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专题 03 一元一次不等式组
目录
A题型建模・专项突破
题型一、求一元一次不等式组的解集......................................................................................................................1
题型二、求一元一次不等式组的整数解..................................................................................................................4
题型三、解一元一次不等式组中错解复原问题......................................................................................................5
题型四、由一元一次不等式组的解集求参数..........................................................................................................9
题型五、一元一次不等式组和方程组结合的问题................................................................................................11
题型六、用一元一次不等式组解决实际问题........................................................................................................14
B综合攻坚・能力跃升
题型一、求一元一次不等式组的解集
1．（25-26七年级上·北京海淀·期末）解不等式组 ，并将其解集在数轴上表示出来．
【答案】
【分析】本题考查了求不等式组的解集，解题关键是分别求出不等式组中两个不等式的解集．
分别求出不等式组中两个不等式的解集，再得出不等式组的解集，然后表示在数轴上．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
所以不等式组的解集为 ．
将解集在数轴上表示出来为：
2．（25-26八年级上·山东济南·期末）解不等式组： ，把解集在数轴上表示出来．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，先分别解出每个不等式，再在
数轴上表示，找到解集的交集即可．
【详解】解：解不等式 ，
得 ，解不等式 ，
得 ．
在同一数轴上表示两个不等式的解集：
因此，原不等式组的解集为： ．
3．（25-26七年级下·全国·期末）解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来：
(1)
(2)
【答案】(1) 见解析
(2) 见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
分别解两个一元一次不等式，然后取两个解集公共部分就是这个不等式组的解集．
【详解】（1）解：解不等式 ，
移项得
合并同类项得 ，
解不等式 ，
移项得
合并同类项得
系数化为 得 ，
不等式组的解集为 ．
在数轴上表示如答图①所示．
（2）解：解不等式 ，
去括号得
移项得
合并同类项得
系数化为 得 ，解不等式 ，
去分母得
移项得
合并同类项得
系数化为 得 ，
不等式组的解集为 ．
在数轴上表示如答图②所示．
4．（25-26七年级下·全国·周测）解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
(1)
(2)
【答案】(1) ，见解析
(2) ，见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小无解了”的原则是解答此题的关键．
（1）（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小
无解了确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可．
【详解】（1）解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
所以不等式组的解集为 ．
解集在数轴上表示如图．
（2）解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
所以不等式组的解集为 ．
解集在数轴上表示如图．题型二、求一元一次不等式组的整数解
5．（25-26八年级上·福建漳州·期末）解不等式组： ，并写出它的所有整数解．
【答案】 ，所有整数解有
【分析】本题考查了解一元一次不等式组及整数解的确定，先解不等式①，再解不等式②，结合两个不等
式的解集，取其公共解集，最后根据公共解集找出整数解即可．
【详解】解：解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，解得 ，
∴原不等式组的解集为 ，
∴所有整数解有 ．
6．（25-26九年级上·山东济南·期末）解不等式组： ，并写出它的所有负整数解．
【答案】 ；
【分析】本题考查解不等式组，以及根据不等式组的解集，得到所有负整数解．
【详解】解： ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
原不等式组的解集是： ，
原不等式组的负整数解为： ．
7．（25-26八年级上·陕西西安·期末）解不等式组： ，并写出它的所有整数解．
【答案】不等式组的解集是 ，它的所有整数解是4，5
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先解不等式①，将常数项移到右边，再将系数化为1，注意除
以负数时不等号方向改变；再解不等式②，先去分母消去分母，再展开括号、移项合并同类项，最后系数
化为1，综合两个不等式的解集，取公共部分作为原不等式组的解集，最后根据不等式组的解集得出所有
整数解．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，解得 ，解不等式②得： ，解得 ，
∴不等式组的解集是 ，
其中所有的整数解是4，5．
8．（2025九年级上·重庆·专题练习）解不等式组： ，并写出它的所有整数解．
【答案】 ，整数解为0、1、2、3
【分析】本题考查解不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．分别解不等式，再求出不等式
组的解集，进而写出它的所有整数解即可．
【详解】解：解不等式①得， ，
解不等式②： ，
两边同乘6得：
解得 ，
不等式组的解集为 ，
整数解为0、1、2、3．
题型三、解一元一次不等式组中错解复原问题
9．（24-25八年级下·河南郑州·月考）以下是圆圆解不等式组 的解答过程：
解：由①，得 ，第一步
∴ ．第二步
由②，得 ，第三步
∴ ．第四步
故原不等式组的解集为 ．第五步
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出错误的步骤和错误原因，并写出正确的解答过程．
【答案】圆圆的解答过程有错误，第一步，去括号时未知数x没有乘以2；第四步，不等式两边同时除以
时，不等号的方向没有改变．正确过程见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根
据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：圆圆的解答过程有错误，
第一步，去括号时未知数x没有乘以2；
第四步，不等式两边同时除以 时，不等号的方向没有改变．
正确过程如下：由①得 ，
所以 ，所以 ，
由②得 ，
所以 ，
所以不等式组的解集为 ．
10．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）（1）下面是乐乐同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任
务．
解不等式： ．
解： ．……第一步
．……第二步
．……第三步
．……第四步
．……第五步
任务一：
①以上解题过程中，第一步是依据_______进行变形的；
②第______步出现错误，这一步错误的原因是_______；
任务二：请写出该不等式的正确解集为_______；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一
条建议；
（2）解不等式组 ，并将其解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）①不等式的性质2，②五，不等式的两边都除以 ，不等号的方向没有改变； ；解不
等式移项时，注意变号；（2） ，数轴表示见解析
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法，解一元一次不等式组及在数轴上表示出不等式组的解集．
（1）任务一：①②根据不等式的基本性质即可求解；
任务二：先去分母、去括号、移项，合并同类项，再系数化为 即可求解；
任务三：解不等式去分母时，注意不要漏乘不含分母的项；移项时，注意变号；去括号时要注意，括号前
若是负号，括号内各项要变号等．
（2）先分别解出两个不等式，再确定不等式组的解集，最后在数轴上表示即可．
【详解】（1）解：任务一：①不等式的性质2；
②五，不等式的两边都除以 ，不等号的方向没有改变；任务二： ；
任务三：解不等式移项时，注意变号（答案不唯一）；
（2）解： ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴不等式组的解集为 ，
将解集在数轴上表示出来如图所示．
．
11．（24-25七年级下·广西南宁·期末）以下是乐乐解不等式组 的部分过程：
解不等式①得 ． 第一步
． 第二步
解不等式②得， ． 第三步
． 第四步
． 第五步
． 第六步
……
(1)填空：乐乐的这部分解题步骤中存在一或若干步错误，他所有错误步骤是___________；
(2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】(1)第二步，第三步
(2)见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式的性质，不等式解集的取值方法是解题的关键．
（1）根据不等式的性质判断即可；
（2）根据不等式的性质分别解出 的解集，根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小
大中间找，大大小小无解”的方法即可求解，再在数轴表示出来即可．
【详解】（1）解：乐乐的解答过程所有错误步骤是第二步，第三步；
（2）解不等式①得 ，
，解不等式②得， ，
，
，
，
则不等式组的解集为 ，
数轴上表示为：
12．（24-25七年级下·湖北随州·期末）请观察框内解不等式的过程，回答下列问题：
解不等式
解： 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
(1)第______步出现错误，错误的原因是______；
(2)该不等式的正确解集为：______，
在下面的数轴上表示这个解集；
(3)直接写出不等式组 的解集．
【答案】(1)五，不等式两边除以 时，不等号的方向没改变
(2) ，画图见解析
(3)
【分析】本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，理解题意，正确求解是解答的关键．
（1）根据不等式的性质判断求解即可；
（2）根据不等式的性质可得解集，再画图即可；
（3）先分别求解两个不等式的解集，再确定解集的公共部分即可．
【详解】（1）解：∵第五步中，不等式 两边都除以 ，不等式的方向没有改变，
∴第五步出现错误；错误原因是：不等式的方向没有改变；
（2）解：该不等式的正确解集为 ；
在数轴上表示其解集如下：；
（3）解： ，
由①得： ，
由②得： ，
∴不等式组的解集为： .
题型四、由一元一次不等式组的解集求参数
13．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组 的解为 ，则a的取值范围为
．
【答案】
【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是掌握一元一次不等式组的解法．
先分别解不等式组中的每个不等式，再根据不等式组的解集确定参数 的取值范围．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
∵不等式组的解集为 ，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
14．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）关于 的不等式组 有 个整数解，则 的取值范
围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，先解不等式组，得到解集，再根据有 个整数解的条件，确
定参数 的取值范围．
【详解】解：
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
不等式组的解集为
不等式组有4个整数解，且整数解为 ， ， ， ，
，
解得 ，
故答案为： ．
15．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）若关于 的一元一次不等式组 无解，则 的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，依据口诀“大大小小找不到”结
合不等式组的解集可得 的范围，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原
则是解题的关键．
【详解】解：由 得： ，
由 得： ，
∵一元一次不等式组 无解，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
16．（25-26八年级上·重庆南川·期中）若数 使关于 的不等式组 的解集为 ，则 的
取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解集求参数的取值范围，先分别解不等式组中
的两个不等式，再根据解集为 确定 的取值范围即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
∵数 使关于 的不等式组 的解集为 ，
∴ ，
故答案为： ．题型五、一元一次不等式组和方程组结合的问题
17．（2026八年级·全国·专题练习）若关于 ， 的二元一次方程组 的解满足不等式组
则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，用 表示出
和 是解本题的关键．
方程组两方程相加减表示出 与 ，代入不等式组计算即可求出 的范围．
【详解】解：
得： ，即 ，
得： ，
∵关于 ， 的二元一次方程组 的解满足不等式组 ，
∴
解得： ，
故答案为： ．
18．（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组 的解满足 ，则 的
取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方
程组中的两个方程相加可得 ，则 ，再根据 可得一个关于 的不等式
组，解不等式组即可得．
【详解】解： ，
由① ②得： ，即 ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
19．（24-25七年级下·广西贵港·期中）若关于x，y的二元一次方程组 的解中x是非负数，y
的值不大于 ，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组等知识点，掌握不等式组的解法成为解题的关键．
先解二元一次方程组 得 ，然后根据x是非负数，y的值不大于 列出关于a的不等
式组求解即可．
【详解】解：解二元一次方程组 得 ，
∵x是非负数，y的值不大于 ，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
20．（25-26八年级上·浙江金华·月考）已知方程组 的解满足 为非正数， 为负数．
(1)求 的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若不等式 的解为 ．求整数 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了方程组与不等式组相结合的问题，不等式的性质，求不等式组的整数解，熟知相
关知识是解题的关键．
（1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解的情况建立不等式组求解即可；
（2）根据不等式的性质可得 ，求出该不等式的解集，结合（1）所求得到m的取值范围即可得到
答案．
【详解】（1）解：
得 ，解得 ，把 代入①得 ，解得 ，
∴原方程组的解为 ；
∵方程组 的解满足 为非正数， 为负数，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵不等式 的解为 ，
∴不等式 的两边同时除以 时，不等号的方向发生了改变，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵m为整数，
∴ ．
题型六、用一元一次不等式组解决实际问题
21．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市
一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价：
进价（元/个） 售价（元/个）
A礼盒 150 220
B礼盒 100 140
(1)根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个；
(2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由
于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼
盒的售价也比第一次的售价提高 、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比
第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进
货方案？
【答案】(1)第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个
(2)该超市有8种进货方案【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设该超市第一次购进x个A礼盒，则购进 个B礼盒，根据该超市第一次购进的A，B两种礼
盒全部售出后共获利4600元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即该超市第一次购进A
礼盒的数量），再将其代入 中，即可求出该超市第一次购进B礼盒的数量；
（2）根据“第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100
元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出该超
市共有8种进货方案．
【详解】（1）解：设A种礼盒x个，则B种礼盒 个，由题意得：
解得 ，
则
答：第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个；
（2）解：由题意得
解得 ，
∴该超市有8种进货方案．
22．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电
难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要 万
元；新建 个地上充电桩和 个地下充电桩需要 万元．
(1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过 万元的资金新建 个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的
2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案．
【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元
(2)共有3种建造方案，见解析
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：①找准等
量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设该小区新建 个地上充电桩需要 万元， 个地下充电桩需要 万元，根据题意列出二元一次方程组
求解即可；
（2）设新建m个地上充电桩，则新建 个地下充电桩，根据题意列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需 万元，一个地下充电桩需 万元，
根据题意得： ，解得： ，
答：该小区新建一个地上充电桩需 万元，一个地下充电桩需 万元；
（2）解：设新建m个地上充电桩，则新建 个地下充电桩，
根据题意得： ，
解得： ，
又 m为正整数，
m可以为18，19，20，
共有3种建造方案，
方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩；
方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；
方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩．
23．（25-26八年级上·广西南宁·月考）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电
难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为 和 ．
已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要
1万元．
(1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种
建造方案？并列出所有方案；
(3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过 ，在（2）的前提下，
若仅有1种方案可供选择，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元
(2)共有4种建造方案，方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；方案2：新建21个地上充电桩，
39个地下充电桩；方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩；方案4：新建23个地上充电桩，37
个地下充电桩；
(3)
【分析】（1）设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据“新建1个地
上充电桩和2个地下充电桩需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要1万元”，可列出关
于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设新建m个地上充电桩，则新建 个地下充电桩，根据“该小区计划用不超过22万元的资金
新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出
m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各建造方案；
（3）分别求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积，结合“在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选
择”，即可确定a的取值范围．【详解】（1）解：设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据题意得：
，
解得： ；
答：该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元；
（2）解：设新建m个地上充电桩，则新建 个地下充电桩，根据题意得：
，
解得： ，
又∵m为正整数，
∴m可以为20，21，22，23，
∴共有4种建造方案，
方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；
方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩；
方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩；
方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩；
（3）解：选择方案1时新建充电桩的总占地面积为 ；
选择方案2时新建充电桩的总占地面积为 ；
选择方案3时新建充电桩的总占地面积为 ；
选择方案4时新建充电桩的总占地面积为 ．
∵在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择，
∴ ．
24．（25-26八年级上·福建·期末）M县开展“健身促发展，运动强体魄”的体育健身活动，M县的体育器
材公司计划购进A，B两种型号的跳绳．根据市场调查：购进2根A型跳绳和3根B型跳绳共需要115元；
购进5根A型跳绳和2根B型跳绳共需要150元．
(1)求A，B两种型号的跳绳单价分别是多少元？
(2)该体育器材公司购进A型跳绳600根，B型跳绳400根，并将这些跳绳全部运往甲、乙两校，甲校共需
要跳绳480根，乙校共需要跳绳520根．已知每根A型跳绳运往甲、乙两校的运费分别为1元和 元；每
根B型跳绳运往甲、乙两校的运费分别为 元和 元．求该体育器材公司在此项目投入的总费用（购跳
绳的总费用 总运费）最少是多少元？
【答案】(1)A，B两种型号的跳绳单价分别是20元，25元
(2)23012元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组、不等式组和一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出
方程．（1）设 两种型号的跳绳单价分别是 元， 元，根据购进2根A型跳绳和3根B型跳绳共需要115元；
购进5根A型跳绳和2根B型跳绳共需要150元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设运输A型跳绳到甲校为 根，该体育器材公司在此项目投入的总费用为 元，则运输A型跳绳到乙
校为 根，运输B型跳绳到甲校为 根，运输B型跳绳到乙校为
根，列出一次函数解析式 ，根据一次函数的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：设 两种型号的跳绳单价分别是 元， 元，依题意得：
，
解方程组得： ，
答：A，B两种型号的跳绳单价分别是20元，25元．
（2）解：设运输A型跳绳到甲校为 根，该体育器材公司在此项目投入的总费用为 元，
则运输A型跳绳到乙校为 根，
运输B型跳绳到甲校为 根，
运输B型跳绳到乙校为 根，
依题意得：
，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 值随 值的减小而减小，
时， 有最小值为：
，
答：该体育器材公司在此项目投入的最少总费用是23012元．
一、单选题
1．（2026七年级下·全国·专题练习）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ）① ；② ；③ ；④ ；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
根据一元一次不等式组的定义，即由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，对每个不
等式组逐一判断即可．
【详解】解： 只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式，
∴它是一元一次不等式组，
② 只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式，
∴它是一元一次不等式组，
③ 含有两个未知数x和y，不符合定义，
∴它不是一元一次不等式组，
④ 只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式，
∴它是一元一次不等式组，
⑤ 未知数x的最高次数为2和3，不是1次，不符合定义，
∴它不是一元一次不等式组，
∴符合条件的有①②④，共3个，
故选：B．
2．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）已知三角形的三边分别是3，7， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，解一元一次不等式组，三角形中，任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于第三边，据此列出不等式组求解即可．
【详解】解：由题意得， ，
解得 ，
故选：A．
3．（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知平面直角坐标系中有一点 ，无论m取何值，点P不
可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B
【分析】本题主要考查了直角坐标系内各象限的点坐标的特征、不等式组的应用等知识点，掌握各象限点
的坐标特征是解题的关键．
根据各象限内点的坐标特征，列不等式组判断是否存在满足条件的m，即可确定点P不可能在的象限．
【详解】解：当点P在第一象限，则 ，解得： ，即点P可能在第一象限；
当点P在第二象限，则 ，该不等式组无解，故点P不可能在第二象限；
当点P在第三象限，则 ，解得： ，故点P可能在第三象限；
当点P在第四象限，则 ，解得： ，故点P可能在第四象限．
故选B．
4．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）若关于 的不等式组 无解，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤．
先分别解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组无解（两个解集无公共部分），建立关于 的不等式
求解即可．
【详解】解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
又∵不等式组无解，
∴ ，
解得 ．
故选：A．
5．（25-26八年级上·山东聊城·期末）关于 的不等式组 有3个整数解，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解不等式组及不等式组的整数解的应用，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关键．
先解不等式组，根据不等式组只有3个整数解即可确定m的取值范围．【详解】解：
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
不等式的解集为 ，
不等式组只有3个整数解，且为 ，
，
．
故选：A．
6．（25-26八年级上·浙江台州·期末）定义：符号 ，例如：
．若关于 的不等式组 ，恰好有4个整数解，则 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了新定义运算，求不等式组的解集，先根据新定义将不等式组转化为常规一元一次
不等式组，求解解集后，结合恰好有4个整数解的条件，确定k的取值范围即可．
【详解】解：∵定义 ，
∴第一个不等式转化为： ，
化简得： ，
即 ，
，
第二个不等式转化为： ，
化简得： ，
，
，
则不等式组的解集为 ，
∵不等式组恰好有4个整数解，整数解为 ，0，1，2，
，
不等式两边同乘7得：
解得： ．故选：B．
二、填空题
7．（25-26九年级上·云南昆明·期末）不等式组 的解集为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查的是不等式组的解法，分别解两个不等式，再取解集的公共部分．
【详解】解：
由①得： ，
解得： ．
由②得： ，
∴ ，
解得： ．
不等式组的解集为 ．
故答案为： ．
8．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，数轴上表示的是关于x的不等式组的解集，则该不等式组的
整数解有 个．
【答案】3
【分析】此题考查了在数轴上表示不等式组的解集，不等式组的整数解，理解题意是解决本题的关键．
根据数轴得到不等式组的解集为 ，据此即可得到该不等式组的整数解的个数．
【详解】解：由数轴可知关于 的不等式组的解集为 ，
该不等式组的整数解有 ， ， ，共3个，
故答案为：3．
9．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知关于x的不等式组 有解、则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有解的条件确定 的
取值范围．
【详解】解：解不等式 ，得 ；
解不等式 ，得 ；
由于不等式组有解，
则 ．
故答案为： ．10．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·月考）关于x 的不等式组 恰有4个负整数解，则a 的取值
范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查不等式组整数解求参数问题，解题的关键是掌握不等式组的解法．解出不等式的解集，
再根据有4个负整数解列不等式，即可作答．
【详解】解：
解①式得：
解②式得： ，
∵关于x 的不等式组 恰有4个负整数解，
∴4个负整数解为 ， ， ， ，
∴ ，
故答案为：
11．（2026八年级·全国·专题练习）若关于 ， 的二元一次方程组 的解满足不等式组
则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，用 表示出
和 是解本题的关键．
方程组两方程相加减表示出 与 ，代入不等式组计算即可求出 的范围．
【详解】解：
得： ，即 ，
得： ，
∵关于 ， 的二元一次方程组 的解满足不等式组 ，∴
解得： ，
故答案为： ．
12．（25-26八年级上·浙江衢州·期末）按照如下程序，输入 的值并计算．若规定从“输入一个值 ”到
“判断结果是否 ”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么 的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查程序流程图与一元一次不等式组，根据流程图结合程序操作进行了两次才停止列出不等
式组进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
解得： ；
故答案为： ．
三、解答题
13．（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式组 并把它的解集在数轴上表示出来，并
求出它的所有整数解的和．
【答案】 ，数轴见解析，9．
【分析】先分别解出不等式组中的两个不等式，求出它们的公共解集，再在数轴上表示解集，最后找出所
有整数解并计算它们的和．
【详解】解：①解不等式①：
．
②解不等式②：．
③确定不等式组的解集：
两个不等式的解集分别为 和
∴不等式组的解集为 ．
④在数轴上表示解集：
⑤求整数解并求和：
解集 中的整数解为： ．
整数解的和为： ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法、数轴表示解集以及整数解的求和，解题关键是准确求解每
个不等式，正确确定公共解集，并在数轴上规范表示．
14．（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了知识点一元一次不等式组的解法，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤，准
确求出每个不等式的解集，并正确取它们的公共部分．
（1）（2）（3）分别解出两个不等式的解集，再取它们的公共部分得到不等式组的解集．
【详解】（1）解：
解不等式①．
解不等式②
．
∴不等式组的解集： ．
（2）解：
解不等式①
．
解不等式②
．
∴不等式组的解集： ．
（3）解：
解不等式①
．
解不等式②
．
∴不等式组的解集： ．
15．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）以下是某同学解不等式组 的解答过程：
解：第一步：由①，得 ，∴ ．第二步：由②，得 ，∴ ，∴ ．
第三步：∴原不等式组的解集是 ．
(1)他的解答过程是错误的，他出现错误一的步骤是_______，原因是_______；出现错误二的步骤是
_______，原因是______；
(2)请写出正确的解答过程．
【答案】(1)第一步，不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向要改变（或不等式的性
质3）；第二步，去分母时，没有对所有项进行操作
(2)见解析
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键．
（1）根据移项，合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次不等式，第一步移项，以及化系数为1 的步
骤出错了；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不
到确定不等式组的解集．
【详解】（1）解：他的解答过程是错误的，他出现错误一的步骤是第一步，原因是不等式的两边都乘以
（或都除以）同一个负数，不等号的方向要改变（或不等式的性质3）；出现错误二的步骤是第二步，原
因是去分母时，没有对所有项进行操作．
（2）解： ，
由①得 ，
解得： ．
由②，得 ，
∴ ，
解得： ．
∴原不等式组的解集是 ．
16．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于 ， 的二元一次方程组 的解均为正数，
且不等式组 的解集为 ，求 的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法与解集的确定，掌握根据方程组的
解的符号和不等式组的解集列不等式是解题的关键．
先解二元一次方程组，根据解为正数得到 的初步范围，再解不等式组，结合解集条件得到 的另一范围，
最后取两个范围的交集．【详解】解：解方程组
得
方程组的解均为正数，
，即 ．
解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ．
不等式组的解集为 ，
，解得 ．
，
的取值范围为 ．
17．（25-26七年级下·全国·单元测试）根据以下素材，解决相应问题，
【素材1】我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每张15元的价格买了
100张长方形木板，每张木板的长和宽分别为80cm，40cm．
【素材2】现将部分木板按图①所示的虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影部分），再把剩余
五个长方形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为 ．其余木板按图②所示的虚线裁剪出两
块木板（阴影部分是余料），给部分收纳盒配上盖子．
【问题解决】
(1)求出长方体收纳盒的高度；
(2)若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给
出分配方案．
【答案】(1)10cm
(2)有4种分配方案，详情见解析
【分析】(1)设长方体收纳盒的高度（即剪去小正方形的边长）为未知数，依据原木板尺寸表示出无盖收纳
盒底面的长与宽，再结合底面长与宽的比例关系建立方程求解；
(2)设无盖收纳盒和有盖收纳盒的个数，根据木板总数限制以及有盖与无盖收纳盒个数的数量关系列出不等
式组，进而确定满足条件的整数解来得到分配方案．
【详解】（1）解：设长方体收纳盒的高度为 ，则 ，解得 ．
故长方体收纳盒的高度为 cm．
（2）解：设用 张木板制作无盖长方体收纳盒，
则
解得 ．
为整数，
或 或 或 ．
故共有 种分配方案：
① 张木板制作无盖长方体收纳盒， 张木板制作盒盖；
② 张木板制作无盖长方体收纳盒， 张木板制作盒盖；
③ 张木板制作无盖长方体收纳盒， 张木板制作盒盖；
④ 张木板制作无盖长方体收纳盒， 张木板制作盒盖．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用，解题关键是：从几何裁剪中找到等
量关系，建立方程求解高度以及准确梳理制作不同收纳盒所需的木板数量，建立不等式组，并结合整数解
的要求确定分配方案．
18．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）武汉洪湖养殖场，每年秋季都有大量螃蟹上市，为进一步拓宽市场，
产区组织20辆同规格的冷藏车装运A，B两种螃蟹运往外地销售．每辆冷藏车满载装运同一种产品，每辆
汽车的运载量（吨）及每吨螃蟹的利润（万元）如表所示：
每辆汽车运载量/吨 2 3
每吨螃蟹利润万元 0.5 0.4
根据表格中提供的信息，解答以下问题：
(1)设安排 辆冷藏车装运 种螃蟹，20辆车运送的螃蟹总利润为y元，直接写出 关于 的函数关系式；
(2)若规定装运每种螃蟹的冷藏车都不少于6辆，求自变量 的取值范围；
(3)在（2）的前提下，若要使此次销售获利最大，应如何安排车辆？并求出最大利润．
【答案】(1)
(2) 的取值范围为 ，且为整数
(3)安排6辆车装运A种螃蟹，14辆车装运B种螃蟹，最大利润为228000元
【分析】本题考查一次函数的实际应用：
（1）设安排x辆冷藏车装运A种螃蟹，则装运B种螃蟹的车为 辆，则y等于A种螃蟹总利润与B
种螃蟹总利润之和；
（2）根据装运每种螃蟹的冷藏车都不少于6辆，列不等式组，即可求解；
（3）根据 可得 随 的增大而减小，当 取最小值6时， 取最大值．【详解】（1）解：设安排x辆冷藏车装运A种螃蟹，则装运B种螃蟹的车为 辆，
由题意知： ，
即 关于 的函数关系式为 ，其中 ，且为整数；
（2）解：由题意得 ，
解得 ，
故自变量 的取值范围为 ，且为整数；
（3）解：由（1）知， ，
，
随 的增大而减小，
当 取最小值6时， 取最大值，
最大值为： （元），
综上可知，安排6辆车装运A种螃蟹，14辆车装运B种螃蟹，最大利润为228000元．
19．（25-26八年级上·全国·假期作业）在平面直角坐标系 中，对于点 和 ，若
则称点 是点 的“相伴点”．请你解决下列问题：
(1)点 的“相伴点”是______，点 的“相伴点”是______ ．
(2)已知点C在函数 的图象上，
①已知点C在函数 （ ）的图象上，则点C的“相伴点” 在函数y＝______的图象上；
②已知点C在函数 （ ）的图象上，则点C的“相伴点” 的纵坐标 满足
，求m的取值范围．
【答案】(1) ；（ ，1）
(2)① ；② 或
【分析】本题考查了在新定义下一次函数在指定区间上的自变量与函数值之间的对应情况，解题的关键是
理解在新定义下x与 的相应区间．（1）先确定a的大小范围，进一步根据“相伴点”的定义即可求解；
（2）①根据“相伴点”的定义，可得点C的“相伴点” 所在的函数；②根据点C的“相伴点” 的纵
坐标 满足 ，分情况讨论可求m的取值范围．
【详解】（1）解：∵ ，∴点 的“相伴点”是 ，
∵ ，∴点 的“相伴点”是 ．
故答案为： ， ；（2）解：①：∵函数 ( )，
设点 的坐标为 ，又∵ ，
∴点 的“相伴点”
∴点 的“相伴点” 在函数 上；
故答案为： ；
②：当 时，由①知点 的“相伴点” 在函数 上，
设点 的“相伴点” 的坐标为 ，
∵ 满足 ，
∴ ，即函数 的自变量取值范围为 ，
∴ ；
当 时，由①知点 的“相伴点” 在函数 上，
设点 的“相伴点” 的坐标为 ，
∵ 满足 ，
∴ ，
∴则 ；
20．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组 有解且解集为 ，则称 为
的“绝对距离”，若 的绝对距离是不等式组 的解，则称不等式组 对于不等式组 “绝对包含”．
(1)已知关于 的不等式组 以及不等式组 ，判断不等式组 是否对于不等式组 绝
对包含，并写出判断过程．
(2)已知关于 的不等式组 和关于 的不等式组 ，若不等式组 对于不等式组 绝
对包含，当 时，求满足条件的所有整数 的和．
(3)已知关于 的不等式组 以及不等式组 ，且不等式组 对于不等式
组 绝对包含，求 的取值范围．
【答案】(1)不等式组 对于不等式组 绝对包含，理由见解析；
(2) ；
(3)
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及新定义的应用，关键是理解新定义，将问题转化为不等式组
的解集及解的判断问题．
（1）先求解不等式组 的解集，计算其绝对距离，再判断该绝对距离是否属于不等式组 的解集即可；
（2）先确定不等式组 的绝对距离，求解不等式组 的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于 和 的
不等式，结合 的取值范围确定整数 的取值，最后求和；（3）分别求解不等式组 和 的解集，计算 的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于 的不等
式组，结合不等式组有解的条件确定 的取值范围．
【详解】（1）解：解不等式组 ： ，得 ，
其绝对距离为 ；
不等式组 的解集为 ，且 ，即3是不等式组 的解，
不等式组B对于不等式组 绝对包含；
（2）解： 不等式组 ： 有解，
，其绝对距离为 ；
解不等式组 ，得 ；
不等式组D对于不等式组 绝对包含，
是 的解，即 ，
由不等式①得 ，
解得： ，
，
，此条件与不等式组C有解的条件一致，
由不等式②得 ；
又 ，且 ，
整数 的取值为 ；
这些整数的和为 ；
（3）解：解不等式组 ： ，得 ，
不等式组 有解，
，解得 ，
其绝对距离为 ；
解不等式组 ： ，
