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专题2.5 不等式的解集与一元一次不等式（基础篇）（专项练
习）
一、单选题
类型一、不等式的解集
1．下列说法错误的是（ ）
A．不等式 的解集是
B．不等式 的整数解有无数个
C．不等式 的整数解是0
D． 是不等式 的一个解
2．已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为 ，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0
类型二、一元一次不等式的定义
3．若 是关于 的一元一次不等式，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若 是关于 的一元一次不等式，则该不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
类型三、求一元一次不等式的解集
5．若点P（m，1）在第二象限内，则点Q（1﹣m，﹣1）在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
6．不等式 的解集在数轴上表示正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
类型四、求一元一次不等式的整数解
7．满足 的负整数有（ ）个．
A．4个 B．5个 C．6个 D．无数个8．已知 的解中最大的整数解为3，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
类型五、求一元一次不等式的最值
9．已知二元一次方程组 ， ，则 的最小值是（ ）
A．1 B． C．0 D．
10．满足不等式x+3＜0的最大整数解是（ ）
A．﹣3 B．﹣4 C．3 D．4
类型六、列一元一次不等式
11．一次环保知识竞赛共有20道选择题，答对一题得5分；答错或不答，每题扣1分．要
使总得分不少于88分，则至少要答对几道题？若设答对 道题，可列出的不等式为
（ ）
A． B．
C． D．
12．语句“x的 与x的和不超过4”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
类型七、用一元一次不等式解决实际问题
13．某种商品进价为20元，标价为30元出售，商场规定可以打折销售，但其利润率不能
少于5%，这种商品最多可以按几折销售？设这种商品打x折销售，则下列符合题意的不等
式是（ ）
A．30x﹣20≥20×5% B．30x﹣20≤20×5%
C．30× ﹣20≥20×5% D．30× ﹣20≤20×5%
14．某种商品进价为700元，标价1100元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保
证利润率不低于10%，则至多可以打（ ）折．
A．9 B．8 C．7 D．6
类型八、用一元一次不等式解决几何问题
15．若三角形的两边长分别为3和5，则第三边m的值可能是（ ）A． B． C． D．
16．如图．已知点 是射线 上一动点（不与点 重合）， ，若 为钝角
三角形，则 的取值范围是（ ）
A．
B．
C． 或
D． 或
类型九、数轴上表示一元一次不等式解集
17．如图，数轴上表示的解集是（ ）
A．﹣3＜x≤2 B．﹣3≤x＜2 C．x＞﹣3 D．x≤2
18．在数轴上表示不等式组﹣1＜x≤3，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
类型一、不等式的解集
19．方程 的解有________个，不等式 的解有________个．
20．对于一个数 ，我们用 表示小于 的最大整数 ，例如： ，
，如果 ，则 的取值范围为__________．
类型二、一元一次不等式的定义21．已知不等式 是一元一次不等式，则 ____．
22．若 是关于x的一元一次不等式，则m=_______．
类型三、求一元一次不等式的解集
23．不等式 的解集是_______．
24．如果不等式 的解集是 ，那么 的取值范围是____．
类型四、求一元一次不等式的整数解
25．按照下面给定的计算程序，当 时，输出的结果是_____；使代数式 的值小
于20的最大整数x是__________．
26．不等式 的最小整数解是______．
类型五、求一元一次不等式的最值
27．对于实数x，y规定“x△y＝ax﹣by（a，b为常数）”．已知2△3＝4，5△（﹣3）＝3
（1）a+b＝___．
（2）已知m是实数，若2△（﹣m）≥0，则m的最大值是 ___．
28．不等式 的最大整数解是__________．
类型六、求绝对值不等式的解集
29．能够使不等式 成立的x的取值范围_______．
30．若关于 的不等式 有解，则 的取值范围是
__________.
类型七、列一元一次不等式
31．某商品的进价是500元，标价是700元，商店要求以不低于5%的利润率打折出售，售
货员最低可以打 ______折．
32．某树栽种时的树围（树干的周长）为 ，以后树围每年增长约 ．假设这棵数
生长 年其树围才能超过 ，则列出 满足的不等式为______类型八、用一元一次不等式解决实际问题
33．去年绵阳市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到80%，如果
明年（365天）这样的比值要超过90%，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加
_____天．
34．有人问一位教师所教班级有多少人，教师说：“一半学生在学数学，四分之一学生在
学音乐，七分之一学生在读外语，还剩下不足六位学生在操场踢足球”，则这个班有
_______名学生．
类型九、用一元一次不等式解决几何问题
35．已知：在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A(－1，0)、B(－5，0)、C(－3，4)，
点P(0，m)为y轴上一动点．若△ABC的面积大于△ABP的面积，则m的取值范围为
__________
36．一个三角形的3条边长分别为 ， ， ，它的周长不超过39cm，
则 的取值范围________．
类型十、数轴上表示一元一次不等式解集
37．如图，关于x的不等式组在数轴上所表示的的解集是：______．
38．如果关于 的不等式 的解集在数轴上表示如图，那么 的值为
_______________________．
三、解答题
39．（1）解不等式： ，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式： ，并把解集在数轴上表示出来．40．下面是小明解一元一次不等式 的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：去分母，得 ．……第一步
移项，得 ．……第二步
合并同类项，得 ．……第三步
解得 ．……第四步
（1）小明解答过程是从第__________步开始出错的，这一步正确的解答结果为__________，
此步的依据是____________________；
（2）请你写出此题正确的解答过程，并将解集表示在数轴上．
41．某商品的进价是120元，标价为180元，但销量较小．为了促销，商场决定打折销售，
为了保证利润率不低于20%，那么最多可以打几折出售此商品？
42．某体育用品商店开展促销活动，有两种优惠方案．
方案一：不购买会员卡时，乒乓球享受8.5折优惠，乒乓球拍购买5副(含5副)以上才能享
受8.5折优惠，5副以下必须按标价购买．
方案二：办理会员卡时，全部商品享受八折优惠，小健和小康的谈话内容如下：
小健：听说这家商店办一张会员卡是20元．
小康：是的，上次我办了一张会员卡后，买了4副乒乓球拍，结果费用节省了12元．（会
员卡限本人使用）
（1）求该商店销售的乒乓球拍每副的标价．（2）如果乒乓球每盒10元，小健需购买乒乓球拍6副，乒乓球a盒，小健如何选择方案
更划算？
参考答案
1．C
【分析】
解出不等式的解集，根据不等式的解的定义，就是能使不等式成立的未知数的值，就可以
作出判断．
【详解】
解：A、不等式x−3＞2的解集是x＞5，正确，不符合题意；
B、由于整数包括负整数、0、正整数，所以不等式x＜3的整数解有无数个，正确，不符合
题意；
C、不等式x＋3＜3的解集为x＜0，所以不等式x＋3＜3的整数解不能是0，错误，符合题
意；
D、由于不等式2x＜3的解集为x＜1.5，所以x＝0是不等式2x＜3的一个解，正确，不符
合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了不等式的解集，解答此题关键是掌握解不等式的方法，及整数的分类．
2．A
【分析】
先根据不等式的基本性质及此不等式的解集判断出k﹣4的符号，再求出k的取值范围即可．
【详解】
解：∵关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为 ，，
∴a﹣1＜0，
∴a＜1，
故选：A．
【点拨】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于k的不等式是解题关键．
3．D
【分析】
根据一元一次不等式的定义即可求解．【详解】
解：∵ 是关于x的一元一次不等式，
∴2m－5＝1，
∴m＝3，
故选：D．
【点拨】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练运用不等式的定义解决问题是本题的关
键．
4．C
【分析】
根据一元一次不等式的定义得出3+m=1，求出m的值，再把m的值代入原式，再解不等式
即可．
【详解】
解：∵ 是关于x的一元一次不等式，
∴3+m=1，
∴m=-2，
∴-6-5x＞4，
∴该不等式的解集是 ；
故选：C．
【点拨】此题考查了一元一次不等式的定义和解法，关键是根据一元一次不等式的定义求
出m的值．
5．A
【分析】
直接利用第二象限内点的坐标特点得出m的取值范围进而得出答案．
【详解】
∵点P（m，1）在第二象限内，
∴m＜0，
∴1﹣m＞0，
则点Q（1﹣m，﹣1）在第四象限．
故选：A．
【点拨】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限
（-，-）；第四象限（+，-）．
6．B
【分析】
先解不等式，得到不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可.
【详解】
解： ，
移项得：
解得：
所以原不等式得解集： ．
把解集在数轴上表示如下：
故选B
【点拨】本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，掌握“画图
时，小于向左拐，大于向右拐”是解本题的关键，注意实心点与空心圈的使用.
7．A
【分析】
直接在解集内找出符合条件的负整数即可．
【详解】
解：满足 的负整数有： ，共 个，
故选：A．
【点拨】本题考查了一元一次不等式的整数解：解决此类问题的关键在于正确解得不等式
的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件
进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的
解决问题．
8．B
【分析】
根据 的解中最大的整数解为3，则 是不等式的解，则 ，同时 不是不等
式的解，则 ，从而求解．【详解】
解：∵ 的解中最大的整数解为3，
∴ 是不等式的解，则 ，
又∵同时 不是不等式的解，则 ，
∴ ，
故选B．
【点拨】本题主要考查了不等式的整数解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求
解．
9．B
【分析】
先解二元一次方程组，再根据条件 列出不等式，解不等式即可求得答案．
【详解】
① ②得：
① ②得：
解得
的最小值为 ．
故选B．
【点拨】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据题意列出不
等式是解题的关键．
10．B
【解析】
【分析】
先解不等式，求出不等式的解集，再找出解集中的最大整数即可.
【详解】
解：由不等式x+3＜0，解得：x＜﹣3，则不等式的最大整数解为﹣4，故选：B．【点拨】本题考查了解不等式和不等式的解的概念，属于基础题型，正确的求解不等式是
解题的关键.
11．D
【分析】
设答对的题数为 道，则答错或不答的题数为 道，根据总分 答对题数 答错
或不答题数，结合总得分不少于88分，即可得出关于 的一元一次不等式．
【详解】
解：设答对 道题，则答错或不答的题数为 道，
根据题意可得： ．
故选：D．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式的知识，解答本题的关键是找到不
等关系．
12．A
【分析】
x的 即 x，不超过4是小于或等于4的数，由此列出式子即可．
【详解】
“x的 与x的和不超过4”用不等式表示为 x+x≤4．
故选A．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清
运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
13．C
【分析】
根据题意易得这种商品的利润为30× ﹣20，然后根据“其利润率不能少于5%”可列出不
等式．
【详解】
解：设这种商品打x折销售，由题意得：30× ﹣20≥20×5%；
故选C．
【点拨】本题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握销售中的利润问题．
14．C【分析】
设打x折，由题意：某种商品进价为700元，标价1100元，商店准备打折销售，但要保证
利润率不低于10%，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】
设打x折，
根据题意得：1100× ﹣700≥700×10%，
解得：x≥7，
∴至多可以打7折
故选：C．
【点拨】本题考查了一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的性
质，从而完成求解．
15．B
【分析】
根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式组，进
而结合选项求得第三边 的值．
【详解】
三角形的两边长分别为3和5，第三边m
故选B
【点拨】本题考查了根据三角形三边关系确定第三边的范围，掌握三角形的三边关系是解
题的关键．
16．D
【分析】
当两角的和小于90°或一个角大于90°时三角形是一个钝角三角形，由此可求解．
【详解】
解：由三角形内角和可得： ，
∵ ，
∴当 与∠O的和小于90°时，三角形为钝角三角形，则有 ；当 大于90°时，此时三角形为钝角三角形，则有 ；
故选D．
【点拨】本题主要考查三角形内角和及一元一次不等式的应用，熟练掌握三角形内角和及
一元一次不等式的应用是解题的关键．
17．A
【分析】
根据求不等式组的解集的表示方法，可得答案．
【详解】
解：由图可得，x＞﹣3且x≤2
∴在数轴上表示的解集是﹣3＜x≤2，
故选A．
【点拨】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，不等式组的解集在数轴上的表示方法
是：大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大无解．
18．C
【分析】
把不等式组的解集在数轴上表示出来即可．
【详解】
解： ，
在数轴上表示为：
故选：C．
【点拨】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟知“小于向左，大于
向右”的法则．
19．1 无数
【分析】
根据方程的解的定义，不等式的解的定义分析即可．方程的解是使方程左右两边相等的未
知数的值，不等式的解集是不等式的解的集合，不等式的解往往有多个．
【详解】
一元一次方程 的解只有一个，是 ，
一元一次不等式 的解集是 ，解有无数个，故答案为：1，无数
【点拨】本题考查了方程的解和不等式的解集，理解不等式的解和解集的定义是解题的关
键．
20．﹣3＜x≤﹣2或3＜x≤4
【分析】
根据 的定义和绝对值的意义分两种情况列出关于x的不等式，解不等式即可．
【详解】
解：当x＜0时，
∵ ，
∴x＞﹣3
∴﹣3＜x≤﹣2；
当x＞0时，
∵ ，
∴x＞3，
∴3＜x≤4，
综上所述，x的取值范围是﹣3＜x≤﹣2或3＜x≤4
【点拨】本题考查解不等式，理解 的定义和分两种情况是解题的关键．
21．
【分析】
含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫
做一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义列方程求解即可．
【详解】
解： 不等式 是一元一次不等式
解得：
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元一次不等式的定义，涉及到解绝对值方程，根据含义列出方程是解题的关键．
22．1
【分析】
根据一元一次不等式的定义可得2m−1＝1，求解即可．
【详解】
解：根据题意得2m−1＝1，
解得m＝1，
故答案为1．
【点拨】本题主要考查一元一次不等式的定义，正确把握定义是解题关键．
23． ##
【分析】
根据移项，合并同类项，系数化为1的步骤解一元一次不等式即可．
【详解】
解：移项得 ，
合并同类项得 ，
系数化为1得 ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键．
24．
【分析】
根据不等式的两边都除以 改变了不等号的方向，可得 从而可得答案.
【详解】
解： 不等式 的解集是 ，
故答案为：
【点拨】本题考查的是不等式的基本性质，利用不等式的基本性质得到简单不等式的解集是解本题的关键.
25．1 7
【分析】
当 时，代数式的值 ，根据1＜20，可确定输出的值为1，
列不等式 ，求解即可得答案．
【详解】
解：当 时， ，
∵ ，
∴当 时， 输出的值为1，
，
移项合并得 ，
系数化1得 ，
∴x =7．
最大整数
故1；7．
【点拨】本题考查流程图与代数式求值，列不等式，不等式的最大整数解，掌握代数式求
值，列不等式是解题关键．
26．3
【分析】
先求此不等式的解集，再确定最小的整数解．
【详解】
解：
，
此不等式的最小整数解为3．
故答案为：3
【点拨】本题考查了解一元一次不等式，正确解一元一次不等式是解本题的关键．
27．
【分析】
（1）根据已知条件得出关于a、b的方程组，求出方程组的解集，即可求解；
（2）根据已知新运算得出不等式，再求出答案即可．【详解】
解：（1）∵2△3=4，5△（-3）=3，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）∵ ， ，2△(-m)≥0，
∴2△(-m) ，
解得： ，
则m的最大值是 ．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式等知识点，能根据新运算得出代
数式是解此题的关键．
28．4
【分析】
求出不等式的解集，即可得出答案．
【详解】
解：不等式两边同时乘以6得： ，即 ，
解得 ，
故该不等式的最大整数解是4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解等知识点，能求出不等式的解集
是解此题的关键．
29．x＜-1【分析】
根据绝对值的性质可知：|x|-x≥0，当等于0时不符合题意，再由不等式的性质两个异号因
式相乘的值小于0可求出x的取值范围．
【详解】
解：当x≥0时，|x|-x=x-x=0，
于是（|x|-x）（1+x）=0，不满足原式，故舍去x≥0；
当x＜0时，|x|-x=-2x＞0，
x应当要使（|x|-x）（1+x）＜0，满足1+x＜0，即x＜-1，
所以x的取值范围是x＜-1．
故答案为：x＜-1．
【点拨】本题综合考查了绝对值的性质和不等式的性质，有一定难度．
30．
【分析】
根据绝对值的几何意义，可把 视为数轴上表示数x
的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和，得到当x位
于第8个点时， 取得最小值15，即可求出a的取值
范围．
【详解】
解：由绝对值的几何意义可得，
把 视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2
个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和，
∴当x位于第8个点时，即当x=-4时，
的最小值为15，
∵ ，
∴当关于 的不等式 有解时，
a的取值范围是 ．
故答案为： ．【点拨】此题考查了绝对值的几何意义和不等式性质，解题的关键是根据题意求得
的最小值．
31．7.5
【分析】
设最低可以打x折出售，根据题意可得：折后价﹣进价≥5%的利润，据此列不等式求解．
【详解】
解：设最低可以打x折出售，
由题意得，700×0.1x﹣500≥500×0.05，
解得：x≥7.5．
即最低可以打7.5折出售，
故答案为：7.5．
【点拨】本题考查一元一次不等式的应用，关键是根据数量关系列出不等式．
32．
【分析】
直接利用生长年数 大于150，进而得出答案．
【详解】
解：根据题意可得： ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是正确表示数增
长的长度．
33．37
【分析】
设明年空气质量良好的天数比去年要增加x天，根据题意表示出明年空气质量良好的天数
比去年要增加的天数进而得出不等式求出答案．
【详解】
解：设明年空气质量良好的天数比去年要增加x天，根据题意可得：
x＞365×（90%﹣80%），
解得：x＞36.5，
∵x为整数，
∴x≥37，∴明年空气质量良好的天数比去年至少要增加37天．
故答案为：37
【点拨】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确得出不等关系是解题关键．
34．28
【分析】
根据题意可以列出相应的不等式，又根据一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，
七分之一的学生在读外语，可知该班学生一定是2、4、7的倍数，从而可以解答本题．
【详解】
解：设这个班有x人，
由题意可得： ，
解得，x＜56，
又∵一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在读外语，
∴该班学生一定是2、4、7的倍数，
∴x=28，
故答案为：28．
【点拨】本题考查一元一次不等式的应用，解答此类问题的关键是列出相应的不等式，注
意要联系实际情况和题目中的要求．
35．
【分析】
画出图形，根据三角形的面积公式解答即可．
【详解】
解：如图：因为 的面积 ， 的面积
若 的面积大于 的面积，
可得： ，
所以 的取值范围为： ；
故答案为
【点拨】本题考查了三角形的面积，关键是根据坐标与图形的性质画出图形解答．
36．
【分析】
将三条边长对应的代数式加在一起，和小于等于39，同时三角形两边之和应大于第三边，
列出不等式组求解即可．
【详解】
解：由题可得
分别解两个不等式得到x≤14，x＞3
∴x的取值范围是
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题关键在于利用好三角形三边关系这
个隐含条件．
37．
【分析】
根据图像特点向左是小于，向右是大于，即可得答案．
【详解】
∵从-2出发向右画出的折线中表示-2的点是空心，
∴x＞-2，
∵从1出发向左画出的折线中表示1的点是实心，
∴x≤1，
∴不等式的解集是：−2
解得
即当 时，选择方案二
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程或
不等式是解题的关键．
