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专项 05 解一元二次方程训练（5 种方法）
1.因式分解和直接开平方法合适解具有特定性结构的一元二次方程，非常简便；公式法和
配方法适用于任何一元二次方程；
2.对于 ax²+bx+c=0(a≠0）的解法的选择顺序为：直接开平方（b=0）→因式分解法
（c=0）→提公因式，三项类则可考虑十字相乘法→配方法（a=1,b=2n,n为常数）→公式
法。
3.遇到非一般式的一元二次方程，若没有思路解之，可先化简为一般式，然后用公式法求
解。
【典例1】用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）（2x﹣1）2＝25； （2）x2﹣17x+16＝0．
【答案】（1） x ＝3，x ＝﹣2； （2）x ＝16，x ＝1．
1 2 1 2
【解答】解：（1）2x﹣1＝±5，
所以x ＝3，x ＝﹣2；
1 2
（2）（x﹣16）（x﹣1）＝0，
x﹣16＝0或x﹣1＝0，
所以x ＝16，x ＝1．
1 2
【变式1-1】解方程：
（1）（x﹣3）2﹣16＝0； （2）x2+2x﹣3＝0．
【答案】（1） x ＝7，x ＝﹣1； （2）x ＝﹣3，x ＝1
1 2 1 2
【解答】解：（1）（x﹣3）2＝16，
x﹣3＝±4，
所以x ＝7，x ＝﹣1；
1 2
（2）x2+2x﹣3＝0，
（x+3）（x﹣1）＝0，
x+3＝0或x﹣1＝0，
所以x ＝﹣3，x ＝1．
1 2【变式1-2】用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）3（x﹣2）2＝27； （2）x2﹣2x﹣3＝0．
【解答】解：（1）3（x﹣2）2＝27，
则（x﹣2）2＝9，
∴x﹣2＝±3，
∴x ＝5，x ＝﹣1；
1 2
（2）x2﹣2x﹣3＝0，
则（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x ＝3，x ＝﹣1．
1 2
【典例2】解方程：
（1）（x﹣3）2﹣2x（3﹣x）＝0； （2）x2﹣2x﹣3＝0．
【解答】解：（1）（x﹣3）2﹣2x（3﹣x）＝0，
（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，
（x﹣3）（3x﹣3）＝0，
x﹣3＝0或3x﹣3＝0，
x ＝3，x ＝1；
1 2
（2）x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
x ＝3，x ＝﹣1；
1 2
【变式2-1】解下列方程：（x﹣2）2＝5（x﹣2）；
【答案】x ＝2，x ＝7
1 2
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝5（x﹣2），
（x﹣2）2﹣5（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2﹣5）＝0，
x﹣＝2＝0或x﹣2﹣5＝0，
所以x ＝2，x ＝7；
1 2
【变式2-2】用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0； （2）（x﹣2）2＝4（x+3）2．【答案】（1）x ＝1+ ，x ＝1﹣ （2）x ＝﹣8，x ＝﹣
1 2 1 2
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
配方得：x2﹣2x+1＝2+1，
（x﹣1）2＝3，
开方得：x﹣1＝ ，
解得：x ＝1+ ，x ＝1﹣ ；
1 2
（2）（x﹣2）2＝4（x+3）2，
两边开方得：x﹣2＝±2（x+3），
解得：x ＝﹣8，x ＝﹣ ．
1 2
【变式2-3】解方程：
（1）x2﹣10x+9＝0； （2）x（x﹣7）＝8（7﹣x）．
【答案】（1）x ＝1，x ＝9（2）x ＝7，x ＝﹣8．
1 2 1 2
【解答】解：（1）∵x2﹣10x+9＝0，
∴（x﹣1）（x﹣9）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣9＝0，
∴x ＝1，x ＝9；
1 2
（2）∵x（x﹣7）＝8（7﹣x），
∴x（x﹣7）﹣8（7﹣x）＝0，
∴（x﹣7）（x+8）＝0，
∴x﹣7＝0或x+8＝0，
∴x ＝7，x ＝﹣8．
1 2
【典例3】解下列方程：
（1）x2+4x＝0； （2）x2+3x﹣2＝0．
答案】（1） x ＝0，x ＝﹣4 （2）x ＝ ，x ＝
1 2 1 2
【
【解答】解：（1）∵x2+4x＝0，
∴x（x+4）＝0，∴x＝0或x+4＝0
∴x ＝0，x ＝﹣4；
1 2
（2）x2+3x﹣2＝0
∵Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17，
∴x＝ ＝ ，
∴x ＝ ，x ＝ ．
1 2
【变式3-1】解方程：
（1）x（x+2）＝2（x+2）； （2）3x2﹣x﹣1＝0．
【答案】（1）x ＝﹣2，x ＝2； （2）x ＝ ，x ＝ ．
1 2 1 2
【解答】解：（1）方程移项得：x（x+2）﹣2（x+2）＝0，
分解因式得：（x+2）（x﹣2）＝0，
所以x+2＝0或x﹣2＝0，
解得：x ＝﹣2，x ＝2；
1 2
（2）方程3x2﹣x﹣1＝0，
∵a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）＝1+12＝13＞0，
∴x＝ ，
解得：x ＝ ，x ＝ ．
1 2
【变式3-2】解方程
（1）x2+5x＝0； （2）x2﹣x﹣1＝0．
【答案】（1）x ＝0，x ＝5 （2）x ＝ ，x ＝ ．
1 2 1 2
【解答】解：（1）x（x+5）＝0，
x＝0或x+5＝0，
所以x ＝0，x ＝5；
1 2
（2）∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴x＝ ＝ ，∴x ＝ ，x ＝ ．
1 2
1．用配方法将方程x2−4x−1=0变形为(x−2) 2=m，则m的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解答】解：x2−4x−1=0，
配方得：x2−4x+4=5，
即(x−2) 2=5，
则m=5.
故答案为：B.
2．用配方法解方程x2+2x-1=0时，配方结果正确的是（ ）
A．(x+1) 2=2 B．(x+2) 2=2 C．(x+1) 2=3 D．(x+2) 2=3
【答案】A
【解答】解：∵x2+2x﹣1＝0，∴x2+2x＝1，
∴x2+2x+1＝2，
∴（x+1）2＝2．
故答案为：A．
3．用适当的方法解下列方程：
（1）(2x−1) 2=3x(2x−1) （2）3x2−5x+5=7
【解答】（1）解：∵(2x−1) 2=3x(2x−1)，∴(2x−1) 2−3x(2x−1)=0，
1
∴(2x−1)(2x−1−3x)=0，解得x = ，x =−1；
1 2 2
1
（2）解：∵3x2−5x+5=7，∴3x2−5x−2=0，∴(3x+1)(x−2)=0，解得x =− ，
1 3
x =2．
2
4．按照指定方法解下列方程：（1）16x2+8x=3（公式法）；
（2）2x2+5x−1=0（配方法）；
（3）6−2y=(y−3) 2（因式分解法）．
【解答】（1）解：16x2+8x=3，16x2+8x−3=0，
−8±√256 1 3
b2−4ac=82−4×16×(−3)=256>0，x= ，x = ，x =− ；
2×16 1 4 2 4
5 1 5 25 1 25 5 2 33
（2）解：方程整理得：x2+ x= ，配方得：x2+ x+ = + ，即(x+ ) = ，
2 2 2 16 2 16 4 16
5 √33 5 √33 5 √33
开方得：x+ =± ，解得：x =− + ，x =− − ；
4 4 1 4 4 2 4 4
（3）解：方程整理得：(y−3) 2+2(y−3)=0，分解因式得：(y−3)(y−3+2)=0，
可得y−3=0或y−1=0，解得：y =3，y =1．
1 2
5．用公式法解方程： 2x2−1=4x
【解答】解： 2x2−4x−1=0
a=2，b=−4，c=−1
∴Δ=b2−4ac=(−4) 2−4×2×(−1)=24>0
−b±√b2−4ac 4±√24
∴x= =
2a 4
2+√6 2−√6
∴x = ，x = .
1 2 2 2
6．解下列方程：
（1）x2−4x=0 ；
（2）(x−6)(x+1)=−12 .
【解答】（1）解： x2−4x=0x(x−4)=0
解得 x =0，x =4
1 2
（2）解： (x−6)(x+1)=−12x2−5x−6=−12x2−5x+6=0
即 (x−2)(x−3)=0
解得 x =3，x =2
1 27．解方程：
（1）x2－2x－3＝0； （2）x （x－2）－x＋2＝0.
【解答】（1）解：x2－2x－3＝0 x2－2x＋1＝3＋1（x－1）2＝4x－1＝±2
∴x＝3，x＝－1；
1 2
（2）解：x （x－2）－（x－2）＝0 （x－2）（x－1）＝0x-2=0或x-1=0
∴x＝2， x＝1.
1 2
8．解方程：
（1）x2＝4x； （2）x（x﹣2）＝3x﹣6．
【解答】（1）解：∵x2=4x，
∴x2-4x=0，
则x（x-4）=0，
∴x=0或x-4=0，
解得x=0，x=4；
1 2
（2）解：∵x（x-2）=3x-6，
∴x（x-2）-3（x-2）=0，
则（x-2）（x-3）=0，
∴x-2=0或x-3=0，
解得x=2，x=3．
1 2
9．解一元二次方程：x2−8x+7=0
【解答】解：因式分解，得（x-1）（x-7）=0，
∴x-1=0或x-7=0，
∴x=1，x=7．
1 2
故答案为x=1，x=7．
1 2
10．解方程：
（1）4x(2x+1)＝3(2x+1)； （2）﹣3x2+4x+4＝0．
【解答】（1）解：4x(2x+1)=3(2x+1)
(4x−3)(2x+1)=0
3 1
x = ，x =−
1 4 2 2
（2）解：−3x2+4x+4=0a=−3，b=4，c=4，Δ=42+3×4×4=64
−b±√b2−4ac −4±8
∴x= =
2a −6
2
∴x =− ，x =2
1 3 2
11．解下列方程：
（1）x2−2x−8=0 （2）(x−1) 2=(x−1)
【解答】（1）解： x2−2x−8=0(x−4)(x+2)=0
解得： x =−2 ， x =4 .
1 2
（2）解： (x−1) 2=(x−1)(x−1−1)(x−1)=0(x−2)(x−1)=0
解得： x =1 ， x =2 .
1 2
12．解方程：（x+3）2﹣2x（x+3）＝0．
【解答】解：（x+3）2﹣2x（x+3）＝0(x+3)(x+3−2x)=0
(x+3)(3−x)=0解得x =3，x =−3
1 2
13．解方程：
（1）(x−2) 2=3(x−2)； （2）3x2−4x−1=0．
【解答】（1）解：原方程可化为(x−2)(x−5)=0
即x−2=0或x−5=0，
∴x =2，x =5
1 2
（2）解：∵a=3，b=−4，c=−1，
∴Δ=b2−4ac=28>0，
4±√28 2±√7
∴x= = ，
2×3 3
2+√7 2−√7
∴x = ，x =
1 3 2 3
14．解下列方程：
（1）x2+2x﹣4＝0（配方法）； （2）3x2﹣6x﹣2＝0（公式法）．
【解答】（1）解：移项，得x2+2x＝4，
配方，得x2+2x+1＝5，∴（x+1）2=5，
∴x+1=±√5，
∴x =√5−1，x =−√5−1
1 2
（2）解：∵a＝3，b＝﹣6，c＝﹣2，
∴Δ=b2−4ac=36+24=60>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
−b±√b2−4ac 6±√60 3±√15
∴x= = = ，
2a 6 3
3+√15 3−√15
∴x = ，x =
1 3 2 3
15．解方程：
（1）（x﹣4）（5x+7）＝0； （2）x2﹣4x﹣6＝0．
【解答】（1）解：(x−4)(5x+7)=0，
x−4=0或5x+7=0，
7
x=4或x=− ，
5
7
即x =4，x =−
1 2 5
（2）解：x2−4x−6=0，
x2−4x=6，
x2−4x+4=6+4，
(x−2) 2=10，
x−2=±√10，
x=2±√10，
即x =2+√10，x =2−√10
1 2
16．用适当的方法解方程.
（1）x(x−2)+x−2=0 （2）25x2+20x+4=0
【解答】（1）解：x(x−2)+x−2=0(x−2)(x+1)=0x−2=0，x+1=0
∴x =2，x =−1
1 2（2）解：25x2+20x+4=0(5x) 2+2×5x×2+22=0(5x+2) 2=0
2
∴x =x =−
1 2 5
17．解下列方程：
（1）x2﹣3x+1＝0； （2）（x+1）2＝（2x﹣1）2．
【答案】（1）解：∵x2−3x+1=0 ，
∴a=1 ， b=−3 ， c=1 ，
∴△=b2−4ac=(−3) 2−4=5>0 ，
−b±√b2−4ac 3±√5
∴x= = ，
2a 2
3+√5 3−√5
∴x = ， x = ；
1 2 2 2
（2）解：∵(x+1) 2=(2x−1) 2 ，
∴(2x−1) 2−(x+1) 2=0 ，
∴(2x−1+x+1)(2x−1−x−1)=0 即 3x(x−2)=0 ，
∴x =0 ， x =2 ．
1 2
18．用适当的方法解下列方程：
（1）4x（2x+3）=8（2x+3） （2）x2-2x-5=0
（3）3x2+x-5=0 （4）x2+6（x+1）-13=0
【答案】（1）4x（2x+3）=8（2x+3），
∴（2x+3）（4x-8）=0，
3
∴ x =- ，x=2；
1 2 2
（2）x2-2x-5=0，
x2-2x=5，
x2-2x+1=5+1，
（x-1）2=6，
∴x-1=±√6，∴x=1+√6，x=1-√6；
1 2
（3）3x2+x-5=0，
∴∆=1+60=61，
−1±√61
∴x= ，
6
−1+√61 −1−√61
∴ x = ，x= ；
1 6 2 6
（4）x2+6（x+1）-13=0，
∴ x2+6x-7=0，
∴（x+7）（x-1）=0，
∴ x =-7，x=1
1 2
19．解方程．
（1）x2﹣2x﹣4＝0（用配方法）； （2）2x2+3x﹣1＝0（用公式法）；
（3）3x+6＝（x+2）2； （4）9（x+1）2＝4（2x﹣1）2．
【答案】（1）解：x2﹣2x﹣4＝0，
x2﹣2x+1＝5，
(x−1) 2=5 ，
x−1=±√5 ，
解得 x =1+√5，x =1−√5 ；
1 2
（2）解：2x2+3x﹣1＝0
因为 a=2，b=3，c=−1 ，
Δ=32−4×2×(−1)=17 ，
−3+√17 −3−√17
所以 x = ，x = ；
1 4 2 4
（3）解：3x+6＝（x+2）2
（x+2）2-3（x+2）=0，
(x+2)(x+2−3)=0 ，
x+2=0 或 x−1=0 ，
解得 x =−2，x =1
1 2（4）解：9（x+1）2＝4（2x﹣1）2
9(x+1) 2−4(2x−1) 2=0 ，[3(x+1)+2(2x−1)][3(x+1)−2(2x−1)]=0
(7x+1)(−x+5)=07x+1=0 或 −x+5=0 ，
1
解得： x =− ，x =5 ，
1 7 2
20．用适当的方法解下列方程
（1）x2+2x﹣3＝0； （2）2x（x+1）＝3（x+1）．
【答案】（1）解：x2+2x﹣3＝0 (x+3)(x−1)=0
解得 x =−3，x =1
1 2
3
（2）解：2x（x+1）＝3（x+1） (x+1)(2x−3)=0解得 x =−1，x =
1 2 2
