文档内容
2024～2025 学年度第一学期期中质量检测
高一数学
2024．11
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 设集合 ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据交集的定义计算即可得解.
【详解】因为 ， ，所以 .
故选：D.
2. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的包含关系，确定充分，必要条件.
【详解】设 ， ，因为 ，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
3. 命题 的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
的
【分析】由全称量词命题 否定形式即可求.
【详解】命题 的否定是： .
故选：C
4. 下列函数中与函数 是同一函数的是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
逐一判断四个选项中函数的定义域与对应法则是否与 一致，进而得出答案.
的
【详解】函数 定义域为
对于A项， 的定义域为 ，对应法则与 一致，则A正确；
对于B项， 的对应法则与 不一致，则B错误；
对于C项， 的定义域为 ，则C错误；
对于D项， 的定义域为 ，则D错误；故选：A
5. 专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间 （单位：天）与病情
爆发系数 之间，满足函数模型： ，当 时，标志着疫情将要局部爆发，
则此时 约为（参考数据： ）（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据 列式，并根据给出参考数据，结合指数函数的性质解相应的指数方程，即可得
答案.
【详解】解：因为 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，由于 ，故 ，
所以 ，所以 ，解得 .
故选：A.
6. 若函数 是指数函数，则 的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数的概念可得 且 且 ，解之可得 ，进而求解.【详解】 函数 是指数函数，
且 且 ，解得 ，
， .
故选：A．
7. 已知关于 的不等式 的解集是 或 ，则不等式 的解集是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知 ，且 和 是方程的 的两个根，利用韦达定理，对所求
不等式进行变形求解即可.
【详解】 关于 的不等式 的解集是 或 ，
∴1和3是方程 的两个实数根，且 ．
则 解得
所以不等式 等价于 ，即 ，
解得 ．所以不等式 的解集是
故选:B．
8. 已知函数 为定义在 上的奇函数，且在 为减函数，在 为增函数， ，则不
等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意先明确函数 在 上的单调性和函数值情况并作出函数图，接着分 、
和 三种情况分析 即可求解.
【详解】由题意可知 ，且 在 上单调递增，在 上单调递减，如
图：
当 时， ，故 ，此时 ；
当 时，满足 ；
当 时， ， ，
此时 ，则 ，所以 ，
综上，不等式 的解集为 .
故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 ，且 ，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由条件可得， ，由不等式的性质可知A、B、D正确，对C，当 时，不等式不成
立．
【详解】对于A，因为 ，且 ，所以 ，所以 ，因此A正确；
对于B，因为 ，所以 ，所以 ，因此B正确；
对于C，当 时， ，因此C错误；
对于D，因为 ，所以 0，因为 ，所以 ，因此D正确；
故选：ABD.
.
10 已知函数 ，则（ ）
A. 函数 的定义域为
B. 函数 在 单调递减
C. 函数 值域为
D. 不等式 的解集为
【答案】ABD
【解析】【分析】求出定义域判断A；确定单调区间判断B；求出值域判断C；解不等式判断D.
【详解】对于A，函数 有意义，则 ，解得 ，
的定义域为 ，A正确；
对于B， 在 上单调递减，则 在 上单调递减，B正确；
对于C， ，函数 值域为 ，C错误；
对于D，由 ，得 ，则 ，解得 ，
的解集为 ，D正确.
故选：ABD
11. 已知函数 ，设 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】分别构造函数 ， ，设 ，
再应用函数的单调性即可判断A,B,C选项，应用基本不等式计算判断D.
【详解】对于A，设 在 上单调递增，
由 ，得 ，即 ，故A错误；对于B，设 ， ，则 在
上单调递减，
由 ，得 ，故B正确；
对于C，设 ，则 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，即
，故C正确；
对于D，由 ，得 ，所以 （当且仅当 时等号成
立）；
再结合 ，得
，故D错误．
故选：BC．
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数再应用函数单调性判断选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设函数 则 _______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】先计算出 ，进而计算出 .【详解】 ， .
故答案为：
13. 若函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围是____.
【答案】
【解析】
【分析】需对 和 两种情况进行讨论 在 上的单调性，从而可确定 的取
值范围.
【详解】若 ，则 ，这是一个一次函数，斜率为 ，
在 上不是单调递增的，故 ，
若 ，函数 是一个二次函数，其对称轴为 ，
因为在 上的单调递增，所以该函数开口向上，则 ，
同时 必须在区间的左侧或者和 重合，
所以 ，解之可得
综上，实数a的取值范围是 .
故答案为：
14. 已知函数 的定义域为 ，若对于任意的x， ，都有 ，当 时，都有 ， ．则函数 在区间 上的最大值为______．
【答案】5
【解析】
【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定在 上单调性，再利用单调性求出最大值.
【详解】任取 ，则 ，由当 时，都有 ，得 ，
任意的 ，都有 ，
则 ，因此函数 在 上单调递增，
当 时， .
故答案为：5
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）已知 ，求 的最小值.
（2）已知 ，求 的最大值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1） ，再利用基本不等式即可求解.
（2） ，再利用基本不等式即可求解.
【详解】（1） ，
，，
当且仅当 ，即 时取等号.
当 时， 的最小值为 .
（2） ，
，
，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
即当 时， 的最大值为 .
16. 幂函数 过点 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）用单调性的定义证明 是增函数．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）把点坐标代入函数解析式可得 ，即可得到函数解析式.
（2）利用定义法可证明函数 在 上是增函数.【小问1详解】
∵ 过点 ,
∴ ，解得 ，
∴函数 的解析式为 ，即 .
【小问2详解】
函数 的定义域为 .
，且 ，
，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 在 上是增函数.
17. 给定函数 ， ， ．
（1）在同一直角坐标系中画出函数 ， 图象；
（2） ，用 表示 ， 中的最大者，记为 ，请分别用图象法
和解析法表示函数 ；
（3）写出函数 的单调区间和最值．
【答案】（1）作图见解析；
（2） ，作图见解析；
（3）减区间是 ，增区间是 ，最小值1，无最大值.【解析】
【分析】（1）利用一次函数、二次函数图象作出函数 ， 图象.
（2）求出函数 的解析式，再画出其图象.
（3）利用（2）中图象求出单调区间及最值.
【小问1详解】
函数 的图象是过点 的直线，
函数 的图象是开口向上，顶点坐标为 的抛物线，
函数 ， 图象，如图：
【小问2详解】
由 ，即 ，解得 或 ，由 ，得 ，
所以 ，函数 的图象如图，
【小问3详解】
由（2）中图象知，函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，
当 时，函数 取得最小值1，无最大值.18. 已知函数
（1）求函数 的解析式；
（2）求关于 的不等式 解集.（其中 ）
【答案】（1） （2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）令 ，则 ，即可得 ；
（2）将不等式转化为 ，比较 和 的大小解不等式即可.
【小问1详解】
由题意，函数 ，
令 ，
则 ，
所以 .
【小问2详解】
由（1）知 ，
即不等式转化为 ，
则 ，
当 时，不等式的解集为 或 ；
当 时，不等式的解集为 或 ；
当 时，不等式的解集为 ；综上所述，当 时，不等式的解集为 或 ；
当 时，不等式的解集为 或 ；
当 时，不等式的解集为 .
19. 已如数 的图象关于点(0,1)中心称．
（1）求实数a的值：
（2）判断 的单调性（无需证明）；
（3）解关于x的不等式 ．
【答案】（1）a=2
（2）f (x)是 上的增函数，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数的平移性质，结合函数的对称性进行求解即可；
（2）根据函数的单调性定义，结合指数函数的单调性进行判断证明即可；
（3）根据函数的对称性和单调性进行求解即可.
【小问1详解】
因为函数 的图象关于点 中心对称，
所以该函数向下平移一个单位，得到的函数的图像关于点 中心对称，
即函数 的图象关于点 中心对称，
所以函数 是R上的奇函数，则 ，即 ， ，则 ，
因为 ，所以函数 是R上的奇函数，
.
【小问2详解】
由（1）， ，则 ，
设 是任意两个实数，且 ，
，
因为 ，所以 ，且 ， ，
因此 ，即 ，
所以函数 是R上的增函数.
【小问3详解】
因为函数 的图象关于点 中心对称，
所以 ，即 ，
所以由 ，即 ，
因为函数 是R上的增函数，
所以 ，即 或 ，
解得 或 ，
因此原不等式的解集为 .
