专题2.5一元二次方程的根与系数的关系（原卷版）_北师大初中数学_9上-北师大版初中数学_06专项讲练_高频考点2022-2023学年九年级数学上册同步高频考点专题突破（北师大版）

专题2.5 一元二次方程的根与系数的关系 【学习目标】 1.掌握一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系； 2.能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下求出方程的另一根，以及方程中的未知系数； 3.会利用根与系数的关系求关于两根代数式的值。 【知识梳理】 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 韦达定理的推导可以借助求根公式解的两根，再求出两根之积，两根之和即可。 √ m 2 +n 2 +3mn 1）设 x2 +2√2x+1=0 是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则 ， 注意：对于 ax2 +bx+c=0 而言，当满足① a≠0 、② Δ≥0 时，才能用韦达定理。 m+n=−2√2 2）设 是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根 mn=1 则： 时，有 ; 时，有 (3)x >0,x <0 1 2 时，有 【高频考点精讲】 【高频考点1】利用根与系数的关系求方程的根 例1．（2021·广东汕尾市·九年级一模）已知关于 的一元二次方程 的一个根是 2，则另一个根是（ ） A． B． C．3 D． 变式1. （2021·江苏南通市·九年级二模）若2＋ 3，2－ 3是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的两 个实数根，则m＋n的值为（ ） A．－4 B．－3 C．3 D．5 【高频考点2】利用根与系数的关系求有关根的代数式的值 例2．（2022·陕西西安市·九年级模拟）若方程 的两根为 ， ，则 _____． x x 2 1 变式1. （2022·江苏南通市·九年级期中）方程x2+2x﹣8＝0的两根为x、x，则 +2xx+ 1 2 x 1 2 x 1 2 +2020＝_____．【高频考点3】利用根与系数的关系及代根法综合求值 例3．（2021·湖北武汉市·中考真题）已知 ， 是方程 的两根，则代数式 的值是（ ） A．-25 B．-24 C．35 D．36 变式1. （2021·江苏南通市·九年级二模）设，  是一元二次方程x2 3x70的两个根， 则2 52______． 【高频考点4】利用根与系数的关系求参数值 例4．（2021·湖北随州市·中考真题）已知关于 的方程 （ ）的两实 数根为 ， ，若 ，则 ______． 变式1. （2022·合肥九年级期末）已知关于x 的一元二次方程x2 -5x + m = 0．（1）若方程有实 数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为x，x，且满足3 x -2x =5，求实数m 的 1 2 1 2 值． 【高频考点5】构造一元二次方程求代数式的值 例5．（2022·浙江杭州市·八年级模拟）设a2 13a,b2 13b，且a� b，则代数式 1 1  的值为______． a2 b2 ab+b+1 变式1.（2022•郫都区校级模拟）已知a2﹣2a﹣1＝0，b2+2b﹣1＝0，且ab≠1，则 的值 b 为 ． 【高频考点6】根与系数的关系与三角形综合 例6．（2022•吉安期中）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0 （1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？ （3）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等 腰三角形时，求m的值．变式1.（2022•西湖区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．（1）求 证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）设方程的两个实数根分别为x ，x ； 1 2 ①求代数式x 2+x 2−4x x 的最大值；②若方程的一个根是6，x 和x 是一个等腰三角形的两条边， 1 2 1 2 1 2 求等腰三角形的周长． 【高频考点7】根与系数关系中的新定义问题 例7．（2022•武侯区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x ，x ，且 1 2 满足数轴上x ，x 所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于 2的等距方 1 2 程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有 ．（填序号） ①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程； ②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x+1）（mx+n）＝0一定是关于2的等距方程； ③若方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）； 3 ④当两根满足x ＝3x ，关于x的方程px2﹣x+ =0是关于2的等距方程． 1 2 4 变式1.（2022•石狮市期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个 根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其 9 中一根为t，则另一根为2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2− ac 2 9 ＝0；我们记“K＝b2− ac”，即K＝0时，方程ax2+bx+c＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息 2 来解决问题： （1）以下为倍根方程的是 ；（写出序号） ①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x+8＝0； （2）若关于的x方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值； 2 （3）若A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，且关于x的一元二次方程x2−√mx+ n＝0是 3 倍根方程，求此倍根方程． 【能力提升】一．选择题 1.（2022•九龙坡区九年级期中）如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为 ， ，那么 2+ ﹣2 的值为 （ ） α β α β αβ A．7 B．6 C．﹣2 D．0 2.（2022•抚州期末）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x ，x ，则x 2+3x +x x +1的值为（ 1 2 1 2 1 2 ） A．10 B．9 C．8 D．7 3．（2022·贵州遵义市·）若x 和x 为一元二次方程x2 2x10的两个根，则x2x +x x2 的值 1 2 1 2 1 2 为（ ） A．2 B．3 C．4 D．4 2 1 1  3．（2022·广西八步初二期末）设 是方程 的两个根，则 的值是（ x,x x2 10x20 x x 1 2 1 2 ） A．4 B．5 C．8 D．10 1 1 4．（2022·全国初三单元测试）若a≠b，且 a2 4a10,b2 4b10 则 1a2  1b2 的值 为（ ） 1 A． B．1 C．.4 D．3 4 5．（2022·长沙市初二期末）关于 x 的一元二次方程 x2 (a2 3a)x  a  0 的两个实数根 互为倒数，则 a 的值为( ) A．-3 B．0 C．1 D．-3 或 0 6．（2022·长沙麓山国际实验学校初三期末）x，x 是关于x的一元二次方程x2 －mx ＋m－2＝0 1 2 1 1  的两个实数根，是否存在实数m使 ＝0成立？则正确的结论是( ) x x 1 2 A．m＝0 时成立 B．m＝2 时成立 C．m＝0 或2时成立 D．不存在 二．填空题 7．（2022·江苏苏州市·九年级期中）已知，  是方程x2 4x50的两根，则 2 4的值是__________． 1 1 8．（2022·浙江温州市·八年级期中）已知a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，则  ＝_____． a b 9．（2022江西金溪一中初三一模）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为x，x，则代 1 2 数式2xx+3x﹣x2的值为_____． 1 2 1 110．（2022·成都市·九年级一模）关于x的一元二次方程x2 xk 0的两实根为 x ， x ，且 1 2 x 1 2  x 2 2 3k2 ，则k ________． 1 m 11．（2021·四川广元市·九年级一模）已知关于 的一元二次方程 mx2 m2x 0有 x 2 2 1 1  2m 两个不等的实数根 ， ．若 ，则 的值为______． x x x x m 1 2 1 2 12.（2022•普宁市期末）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x ，x ，则（1+x ）+x （1﹣x ） 1 2 1 2 1 ＝ ． x x 13.（2022•龙马潭区模拟）设x ，x 是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，则 2+ 1 的值为 ． 1 2 x x 1 2 √a √b 14..（2022•淇滨区校级月考）已知a、b是方程2x2+5x+1＝0的两实数根，则式子a +b 的 b a 值为 ． 15.（2022•成都模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x ， 1 x ，使得x x ﹣x 2﹣x 2＝﹣16成立，则k的值 ． 2 1 2 1 2 16.（2022•文登区期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x 和x ，且 1 2 x 2﹣2x +2x ＝x x ，则k的值是 ． 1 1 2 1 2 17.（2022•崇川区月考）实数x，y分别满足99x2+2021x＝﹣1．y2+2021y＝﹣99，且xy≠1．则 xy+10x+1 = ． y 18．（2022·武汉九年级期末）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．下列说法：①若a+c＝ 0，则方程一定有两个不相等的实数根；②若a+b+c＝0，则1一定是这个方程的实数根；③若b2 ﹣6ac＞0，则方程一定有两个不相等的实数根；④若ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为2和3，则 1 1 x  ,x  是方cx2+bx+a＝0（a≠0）的根，其中正确的是_____（填序号）． 1 2 2 3 19．（2022·成都市·九年级期中）若x ，x 是关于x的方程 x2 2k3xk2 0 的两个实数 1 2 根，且 x :x 1:4 ，则k的值是___________． 1 2 三．解答题 1 20.（2022•永州模拟）已知关于x的方程x2−2mx+ n2=0，其中m、n是等腰三角形的腰和底边 4 长．（1）说明这个方程有两个不相等的实数根．（2）若方程的两实数根的差的绝对值是8，且等 腰三角形的面积是16，求m，n的值． 21．（2021·山东枣庄·九年级一模）阅读材料：已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求pq1 的值． q 1 解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0可知p≠0， 又∵pq≠1，∴p≠ ． q 1 1 ∵1﹣q﹣q2＝0可变形为 ( )2  ﹣1＝0， q q 1 1 根据p2﹣p﹣1＝0和 ( )2  ﹣1＝0的特征， q q 1 1 pq1 ∴p、 是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，则p+ ，即 1 ． q q q 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 1 5 1 1 已知：2m2﹣5m﹣1＝0，  20，且m≠n，求：（1）mn的值；（2）  ． n2 n m2 n2 7 22．（2022·长沙市南雅中学初二期末）已知关于x的一元二次方程x2 (2m1)xm2  0 4 有两个不相等的实数根 x,x ．（1）若m为正整数，求m的值；（2）在（1）的条件下，求代 1 2 数式(x2 x )(x2 x 2)的值． 1 1 1 2 23．（2022·广西大化初三学业考试）已知关于x的一元二次方程x2 2xm0． 1 如果此方 程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； 2 如果此方程的两个实数根为x,x ，且满足 1 2 1 1 1   ，求 的值． x x 3 m 1 224．（2021·江西赣州市·九年级期末）已知关于x的一元二次方程x2 2kxk2 k10有两 x、x 个实数根．（1）试求k的取值范围；（2）若此方程的两个实数根 ，是否存在实数k，满 1 2 1 1  2 足 ，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． x x 1 2 25．（2021·鄂州市鄂城区教学研究室九年级二模）已知关于x的一元二次方程x2－2x＋4－k＝0 有两个不相等的实数根x，x．（1）求k的取值范围；（2）若x3x＋xx3＝－48，求k的值． 1 2 1 2 1 2 26．（2021·湖北鄂州·）已知关于x的一元二次方程x2 (2m1)xm2 0有两个实数根 x 和 1 x ． 2 （1）求实数m的取值范围；（2）当x2 x2 0时，求m的值． 1 2 27．（2022·全国初三课时练习）已知关于x的一元二次方程x2 2xm10的两个实数根分 x x 4x 3x 7 别为 ， ，且满足 ，求实数m的值． 1 2 1 2 28．（2022·安徽六安市·九年级期末）已知关于x的方程x2－(2k－1)x+k2=0有两个实数根x， 1 x． 2 （1）求k的取值范围；（2）若∣x+x∣= xx-1，求k的值． 1 2 1 229.（2022•崇川区校级月考）x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x 1 2 1 ﹣x |＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： 2 （1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”： ①x2﹣4x﹣5＝0；②2x2﹣2√3x+1＝0； （2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值； （3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的 数量关系式．