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专题 2.5 二次根式及其乘除法
1. 了解二次根式的概念及性质，明晰二次根式根号下数的取值范围 。
2. 掌握二次根式乘除运算法则（根号下仅限于数），并能运用法则进行简单乘除运
教学目标
算。
3. 学会将二次根式化简为最简二次根式，体会从特殊到一般的数学研究方法。
1.重点
教学重难点
（1）理解并掌握二次根式的乘法法则（❑√a×❑√b=❑√ab，a≥0，b≥0）和除法法则（❑√a √a
=❑ ，a≥0 ，b>0 ）。
❑√b b
（2）能够熟练运用二次根式乘除法则，对简单的二次根式进行乘除运算 。
2.难点
（1）理解二次根式乘除与积、商的算术平方根之间的关系，准确进行公式的正向、
反向运用 。
（2） 在复杂运算中，灵活运用二次根式乘除运算法则及运算律，正确进行计算并
化简结果 。
知识点01 二次根式
1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式， 称为 称为二次根
号．如 都是二次根式。
2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号 ；（2）被开方数必须是非负数.
【即学即练1】下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】下列各式一定属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
知识点02 二次根式有无意义的条件
1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即
；
2.二次根式无意义：被开方数为负数，即
；
【即学即练1】要使二次根式 有意义，则 的值可以是 ．（写出一个即可）
【即学即练2】若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是 ．
【即学即练3】如果 ，那么 ．
知识点03 二次根式的性质
1.二次根式 （ ）的非负性
（ ）表示 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 （ ）．2.二次根式 的性质： （ ）
3.二次根式 的性质：
【即学即练】已知 ，化简 ．
知识点04 二次根式的乘法法则
1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不
变）
2.二次根式的乘法法则的推广:
（1）
（2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则
进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
3.二次根式的乘法法则的逆用： （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数
平方根的性质）
4.二次根式的乘法法则的逆用的推广：
【即学即练】设 ，计算下列各式：
(1) (2) (3) (4) ．
知识点05 二次根式的除法法则
1.二次根式的除法法则： （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
2.二次根式的除法法则的推广： .
【即学即练】计算：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)题型01 判断二次根式
【典例1】下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】给出下列式子： ； ； ； ； ，其中一定是二次根式的有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】下列各式中，是二次根式有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型02 根据二次根式有意义条件求范围
【典例2】使二次根式 有意义的 的值为 （写出一个符合题意的值即可）．
【变式1】若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【变式2】已知 ，则 的值为 ．
题型03 二次根式的乘法
【典例3】计算：
(1) ；
(2) ；
(3)4 ；
(4)3 ．
【变式1】计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【变式2】计算：
(1) ；(2) ；
(3) ；
(4) （ ， ）．
题型04 二次根式的除法
【典例4】计算：
(1)
(2)
【变式1】计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【变式2】计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
题型05 二次根式的乘除混合运算
【典例5】计算：
(1) ；
(2) ．
【变式1】计算：
(1) ．(2)
【变式2】计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
题型06 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式
【典例6】当 时，化简 ．
【变式1】已知 ，化简 ．
【变式2】当 时， ．
题型07 含隐含条件的参数范围化简二次根式
【典例7】化简 结果为（ ）
A． B． C．2ab D．
【变式1】化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
题型08 复杂的复合二次根式化简
【典例8】形如 的化简，只要找到两个正数a，b，使 ， ，即 ，
，那么便有 ．
例如：化简 ．
解： ，这里 ， ，由于 ，∴ ．
请仿照上例解下列问题：
(1)填空： ________， ________， ________；
(2)化简： （请写出计算过程）；
(3)化简：
【变式1】有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数m、n，使 且 ，则
可将 将变成 ，即变成 ，从而使得 化简．例如，
，∴ ．这
种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简 的结果是 ，可知
．整理，得 ，比较等式两边的组成，可得 ， ，即
， ，所以 ．
尝试化简下列各式：
(1) ；
(2) ．
【变式2】阅读材料：把根式 进行化简，若能找到两个数 ，使 ， ，即把
变成 ，从而可以对根式 进行化简．
例如：化简： ．
解： ，
．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)化简： ．
(2)化简： ．
(3)计算： ．一、单选题
1．下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．要使二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．当 时，二次根式 的值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
4．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．将 化简后的结果正确的答案是（ ）
A． B． C． D．
6．已知a、b为有理数，且满足 ，则 等于（ ）
A． B． C．2 D．4
二、填空题
7．在二次根式 中， 的取值范围是 ．
8．计算： ．
9．若 是一个整数，则正整数m的最小值是 ．
10．已知 ，则 的值为 ．
11．已知 和 是实数，且 ，则 ．
12．若 ，则化简 的结果是 ．
三、解答题
13．计算： ；
14．计算： ．15．计算：
(1) ；
(2) ．
16．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
；
．
【类比归纳】
(1)小华仿照小明的方法将 化成了 ，则 __________， __________．
(2)请运用小明的方法化简 ．
17．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
，善于思考的小明进行了以下探索：
若设 （其中 、 、 、 均为整数），
则有 ， ．这样小明就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法，请你仿照小
明的方法探索并解决下列问题：
(1)若 ，当 、 、 、 均为整数时，用含 、 的式子分别表示 、 ，得：
______， ______；
(2)若 ，且 、 、 均为正整数，求 的值；
(3)化简： ．
18．阅读材料：像 ； ； …两个含有二
次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 与 ， 与
， 与 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化
去分母中的根号．例如： ； ．解答下列问题：
(1) 与______互为有理化因式，将 分母有理化得______；
(2)①比较大小： ______ （填 ， ， ， 或 中的一种）
②计算下列式子的值：③已知正整数a、b满足 ，求a，b的值．
