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专题2.5 一元二次方程的根与系数（专项训练）
1．设 α,β 是一元二次方程 x2+2x−1=0 的两个根，则 αβ 的值是（ ）
A．2 B．1 C．-2 D．-1
2．若一元二次方程x2− 5x+k =0的一根为2，则另一个根为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知 x ,x 是一元二次方程 x2+2ax+b=0 的两个根，x +x =3,x ⋅x =1 ，则
1 2 1 2 1 2
a，b的值分别是（ ）
A．a=−3,b=1 B．a=3,b=1
3 3
C．a=− ,b=−1 D．a=− ,b=1
2 2
m+n
4．若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则 的值为
mm
．
5．已知m，n为一元二次方程 x2−4x−3=0 的两个实数根，则 (m−2)(n−2) 的值
为（ ）
A．-7 B．7 C．-2 D．2
6．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x，x，则x2+x 2
1 2 1 2
的值是（ ）
A．﹣7 B．7 C．2 D．﹣2
1 1
7．已知x ,x 是方程x2−x−1=0的根，则 + 的值是（ ）
1 2 x x
1 2
A．1 B．-1 C．±1 D．0
8．已知 x ,x 是关于x的一元二次方程 x2−(2m+3)x+m2=0 的两个不相等的实数
1 2
1 1
根，且满足
+ =1
，则m的值为（ ）
x x
1 2
A．−3 或1 B．−1 或3 C．−1 D．3
9．设a，b是方程x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为 .
10．设α、β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，则α2+2α+β的值为（ ）
A．-2014 B．2014 C．2013 D．-201311．已知关于x的一元二次方程 x2+(2m−3)x+m2=0 有两个实数根 x ， x .
1 2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若 x +x =6−x x ，求m的值.
1 2 1 2
12．已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x，x 满足x2+x 2=10，求k的值．
1 2 1 2
13．已知关于 x 的一元二次方程 x2+(k−1)x−k=0
（1）求证：不论 k 为何实数,方程总有实数根;
1 1
（2）若方程的两实数根分别为 x ,x ,且满足 + =2 ,求 k 的值.
1 2 x x
1 2
专题2.5 一元二次方程的根与系数（专项训练）1．设 α,β 是一元二次方程 x2+2x−1=0 的两个根，则 αβ 的值是（ ）
A．2 B．1 C．-2 D．-1
【答案】D
【解答】解：∵ α,β 是一元二次方程 ，
∴αβ=−1 .
故答案为：D.
2．若一元二次方程x2− 5x+k =0的一根为2，则另一个根为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解答】解：设方程的另一根为t，
根据题意得2＋t＝5，
解得t＝3.
故答案为：A.
3．已知 x ,x 是一元二次方程 x2+2ax+b=0 的两个根，x +x =3,x ⋅x =1 ，则
1 2 1 2 1 2
a，b的值分别是（ ）
A．a=−3,b=1 B．a=3,b=1
3 3
C．a=− ,b=−1 D．a=− ,b=1
2 2
【答案】D
【解答】解： ∵ x2+2ax+b=0 ，
∴x +x =−2a=3，x ⋅x =b=1 ，
1 2 1 2
3
解得a=- ，b=1.
2
故答案为：D.
m+n
4．若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则 的值为
mm
．
【答案】-2
【解答】解：根据题意得m+n=4，mn=-2，
4
所以原式= =-2．
−2故答案为：-2
5．已知m，n为一元二次方程 x2−4x−3=0 的两个实数根，则 (m−2)(n−2) 的值
为（ ）
A．-7 B．7 C．-2 D．2
【答案】A
【解答】解：∵m，n是一元二次方程 x2−4x−3=0 的两个实数根，
∴m＋n＝4，mn＝-3，
∴(m−2)(n−2)=−3−2×4+4=−7 ，
故答案为：A．
6．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x，x，则x2+x 2
1 2 1 2
的值是（ ）
A．﹣7 B．7 C．2 D．﹣2
【答案】B
【解答】解：根据根与系数的关系得x+x ＝3，xx＝1，
1 2 1 2
所以x2+x 2＝（x+x ）2﹣2xx＝32﹣2×1＝7．
1 2 1 2 1 2
故答案为：B．
1 1
7．已知x ,x 是方程x2−x−1=0的根，则 + 的值是（ ）
1 2 x x
1 2
A．1 B．-1 C．±1 D．0
【答案】B
【解答】解：∵x 与x 是方程x2−x−1=0的根，
1 2
∴x +x =1,x ⋅x =−1 ，
1 2 1 2
1 1 x +x
∴ + = 1 2=−1.
x x x x
1 2 1 2
故答案为：B.
8．已知 x ,x 是关于x的一元二次方程 x2−(2m+3)x+m2=0 的两个不相等的实数
1 2
1 1
根，且满足
+ =1
，则m的值为（ ）
x x
1 2
A．−3 或1 B．−1 或3 C．−1 D．3
【答案】D【解答】解：根据题意得： x +x =2m+3,x ⋅x =m2 ，且 Δ>0 ，
1 2 1 2
∴(2m+3) 2−4m2>0 ，
3
解得： m>− ，
4
1 1
∵
+ =1
，
x x
1 2
x +x 2m+3
∴
1 2=1
，即
=1
，
x x m2
1 2
解得： m=3 或 m=−1 ，
∴m的值为3.
故答案为：D.
9．设a，b是方程x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为 .
【答案】2020
【解答】解：∵a，b是方程x2＋x−2021＝0的两个实数根，
b
∴a2＋a−2021＝0，即a2＋a＝2021，a＋b＝− ＝−1，
a
∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋a＋b＝2021−1＝2020.
故答案为：2020.
10．设α、β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，则α2+2α+β的值为（ ）
A．-2014 B．2014 C．2013 D．-2013
【答案】D
【解答】解：∵a是方程的根
∴a2+a+2012=0
∴a2=-a-2012
∴a2+2a+β=-a-2012+2a+β=a+β-2012
∵a和β是方程的两个实数根
∴a+β=-1
∴a+β-2012=-1-2012=-2013
故答案为：D.11．已知关于x的一元二次方程 x2+(2m−3)x+m2=0 有两个实数根 x ， x .
1 2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若 x +x =6−x x ，求m的值.
1 2 1 2
3
【答案】（1） m≤ （2）m=−1
4
【解答】（1）解：因为一元二次方程有两个实数根，
所以 Δ=b2−4ac=(2m−3) 2−4m2≥0
∴4m2−12m+9−4m2≥0
∴−12m≥−9
3
∴m≤
4
3
即实数m的取值范围为 m≤ ；
4
b c
（2）解： ∵x +x =− =3−2m,x ⋅x = =m2 ， x +x =6−x x
1 2 a 1 2 a 1 2 1 2
∴3−2m=6−m2
∴m2−2m−3=0
∴(m−3)(m+1)=0
∴m=3 （舍去）或 m=−1∴m=−1
12．已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x，x 满足x2+x 2=10，求k的值．
1 2 1 2
【答案】（1）k≤5 （2）4
【解答】（1）解：△=(−4) 2−4(k−1)
=−4k+20
由于方程有实数根，所以根的判别式△≥0，则
−4k+20≥0
解得k≤5
（2）解：由一元二次方程根与系数关系得x +x =4,x x =k−1
1 2 1 2
而x2+x2=(x +x ) 2−2x x =42−2(k−1)=10
1 2 1 2 1 2解得k=4
由于k=4≤5符合题意，所以k的值为4．
13．已知关于 x 的一元二次方程 x2+(k−1)x−k=0
（1）求证：不论 k 为何实数,方程总有实数根;
1 1
（2）若方程的两实数根分别为 x ,x ,且满足 + =2 ,求 k 的值.
1 2 x x
1 2
【答案】（1）略 （2）k=-1.
【解答】（1）证明： ∵Δ=(k−1) 2+4k=k2−2k+1+4k=(k+1) 2 ,
∵(k+1) 2 ⩾0,∴Δ≥0,
∴无论 k 取何值, 该方程总有实数根
（2）解：∵一元二次方程x2+(k-1)x-k=0的两个根为x，x，
1 2
∴x+x =-（k-1）=1-k，xx=-k，
1 2 1 2
1 1
+
∵ =2，
x x
1 2
1 1 x +x 1−k
∴ + = 1 2= =2，
x x x x −k
1 2 1 2
∴整理，解得：k=-1.
