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专题2.5 一元二次方程的根与系数关系（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1、理解一元二次方程根与系数的关系；
2、灵活运用韦达定理解决有关式子的变形运算。
【知识点梳理】
考点1 一元二次方程的根与系数：
根与系数的关系：即 的两根为 ，则 ，
利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
。
解题技巧：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以
用韦达定理
【典例分析】
【考点1 一元二次方程的根与系数】
【例1】（2022•三水区一模）关于x的一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个解为x ＝2，则另
1
一个解x 为（ ）
2A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【变式1-1】（2021秋•临海市期末）若一元二次方程x2﹣5x+k＝0的一根为2，则另一个根
为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1-2】（2021•榕江县模拟）已知关于 x的一元二次方程5x2+kx﹣6＝0的一个根是
2．则另一个根是（ ）
A．﹣ B． C．3 D．﹣3
【变式1-3】（2022•南海区一模）若x＝5是方程x2﹣6x+k＝0的一个根，则此方程的另一
个根是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例2】（2021•贵港）已知 ， 是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则 + ﹣
的值是（ ） α β α β αβ
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【变式2-1】（2022春•玉山县月考）方程x2+3x﹣4＝0的两根分别为x ，x ，则x +x 等于
1 2 1 2
（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3
【变式2-2】（2022•东坡区校级模拟）已知x ，x 分别为一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两
1 2
个实数解，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式2-3】（2022•东港区校级一模）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数
根，则m2﹣6m﹣n+2022的值是（ ）
A．2016 B．2018 C．2020 D．2022
【例3】（2021秋•蓬溪县期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等
的实数根x ，x ．
1 2
（1）求m的取值范围；
（2）当 时，求m的值．【变式3-1】（2021秋•大冶市期末）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为x 和x ，当x +x x ＝4﹣x 时，求k的值．
1 2 1 1 2 2
【变式3-2】（2022•珠海二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x ，x 满足x 2+x 2＝10，求k的值．
1 2 1 2
【变式3-3】（2021•梅州模拟）关于x的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若
不存在，请说明理由．专题2.5 一元二次方程的根与系数关系（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
3、理解一元二次方程根与系数的关系；
4、灵活运用韦达定理解决有关式子的变形运算。
【知识点梳理】
考点1 一元二次方程的根与系数：
根与系数的关系：即 的两根为 ，则 ，
利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
。
解题技巧：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以
用韦达定理
【典例分析】
【考点1 一元二次方程的根与系数】【例1】（2022•三水区一模）关于x的一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个解为x ＝2，则另
1
一个解x 为（ ）
2
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【答案】B
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个解为x ＝2，
1
∴x x ＝﹣2，即2x ＝﹣2，
1 2 2
解得：x ＝﹣1．
2
故选：B．
【变式1-1】（2021秋•临海市期末）若一元二次方程x2﹣5x+k＝0的一根为2，则另一个根
为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解答】解：设另一根为a，
∵一元二次方程x2﹣5x+k＝0的一根为2，
∴a+2＝5，
解得：a＝3，
则另一根为3．
故选：A．
【变式1-2】（2021•榕江县模拟）已知关于 x的一元二次方程5x2+kx﹣6＝0的一个根是
2．则另一个根是（ ）
A．﹣ B． C．3 D．﹣3
【答案】A
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2×t＝ ，解得t＝﹣ ．
故选：A．
【变式1-3】（2022•南海区一模）若x＝5是方程x2﹣6x+k＝0的一个根，则此方程的另一
个根是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：设另一根为a，由根与系数的关系得：5+a＝6，
解得：a＝1．
故选：A．
【例2】（2021•贵港）已知 ， 是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则 + ﹣
的值是（ ） α β α β αβ
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【答案】B
【解答】解：∵ ， 是方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，
∴ + ＝﹣1， α＝﹣β2，
∴α+β﹣ ＝﹣αβ1+2＝1，
故α选：β B．αβ
【变式2-1】（2022春•玉山县月考）方程x2+3x﹣4＝0的两根分别为x ，x ，则x +x 等于
1 2 1 2
（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3
【答案】C
【解答】解：∵方程x2+3x﹣4＝0的两根分别为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝﹣3，
1 2
故选：C．
【变式2-2】（2022•东坡区校级模拟）已知x ，x 分别为一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两
1 2
个实数解，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解答】解：∵x ，x 分别为一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两个实数解，
1 2
∴x +x ＝﹣4，x •x ＝﹣5．
1 2 1 2
∴ ＝ ＝ ＝ ．
故选：B．【变式2-3】（2022•东港区校级一模）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数
根，则m2﹣6m﹣n+2022的值是（ ）
A．2016 B．2018 C．2020 D．2022
【答案】B
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的根，
∴m2﹣5m﹣1＝0，
∴m2﹣5m＝1，
∵m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个根，
∴m+n＝5，
∴m2﹣6m﹣n+2022＝m2﹣5m﹣m﹣n+2022＝1﹣5+2022＝2018．
故选：B．
【例3】（2021秋•蓬溪县期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等
的实数根x ，x ．
1 2
（1）求m的取值范围；
（2）当 时，求m的值．
【答案】（1）m＞﹣1且m≠0； （2）4
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且m≠0，
即（﹣2）2﹣4×m×（﹣1）＞0且m≠0，
解得：m＞﹣1且m≠0；
（2）∵关于的一元二次方程mx²﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x ，x ，
1 2
∴x +x ＝ ，x x ＝﹣ ，
1 2 1 2
∵x 2+x 2＝x x +1，（x +x ）2﹣2x x ＝x x +1，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
即（x +x ）2＝3x x +1，
1 2 1 2
∴（ ）2＝﹣ +1，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m ＝4，m ＝﹣1，
1 2
经检验，m ，m 都是分式方程的解，
1 2
∵m＞﹣1且m≠0，
∴m的值为4．【变式3-1】（2021秋•大冶市期末）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为x 和x ，当x +x x ＝4﹣x 时，求k的值．
1 2 1 1 2 2
【答案】（1）k≤ (2)1
【解答】解：（1）当k＝0时，原方程为﹣3x+1＝0，
解得：x＝ ，
∴k＝0符合题意；
当k≠0时，原方程为一元二次方程，
∵该一元二次方程有实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0，解得：k≤ ，
综上所述，k的取值范围为k≤ ；
（2）∵x 和x 是方程kx2﹣3x+1＝0的两个根，
1 2
∴x +x ＝ ，x x ＝ ，
1 2 1 2
∵x +x x ＝4﹣x ，即x +x +x x ＝4，
1 1 2 2 1 2 1 2
∴ + ＝4，
解得：k＝1，
经检验，k＝1是分式方程的解，且符合题意．
∴k的值为1．
【变式3-2】（2022•珠海二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x ，x 满足x 2+x 2＝10，求k的值．
1 2 1 2
【答案】（1）k≤5 （2）4
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）≥0，
解得k≤5；
（2）根据根与系数的关系得x +x ＝4，x •x ＝k﹣1，
1 2 1 2
∵x 2+x 2＝10，
1 2
∴（x +x ）2﹣2x x ＝42﹣2（k﹣1）＝10，
1 2 1 2解得k＝4，
∵k≤5，
∴k＝4．
故k的值是4．
【变式3-3】（2021•梅州模拟）关于x的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若
不存在，请说明理由．
【答案】（1）k≤5 (2)原方程无解，故不存在
【解答】解：（1）由 ，得m＞﹣1
又∵m≠0
∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0；（5分）
（2）不存在符合条件的实数m．（6分）
设方程两根为x ，x 则 ，
1 2
解得m＝﹣2，此时Δ＜0．
∴原方程无解，故不存在．（12分）
