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专题2.5 一元二次方程的根与系数关系（能力提升）（解析
版）
一、选择题。
1．（2022•盘龙区一模）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【答案】A。
【解答】解：
方程x2+mx﹣1＝0的判别式为Δ＝m2+4＞0，所以该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
2．（2022春•定远县校级月考）以 和 为根的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣10x﹣1＝0 B．x2+10x﹣1＝0 C．x2+10x+1＝0 D．x2﹣10x+1＝0
【答案】D。
【解答】解：根据题意得：x2﹣（5+2 +5﹣2 ）x+（5﹣2 ）（5+2 ）＝0，
整理得：x2﹣10x+1＝0．
故选：D．
3．（2022•宁波模拟）已知实数a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣
（b+1）2，则 的值为（ ）
A．23 B．﹣23 C．﹣2 D．﹣13
【答案】B。
【解答】解：∵a、b是关于x的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0的两个根，
整理此方程，得x2+5x+1＝0，
∵Δ＝25﹣4＞0，
∴a+b＝﹣5，ab＝1．
故a、b均为负数．
因此 ．
故选：B．4．（2021秋•姜堰区期末）方程x2﹣4x+3＝0的两根为x 、x ，则x +x 等于（ ）
1 2 1 2
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
【答案】A。
【解答】解：∵方程x2﹣4x+3＝0的两根为x 、x ，
1 2
∴x +x ＝4．
1 2
故选：A．
5．（2022•运城二模）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范
围是（ ）
A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣2且a≠0 D．a＞﹣2且a≠0
【答案】C。
【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣2）≥0，
解得a≥﹣2且a≠0．
故选：C．
6．（2021秋•汉阳区期中）设x ，x 是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则x 3﹣4x 2+20
1 2 1 2
等于（ ）
A．1 B．5 C．11 D．13
【答案】A。
【解答】解：∵x ，x 是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，
1 2
∴x 2+x ﹣3＝0，x 2+x ﹣3＝0，
1 1 2 2
∴x 2＝﹣x +3，x 2＝﹣x +3，
1 1 2 2
∴x 3＝x （﹣x +3）＝﹣x 2+3x ＝﹣（﹣x +3）+3x ＝4x ﹣3，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴x 3﹣4x 2+20＝4x ﹣3﹣4（﹣x +3）+20＝4（x +x ）+5，
1 2 1 2 1 2
∵x ，x 是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，
1 2
∴x +x ＝﹣1，
1 2
∴x 3﹣4x 2+20＝4×（﹣1）+5＝1．
1 2
故选：A．
7．（2021春•岳西县期末）已知关于x的方程x2﹣3x+m＝0的一个根是2．则此方程的另
一个根为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B。
【解答】解：设方程另一个根为x ，
1根据题意得2+x ＝3，
1
解得x ＝1，
1
即此方程的另一个根为1．
故选：B．
8．（2021•泰安）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实
数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣ B．k＜ C．k＞﹣ 且k≠0 D．k＜ 且k≠0
【答案】C。
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k•（k﹣2）＞0，
解得k＞﹣ 且k≠0．
故选：C．
9．（2021 秋•新城区期中）关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的两根分别为
， ，下列判断一定正确的是（ ）
A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝﹣1 D．
【答案】C。
【解答】解：根据一元二次方程的求根公式可得：x ＝ ，x ＝
1 2
，
∵ 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ax2+bx+c ＝ 0 的 两 根 分 别 为 ，
，∴x +x ＝﹣b＝﹣ ，x •x ＝ ＝﹣1，
1 2 1 2
∴当b≠0时，a＝1，c＝﹣1，则ac＝﹣1，
故选：C．
10．（2021•商河县校级模拟）已知y＝kx+k﹣1的图象如图所示，则关于x的一元二次方
程x2﹣x﹣k2﹣k＝0的根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有两个相等或不相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个相等的实数根
【答案】C。
【解答】解：本题首先由图象经过第一、三、四象限，
可知：k＞0，k﹣1＜0，
∴0＜k＜1，
则（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣k），
＝1+4k2+4k，
＝（2k+1）2，
因为0＜k＜1，
所以（2k+1）2＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
二、填空题。
11．（2022•三水区一模）关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，写
出一个满足条件的实数m的值 0 ．（写出一个即可）
【答案】0。
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4m＞0，解得m＜ ，
所以当m取0时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为0．
12．（2022春•拱墅区校级期中）如果关于x的一元二次方程2x（ax﹣4）﹣x2+6＝0没有
实数根，那么a的最小整数值是 2 ．
【答案】2。
【解答】解：（2a﹣1）x2﹣8x+6＝0，
根据题意得2a﹣1≠0且Δ＝（﹣8）2﹣4×（2a﹣1）×6＜0，
解得a＞ ，
所以a的最小整数值2
故答案为2．
13．（2022•普陀区模拟）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m
的取值范围是 m ≤ 且 m ≠﹣ 2 ．
【答案】m≤ 且m≠﹣2。
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×（m+2）×1≥0且m+2≠0，
解得m≤ 且m≠﹣2．
故答案为：m≤ 且m≠﹣2．
14．（2021秋•宁远县期中）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0，k ≤ 1 时，方程有实数根．
【答案】≤1。
【解答】解：当k＝0时，原方程为﹣6x+9＝0，
方程的解为x＝ ；
当k≠0时，原方程为一元二次方程，
∵方程有实数根
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×9k≥0，
解得k≤1，故答案为：≤1．
15．（2021春•福田区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别
是x ，x ，且以x ，x ，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则 m的值为 24 或 25
1 2 1 2
．
【答案】24或25。
【解答】解：当6为底边时，则x ＝x ，
1 2
∴Δ＝100﹣4m＝0，
∴m＝25，
∴方程为x2﹣10x+25＝0，
∴x ＝x ＝5，
1 2
∵5+5＞6，
∴5，5，6能构成等腰三角形；
当6为腰时，则设x ＝6，
1
∴36﹣60+m＝0，
∴m＝24，
∴方程为x2﹣10x+24＝0，
∴x ＝6，x ＝4，
1 2
∵6+4＞6，
∴4，6，6能构成等腰三角形；
综上所述：m＝24或25，
故答案为24或25．
16．（2021•海安市二模）设 ， 是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则 2+5 +2 ＝
1 ． α β α α β
【答案】1。
【解答】解：∵ ， 是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，
∴ + ＝﹣3， 2 α+3 β﹣7＝0，
∴α 2+β3 ＝7，α α
∴α 2+5α+2 ＝ 2+3 +2（ + ）＝7+2×（﹣3）＝1，
故α答案α为：β1．α α α β
17．（2022•辉县市一模）已知x ，x 是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则 + 的值为
1 210 ．
【答案】10。
【解答】解：根据题意得x +x ＝﹣6，x x ＝3，
1 2 1 2
所以 + ＝ ＝ ＝ ＝10．
故答案为10．
18．（2021•海门市模拟）关于x的方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，x取m和m+2
时，代数式x2+bx+c的值都等于n，则n＝ 1 ．
【答案】1。
【解答】解：∵设y＝x2+bx+c，
则点（m，n）（m+2，n）在函数图象上，
∴x＝ ＝m+1，
当y＝0时，x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，
∴函数y＝x2+bx+c与x轴的交点即为抛物线的顶点，
∴y＝（x﹣m﹣1）2，
把x＝m代入n＝（﹣1）2＝1，
故答案为：1．
三、解答题。
19．（2021春•八步区期中）求证：关于 x的方程x2+（2k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的
实数根．
【解答】证明：Δ＝（2k+1）2﹣4（k﹣1）＝4k2+5．
∵k2≥0，
∴4k2+5＞0，即Δ＞0，
∴关于x的方程x2+（2k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．
20．（2021•西湖区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：不论k为何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
【解答】（1）证明：∵在方程 x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×
（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴方程总有两个实数根．（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，
∴x ＝2，x ＝k+1．
1 2
∵方程有一根小于1，
∴k+1＜1，解得：k＜0，
∴k的取值范围为k＜0．
21．（2021春•百色期末）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k是符合条件的最大整数，求此时一元二次方程的解．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，
解得k≤ ；
（2）∵k≤ ，
∴k的最大整数值为2，
此时方程为x2﹣3x+2＝0，
（x﹣1）（x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或x﹣2＝0，
所以x ＝1，x ＝2．
1 2
22．（2021秋•洛宁县期中）关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，
b，c分别为△ABC三边的长，若方程有两个相等的实数根．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）若a＝ ，b＝1，直接写出△ABC的面积是 1 ．
【解答】解：（1）△ABC为直角三角形，理由如下：
∵关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝4b2﹣4a2+4c2＝0，
∴b2+c2＝a2，
∴△ABC是以a为斜边（或∠A＝900）的直角三角形．
（2）∵a＝ ，b＝1，
∴c＝ ＝2，∴S△ABC ＝ bc＝1．
故答案为：1．
23．（2021•佛山校级二模）小明解关于x的一元二次方程x2+bx+5＝0时，在解答过程中
写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和2．
（1）求b的值；
（2）若菱形的对角线长是关于x的一元二次方程x2+bx+5＝0的解，求菱形的面积．
【解答】解：（1）∵在解答过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和2，
∴﹣b＝4+2，
∴b＝﹣6．
（2）原方程为x2﹣6x+5＝0，
即（x﹣1）（x﹣5）＝0，
解得：x ＝1，x ＝5．
1 2
又∵菱形的对角线长是关于x的一元二次方程x2+bx+5＝0的解，
∴分三种情况考虑：
当菱形的两对角线长均为1时，菱形的面积＝ ×1×1＝ ；
当菱形的两对角线长均为5时，菱形的面积＝ ×5×5＝ ；
当菱形的两对角线长为1和5时，菱形的面积＝ ×1×5＝ ．
∴菱形的面积为 或 或 ．
24．（2021秋•井研县期末）已知关于x的方程
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；
（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件
的m的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵a＝ ，b＝﹣（m﹣2），c＝m2方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m﹣2）]2﹣4× ×m2＝﹣4m+4＝0，
∴m＝1．原方程化为： x2+x+1＝0 x2+4x+4＝0，（x+2）2＝0，
∴x ＝x ＝﹣2．
1 2
（2）不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．
∵x +x ＝﹣ ＝4m﹣8，x x ＝ ＝4m2
1 2 1 2
x 2+x 2＝（x +x ）2﹣2x x ＝（4m﹣8）2﹣2×4m2＝8m2﹣64m+64＝224，
1 2 1 2 1 2
即：8m2﹣64m﹣160＝0，
解得：m ＝10，m ＝﹣2（不合题意，舍去），
1 2
又∵m ＝10时，Δ＝﹣4m+4＝﹣36＜0，此时方程无实数根，
1
∴不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．
25．（2021•东莞市模拟）设a、b、c是等腰△ABC的三条边，关于x的方程x2+2 x+2c
﹣a＝0有两个相等的实数根，且a、b为方程x2+mx﹣3m＝0的两根，求m的值．
【解答】解：∵方程x2+2 x+2c﹣a＝0 有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
即：4b﹣4×（2c﹣a）＝0，
∴a+b﹣2c＝0，
即a+b＝2c，
∵a、b、c是等腰△ABC的三条边，
∴a＝b＝c．
∵a、b为方程x2+mx﹣3m＝0的两根，
∴方程x2+mx﹣3m＝0有两个相等的实数根，
∴m2﹣4×（﹣3m）＝0，解得m＝﹣12或m＝0（舍去）．
26．（2022春•昆山市校级期末）已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个
不相等的实数根x ，x ．
1 2
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不
存在，请说明理由．
【解答】解：（1）方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x ，x ，
1 2可得k﹣1≠0，
∴k≠1且Δ＝﹣12k+13＞0，
可解得 且k≠1；
（2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x ，x ，
1 2
∵x +x ＝0，
1 2
∴ ，
∴ ，
又∵ 且k≠1
∴k不存在．
27．（2021•梅州模拟）关于x的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若
不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由 ，得m＞﹣1
又∵m≠0
∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0；（5分）
（2）不存在符合条件的实数m．（6分）
设方程两根为x ，x 则 ，
1 2
解得m＝﹣2，此时Δ＜0．
∴原方程无解，故不存在．（12分）
28．（2022春•湖南期中）某班“数学兴趣小组”对函数 y＝|x﹣1|的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补全完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 4 m 2 1 0 1 2 3 4 …
其中，m＝ 3 ；
（2）根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一
部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）进一步探究函数图象发现：
①方程|x﹣1|＝0的解是 x ＝ 1 ；
②方程|x﹣1|＝1.5的解是 2. 5 或﹣ 0. 5 ；
③关于x的方程|x﹣1|＝k有两个实数根，则k的取值范围是 k ＞ 0 ．
【解答】解：（1）x＝﹣2时，y＝|x﹣1|＝3，故m＝3，
故答案为：3；
（2）函数图象如图所示：
（3）①方程|x﹣1|＝0，
∴x﹣1＝0，
解得：x＝1．
故答案为：x＝1；②方程|x﹣1|＝1.5，
此时x﹣1＝1.5或x﹣1＝﹣1.5，
解得：x＝2.5或﹣0.5．
故答案为：x＝2.5或﹣0.5；
③设函数y＝k，
由|x﹣1|＝k有两个实数根得，直线y＝k与函数y＝|x﹣1|的图象有两个交点，
由图象可知，k＞0，
故答案为：k＞0．
