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专题 2.5 二次根式及其乘除法
1. 了解二次根式的概念及性质，明晰二次根式根号下数的取值范围 。
2. 掌握二次根式乘除运算法则（根号下仅限于数），并能运用法则进行简单乘除运
教学目标
算。
3. 学会将二次根式化简为最简二次根式，体会从特殊到一般的数学研究方法。
1.重点
教学重难点
（1）理解并掌握二次根式的乘法法则（❑√a×❑√b=❑√ab，a≥0，b≥0）和除法法则（（2）能够熟练运用二次根式乘除法则，对简单的二次根式进行乘除运算 。
2.难点
（1）理解二次根式乘除与积、商的算术平方根之间的关系，准确进行公式的正向、
反向运用 。
（2） 在复杂运算中，灵活运用二次根式乘除运算法则及运算律，正确进行计算并
化简结果 。
知识点01 二次根式
1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式， 称为 称为二次根
号．如 都是二次根式。
2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号 ；（2）被开方数必须是非负数.
【即学即练1】下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题主要考查了二次根式的识别，形如 的式子叫做二次根式，据此可得答案．
【详解】解：A、当 时， 不是二次根式，不符合题意；
B、 是二次根式，符合题意；
C、当 时， 不是二次根式，不符合题意；
D、 不是二次根式，不符合题意；
故选：B．
【即学即练2】下列各式一定属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求二次根式的值
【分析】本题考查二次根式的识别，根据形如 ，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可．
【详解】解：A、因为 ，则 不是二次根式，不符合题意；
B、当 时， 不是二次根式，不符合题意；
C、因为 ，故 是二次根式，符合题意；D、当 时，则 ， 不是二次根式，不符合题意；
故选：C．
知识点02 二次根式有无意义的条件
1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即
；
2.二次根式无意义：被开方数为负数，即
；
【即学即练1】要使二次根式 有意义，则 的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】：8（答案不唯一）
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如 的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数
必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可．
【详解】解：∵二次根式 有意义，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值可以是8．
故答案为：8（答案不唯一）．
【即学即练2】若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握列不等式、解不等式．
根据二次根式有意义的条件，列出不等式求解．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【即学即练3】如果 ，那么 ．
【答案】2
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，化简二次根式，解题的关键是掌握这些知识点．
根据二次根式有意义的条件得 ，解得 ，则把 代入进行计算即可得．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故答案为2．
知识点03 二次根式的性质
1.二次根式 （ ）的非负性
（ ）表示 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 （ ）．
2.二次根式 的性质： （ ）
3.二次根式 的性质：
【即学即练】已知 ，化简 ．
【答案】
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，进行化简即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
知识点04 二次根式的乘法法则
1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不
变）
2.二次根式的乘法法则的推广:
（1）
（2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则
进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
3.二次根式的乘法法则的逆用： （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数
平方根的性质）
4.二次根式的乘法法则的逆用的推广：
【即学即练】设 ，计算下列各式：(1) (2) (3) (4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法
【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质与化简，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可；
（2）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可；
（3）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可；
（4）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ，
；
（4）解： ，
．
知识点05 二次根式的除法法则
1.二次根式的除法法则： （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
2.二次根式的除法法则的推广： .
【即学即练】计算：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
【答案】(1)
(2)(3)
(4)
(5)
(6)
【知识点】二次根式的除法
【分析】本题考查二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键；
（1）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解；
（2）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解；
（3）化为 ，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解；
（4）化为 ，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解；
（5）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解；
（6）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
（5）解：
（6）解：
题型01 判断二次根式
【典例1】下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据二次根式的定义，形如 （ ）的式子称为二次根式，若被开方数为负数，则不属于二
次根式，据此依次判断即可.
【详解】解：选项A： ，被开方数 ，不符合题意；
选项B： ，无论 取何值， ，故 ， 不符合题意；
选项C： ，被开方数为 （ ，故 ），符合题意；
选项D： ，被开方数 ， 不符合题意.
故选：C.
【变式1】给出下列式子： ； ； ； ； ，其中一定是二次根式的有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的定义，需满足根指数为2且被开方数非负．逐一分析各选项即可．
【详解】① ：根指数为2，被开方数 ，符合二次根式定义．
② ：被开方数为 ，无意义，不是二次根式．
③ ：根指数为2，且 恒成立，无论 取何值均成立，一定是二次根式．
④ ：根指数为2，但被开方数 需满足 ，即 ．由于 的取值未限定，无法保证恒成立，
故不一定是二次根式．
⑤ ：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式．
故选B．
【变式2】下列各式中，是二次根式有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的定义，一般地，形如 的式子叫做二次根式，据此求解即可．
【详解】解：① ：根指数为2，被开方数 ，是二次根式．
② ：被开方数 ，无意义，不是二次根式．
③ ：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式．
④ ：被开方数为 ，当 ，即 时才有意义．但题目未限定 的范围，无法保证被
开方数非负，故不是二次根式．
⑤ ：无论 取何值， ，被开方数恒正，是二次根式．⑥ ：分母 ，被开方数恒正，是二次根式．
综上，符合条件的有①⑤⑥，共3个，
故选B．
题型02 根据二次根式有意义条件求范围
【典例2】使二次根式 有意义的 的值为 （写出一个符合题意的值即可）．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零是解
此题的关键．
根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：要使二次根式 有意义，
则 ，
∴使二次根式 有意义的 的值可以为1（答案不唯一），
故答案为：1（答案不唯一）．
【变式1】若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．
直接根据二次根式有意义的条件作答即可．
【详解】解：∵代数式 在实数范围内有意义，
∴ ，
即 ，
故答案为： ．
【变式2】已知 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的加减法，结合已知条件求得 的值是解题的关键．利用二次根式有意义的条
件求得 的值，然后求得 的值，将其代入原式计算即可．
【详解】解：已知 ，
， ，
， ，
，
，
，
故答案为： ．题型03 二次根式的乘法
【典例3】计算：
(1) ；
(2) ；
(3)4 ；
(4)3 ．
【答案】(1)
(2)64
(3)
(4)
【分析】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的乘法进行运算，再对所求结果进行化简即可；
（2）根据二次根式的乘法进行运算，再对所求结果进行化简即可；
（3）根据二次根式的乘法进行运算，再对所求结果进行化简即可；
（4）根据二次根式的乘法进行运算，再对所求结果进行化简即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）．
【变式1】计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)7
(4)30
【分析】本题主要考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法则计算，最后结果化为最简二次根式即可．
（1）二次根式的乘法则计算，最后结果化为最简二次根式；
（2）二次根式的乘法则计算即可；
（3）二次根式的乘法则计算，最后结果化为最简二次根式；
（4）二次根式的乘法则计算，最后结果化为最简二次根式；
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
＝ ；
（4）＝6
＝6
＝6
＝30 ．
【变式2】计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) （ ， ）．
【答案】(1)5
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键．
（1）利用二次根式的乘法运算法则计算即可；
（2）利用二次根式的乘法运算法则计算即可；
（3）利用二次根式的乘法运算法则计算即可；
（4）利用二次根式的乘法运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；（3）解：
；
（4）解：
．
题型04 二次根式的除法
【典例4】计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的除法计算，熟知二次根式的除法法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的除法法则可解决问题．
（2）根据二次根式的除法法则可解决问题．
【详解】（1）
（2）【变式1】计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则逐个计算即可．
【详解】（1） ；
（2） ；
（3） ．
【变式2】计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)2
(3)
(4)
【分析】根据二次根式的除法计算法则求解即可．【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】此题考查了二次根式的除法，正确掌握二次根式的除法计算法则是解题的关键．
题型05 二次根式的乘除混合运算
【典例5】计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，
（1）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解；
（2）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解．
【详解】（1）解：（2）解：
【变式1】计算：
(1) ．
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
【变式2】计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)3y
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算．
（1）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解；
（2）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解；
（3）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解；
（4）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：；
（3）解：
；
（4）解：
•
•
．
题型06 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式
【典例6】当 时，化简 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质即可得出答案．
【详解】解：当 时， ，
故答案为： ．
【变式1】已知 ，化简 ．【答案】1
【分析】本题考查了二次根式性质和绝对值化简．根据二次根式性质和绝对值意义化简计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为：1．
【变式2】当 时， ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了化简二次根式和化简绝对值，把原式变形为 ，再根据 化
简绝对值和二次根式即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴
，
故答案为：2．
题型07 含隐含条件的参数范围化简二次根式
【典例7】化简 结果为（ ）
A． B． C．2ab D．
【答案】A
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键；利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解： ；
故选：A．
【变式1】化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查二次根式有意义的条件以及二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件确定 ，再
根据二次根式的性质进行化简即可．掌握二次根式有意义的条件以及二次根式的性质是正确化简的前提．
【详解】解：由于二次根式 有意义，
所以 ，所以 ，
故选：B．
【变式2】化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件确定 的取值范围，再运
用二次根式的性质进行化简．
先根据被开方数非负确定 的正负，再利用二次根式的性质 对原式进行化简．
【详解】因为二次根式 有意义，则 ，
所以 ．
则 ．
答案选B．
题型08 复杂的复合二次根式化简
【典例8】形如 的化简，只要找到两个正数a，b，使 ， ，即 ，
，那么便有 ．
例如：化简 ．
解： ，这里 ， ，由于 ，
∴ ．
请仿照上例解下列问题：
(1)填空： ________， ________， ________；
(2)化简： （请写出计算过程）；
(3)化简：
【答案】(1) ； ；
(2)
(3)【知识点】复合二次根式的化简、二次根式的加减运算、分母有理化
【分析】本题考查二次根式的化简，二次根式的混合运算，熟练掌握题干给定的化简方法，是解题的关键：
（1）根据题干给定的化简方法，进行化简即可；
（2）根据题干给定的化简方法，进行化简即可；
（3）根据题干给定的化简方法，先化简，再进行计算即可．
【详解】（1）解： ；
；
；
（2）解： ，
∴ ， ， ，
∴ ；
（3）原式
．
【变式1】有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数m、n，使 且 ，则
可将 将变成 ，即变成 ，从而使得 化简．例如，
，∴ ．这
种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简 的结果是 ，可知
．整理，得 ，比较等式两边的组成，可得 ， ，即
， ，所以 ．
尝试化简下列各式：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)(2)
【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简
【分析】（1）根据完全平方公式得出 进而求出即可；
（2）根据完全平方公式得出 进而求出即可．
此题主要考查了二次根式的化简与性质，熟练应用完全平方公式是解题关键．
【详解】（1） ；
（2）解： ．
【变式2】阅读材料：把根式 进行化简，若能找到两个数 ，使 ， ，即把
变成 ，从而可以对根式 进行化简．
例如：化简： ．
解： ，
．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)化简： ．
(2)化简： ．
(3)计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】利用二次根式的性质化简、复合二次根式的化简、二次根式的乘法、二次根式的加减运算
【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．
（1）仿照例题即可求解；
（2）将 化为 ，再利用二次根式的性质化简计算；
（3）将 变形为 ，再利用二次根式的性质化简计算．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；（2）解：∵ ，
而 ，则
∴
（3）解：
．
一、单选题
1．下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的判断，根据形如 的式子叫做二次根式进行判断即可．
【详解】解：A、 ，被开方数为负数，无意义，不符合条件；
B、 ，根指数为2且被开方数 ，符合二次根式定义；
C、 ， ，则 ，被开方数为负数，不符合条件；
D、 ，根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式条件；
故选：B．
2．要使二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根
式有意义的条件，被开方数必须非负，即大于或等于0，解不等式即可确定m的取值范围．
【详解】解：要使二次根式 在实数范围内有意义，则 ，
解得 ，
故选：C．3．当 时，二次根式 的值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的求值，将 代入所求二次根式，再求解即可．
【详解】解：当 时，二次根式 ，
故选：A．
4．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式的化简以及乘除运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
先将各项根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘除运算法则进行计算．
【详解】解：
故选：B
5．将 化简后的结果正确的答案是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，
根据二次根式的性质，被开方数必须非负，确定a的取值范围，再对原式进行化简．
【详解】解：∵ 有意义，
∴ ，故 ．
∴
故选A．
6．已知a、b为有理数，且满足 ，则 等于（ ）A． B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把 化简为 ．
先把 化简为 ，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算 的值．
【详解】解：∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：D．
二、填空题
7．在二次根式 中， 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的意义，只有被开方数是非负数时才有意义，根据这个列出不等式，解出即
可．
【详解】解： 是二次根式，
，
解得 ，
故答案为： ．
8．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算
求解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
9．若 是一个整数，则正整数m的最小值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查二次根式的化简，化简二次根式后判断 是个平方数是求解本题的关键．得出 是一
个平方数，进而求解即可．
【详解】解：∵ 是一个整数，∴ 是一个平方数，
∴ 的最小值是3．
故答案为：3．
10．已知 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出 ，再利
用二次根式的性质进行化简，然后将 代入计算即可得．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
，
故答案为： ．
11．已知 和 是实数，且 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件和代数式求值，掌握二次根式有意义的条件是做题的关键．根据
二次根式的定义，得到 且 ，解不等式得到x的值；把 代入 求得y
的值；然后将x、y的值代入 计算得到答案．
【详解】解：根据题意，得 且 ，
∴ ．
把 代入
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．12．若 ，则化简 的结果是 ．
【答案】5
【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，正确计算是解题的关键．
根据二次根式的乘法法则成立的条件得出 且 ，即可求出x的取值范围，再根据二次根式的性
质化简即可．
【详解】解：若 ，
则 且 ，
解得 ，
∴
，
故答案为：5．
三、解答题
13．计算： ；
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法混合计算，直接根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可．
【详解】解：
．
14．计算： ．
【答案】 ．
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，根据二次根式的乘除法计算法则求解即可．
【详解】解：．
15．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质进行化简，然后再根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可；
（2）根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
16．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
；．
【类比归纳】
(1)小华仿照小明的方法将 化成了 ，则 __________， __________．
(2)请运用小明的方法化简 ．
【答案】(1)3；
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意．
（1）将4看成是 ，则 ，由此求解即可；
（2）将7看成是 ，则 ，由此求解即可．
【详解】（1）解：
，
∴ ；
∴ ；
（2）解：
．
17．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
，善于思考的小明进行了以下探索：
若设 （其中 、 、 、 均为整数），
则有 ， ．这样小明就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法，请你仿照小
明的方法探索并解决下列问题：
(1)若 ，当 、 、 、 均为整数时，用含 、 的式子分别表示 、 ，得：
______， ______；
(2)若 ，且 、 、 均为正整数，求 的值；(3)化简： ．
【答案】(1) ，
(2) 的值为 或
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，
读懂材料明确题意是解题关键．
（1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出 、 ；
（2）在（1）的基础上，求出 ， ，根据 ， ， 均为整数，分两种情况求出 ， ；
（3）设 ，两边平方并结合题意计算得出 ，即可得出答案．
【详解】（1）解： ，
，( ， ， ， 均为整数），
， ，
故答案为： ， ；
（2）解： ，
，( ， ， 均为整数），
， ，
，
① ， ， ，
② ， ， ，
综上所述： 或 ；
（3）解：设 ，
则，
∴原式 ．
18．阅读材料：像 ； ； …两个含有二
次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 与 ， 与
， 与 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化
去分母中的根号．例如： ； ．解答下列问题：
(1) 与______互为有理化因式，将 分母有理化得______；
(2)①比较大小： ______ （填 ， ， ， 或 中的一种）
②计算下列式子的值：
③已知正整数a、b满足 ，求a，b的值．
【答案】(1) ， ；
(2)① ；② ；③ ，
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，以及分母有理化，理解有理化因式，掌握二
次根式的运算法则是解题关键．
（1）根据有理化因式的额定义和分母有理化求解即可；
（2）①根据有理化因式得到 ， ，即可比
较大小；
②仿照题意根据分母有理化的方法得到 ，再把所求式子裂项求解即可；
③先分母有理化，再合并同类二次根式，得到 ， ，即可求解．
【详解】（1）解： 与 互为有理化因式，
，故答案为： ， ；
（2）解：① ， ，
， ，
，
，
，
故答案为： ；
②
，
；
③
，
，，
，
， ，
．
