文档内容
专题 02 利用三角函数解决实际问题
考点一 利用三角函数解决仰角俯角问题 考点二 利用三角函数解决方位角问题
考点三 利用三角函数解决坡度坡比问题 考点四 利用三角函数测高问题
考点五 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
考点一 利用三角函数解决仰角俯角问题
1．（2021·陕西·渭南初级中学九年级期中）李威在A处看一棵大树的顶端D处的仰角是30°，向树的方向
前进30米到B处看树顶D处的仰角是60°，李威的眼睛离地面高 米，已知
，E、F、G在一条直线上，求树高 是多少？（结果保留根号）
【变式训练】
1．（2022·山东·利津县东津实验中学九年级阶段练习）为了测量教学楼的高度，某同学先在点D处用测角
仪测得楼顶M的仰角为 ，再沿 方向前行 米到达点E处，在点E处测得楼项M的仰角为 ，已
知测角仪的高 为1.5米，求此楼 的高为多少米？（结果精到0.1米，
）2．（2022·重庆市育才中学九年级阶段练习）如图所示，在大楼 的正前方有一斜坡 （坡角
），在它们之间有一片水域，现要测量大楼 的高度．小明在斜坡上的点D处利用热气球探
测器测得楼顶点B处的仰角为 ；当热气球探测器竖直向上上升到点F处，测得楼顶点B处的仰角为
；已知 米， 米，其中点 在同一直线上．（参考数据： ， ）
(1)求斜坡 的高度 （精确到十分位）；
(2)求大楼 的高度（精确到十分位）．
3．（2022·安徽·合肥市五十中学新校二模）如图，坡 的坡度为 ： ，坡面长 米， ，现
计划在斜坡中点 处挖去部分坡体 用阴影表示 修建一个平行于水平线 的平台 和一条新的斜坡
请将下面两小题的结果都精确到 米，参考数据： ．(1)若修建的斜坡 的坡角 即 恰为 ，则此时平台 的长为______米；
(2)坡前有一建筑物 ，小明在 点测得建筑物顶部 的仰角为 ，在坡底 点测得建筑物顶部 的仰
角为 ，点 、 、 、 、 在同一平面内，点 、 、 在同一条水平直线上，问建筑物 高为
多少米？
考点二 利用三角函数解决方位角问题
例题：（2022·湖南·长沙市北雅中学模拟预测）如图，某日我国某岛附近海域有两艘自西向东航行的海监
船A、B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，
B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）
【变式训练】
1．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西
端A处测得轮船M在它的北偏东 方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在
北偏东 方向上．（参考数据： ， ， ， ．）(1)求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）
(2)如果轮船M沿着南偏东 的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．
2．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为
千米，灯塔B到航线l的距离为 千米，灯塔B位于灯塔A南偏东 方向．现有一艘轮船从
位于灯塔B北偏西 方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A
正南方向的点C（在航线l上）处．（参考数据： ， ， ，
）
(1)求两个灯塔A和B之间的距离；
(2)求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．
3．（2022·浙江宁波·一模）如图，某渔船沿正东方向以10海里／小时的速度航行，在A处测得岛C在北
偏东 方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东 方向，已知该岛周围9海里内有暗礁．参
考数据： ， ， ．(1)B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？
(2)如果渔船在B处改为向东偏南 方向航行，有无触礁危险？
考点三 利用三角函数解决坡度坡比问题
例题：（2022·湖南·炎陵县教研室一模）如图，株洲市炎陵县某中学在实施“五项管理”中，将学校的
“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼A栋的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡
脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿芙蓉小学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为
45°．已知山坡AB的坡度为i=1：3，AB=2 m，AE=8m．
(1)求点B距水平面AE的高度BH．
(2)求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据： ≈1.414 , ≈1.732 ）
【变式训练】
1．（2022·上海·九年级专题练习）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并
且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC=5.4米，引桥水平跨度AB=9
米．(1)求水平平台DE的长度
(2)若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD、CE的长度之比．
（参考数据：取sin370.60，cos370.80，tan370.75）
2．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教学研究室模拟预测）风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重
视，我市结合自身地理优势架设风力发电机利用风能发电．王芳和李华假期去明月峰游玩，看见风电场的
各个山头上布满了大大小小的风力发电机，好奇的想知道风力发电机塔架的高度．如图，王芳站在 点测
得 点与塔底 点的距离为 ，李华站在斜坡 的坡顶 处，已知斜坡 的坡度 ，坡面
长 ，李华在坡顶 处测得轮毂 点的仰角 ，请根据测量结果帮他们计算：
(1)斜坡顶点B到CD所在直线的距离；
(2)风力发电机塔架 的高度． 结果精确到 ，参考数据 ， ， ，
，3．（2022·河北·石家庄市第四十四中学三模）小明在一段斜坡 上进行跑步训练．在训练过程中，
始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为 ，距水平地面的高度总为 （在直线
上运动）现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知 ，斜坡 的坡度 ： ，
斜坡 的坡角为 ．
(1)点 坐标为______， 段 关于 的函数解析式为______；
(2)小明在斜坡 上的跑步速度是______ ，并求 段 关于 的函数解析式；
(3)若小明沿 方向运动，求无人机与小明之间距离不超过10m的时长．（参考数据： ，
， ）
考点四 利用三角函数测高问题
例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图，－楼房AB后有一－假山CD，CD的坡度为 ，测得B与
C的距离为24米，山坡坡面上E点处有一休息亭，与山脚C的距离 米，小丽从楼房房顶A处测
得E的俯角为45°．(1)求点E到水平地面的距离；
(2)求楼房AB的高．
【变式训练】
1．（2022·河南·九年级专题练习）如图，小明家马路对面的商业楼外墙上有一个大型显示屏 ，小明在
自己家楼顶 处测得显示屏顶端 的仰角为 ，后退10米到达 处测得显示屏底端 处的仰角为 ，
已知商业楼的底端 与小明家楼底端 之间的距离为50米，求显示屏AB的高度．（结果精确到0.1米，
参考数据： ， ， ）
2．（2022·全国·九年级课时练习）某校自开展课后延时服务以来，组建了许多兴趣小组，小明参加了数学
兴趣小组，在课外活动中他们带着测角仪和皮尺到室外开展实践活动，当他们走到一个平台上时，发现不
远处有一棵大树，如图所示，小明在平台底部的点C处测得大树的顶部B的仰角为60°，在平台上的点E
处测得大树的顶部的仰角为30°．测量可知平台的纵截面为矩形DCFE，DE＝2米，DC＝20米，求大树AB
的高．（精确到1米，参考数据： ）3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在河流的右岸边有一高楼 ，左岸边有一坡度 的山坡 ，
点 与点 在同一水平面上， 与 在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼 的高度，在坡底
处测得楼顶 的仰角为 ，然后沿坡面 上行了 米（即 米）到达点 处，此时在 处
测得楼顶 的仰角为 ．（参考数据： ， ， ）
（1）求点 到点 的水平距离 的长；
（2）求楼 的高度．
考点五 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
例题：（2022·海南·九年级专题练习）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结
构如图实线所示，底座为 ，点 、 、 在同一条直线上，测得 ， ，
， ，其中一段支撑杆 ，另一段支撑杆 ，(1)求 的距离；
(2)求支撑杆上的 到水平地面的距离 是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据 ，
， ， ）
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，
固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，
此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB=115°，
∠AOM=160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面
的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36， ）
2．（2022·重庆·模拟预测）翠湖公园中有一四边形空地，如图1，已知空地边缘 ，且 、 之间的距离为30米，经测量 ， ， 长度为42米．（参考数据： ， ）
(1)求空地边缘 的长度；（结果精确到1米）
(2)为了打造更具观赏性、娱乐性、参与性的城市名片，如图2，公园管理处准备在四边形空地内修建宽度
为2米的园林卵石步道 ，其余地面铺成颗粒塑胶，经调研每平米卵石步道成本为80元，每平米颗
粒塑胶成本为45元，公园目前可用资金有75000元，请用（1）的结果计算此次修建费用是否足够？
3．（2022·上海·九年级专题练习）图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将
平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板
CB长80mm，当 ， 时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到
1mm）．（参考数据： ， ， ， ， ）一、选择题
1．（2022·山东·新泰市宫里镇初级中学九年级阶段练习）已知，斜坡的坡度i=1：2，小明沿斜坡的坡面走
了100米，则小明上升的距离是（ ）
A． 米 B．20米 C． 米 D． 米
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级阶段练习）如图，O为跷跷板AB的中点．支柱OC与地面
MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB=1.6m，
则OC的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江·平阳苏步青学校九年级阶段练习）如 图，某游乐场矗立起一座摩天轮，其直径为90m，旋
转1周用时15min．小明从摩天轮的底部（与地面相距0.5m）出发开始观光，摩天轮转动1周，小明在离
地面68m以上的空中时间是（ ）
A．5min B．6min C．7min D．8min
4．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点A的
高AE＝a米，水平赛道BC＝b米，赛道AB，CD的坡角均为θ，则点D与点A的水平距离DE为( )A． 米 B．( b)米 C．(a-b)sinθ米 D．(a﹣b)cosθ米
二、填空题
5．（2021·广东·佛山市第十四中学九年级阶段练习）如图，在高度是18米的小山A处测得建筑物CD顶部
C处的仰角为30°，底部D处的仰角为45°，则这个建筑物的高度CD=__________米（结果可保留根号）；
6．（2022·江苏省南菁高级中学实验学校九年级阶段练习）如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，
他测得仰角为 ；沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为 ，若小明
的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为___________千米．
7．（2022·上海·九年级专题练习）从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼
底部点B处的俯角为45°，看到楼顶顶部点C处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，那么教
学楼的高 ________米．（结果保留根号）
8．（2022·广东·深圳市观澜第二中学模拟预测）如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地
面平行．请你根据图中数据计算回答，请你根据图中数据计算回答：小敏身高 米，她乘电梯会有碰头
危险吗？______．（填是或否）（可能用到的参考数值： ， ， ）三、解答题
9．（2022·浙江绍兴·一模）如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏 可以绕点O旋转一定的
角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线 与水平线BC垂直时(如图②)，人观看屏幕最舒适．此
时测得 ，求 的长度．(结果精确到 )（参考数据：
）
10．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D
处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后在地面上沿CB向楼房方向继续行走10
米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1： （坡度是指坡面
的铅直高度与水平宽度的比）．求楼房AB高度．（结果保留根式）11．（2022·四川·仁寿县黑龙滩镇光相九年制学校九年级期末）小明周未与父母一起到眉山湿地公园进行
数学实践活动，在A处看到B，C处各有一棵被湖水隔开的银杏树.他在A处测得B在西北方向，C在北偏
东30°方向.他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．
(1)求∠C的度数；
(2)求两棵银杏树B，C之间的距离．（结果保留根号）
12．（2022·山东·乳山市乳山寨镇中心学校九年级阶段练习）如图，水库大坝的横断面是梯形ABCD，迎水
坡BC的坡角为30°，背水坡AD的坡度为1：1.2，坝顶宽DC为2.5米，坝高CF为4.5米．求：
(1)坝底AB的长；
(2)坡BC的长；
(3)迎水坡BC的坡度．
13．（2022·浙江·九年级专题练习）小甬要外出参加“建党100周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，图②分别是他上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，
拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，
∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题．
(1)求DE的长度（结果保留根号）；
(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）．
14．（2021·山东·泰安市泰山区大津口中学九年级阶段练习）如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测
站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，
从B测得小船在北偏东45°的方向．
(1)求点P到海岸线l的距离；
(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．
求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）
15．（2022·湖南·永州市冷水滩区京华中学九年级期中）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，于点 ，底座 米，底座 与支架 所成的角 ，点 在支架 上，篮板底部
支架 . 于点 ，已知 米， 米， 米.
(1)求篮板底部支架 与支架 所成的 的度数．
(2)求篮板底部点 到地面的距离，（精确到0.1米）（参考数据： ， ）
16．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）小明家住深圳某小区一楼，家里开了一间小卖部，
小明的爸爸想把囤积的商品打折促销7天，因为考虑到疫情期间的安全问题，小明爸爸把一楼朝南的窗户
改造成了营业窗口，如下图1，因为天气渐渐回暖，小明的爸爸想让小明帮忙设计一个可以伸缩的遮阳棚，
如图2，AB表示窗户，高度为2米，宽度为3米，BCD表示直角遮阳篷，他打算选择的支架BC的高度为
0．5米．小明为了最大限度地阻挡正午最强的阳光，为了测量太阳与地面的最大夹角，小明选择一个晴朗
的天气，正午12点时在地面上竖立了一个长4米的木杆，测得落在地面的影子长为2．31米．参考数据
（tan60°= ≈1．73）(1)正午12点时，太阳光线与地面的夹角约为________度，请你帮忙估算出没有遮阳棚时，正午12点时太
阳照射到室内区域面积为___________ ．（结果保留根号）
(2)正午12点时，太阳刚好没有射入室内此时的CD，并求此时CD的长．（结果保留根号）
