专题2.5一元二次方程的根与系数的关系（解析版）_北师大初中数学_9上-北师大版初中数学_06专项讲练_高频考点2022-2023学年九年级数学上册同步高频考点专题突破（北师大版）

专题2.5 一元二次方程的根与系数的关系 【学习目标】 1.掌握一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系； 2.能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下求出方程的另一根，以及方程中的未知系数； 3.会利用根与系数的关系求关于两根代数式的值。 【知识梳理】 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 韦达定理的推导可以借助求根公式解的两根，再求出两根之积，两根之和即可。 √ m 2 +n 2 +3mn 1）设 x2 +2√2x+1=0 是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则 ， 注意：对于 ax2 +bx+c=0 而言，当满足① a≠0 、② Δ≥0 时，才能用韦达定理。 m+n=−2√2 2）设 是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根 mn=1 则： 时，有 ; 时，有 (3)x >0,x <0 1 2 时，有 【高频考点精讲】 【高频考点1】利用根与系数的关系求方程的根 例1．（2021·广东汕尾市·九年级一模）已知关于 的一元二次方程 的一个根是 2，则另一个根是（ ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数关系直接求解即可． 【详解】解：关于 的一元二次方程 的一个根是2，设另一个根是 ， ， ，故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是明确一元二次方程两根之积等于常 数项除以二次项系数的商． 变式1. （2021·江苏南通市·九年级二模）若2＋ 3，2－ 3是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的两 个实数根，则m＋n的值为（ ） A．－4 B．－3 C．3 D．5【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求解m、n的值，然后问题可求解．      【详解】解：由题意得：m 2 32 3 4,n 2 3 2 3 1， ∴mn413；故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是 解题的关键． 【高频考点2】利用根与系数的关系求有关根的代数式的值 例2．（2022·陕西西安市·九年级模拟）若方程 的两根为 ， ，则 _____． 【答案】7 【分析】先根据根与系数的关系得出x+x=-5，xx=-6，再根据 1 2 1 2 即可求解． 【详解】解：∵x、x 是方程 的两个实数根，∴x+x=-5，xx=-6， 1 2 1 2 1 2 ∴ ；故答案为：7 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及二次根式的性质，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为： x x 2 1 变式1. （2022·江苏南通市·九年级期中）方程x2+2x﹣8＝0的两根为x、x，则 +2xx+ 1 2 x 1 2 x 1 2 +2020＝_____． 【答案】2001.5 x x 2 1 【分析】利用根与系数的关系可得出x+x＝﹣2，xx＝﹣8，将其代入 +2xx+ +2020＝ 1 2 1 2 x 1 2 x 1 2 (x x )2 2x x 1 2 1 2 +2xx+2020中即可求出结论． x x 1 2 1 2 【详解】解：∵方程x2+2x﹣8＝0的两根为x、x，∴x+x＝﹣2，xx＝﹣8， 1 2 1 2 1 2 x x x 2 x2 x2 x 2 (x x )2 2x x 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 ∴ +2xx+ +2020＝ +2xx+ +2020＝ +2xx+2020，＝ x 1 2 x x x 1 2 x x x x 1 2 x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 +2xx+2020 1 2 (2)2 2(8) ＝ +2×（﹣8）+2020＝﹣2.5﹣16+2020＝2001.5，故答案为：2001.5； 8【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，分式的加减混合运算，解 题的关键是正确得到x+x＝﹣2，xx＝﹣8，从而进行解题． 1 2 1 2 【高频考点3】利用根与系数的关系及代根法综合求值 例3．（2021·湖北武汉市·中考真题）已知 ， 是方程 的两根，则代数式 的值是（ ） A．-25 B．-24 C．35 D．36 【答案】D 【分析】先根据已知可得 ， ，a+b=3，然后再对 变形，最后代入求解即可． 【详解】解：∵已知 ， 是方程 的两根 ∴ ， ， a+b=3 ∴ =0+5+30+1=36．故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系以及整式的变形，根据需要对整式 灵活变形成为解答本题的关键． 变式1. （2021·江苏南通市·九年级二模）设，  是一元二次方程x2 3x70的两个根， 则2 52______． 【答案】1 【分析】根据根的定义和根与系数的关系进行计算求解． 【详解】解:∵,是一元二次方程x2 3x70的两个根，∴2 370， +3 ， 2 52=2+3+2 ∴原式＝ ＝7－6＝1． 【点睛】本题考查根的定义、根与系数的关系，熟练将要求的代数式进行灵活变形是关键． 【高频考点4】利用根与系数的关系求参数值 例4．（2021·湖北随州市·中考真题）已知关于 的方程 （ ）的两实 数根为 ， ，若 ，则 ______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求出 以及 ，然后根据条件变形代入求解 即可． 【详解】由题意， ， ，∵ ，∴ ，即： ，解得： ，故答案为： ． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记基本公式，并灵活进行变形是解题关键． 变式1. （2022·合肥九年级期末）已知关于x 的一元二次方程x2 -5x + m = 0．（1）若方程有实 数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为x，x，且满足3 x -2x =5，求实数m 的 1 2 1 2 值． 【答案】（1） ；（2）6 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式计算即可； （2）根据根与系数的关系求出 ， ，即可求出m的值． 【详解】（1）∵一元二次方程有实数根，∴ ，∴ ，解得 ； （2）∵方程两实数根为x，x，∴ ，∴ ， 1 2 ∵3 x -2x =5，∴ ，解得 ，∴ ，∵ ，∴m=6． 1 2 【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟记根的判别式的 三种情况及根与系数的两个关系式是解题的关键． 【高频考点5】构造一元二次方程求代数式的值 例5．（2022·浙江杭州市·八年级模拟）设a2 13a,b2 13b，且a� b，则代数式 1 1  的值为______． a2 b2 【答案】7 【分析】由a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，可以设a、b为方程设x2﹣3x+1＝0的两个根，则a+b 1 1 ＝3，ab＝1，由此整理  整体代入即可． a2 b2 【详解】解：∵a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，∴设a、b为方程x2﹣3x+1＝0的两个根， 1 1 a2 b2 (ab)2 2ab 32 21 ∴a+b＝3，ab＝1，∴  ＝ ＝ ＝ ＝7．故答案为：7． a2 b2 a2b2 (ab)2 12 【点睛】此题考查根与系数的关系，正确理解题意，把a、b看作方程x2﹣3x+1＝0的两个根是解 决问题的关键． 变式1.（2022•郫都区校级模拟）已知a2﹣2a﹣1＝0，b2+2b﹣1＝0，且ab≠1，则 的值 为 ．【分析】先变形b2+2b﹣1＝0得到（ ）2﹣2• 1＝0，则a和 可看作方程x2﹣2x﹣1＝0的两根， 然后根据根与系数的关系求解． 【解答】解：∵b2+2b﹣1＝0，∴b≠0，方程两边同时除以b2，再乘﹣1变形为（ ）2﹣2• 1＝ 0， ∵ab≠1，∴a和 可看作方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，∴a 2， ∴ a+1 2+1＝3．故答案为：3． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为 x ，x ，则x +x ，x •x ． 1 2 1 2 1 2 【高频考点6】根与系数的关系与三角形综合 例6．（2022•吉安期中）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0 （1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？ （3）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等 腰三角形时，求m的值． 【分析】（1）先计算出△＝1，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先求出方程的解，根据此方程的两个根都是正整数列出关于m的不等式，解不等式即可求解； （3）根据等腰三角形的性质和三角形三边关系得到关于m的方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）∵△＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）＝4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0，[（m﹣1）x﹣（m+1）]（x﹣1）＝0，x ，x ＝1， 1 2 ∵此方程的两个根都是正整数，∴ 0， 当m+1＞0，m﹣1＞0时，解得m＞1， 当m+1＜0，m﹣1＜0时，解得m＜﹣1，∴m＝2或m＝3； （3）∵一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0的解为x ，x ＝1， 1 2 ∵△ABC是等腰三角形，第三边BC的长为5， ∴ 5，解得m＝1.5，经检验，m＝1.5是原方程的解．故m的值是1.5．【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方 程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也 考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质． 变式1.（2022•西湖区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．（1）求 证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）设方程的两个实数根分别为x ，x ； 1 2 ①求代数式 4x x 的最大值；②若方程的一个根是6，x 和x 是一个等腰三角形的两条边， 1 2 1 2 求等腰三角形的周长． 【分析】（1）通过判别式△求解．（2）①通过两根之积与两根之和的关系将 4x x 配 1 2 方求解．②把x＝6代入方程求出m，再将m代入原方程求出另外一个解，再根据三角形两边之和 大于第三边确定x的值． 【解答】解：（1）△＝（2m+4）2﹣4（m2+4m）＝16，16＞0，∴此方程总有两个不相等的实数根． （2）① 4x x ＝（x +x ）2﹣6x x ，∵x +x 2m+4，x x ＝m2+4m， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ∴（x +x ）2﹣6x x ＝（2m+4）2﹣6（m2+4m）＝﹣2m2﹣8m+16＝﹣2（m+2）2+24， 1 2 1 2 ∴当m＝﹣2时 4x x 的最大值为24． 1 2 ②把x＝6代入原方程可得m2﹣8m+12＝0，解得m＝2或m＝6， 当m＝2时，原方程化简为x2﹣8x+12＝0，解得x＝2或x＝6， 三角形三边长为6，6，2时三角形周长为14，三角形边长为2，2，6时不存在． 当m＝6时，原方程化简为x2﹣16x+60，解得x＝6或x＝10． 三角形三边长为6，6，10时三角形周长为22，三角形三边长为10，10，6时，三角形周长为 26． ∴等腰三角形周长为14或22或26． 【点评】本题考查一元二次方程综合应用，解题关键是熟练掌握一元二次方程的判别式与根与系 数的关系． 【高频考点7】根与系数关系中的新定义问题 例7．（2022•武侯区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x ，x ， 1 2 且满足数轴上x ，x 所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距 1 2 方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有 ．（填序号） ①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程； ②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x+1）（mx+n）＝0一定是关于2的等距方程； ③若方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）； ④当两根满足x ＝3x ，关于x的方程px2﹣x 0是关于2的等距方程． 1 2 【分析】①解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；②解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断； ③根据方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，且b＝﹣4a（a≠0）得到x ＝x 或x +x ＝4，当x 1 2 1 2 1 ＝x 时，x ＝x ，不能判断a与b之间的关系，当x +x ＝4时，即 4，得到b＝﹣4a， 2 1 2 1 2 据此即可判断； ④根据韦达定理和x ＝3x ，得出3x 2 （3x +x ）＝3x ，解得x ＝1或x ＝0（舍去），然后利 1 2 2 2 2 2 2 2 用关于2的等距方程的定义进行判断． 【解答】解：①∵x2﹣4x＝0，∴x（x﹣4）＝0，∴x ＝0，x ＝4，则|x ﹣2＝|x ﹣2|，①正确； 1 2 2 2 ②当m≠0，n≠0时，（x+1）（mx+n）＝0，则x ＝﹣1，x ， 1 2 ∵5m＝﹣n，∴x ＝5，∴|x ﹣2|＝|x ﹣2|，满足2的等距方程； 2 1 2 当m＝n＝0时，原方程x+1＝0不是一元二次方程，故②错误； ③对于方程ax2+b+c＝0（a≠0），由韦达定理得：x +x ， 1 2 ∵方程是2的等距方程，∴|x ﹣2|＝|x ﹣2|， 1 2 则x ﹣2＝x ﹣2或x ﹣2＝2﹣x ，∴x ＝x 或x +x ＝4， 1 2 1 2 1 2 1 2 当x ＝x 时，x ＝x ，不能判断a与b之间的关系， 1 2 1 2 当x +x ＝4时，即 4，∴b＝﹣4a， 1 2 故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2的等距方程时，b不一定等于﹣4a，故③错误； ④对于方程px2﹣x 0有两根满足x ＝3x ， 1 2 由韦达定理得：x x ，x +x ，∴x x （x +x ）， 1 2 1 2 1 2 1 2 ∴3x 2 （3x +x ）＝3x ，∴x ＝1或x ＝0（舍去），∴x ＝3x ＝3，∴|x ﹣2|＝|x ﹣2|， 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 即px2﹣x 0是关于2的等距方程，故④正确，故正确的有①④，故答案为①④． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“关于 2的等距方程”的 定义是解题的关键． 变式1.（2022•石狮市期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个 根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2 ac ＝0；我们记“K＝b2 ac”，即K＝0时，方程ax2+bx+c＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息 来解决问题： （1）以下为倍根方程的是 ；（写出序号） ①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x+8＝0； （2）若关于的x方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值； （3）若A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，且关于x的一元二次方程x2 n＝0是 倍根方程，求此倍根方程． 【分析】(1)据倍根方程定义判断即可；(2)根据（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，且x ＝2，x 1 2 得到m＝﹣n或m n，从而得到m+n＝0，4m+n＝0，进而得到4m2+5mn+n2＝0； (3)设其中一根为t，则另一个根为2t，据此知ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，从 而得倍根方程满足b2 ac＝0，据此求解可得． 【解答】解：(1)①x2﹣x﹣2＝0，（x+1）（x﹣2）＝0，x ＝﹣1，x ＝2， 1 2 ∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程； ②x2﹣6x+8＝0，（x﹣2)(x﹣4)＝0,x ＝2，x ＝4， 1 2 ∴方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程；故答案为②； （2）mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0，因式分解得：（x﹣2）（mx+n）＝0，解得：x ＝2，x ， 1 2 ∵方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程， ∴2 或4 ，即m＝﹣n或m n，∴m+n＝0或4m+n＝0； ∵4m2+5mn+n2＝（4m+n）（m+n）＝0； （3）设其中一根为t，则另一个根为2t， 则ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，∴b2 ac＝0， ∵x2 n＝0是倍根方程，∴（ ）2 2 n＝0，整理，得：m＝3n， ∵A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，∴n＝3m﹣8，∴n＝1，m＝3， ∴此倍根方程为x2 x 0．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐 标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键． 【能力提升】 一．选择题 1.（2022•九龙坡区九年级期中）如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为 ， ，那么 2+ ﹣2 的值为 （ ） α β α β αβ A．7 B．6 C．﹣2 D．0 【分析】根据方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为 ， ，得到 + ＝1， ＝﹣2， 2＝ +2，将 2+ ﹣ 2 变形为 + +2﹣2 后代入即可求值． α β α β αβ α α α β 【解答】解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为 ， ， αβ α β αβ ∴ + ＝1， ＝﹣2， 2＝ +2， α β ∴ α 2+β ﹣2 α ＝ β +2+ ﹣ α2 α ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7， 故选：A． α β αβ α β αβ 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经 常使用的解题方法． 2.（2022•抚州期末）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x ，x ，则x 2+3x +x x +1的值为（ 1 2 1 2 1 2 ） A．10 B．9 C．8 D．7 【分析】根据根与系数的关系找出 x +x ＝3、x •x ＝1，将 x 2+3x +x x +1 变形为 3 1 2 1 2 1 2 1 2 （x +x ）+x x ，代入数据即可得出结论． 1 2 1 2 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x ，x ， 1 2 ∴x 2﹣3x +1＝0，x +x ＝3，x •x ＝1， 1 1 1 2 1 2 ∴x 2＝3x ﹣1， 1 1 则x 2+3x +x x +1＝3x ﹣1+3x +x x +1＝3（x +x ）+x x ＝3×3+1＝10， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出 x +x ＝3、x •x ＝1是解题的关 1 2 1 2 键． 3．（2022·贵州遵义市·）若x 和x 为一元二次方程x2 2x10的两个根，则x2x +x x2 的值 1 2 1 2 1 2 为（ ） A．2 B．3 C．4 D．4 2 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x x 2,x x 1，化简代入求值即可． 1 2 1 2 【详解】 x 和x 为一元二次方程x2 2x10的两个根 x x 2,x x 1  1 2 1 2 1 2 Qx2x +x x2=x x (x +x )=-1�(=2) 2．故选A． 1 2 1 2 1 2 1 2【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解，代数式求值，利用一元二次方程 根与系数的关系求出x x ,x x 是解题的关键． 1 2 1 2 1 1  3．（2022·广西八步初二期末）设 是方程 的两个根，则 的值是（ x,x x2 10x20 x x 1 2 1 2 ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 1 1 x x  1 2 【分析】可以把 变形为 的形式，然后由一元二次方程根与系数的关系可以得解． x x x x 1 2 1 2 1 1 x x 10  1 2  【解析】由已知得： ， =－2∴ = = 5．故选B． x x 10 x x x x x x 2 1 2 1 2 1 2 1 2 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，把所求问题转化为含有两根积或两根和的代数 式是解题关键． 1 1 4．（2022·全国初三单元测试）若a≠b，且 a2 4a10,b2 4b10 则 1a2  1b2 的值 为（ ） 1 A． B．1 C．.4 D．3 4 【答案】B 【解析】解：由a2 4a10,b2 4b10得：a2 14a,b2 14b 1 1 1 1 ab ∴     1a2 1b2 4a 4b 4ab 又由a2 4a10,b2 4b10可以将a，b看做是方程 x2 4x10的两个根 ab 4 ∴a+b=4，ab=1∴  =1故答案为B. 4ab 41 【点睛】本题看似考查代数式求值，但解题的关键是构造一元二次方程并运用根于系数的关系求 解。 5．（2022·长沙市初二期末）关于 x 的一元二次方程 x2 (a2 3a)x  a  0 的两个实数根 互为倒数，则 a 的值为( ) A．-3 B．0 C．1 D．-3 或 0 【答案】C 【分析】根据方程两个实数根互为倒数，得到两根之积为1，利用根与系数的关系求出a的值即 可． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2＋（a2−3a）x＋a＝0的两个实数根互为倒数，∴x•x＝a＝1，则a的值为1．故选：C． 1 2 【点睛】本题考查了根与系数的关系定理，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意： 已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c为常数，a≠0，b2−4ac≥0）的两根是x，x，那么x＋ 1 2 1 b c x＝− ，x•x＝ ． 2 a 1 2 a 6．（2022·长沙麓山国际实验学校初三期末）x，x 是关于x的一元二次方程x2 －mx ＋m－2＝0 1 2 1 1  的两个实数根，是否存在实数m使 ＝0成立？则正确的结论是( ) x x 1 2 A．m＝0 时成立 B．m＝2 时成立 C．m＝0 或2时成立 D．不存在 【答案】A 【解析】∵x，x 是关于x的一元二次方程x2－bx＋b－2＝0的两个实数根∴Δ=（b-2）2+4>0 1 2 1 1 x x b 1 1 b x+x=b，x×x=b-2 ∴   1 2  使 ＋ ＝0，则 =0 1 2 1 2 x x x·x b2 x x b2 1 2 1 2 1 2 故满足条件的b 的值为0 故选A. 二．填空题 7．（2022·江苏苏州市·九年级期中）已知，  是方程x2 4x50的两根，则 2 4的值是__________． 【答案】0 【分析】利用根与系数的关系得4，5，由是方程x2 4x50的根，代 入得2 450，变形得，2 54，将条件代入2 4合并即可． 【详解】∵,是方程x2 4x50的两根，由根与系数的关系得4，5， 由是方程x2 4x50的根得：2 450变形得2 54， 2 4，54540．故答案为：0． 【点睛】本题考查代数式的值问题，掌握一元二次方程的解的性质，根与系数的关系，会利用根 与系数的等式变形，利用方程解的等式变形来求值是解题关键． 1 1 8．（2022·浙江温州市·八年级期中）已知a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，则  ＝_____． a b 【答案】3 【分析】根据一元二次方程根的定义得到a、b是一元二次方程的两根，得到a和b的和与积，再 把两根和与两根积求出，代入所求的式子中即可求出结果． 【详解】解：∵a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b∴a，b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根， 1 1 ab ∴由韦达定理得：a+b＝3，ab＝1，∴   3．故答案为：3． a b ab【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的定义、分式的通分，对一元二 次方程根的定义的理解是解题的关键． 9．（2022江西金溪一中初三一模）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为x，x，则代 1 2 数式2xx+3x﹣x2的值为_____． 1 2 1 1 【答案】3． 【分析】根据一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系可得x2 ﹣3x＝﹣1，xx＝1，将其代 1 1 1 2 入2xx+3x﹣x2中可求出结论． 1 2 1 1 【解析】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为x，x，∴x2 ﹣3x＝﹣1，xx＝1， 1 2 1 1 1 2 ∴2xx+3x﹣x2＝2×1+1＝3．故答案为3． 1 2 1 1 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确计算是解题的关系． 10．（2022·成都市·九年级一模）关于x的一元二次方程x2 xk 0的两实根为 x ， x ，且 1 2 x 1 2  x 2 2 3k2 ，则k ________． 【答案】1． 【分析】根据根与系数的关系得出x 1 +x 2 1，x 1 x 2 k ，根据x 1 2  x 2 2 3k2 得出122k 3k2， 求出k，再判断即可． 【详解】解：由根与系数的关系得：x +x 1，x x k ， 1 2 1 2  方程两实根满足x 1 2  x 2 2 3k2 ，x 1 2x 2 2 (x 1 x 2 )22x 1 x 2 3k2，122k 3k2，解得： 1 k  或 ， 3 1 1 1 当k  时，方程为x2 x  0，△1241 1  1 0，此方程无解， 3 3 3 3 当k 1时，方程为x2 x10，此方程有解，故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式等知识点，能根据根与系数的关 系得出x +x 1和x x k 是解此题的关键． 1 2 1 2 1 m 11．（2021·四川广元市·九年级一模）已知关于 的一元二次方程 mx2 m2x 0有 x 2 2 1 1  2m 两个不等的实数根 ， ．若 ，则 的值为______． x x x x m 1 2 1 2 【答案】2 【分析】根据根的判别式先求出“△”的值，再根据根与系数的关系得出x+x=2（m+2）， 1 2 m x•x= ，变形后代入，即可求出答案． 1 2 m m 【详解】解：∵ b2 4acm22 4  0，且 ，∴ ，且 ， 2 2 m0 m1 m01 m 2m2 ∵ 是方程 mx2 m2x 0有两个实数根，∴x x  ， ， x、x 2 2 1 2 m x x 1 1 2 1 2 1 1 x x 2m2 ∵  2m ，∴ 1 2 2m ，即 2m， x x x x m 1 2 1 2 整理得：m2 m20，解得：m 2，m 1． 1 2 ∵m1，且m0，∴m2．故答案为：2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识点，能 熟记知识点的内容是解此题的关键． 12.（2022•普宁市期末）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x ，x ，则（1+x ）+x （1﹣x ） 1 2 1 2 1 ＝ ． 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：x +x ＝1，x x ＝﹣2， 1 2 1 2 ∴原式＝1+x +x ﹣x x ＝1+1﹣（﹣2）＝4， 1 2 1 2 故答案为：4 【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 13.（2022•龙马潭区模拟）设x ，x 是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，则 的值为 ． 1 2 【分析】欲求 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即 可． 【解答】解：∵x ，x 是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根， 1 2 ∴x +x ＝﹣3，x •x ＝﹣3， 1 2 1 2 ∴ 5． 故答案为﹣5． 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经 常使用的解题方法． 14.（2022•淇滨区校级月考）已知a、b是方程2x2+5x+1＝0的两实数根，则式子 的值 为 ． 【分析】利用根与系数的关系可得出 a+b ，a•b ，进而可得出a＜0，b＜0，再将a+b ，a•b 代入 中即可求出结论． 【解答】解：∵a、b是方程2x2+5x+1＝0的两实数根，∴a+b ，a•b ， ∴a＜0，b＜0， ∴ ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及实数的运算，牢记“两根之和等于 ，两根之积等于 ”是解题的关键． 15.（2022•成都模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x ， 1 x ，使得x x ﹣x 2﹣x 2＝﹣16成立，则k的值 ． 2 1 2 1 2 【分析】根据判别式的意义得到△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，然后解不等式求得k的取值范 围，然后根据根与系数的关系得到x +x ＝2k+1，x x ＝k2+2k，再把x x ﹣x 2﹣x 2＝﹣16变形为﹣ 1 2 1 2 1 2 1 2 （x +x ）2+3x •x ＝﹣16，所以﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，然后解方程后即可确定满足条件 1 2 1 2 的k的值． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根， ∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，解得k ， 由根与系数的关系得x +x ＝2k+1，x x ＝k2+2k， 1 2 1 2 ∵x x ﹣x 2﹣x 2＝﹣16．∴x x ﹣[（x +x ）2﹣2x x ]＝﹣16， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 即﹣（x +x ）2+3x •x ＝﹣16， 1 2 1 2 ∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，整理得k2﹣2k﹣15＝0， 解得k ＝5（舍去），k ＝﹣3．∴k＝﹣3，故答案为﹣3． 1 2 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时， 1 2 x +x ，x x ．也考查了根的判别式． 1 2 1 2 16.（2022•文登区期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x 和x ，且 1 2 x 2﹣2x +2x ＝x x ，则k的值是 ． 1 1 2 1 2 【分析】先由x 2﹣2x +2x ＝x x ，得出x ﹣2＝0或x ﹣x ＝0，再分两种情况进行讨论：①如果 1 1 2 1 2 1 1 2 x ﹣2＝0，将x＝2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0，得4+2（2k+1）+k2﹣2＝0，解方程求出k＝﹣ 1 2；②如果x ﹣x ＝0，那么△＝0，解方程即可求解． 1 2 【解答】解：∵x 2﹣2x +2x ＝x x ， 1 1 2 1 2x 2﹣2x +2x ﹣x x ＝0， 1 1 2 1 2 x （x ﹣2）﹣x （x ﹣2）＝0， 1 1 2 1 （x ﹣2）（x ﹣x ）＝0， 1 1 2 ∴x ﹣2＝0或x ﹣x ＝0． 1 1 2 ①如果x ﹣2＝0，那么x ＝2， 1 1 将x＝2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0， 得4+2（2k+1）+k2﹣2＝0， 整理，得k2+4k+4＝0， 解得k＝﹣2； ②如果x ﹣x ＝0， 1 2 则△＝（2k+1）2﹣4（k2﹣2）＝0． 解得：k ． 所以k的值为﹣2或 ． 故答案为：﹣2或 ． 【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系 时，需用判别式进行检验． 17.（2022•崇川区月考）实数x，y分别满足99x2+2021x＝﹣1．y2+2021y＝﹣99，且xy≠1．则 ． 【分析】把y2+2021y＝﹣99变形为99（ ）2+2021• 1＝0，加上99x2+2021x+1＝0，则实数x、 可看作方程99t2+2021t+1＝0，利用根与系数的关系得到x ，x• ，再把原式变 形为x+10• ，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵y2+2021y＝﹣99， ∴99（ ）2+2021• 1＝0， ∵99x2+2021x＝﹣1， 即99x2+2021x+1＝0，∴实数x、 可看作方程99t2+2021t+1＝0的两实数解， ∴x ，x• ， ∴原式＝x+10• 10 ． 故答案为 ． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时， 1 2 x +x ，x x ． 1 2 1 2 18．（2022·武汉九年级期末）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．下列说法：①若a+c＝ 0，则方程一定有两个不相等的实数根；②若a+b+c＝0，则1一定是这个方程的实数根；③若b2 ﹣6ac＞0，则方程一定有两个不相等的实数根；④若ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为2和3，则 1 1 x  ,x  是方cx2+bx+a＝0（a≠0）的根，其中正确的是_____（填序号）． 1 2 2 3 【答案】①②④ 【分析】根据一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、解的意义求解． 【详解】解：①因为a+c＝0，a≠0，所以a、c异号，所以△＝b2﹣4ac＞0，所以方程有两个不等 的实数根故①正确；②∵x=1时，ax2+bx+c＝a+b+c，∴a+b+c＝0时，一定有一个根是1，故②正 确； ③根据b2﹣6ac＞0，不能得到b2﹣4ac＞0，从而不能证得方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的 实数根，故③错误；④∵2和3是ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，∴ b c  235, 236， a a b 5 a 1 1 1 5 b 1 1 1 a ∴  ,  ，而    ,    ， c 6 c 6 2 3 6 c 2 3 6 c 1 1 ∴x  ，x  是方和cx2+bx+a＝0（a≠0）的根，故④正确， 1 2 2 3 ∴正确的结论是①②④，故答案为：①②④， 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根判别式的计算与应用、根与系 数的关系、解的意义是解题关键．19．（2022·成都市·九年级期中）若x ，x 是关于x的方程 x2 2k3xk2 0 的两个实数 1 2 根，且 x :x 1:4 ，则k的值是___________． 1 2 2 【答案】k  或 3 k 6 【分析】设方程的两根分别为x，x，根据根与系数的关系得到x x 2k3，x x k2 ，根 1 2 1 2 1 2 2 据题意有 ，可得 ，解得k  或 ，而△≥0，即（2k﹣3） x :x 1:4 3k2 16k120 3 k 6 1 2 3 2﹣4k2≥0，解得k  ；最后得到满足条件的k值； 4 【详解】解：根据题意x x 2k3，x x k2 ， 1 2 1 2 ∵ x :x 1:4 ，∴ x 4x ，∴    5 4 x x 1 2   2 k k 2 3 ，∴4    2k 5 3   2  k2， 1 2 2 1 1 2 整理得 ，解得k  或 ． 3k2 16k120 3 k 6 3 ∵方程有两个实数根∴△≥0，即（2k﹣3）2﹣4k2≥0，解得k  ， 4 2 2 ∴k  或 ．故答案为：k  或 ． 3 k 6 3 k 6 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根与系数的关系：若方程的两根分别为 b c x，x，则x+x  ，x•x  ． 1 2 1 2 a 1 2 a 三．解答题 20.（2022•永州模拟）已知关于x的方程 ，其中m、n是等腰三角形的腰和底 边长．（1）说明这个方程有两个不相等的实数根．（2）若方程的两实数根的差的绝对值是8， 且等腰三角形的面积是16，求m，n的值． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝4m2﹣n2＞0，进而可证出方程有两 个不相等的实数根； （2）由根与系数的关系求出 4，根据三角形的面积可求出m，n的值，则可求出答 案． 【解答】解：（1）∵m、n是等腰三角形的腰和底边长，∴2m＞n， 又∵△＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×1 ，∴4m2＞n2，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根． （2）由题意得|x ﹣x |＝8，∴（x ﹣x ）2＝64，∴（x +x ）2﹣4x x ＝64， 1 2 1 2 1 2 1 2 由韦达定理得：x +x ＝2m，x x ，∴（2m）2﹣4 64，即 4， 1 2 1 2 ∵等腰三角形的面积是16，如图，过点A作AD⊥BC于点D，∴BD＝CD ． ∴AD ， ∴ 16，∴n＝8，代入 4， 解得m＝4 ，∴m＝4 ，n＝8． 【点评】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质以及根与系数的关系，解题的关键是： （1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系，得出m，n 的关系式． 21．（2021·山东枣庄·九年级一模）阅读材料：已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求 pq1 的值． q 1 解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0可知p≠0， 又∵pq≠1，∴p≠ ． q 1 1 ∵1﹣q﹣q2＝0可变形为 ( )2  ﹣1＝0， q q 1 1 根据p2﹣p﹣1＝0和 ( )2  ﹣1＝0的特征， q q 1 1 pq1 ∴p、 是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，则p+ ，即 1 ． q q q 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 1 5 1 1 已知：2m2﹣5m﹣1＝0，  20，且m≠n，求：（1）mn的值；（2）  ． n2 n m2 n21 【答案】(1) ；29． 2 1 5 【分析】（1）由题意可知：可以将方程 化简为  20的形式，根据 2m2 5m10 m2 m 2 1 1 1 1  1 1 2 根与系数的关系直接得：  的值；（2）将  变形为     求解． m n m2 n2 m n mn 1 5 【详解】解：由 知m≠0，∴  20， 2m2 5m10 m2 m 1 5 1 1 1 1 ∵  20，m≠n，∴  ，∴ 和 是方程 的两个根， n2 n m n m n x2 5x20 1 1 1 1 1 （1）由 和 是方程 的两个根得  2，∴mn ； m n x2 5x20 m n 2 1 经检验：mn 是原方程的根，且符合题意． 2 1 1 1 1 1 1 （2）由 和 是方程 的两个根得  5，  2， m n x2 5x20 m n m n 2 1 1  1 1 2 ∴       25429． m2 n2 m n mn 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，代数式的值，乘法公式，掌握一元二次方程根与 系数关系与乘法公式恒等变形是解题关键． 7 22．（2022·长沙市南雅中学初二期末）已知关于x的一元二次方程x2 (2m1)xm2  0 4 有两个不相等的实数根 x,x ．（1）若m为正整数，求m的值；（2）在（1）的条件下，求代 1 2 数式(x2 x )(x2 x 2)的值． 1 1 1 2 15 【答案】（1）m=1；（2） ． 8 【分析】（1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于m的不等式，则可求得m 取值范围； 3 （2）首先利用根与系数的关系得出x+x= -1，x x= ，再把要求的式子变形，代入求解即可． 1 2 1· 2 4 7 【解析】（1）∵关于x的方程x2 (2m1)xm2  0有两个不相等的实数根， 4 7 ∴△＞0，即(2m1)2 4(m2  )0，解得m<2，∵m为正整数，∴m=1； 43 （2）由m=1，得x2 x 0，∵ 是一元二次方程的两个实数根， 4 x,x 1 2 3 3 15 ∴x 1 +x 2 = -1，x 1· x 2 = 4 ，∴ (x2 x )(x2 x 2) = 4   (x 1 x 2 )2 2x 1 x 2    8 ． 1 1 1 2 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，掌握根的判别式、根与系数的关系是解题的 关键． 1 23．（2022·广西大化初三学业考试）已知关于x的一元二次方程x2 2xm0． 如果此方 程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； 2 如果此方程的两个实数根为x,x ，且满足 1 2 1 1 1   ，求 的值． x x 3 m 1 2 【答案】 1m1； 2m6 m 【分析】(1)通过计算根的判别式可以求得 的取值范围；（2）题中算式结合根与系数的关系可 m 以写出关于 的方程，然后可得到解答． 【解析】（1）由题意有：（-2）2-4×1×（-m)>0,解得m>-1, m的取值范围就是m -1． 1 1 x  x 2 1∴ 1 1 2 > 1 (2)   1 2  又   ，  ． x x 2,x x m x x x x m x x 3 m 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ∵ , ∴ ∴ ,∴m=6 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根的判别式定理与两根积、 两根和的表达式是解题关键． 24．（2021·江西赣州市·九年级期末）已知关于x的一元二次方程x2 2kxk2 k10有两 x、x 个实数根．（1）试求k的取值范围；（2）若此方程的两个实数根 ，是否存在实数k，满 1 2 1 1  2 足 ，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． x x 1 2 【答案】（1）k 1；（2）存在，k 1． 【分析】（1）由根的判别式0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值 范围；（2）由根与系数的关系，得到x x 2k ，x x k2 k1，然后解关于k的一元二 1 2 1 2 次方程，即可求出答案． 【详解】解：（1）∵此方程有两个实数根，∴0 即（2k）2 41（k2 k1）4k40，∴k 1； （2）存在．根据题意，∵一元二次方程x2 2kxk2 k10， 1 1 x x 2k   1 2  2 ∴ ， ，∴ ， x x 2k x x k2 k1 x x x x k2 k 1 1 2 1 2 1 2 1 2∴k k 1符合题意，即k 1； 1 2 【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是： （1）根据根的判别式△＞0，列出关于k的一元一次不等式；（2）根据根与系数的关系求出k 值． 25．（2021·鄂州市鄂城区教学研究室九年级二模）已知关于x的一元二次方程x2－2x＋4－k＝0 有两个不相等的实数根x，x．（1）求k的取值范围；（2）若x3x＋xx3＝－48，求k的值． 1 2 1 2 1 2 【答案】（1）k＞3；（2）k=8． 【分析】（1）令根的判别式大于0求解即可； （2）变形后利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：（1）依题意可知：△＞0，即（-2）2-4（4-k）＞0，∴k＞3； （2）依题意可知：x+x=2，xx=4-k， 1 2 1 2 ∵x3x＋xx3＝－48，∴xx[（x+x）2-2xx]=－48， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 整理得：k2－6k－16=0，∴k=8，k=－2， 1 2 又∵k＞3，∴k=－2舍去只取k=8，∴k的值8． 2 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根 的判别式，以及根与系数的关系是解答本题的关键． 26．（2021·湖北鄂州·）已知关于x的一元二次方程x2 (2m1)xm2 0有两个实数根 x 和 1 x ． 2 （1）求实数m的取值范围；（2）当x2 x2 0时，求m的值． 1 2 1 1 【答案】（1）m ；（2）m . 4 4 【分析】（1）根据判别式△=b2 4ac≥0求解即可；(2)分解因式,确定两个根之间的关系,后根据 判别式计算即可. 【详解】(1)∵关于x的一元二次方程x2 (2m1)xm2 0有两个实数根 x 和 x ． 1 2 1 ∴△= (2m1)2 4m2≥0,∴m 4 ; (2) ∵x2 x2 0∴(x x )(x x )0, 1 2 1 2 1 2 x x 0 x x 0 ∴ 或 ,∴△=0或2m+1=0, 1 2 1 2 1 1 1 解得m 或m (舍去),∴m . 4 2 4 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系,根与系数的关系定理,熟记根的判别式和 根与系数关系定理是解题的关键. 27．（2022·全国初三课时练习）已知关于x的一元二次方程x2 2xm10的两个实数根分x x 4x 3x 7 别为 ， ，且满足 ，求实数m的值． 1 2 1 2 【答案】m2 【分析】根据根与系数的关系可得x x 2，x x m1，结合已知等式即可求出x 1，从 1 2 1 2 1 x 而求出 ，即可求出m的值． 2 【解析】解：根据题意得x x 2，x x m1， 1 2 1 2 因为4x 3x 7，所以x 3x  x 7所以x 1，∴x 2 x 1， 1 2 1 1 2 1 2 1 所以m111，所以m2 【点睛】此题考查的是根与系数的关系的应用,掌握根与系数的关系是解决此题的关键． 28．（2022·安徽六安市·九年级期末）已知关于x的方程x2－(2k－1)x+k2=0有两个实数根x， 1 x． 2 （1）求k的取值范围；（2）若∣x+x∣= xx-1，求k的值． 1 2 1 2 1 【答案】（1）k  ；（2）k的值为0或 4  31 【分析】（1）根据方程有两个实数根得到  2k1  2 4k2 0，求解即可； （2）根据根与系数的关系得到x x 2k1，x x k2 ，讨论：当x x 0时，当 1 2 1 2 1 2 x x 0 时，分别求解，结合（1）可得答案． 1 2 1 【详解】（1）∵方程有两个实数根，∴2k1 2 4k2 0，解得k  ；   4 （2）∵方程x2－(2k－1)x+k2=0有两个实数根x，x．∴x x 2k1，x x k2 ， 1 2 1 2 1 2 2k1 k2 1 ∵∣x+x∣= xx-1，∴ ， 1 2 1 2 当 x x 0 时，则2k1k2 1，解得k=0，k=2， 1 2 1 2 1 ∵k  ，∴k=0；当 时，则 ，解得 ， 4 x x 0 12k k2 1 k  31,k  31 1 2 1 2 1 ∵k  ，∴ ，综上，k的值为0或 ． 4 k  31  31 【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，正确求解一元 二次方程并判断k的值是易错点． 29.（2022•崇川区校级月考）x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足| 1 2 x ﹣x |＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： 1 2 （1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”： ①x2﹣4x﹣5＝0；②2x2﹣2 x+1＝0；（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值； （3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的 数量关系式． 【分析】（1）据“差根方程”定义判断即可； （2）根据x2+2ax＝0是“差根方程”，且x ＝0，x ＝﹣2a得到2a＝±1，从而得到a＝± ； 1 2 （3）设x ，x 是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，根据根与系数 1 2 的关系得到 1，整理即可得到b2＝a2+4a． 【解答】解：（1）①设x ，x 是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根， 1 2 ∴x +x ＝4，x •x ＝﹣5，∴|x ﹣x | 6， 1 2 1 2 1 2 ∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程； ②设x ，x 是一元二次方程2x2﹣2 x+1＝0的两个实数根，∴x +x ，x •x ， 1 2 1 2 1 2 ∴|x ﹣x | 1，∴方程2x2﹣2 x+1＝0是差根方程； 1 2 （2）x2+2ax＝0，因式分解得：x（x+2a）＝0，解得：x ＝0，x ＝﹣2a， 1 2 ∵关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，∴2a＝±1，即a＝± ； （3）设x ，x 是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，∴x +x 1 2 1 2 ，x •x ， 1 2 ∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”， ∴|x ﹣x |＝1，∴|x ﹣x | 1，即 1，∴b2＝a2+4a． 1 2 1 2 【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐 标特征，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键．