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专题2.5 二次函数y=ax2(a≠0)的图像与性质（基础篇)（专项练
习）
一、单选题
1．苹果熟了，从树上落下所经过的路线s与下落的时间t满足s= （g是不为0的常
数），则s与t的函数图像大致是（ ）
A． B． C． D．
2．函数 的图像是( )
A．双曲线 B．抛物线 C．直线 D．线段
3．在经历了一次函数的学习后，同学们掌握了利用图像来分析函数性质的方法．某位同学
打算探究函数 的性质，他先通过列表、描点、连线得到该函数的图像（如图），然
后通过观察图像得到“在 的取值范围内，无论 取何值，函数值恒大于0，”的结论．其
中所蕴含的数学思想是（ ）
A．演绎思想 B．分类讨论思想
C．公理化思想 D．数形结合思想4．如图，在平面直角坐标系中有 两点，如果抛物线 与线段
有公共点，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．函数y=ax2(a≠0)的图像经过点(a，8)，则a的值为（）
A．±2 B．－2 C．2 D．3
6．如图，正方形三个顶点的坐标依次为(3，1)、(1，1)、(1，3)．若抛物线y＝ax2的图像与
正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． ≤a≤3 B． ≤a≤1
C． ≤a≤3 D． ≤a≤1
7．下列四个二次函数：①y＝x2，②y＝﹣2x2，③ ，④y＝3x2，其中抛物线开口
从大到小的排列顺序是( )
A．③①②④ B．②③①④ C．④②①③ D．④①③②
8．抛物线y= x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图像开口最大的是（ ）A．y= x2 B．y=﹣3x2 C．y=﹣x2 D．y=2x2
9．抛物线y= x2，y=4x2，y=－2x2的图像中，开口最大的是（ ）
A．y= x2 B．y=4x2 C．y=－2x2 D．无法确定
10．拋物线①y＝3x2，②y＝ x2-2，③y＝ x2+3x-1的开口大小从大到小的顺序是（
）
A．①②③ B．②③① C．②①③ D．③②①
11．如图所示四个二次函数的图像中，分别对应的是①y=ax2；②y=ax2；③y=ax2，则
1 2 3
a，a，a 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．a a a B．a a a C．a a a D．a a a
1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 1 3
12．二次函数 ， 的图像如图所示，那么a 与a 的大小关系是（ ）
1 2
A． B． C． D．
13．如果抛物线 开
口向下，那么 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
14．若二次函数y＝（m+3）x2的图像的开口向下，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞﹣3 D．m＜﹣3
15．下列抛物线中，在开口向下的抛物线中开口最大的是（ ）
A．y=x2 B．y=﹣ x2 C．y= x2 D．y=﹣ x2
16．已知点 ， 都在函数 的图像上，则（ ）
A． B． C． D．
17．已知函数y＝﹣x2的图像上有三个点：A(﹣3，y)，B(﹣1，y)，C(2，y)，则y，y，
1 2 3 1 2
y 的大小关系为（ ）
3
A．y＞y＞y B．y＞y＞y C．y＞y＞y D．y＞y＞y
1 2 3 2 3 1 3 2 1 3 1 2
18．若点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）都在二次函数y＝mx2（m＞0）图像上，
则a、b、c的大小关系是（ ）
A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a
19．二次函数 的图像的对称轴是（ ）
A． B． C． 或 D．
20．抛物线y＝2x2， y＝－2x2， y＝ x2的共同性质是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．都有最高点 D．y随x的增大而增
大
21．抛物线y＝ax2和y＝－ax2在同一坐标系内，下面结论正确的是( )
A．顶点坐标不同 B．对称轴相同
C．开口方向一致 D．都有最低点22．已知 是关于x的二次函数，且有最大值，则k＝( )
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
23．已知二次函数 有最小值，则有（ ）
A．a < 0 B．a > 0 C．a <-2 D．a > -2
24．若对任意实数x，二次函数y=(a+1)x2的值总是非负数，则a的取值范围是（）
A．a≥－1 B．a≤－1 C．a>－1 D．a<－1
二、填空题
25．如图，正方形的边长为3，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝
2x2与y＝－2x2的图像，则图中阴影部分的面积是______________．
26．如图，⊙O的半径为2，C 是函数y＝ x2的图像，C 是函数y＝－ x2的图像，则
1 2
阴影部分的面积是________．
27．下图是一个可以绕O点自由转动的转盘，⊙O的半径为2， 是函数 的图
像， 是函数 的图像， 是函数y= x的图像，则指针指向阴影部分的概
率__________.28．已知抛物线 与 的形状相同，则 ______．
29．函数 与直线 的交点为 ，则 _____
30．已知在同一坐标系中，抛物线y＝ax2的开口向上，且它的开口比抛物线y＝3x2+2
1 2
的开口小，请你写出一个满足条件的a值：_____．
31．在同一个平面直角坐标系中，二次函数 ， ， 的图像如图
所示，则 ， ， 的大小关系为____．
32．已知两个二次函数的图像如图所示，那么 a________a（填“＞”、“＝”或
1 2
“＜”）．
33．如图，在平面直角坐标系中，两条开口向上的抛物线所对应的函数表达式分别为y＝
（2a2﹣1）x2与y＝ax2．若其中一个函数的二次项系数是另一个函数二次项系数的2倍，则a的值为_____．
34．二次函数 、 的图像如图所示，则m_____n（填“＞”或“＜”）．
35．抛物线y= x2，y=﹣2x2，y=﹣x2中开口最大的抛物线是___________ .
36．如图所示，在同一坐标系中，作出①y=3x2②y= x2③y=x2的图像，则图像从里到外的
三条抛物线对应的函数依次是（填序号）________
37．抛物线y＝ax2，y＝bx2，y＝cx2的图像如图所示，则a，b，c的大小关系是________．
38．抛物线 的开口方向是向_______________（填“上”或“下”）．
39．抛物线 开口向上，则 的取值范围是____________．40．已知二次函数y＝ax2开口向下，且|2﹣a|＝3则a＝_____．
41．在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图像经过点M（x，y），N（x，y）两点，
1 1 2 2
若﹣4＜x＜﹣2，0＜x＜2，则y ______y ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）
1 2 1 2
42．二次函数y=－ x2，当x0，
解得：a>-2，
故选D.
【点拨】本题考查了二次函数的性质，对于二次函数y=ax2+bx+x+c(a≠0)，当a>0时，图像
的开口向上，y有最小值，当a<0时，图像的开口向下，y有最大值.熟练掌握二次函数的性
质是解题关键.
24．C
【分析】
解：∵若对任意实数x，二次函数y=(a+1)x2的值总是非负数，
∴其图像开口应该向上，
∴a+1>0
，解得a>-1.
故选C.
25．4.5
【分析】函数y＝2x2与y＝－2x2的图像关于x轴对称，又因正方形的边长为3，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，可得出阴影部分的面积为正方形面积的一半，即可求解．
解： 函数y＝2x2与y＝－2x2的图像关于x轴对称，
图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
而边长为3的正方形面积为9，
所以图中的阴影部分的面积为4.5，
故答案为4.5．
【点拨】本题考查了抛物线y＝ax2的性质，熟知y＝ax2与y＝－ax2的图像关于x轴对称是
解决问题的关键．
26．2π
【分析】根据二次函数的性质可知C 与C 的图像关于x轴对称，从而得到x轴下方阴影部
1 2
分的面积正好等于x轴上方空白部分的面积，所以，阴影部分的面积等于⊙O的面积的一
半，然后列式计算即可得解．
解：∵ 与－ 互为相反数，
∴C 与C 的图像关于x轴对称，
1 2
∴x轴下方阴影部分的面积正好等于x轴上方空白部分的面积，
∴阴影部分的面积= ×π•22=2π．
故答案填2π．
【点拨】本题考查了二次函数的图像，根据函数的对称性判断出阴影部分的面积等于⊙O
的面积的一半是解题的关键，也是本题的难点．
27． ．
【解析】分析：根据抛物线和圆的性质可以知道，图中阴影部分的面积就等于圆心角为
150°，半径为2的扇形的面积，概率=阴影部分的面积：圆的面积．
详解：抛物线y= x2与抛物线y=﹣ x2的图形关于x轴对称，直线y= x与x轴
的正半轴的夹角为60°，根据图形的对称性，把左边阴影部分的面积对折到右边，
可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为150°，半径为2，所以则指针指向阴影部分的概率= ．
故答案为： ．
点拨：本题考查的是二次函数的综合题，题目中的两条抛物线关于x轴对称，圆也
是一个对称图形，可以得到图中阴影部分的面积等于圆心角为150°，半径为2的扇
形的面积，用概率=阴影部分的面积：圆的面积．
28．
【分析】两条抛物线的形状相同，即二次项系数的绝对值相等，据此求解即可．
解：∵抛物线y=ax2与y=2x2的形状相同，
∴|a|=2，
∴a=±2．
故答案为±2．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，用到的知识点：两条抛物线的形状相同，即二次项
系数的绝对值相等．
29．17
【分析】根据函数y=3x2与直线y=kx+2的交点为（2，b），将x=2代入函数y=3x2，即可
得到b的值，然后再将交点坐标代入直线．
解：将x=2，y=b代入函数y=3x2，得
b=3×22=12，
∴函数y=3x2经过点（2，12），
∵函数y=3x2与直线y=kx+2的交点为（2，12），
∴12=2k+2，
∴k=5，
∴k+b=5+12=17，
故答案为：17．
【点拨】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、二次函数图像上点的坐标特征，解答
本题的关键是明确题意，求出k、b的值．
30．4
【解析】【分析】由抛物线开口向上可知a＞0，再由开口的大小由a的绝对值决定，可求得a的取值范围．
解：∵抛物线y＝ax2的开口向上，
1
∴a＞0，
又∵它的开口比抛物线y＝3x2+2的开口小，
2
∴|a|＞3，
∴a＞3，
取a＝4即符合题意
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口大小由a的绝对值决定是解
题的关键，即|a|越大，抛物线开口越小．
31． ．
【分析】直接利用二次函数的图像开口大小与 的关系可得出答案．
解：根据二次函数图像的性质， 越大，开口越小，反之 越小，开口越大，
由图像可知， ，并且图像开口 最大， 最小，
则有 ．
故答案是： ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图像，正确记忆开口大小与 的关系是解题关键．
32．
【分析】直接利用二次函数 的图像开口大小与a的关系进而得出答案．
解：如图所示：
的开口小于 的开口，
则a＞a，
1 2
故答案为：＞.
【点拨】此题主要考查了二次函数的图像，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．
33．
【分析】根据二次函数的性质，结合函数的图像得到2a＝2a2﹣1，解方程求得a的值即可．解：由图像可知，根据题意2a＝2a2﹣1，
解得a＝ ，
∵抛物线开口向上，
∴a＝ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的性质以及一元二次方程的应用，结合图像得到2a＝2a2﹣1
是解题的关键.
34．＞
解：试题分析：令x＝1，则y＝m，y＝n，
1 2
由图像可知当x＝1时，y＞y，
1 2
∴m＞n．
故答案为＞．
点拨：本题主要考查了二次函数的图像，数形结合是解决此题的关键．
35．
【解析】试题分析：抛物线的开口大小由|a|确定，先求每一个二次函数的|a|，再比较大小．
解：∵｜-2｜>|-1|>| |，
∴抛物线 的图像开口最大.
故答案为： .
36．(1)(3)(2)
【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．
解：①y=3x2，②y= x2，③y=x2中，二次项系数a分别为3、 、1，∵3＞1＞ ，
∴抛物线②y= x2的开口最宽，抛物线①y=3x2的开口最窄．
故依次填：①③②．
【考点】
二次函数的图像．
37．a＞b＞c
【解析】试题分析：抛物线图像开口方向由a得正负决定，a为正开口向上，a为负开口向
下.抛物线图像开口的大小由 决定， 越大，开口越小， 越小，开口越大.所以根据
图像可以判断a>0，b<0,c<0, < ,所以b>c.故答案为a＞b＞c.
38．下
【分析】根据题目中的抛物线，可以直接写出该抛物线的开口方向，从而可以解答本题．
解：∵抛物线解析式为y＝﹣x2，a＝﹣1＜0，
∴该抛物线开口向下，
故答案为：下．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的
关键．
39．m＞1
【分析】根据二次函数的图像与性质即可求出答案．
解：由 题意可知：m-1＞0，
∴m＞1；
故答案为：m＞1
【点拨】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图像与性质，本题
属于基础题型．
40．-1
【分析】根据二次函数开口朝下，得到 ，进而得到 ，即 ，即可求
得a的值．
解：∵二次函数y＝ax2开口向下，∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
故答案为 ．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，绝对值的化简，关键是根据二次函数的开口方向判
断a的正负．
41．＞
【分析】根据二次函数的性质即可求解．
解：由y=x2可知，
∵a=1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∵抛物线的对称轴为y轴，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
∵-4＜x＜-2，0＜x＜2，
1 2
∴2＜-x＜4，
1
∴y＞y．
1 2
故答案为：＞．
【点拨】本题考查了二次函数图像上的点的坐标特征及二次函数的性质．当a＞0时，开口
向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当a
＜0，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而
减小；
42．y＜y
1 2
【解析】∵函数 的图像开口向下，对称轴为 轴，
∴当 时， 随 的增大而增大，
又∵ ，
∴ .43．
【分析】先根据 判断出二次函数 的对称轴为y轴，再根据二次函数
的增减性解答．
解：∵二次函数 的对称轴为y轴，开口向下，且关于y轴对称，
∴当x=8时和x=-8时对应的y值是相等的，
∵x＜0时，y随x的增大而增大，
∵-8＜-2＜-1，
∴y＜y＜y．
3 1 2
故答案为y＜y＜y．
3 1 2
【点拨】本题考查了二次函数图像上点坐标特征，关键是要掌握二次函数的对称性和增减
性，比较简单．
44．开口向下 y轴 (0，0)
【分析】根据二次函数的性质：当 时，抛物线的开口向下，顶点式：
， ， 是常数， ，其中 为顶点坐标，对称轴为： ．
解：函数 中，
∵ ，
∴抛物线的开口向下，
∵ ，
∴对称轴是y轴，顶点坐标是(0，0)，
故答案为：开口向下，y轴，(0，0)．
【点拨】此题主要考查了二次函数的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
45．x轴
【解析】【分析】根据y＝x2与y＝－x2的图像特点直接判断即可.
解：y＝x2与y＝－x2的图像关于x轴对称【点拨】此题主要考查抛物线的图像，解题的关键是熟知这两个特殊的二次函数.
46．y轴或（x＝0）
【解析】【分析】直接利用y＝ax2图像的性质得出其对称轴．
解：抛物线y＝ x2的对称轴是直线y轴或（x＝0）．
故答案为：y轴或（x＝0）．
【点拨】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握简单二次函数的图像是解题关键．
47．
【分析】根据函数图像有最高点可得出开口向下，即可得出答案；
解：∵抛物线 的最高点是坐标轴的原点，
∴抛物线开口向下，
∴m+1＜0，
∴ ．
故答案是 ．
【点拨】本题主要考查了根据二次函数的开口方向求参数，准确分析判断是解题的关键．
48．4 0
【分析】利用二次函数图像找到 范围内的图像变化规律，从而求解．
解：∵二次函数 ，
∴对称轴为y轴，顶点为原点，开口向上，
y轴左边y随x的增大而减小，在y轴右边，y随x的增大而增大．
∴当 时，最小值是当x＝0时，y＝0；
当x＝－1时，y＝1；当x＝2时，y＝4．
故答案为4；0．
【点拨】本题主要考查二次函数图像与不等式，正确利用数形结合分析是解题关键．本题
难度不大，注意顶点在不等式范围内，顶点为最小值．
49．a＞﹣2．【分析】根据二次函数的性质，当二次项系数大于0时抛物线开口向下，函数有最小值，
即可得出答案．
解：因为二次函数y＝（a+2）x2有最小值，
所以a+2＞0，
解得a＞﹣2．
故答案为：a＞﹣2．
【点拨】本题考查二次函数性质，熟练掌握y=ax2形的图像性质是解题关键．
50．①②④
【分析】根据二次函数y＝ax2的图像与性质逐一判断即得答案
解：由函数的解析式y＝－x2，可知a=﹣1＜0，得到函数的开口向下，有最大值y=0，故
①正确；
由函数的解析式y＝2x2，可知其对称轴为y轴，对称轴的左边（x＜0），y随x增大而减小，
对称轴的右边（x＞0），y随x增大而增大，故②正确；
根据二次函数的性质，系数a决定抛物线的开口方向和开口大小，且 越大开口越小，可
知抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝－x2的开口第二小，而y 开口最大，故③
不正确；
不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点，故④正确．
综上，正确的结论是：①②④．
故答案为：①②④．
【点拨】此题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数y=ax2的与性质是解题
的关键．
