：由题意可知，当售价每千克降低 元时，每千克的售价为 元，此时每天销量为 千克，
则可列方程为 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了列一元二次方程，正确找出等量关系是解题关键．
5．（2022·浙江绍兴·八年级期末）空地上有一段长为a米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园
21
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（ ）
A．若a＝16，S＝196，则有一种围法 B．若a＝20，S＝198，则有两种围法
C．若a＝24，S＝198，则有两种围法 D．若a＝24，S＝200，则有一种围法
【答案】A
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：采用图1围法，图2围法，设矩形菜园的宽为x米，分别表示矩形的长，再利用矩形面
积列方程，解方程，注意检验x的范围，从而可得答案．
【详解】
解：设矩形菜园的宽为x米，则长为 米，
∴
当 时，采用图1围法，则此时
当 时，
解得：
此时都不符合题意，
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
22
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司则 则 所以长为 米，
结合 可得
∴
解得： 经检验不符合题意，
综上：若a＝16，S＝196，则没有围法，故A符合题意；
设矩形菜园的宽为x米，则长为 米，
∴
当 时，采用图1围法，则此时
当 时，
解得： 经检验 符合题意；
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为 米，
结合 可得
∴
解得： 经检验 符合题意，
23
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司综上：若a＝20，S＝198，则有两种围法，故B不符合题意；
同理可得：C不符合题意，D不符合题意；
故选A
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，表示图2中矩形的长是解本题的关键．
二、填空题
6．（2022·山东烟台·八年级期末）小明在计算某数的平方时，将这个数的平方误看成它的2倍，使答案少
了35，则这个数为_________．
【答案】7或-5## 或
【解析】
【分析】
设这个数为x，根据这个数的平方-2×这个数=35，列出方程，解方程即可．
【详解】
解：设这个数为x，根据题意得：
，
解得： 或 ．
故答案为：7或-5．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题目中的等量关系列出方程，是解题的关键．
7．（2021·辽宁·盘锦市双台子区第一中学九年级期中）有一种流感病毒，刚开始有2人患了流感，经过两
轮传染后共有128人患流感，如果设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么可列方程为________．
【答案】2（1+x）2=128．
【解析】
【分析】
此题的等量关系为：经过两轮传染后的人数=128，列方程即可．
【详解】
解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意得：
2（1+x）2=128．
故答案为：2（1+x）2=128．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．
24
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司8．（山东省济南市高新区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图，在一块长11m，宽为7m的
矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为60m2，则小路宽为
_____m．
【答案】1
【解析】
【分析】
设小路宽为x m，则种植花草部分的面积等于长为（11−x）m，宽为（7−x）m的矩形的面积，根据花草的
种植面积为60m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】
解：设小路宽为x m，则种植花草部分的面积等于长为（11−x）m，宽为（7−x）m的矩形的面积，
依题意得：（11−x）（7−x）＝60，
整理得：x2−18x＋17＝0，
解得：x＝1，x＝17（不合题意，舍去），
1 2
∴小路宽为1m．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（2022·山东·烟台市福山区教学研究中心八年级期中）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，
依照此规律排列下去，第________个图形共有465个小球．
【答案】30
【解析】
【分析】
25
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司观察图形，找出图形变化的规律即可．
【详解】
解：第1个图中有1个小球，
第2个图中有3个小球， ，
第3上图中有6个小球， ，
第4个图中有10个小球， ，
……
照此规律，第 个图中有 个小球，
当 时，
解得： ， （舍去），
∴第30个图形共有465个小球．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了规律型问题，涉及解一元二次方程．解题的关键是仔细观察图形并找到小球个数的规律．
10．（2021·湖北襄阳·一模）如图，把长为40cm，宽30cm的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长
方形（阴影部分即剪掉的部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，且折成的长方体盒子的表面
积为888cm2，则剪掉的小正方形边长为 _____cm（纸板的厚度忽略不计）．
【答案】6
【解析】
【分析】
设剪掉的小正方形边长为xcm，则剪掉的小长方形的长为 40＝20（cm），宽为xcm，利用折成的长方体
盒子的表面积＝长方形硬纸板的面积﹣2×剪掉的小正方形的面积﹣2×剪掉的小长方形的面积，即可得出关
于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
26
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【详解】
解：设剪掉的小正方形边长为xcm，则剪掉的小长方形的长为 40＝20（cm），宽为xcm，
依题意得：40×30﹣2x2﹣2×20x＝888，
整理得：x2+20x﹣156＝0，
解得：x＝6，x＝﹣26（不合题意，舍去）．
1 2
∴剪掉的小正方形边长为6cm．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三、解答题
11．（2021·西藏·柳梧初级中学九年级期中）某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过
两轮感染后就会有144台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过1700台？
【答案】每轮感染中平均一台电脑会感染11台电脑.若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会
超过1700台
【解析】
【分析】
设每轮感染中平均一台会感染x台电脑，则第一轮后共有（1+x）台被感染，第二轮后共有（1+x）+x
（1+x）即（1+x）2台被感染，利用方程即可求出x的值，并且3轮后共有（1+x）3台被感染，比较该数同
1700的大小，即可作出判断．
【详解】
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，
由题可知 ，
整理得 ，
解得 ， （舍），
则（1+x）2+x（1+x）2=（1+x）3=（1+11）3=1728＞1700．
答：每轮感染中平均一台电脑会感染11台电脑.若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过
1700台；
27
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量
关系，列出方程，再求解．
12．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）新冠肺炎是一种传染性很强的疾病．如果某
镇有一人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有169人成为新
冠病毒的携带者．
(1)每个人每轮传染多少人？
(2)若不控制传染渠道，经过三轮传染，共有多少人成为新冠病毒的携带者？
【答案】(1)每个人每轮传染12人．
(2)共有2197人成为新冠病毒的携带者．
【解析】
【分析】
（1）设每个人每轮传染x人，由题意可列方程进行求解；
（2）由（1）可直接进行求解．
(1)
解：设每个人每轮传染x人，由题意得：
，
解得： （不符合题意，舍去），
答：每个人每轮传染12人．
(2)
解：由（1）可得：169×（1+12）=2197（人）；
答：若不控制传染渠道，经过三轮传染，共有2197人成为新冠病毒的携带者．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的传播问题是解题的关键．
13．（2022·浙江杭州·八年级期末）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为
120元时，每天可售出20件．为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，
增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装降价 元．
(1)每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含 的代数式表示）
(2)每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．
28
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司(3)平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由．
【答案】(1)每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40-x）元
(2)每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元
(3)平均每天盈利不能达到2000元，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意列出所求代数式即可；
（2）根据每件盈利×每天销售量=每天盈利列出方程求解即可；
（3）根据单件利润×销售量=总利润列出方程求解即可作出判断．
(1)
解：由题意，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40-x）元；
(2)
解：由题意，（40-x）（20+2x）=1200，
整理，得：x2-30x+200=0，
解得：x=10，x=20，
1 2
∵适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，
∴x=20，
答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元．
(3)
解：平均每天盈利不能达到2000元，理由为：
由（40-x）（20+2x）=2000，整理，得：x2-30x+600=0，
∵△=（-30）2-4×1×600=-1500＜0，
∴所列方程无实数根，
故平均每天盈利不能达到2000元．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
14．（2022·浙江·温州市第十二中学八年级期中）如图，钢球（不计大小）在一个光滑的“ ”型轨道上
滚动（表面光滑，摩擦阻力不计），其中左侧轨道 长为 ，右侧轨道 长为 ．钢球先由
点静止开始沿左侧斜面滚下，速度每秒增加 ，到达底端 后又沿着右侧斜面向上滚动，速度每秒减
少 ．（提示：在同一侧斜面上，钢球滚动的距离=平均速度 时间 ， ，其中 表示开始
29
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司的速度， 表示 秒时的速度．）
(1)当钢球滚动 时，它的速度为________ ，经过的路程是________ ；
(2)经过几秒，钢球到最低点 的距离为 ？
【答案】(1)16，32
(2) 秒或 秒
【解析】
【分析】
（1）设当钢球从点 滚动到点 时，所滚动时间为 ，根据在同一侧斜面上，钢球滚动的距离的计算公
式建立方程，解方程求出 的值，由此即可得；
（2）先求出钢球在右侧轨道 的滚动速度等于0时，钢球所滚动的时间为 秒，再设经过 秒，钢球到
最低点 的距离为 ，分①钢球在左侧轨道 上和②钢球在右侧轨道 上两种情况，分别建立方程，
解方程即可得．
(1)
解：设当钢球从点 滚动到点 时，所滚动时间为 ，
则 ，
解得 或 （不符题意，舍去），
此时 ，
所以当钢球滚动 时，它的速度为 ，经过的路程是 ，
故答案为：16，32．
(2)
解：设经过 后，钢球在右侧轨道 的滚动速度等于0，
由（1）可知，当钢球从点 滚动到点 时，所滚动时间为 ，速度为 ，
则 ，
30
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司解得 ，
设经过 秒，钢球到最低点 的距离为 ，
由题意，分以下两种情况：
①当钢球在左侧轨道 上时，
则 ，
解得 或 （不符题意，舍去）；
②当钢球在右侧轨道 上时，
则 ，
解得 或 （不符题意，舍去），
综上，经过 秒或 秒，钢球到最低点 的距离为 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用，较难的是题（2），分两种情况讨论，并正确建立方程是解题关键．
15．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期末）某地农产品专卖店收购了一种非常受欢迎的土特产，
该店以80元/千克收购了这种土特产 千克，若立即销往外地，每千克可以获利20元．根据市场调查
发现，该种土特产的销售单价每天上涨0.4元/千克，为了获得更大利润，该店决定先贮藏一段时间后再出
售．根据以往经验，这批土特产的贮藏时间不宜超过 天，在贮藏过程中平均每天损耗5千克．
(1)若商家将这批土特产贮藏 天后一次性出售，请完成下列表格：
每千克土特产售价（单位：元） 可供出售的土特产质量（单位：千克）
现在出售 2000
天后出
售
(2)将这批土特产贮藏多少天后一次性出售最终可获得总利润50000元？
【答案】(1)100；（100+0.4x）；（2000-5x）
(2)50
【解析】
【分析】
31
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司（1）根据题意，若立即出售，则每千克土特产售价=每千克土特产进价+每千克土特产利润，可得立即出
售的售价；由该种土特产的销售单价每天上涨0.4元/千克，可得 天后出售，每千克土特产售价为：
（100+0.4x）元．同理可得， 天后出售，可供出售的土特产的质量为（2000-5x）千克．
（2）设这批土特产贮藏x天后一次性出售最终可获得总利润50000元，根据总利润=总销售金额-总成本，
列出相应方程，解方程，最后根据这批土特产的贮藏时间不宜超过 天，得到贮藏天数．
(1)
解：∵该店以80元/千克收购了这种土特产，
又∵若立即销往外地，每千克可以获利20元，
∴收购土特产后立即出售，每千克土特产售价为：80+20=100（元）．
∵该种土特产的销售单价每天上涨0.4元/千克，
∴若 天后出售，每千克土特产售价为：（100+0.4x）元．
∵在贮藏过程中平均每天损耗5千克，该店一共收购了2000千克土特产，
∴若 天后出售，可供出售的土特产质量为：（2000-5x）千克．
(2)
解：设这批土特产贮藏x天后一次性出售最终可获得总利润50000元，
由（1）可得， ，
化简得， ，
解得， ， ，
∵这批土特产的贮藏时间不宜超过 天，
∴ 不符合题意，应舍去，
∴ ，
答：设这批土特产贮藏50天后一次性出售最终可获得总利润50000元．
【点睛】
本题考查了销售问题中相关量的关系以及运用一元二次方程解决相关销售问题，正确理解总利润的表示方
法是解题的关键．注意本题第二问在解出方程后，还需要联系题设条件舍去不符合题意的方程的根．
16．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A
出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当
P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．
32
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司(1)BP＝ cm；BQ＝ cm；（用t的代数式表示）
(2)D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？
【答案】(1)（12﹣2t）；4t
(2)t＝2或4
【解析】
【分析】
（1）根据速度×时间=路程，列出代数式即可；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，利用三角形中位线定理求得DH的长度；然后根据题意和三角形的面
积列出方程，求出方程的解即可．
(1)
根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，
所以BP＝（12﹣2t）cm．
故答案是：（12﹣2t）；4t．
(2)
如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵∠B＝90°，即AB⊥BC，
∴AB∥DH，
又∵D是AC的中点，
∴BH= BC＝12cm，DH是△ABC的中位线，
∴DH AB＝6cm，
根据题意，得 （12﹣2t） （24﹣4t）×6 2t×12＝40，
整理，得t2﹣6t+8＝0，
解得：t＝2，t＝4，
1 2
33
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司即当t＝2或4时，△PBQ的面积是40cm2．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系．
17．（2022·重庆市第七中学校一模）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．
甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥
梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12
万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每
合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖 米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天
少挖 米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多 万元．求a的值．
【答案】(1)甲最多施工2500米
(2)a的值为6
【解析】
【分析】
（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成
本的 ，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每
天可多挖 米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖 米，即可得出关于a的一元二次方程，
解之即可得出结论．
34
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司(1)
解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，
依题意，得：12（5000-x）≥ ×10x，
解得：x≤2500，
答：甲最多施工2500米．
(2)
依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ， ，
当 时，总成本为： （万元），
∵ ，
∴ 不符合题意舍去；
当 时，总成本为： （万元），
∵ ，
∴ 符合题意；
答：a的值为6．
【点睛】
本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间
的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
18．（2022·重庆忠县·九年级期中）2022年2月4日北京冬奥会如期开幕，北京也成为历史上首个“双奥
之城”，全国上下也一同关注这一盛事，并为奥运健儿加油打气，与此同时冬奥会吉祥物“冰墩墩”也十
分吸引观众的眼球；“冰墩墩”毛绒玩具也备受人们的喜爱．现有A、B两个厂家生产“冰墩墩”毛绒玩
具，A厂家每小时生产“冰墩墩”400个，B厂家每小时生产“冰墩墩”500个．
(1)若A、B厂家一共工作12小时，且生产“冰墩墩”的总数量不少于5500个，则B厂家至少生产“冰墩
墩”多少小时：
(2)原计划A、B两个厂家每天均工作8小时，但现在为了满足市场的需求，两个厂家每天均增加工作时间，
A工厂增加的时间比B工厂增加时间多2小时，但因为机器损耗及人员不足原因，A厂家每增加1小时，该
35
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司厂每小时的产量将减10个，B厂家每增加1小时，该厂每小时的产量将减15个，这样两个厂一天生产的
“冰墩墩”总量将比原计划多1820个，为了生产“冰墩墩”更高效，求A厂实际每天生产“冰墩墩”的时
间．
【答案】(1)7小时
(2)12小时
【解析】
【分析】
（1）设B厂家生产“冰墩墩”x小时，则A厂家生产“冰墩墩” 小时，利用工作总量=工作效率×
工作时间，结合生产“冰墩墩”的总数量不少于5500个，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中
的最小值即可得出结论；
（2）设A厂实际每天生产“冰墩墩”的时间为y小时，则B厂实际每天生产“冰墩墩”的时间为
小时，A厂每小时的产量为 个，B厂每小时的产量为 个，利用总产量=每小时的产量
×每天的工作时间，结合两厂一天生产的“冰墩墩”总量将比原计划多1820个，即可得出关于y的一元二
次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
(1)
解：设B厂家生产“冰墩墩”x小时，则A厂家生产“冰墩墩” 小时，
依题意得： ，
解得 ．
答：B厂家至少生产“冰墩墩”7小时；
(2)
解：设A厂实际每天生产“冰墩墩”的时间为y小时，则B厂实际每天生产“冰墩墩”的时间为 小
时，A厂每小时的产量为 个，B厂每小时的产量为
个，
依题意得
36
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司，
整理得 ，
解得 ， ．
∵ ，
∴ 不合题意，舍去．
答：A厂实际每天生产“冰墩墩”的时间为12小时．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关
系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
37
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司38
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
