文档内容
专题2.5 一元二次方程的根与系数关系（能力提升）（原卷
版）
一、选择题。
1．（2022•盘龙区一模）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
2．（2022春•定远县校级月考）以 和 为根的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣10x﹣1＝0 B．x2+10x﹣1＝0 C．x2+10x+1＝0 D．x2﹣10x+1＝0
3．（2022•宁波模拟）已知实数a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣
（b+1）2，则 的值为（ ）
A．23 B．﹣23 C．﹣2 D．﹣13
4．（2021秋•姜堰区期末）方程x2﹣4x+3＝0的两根为x 、x ，则x +x 等于（ ）
1 2 1 2
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
5．（2022•运城二模）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范
围是（ ）
A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣2且a≠0 D．a＞﹣2且a≠0
6．（2021秋•汉阳区期中）设x ，x 是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则x 3﹣4x 2+20
1 2 1 2
等于（ ）
A．1 B．5 C．11 D．13
7．（2021春•岳西县期末）已知关于x的方程x2﹣3x+m＝0的一个根是2．则此方程的另
一个根为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2021•泰安）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实
数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣ B．k＜ C．k＞﹣ 且k≠0 D．k＜ 且k≠0
9．（2021 秋•新城区期中）关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的两根分别为， ，下列判断一定正确的是（ ）
A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝﹣1 D．
10．（2021•商河县校级模拟）已知y＝kx+k﹣1的图象如图所示，则关于x的一元二次方
程x2﹣x﹣k2﹣k＝0的根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有两个相等或不相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个相等的实数根
二、填空题。
11．（2022•三水区一模）关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，写
出一个满足条件的实数m的值 ．（写出一个即可）
12．（2022春•拱墅区校级期中）如果关于x的一元二次方程2x（ax﹣4）﹣x2+6＝0没有
实数根，那么a的最小整数值是 ．
13．（2022•普陀区模拟）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m
的取值范围是 ．
14．（2021秋•宁远县期中）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0，k 时，方程有实数根．
15．（2021春•福田区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别
是x ，x ，且以x ，x ，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为
1 2 1 2
．
16．（2021•海安市二模）设 ， 是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则 2+5 +2 ＝
． α β α α β
17．（2022•辉县市一模）已知x ，x 是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则 + 的值为
1 2．
18．（2021•海门市模拟）关于x的方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，x取m和m+2
时，代数式x2+bx+c的值都等于n，则n＝ ．
三、解答题。
19．（2021春•八步区期中）求证：关于 x的方程x2+（2k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的
实数根．
20．（2021•西湖区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：不论k为何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
21．（2021春•百色期末）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k是符合条件的最大整数，求此时一元二次方程的解．
22．（2021秋•洛宁县期中）关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，
b，c分别为△ABC三边的长，若方程有两个相等的实数根．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）若a＝ ，b＝1，直接写出△ABC的面积是 ．23．（2021•佛山校级二模）小明解关于x的一元二次方程x2+bx+5＝0时，在解答过程中
写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和2．
（1）求b的值；
（2）若菱形的对角线长是关于x的一元二次方程x2+bx+5＝0的解，求菱形的面积．
24．（2021秋•井研县期末）已知关于x的方程
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；
（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件
的m的值；若不存在，请说明理由．
25．（2021•东莞市模拟）设a、b、c是等腰△ABC的三条边，关于x的方程x2+2 x+2c
﹣a＝0有两个相等的实数根，且a、b为方程x2+mx﹣3m＝0的两根，求m的值．
26．（2022春•昆山市校级期末）已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个
不相等的实数根x ，x ．
1 2
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不
存在，请说明理由．27．（2021•梅州模拟）关于x的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若
不存在，请说明理由．
28．（2022春•湖南期中）某班“数学兴趣小组”对函数 y＝|x﹣1|的图象和性质进行了研
究．探究过程如下，请补全完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 4 m 2 1 0 1 2 3 4 …
其中，m＝ ；
（2）根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一
部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）进一步探究函数图象发现：
①方程|x﹣1|＝0的解是 ；
②方程|x﹣1|＝1.5的解是 ；
③关于x的方程|x﹣1|＝k有两个实数根，则k的取值范围是 ．
