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2022-2023 学年北师大版数学九年级上册压轴题专题精选汇编
专题 04 解一元二次方程
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022八下·莱芜期末）用配方法解一元二次方程 ，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解：∵x2-6x+4=0，
∴x2-6x=-4，
∴x2-6x+9=-4+9，即（x-3）2=5．
故答案为：D．
【思路引导】利用配方法的计算方法和步骤求解即可。
2．（2分）（2022八下·莱芜期末）已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程 的
一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．12 B．13 C．12或13 D．15
【答案】B
【完整解答】解：∵ ，
即（x﹣3）（x﹣4）=0，
∴x﹣3=0或x﹣4=0，
解得：x=3或x=4，
当x=3时，则三角形的三边3+3=6，无法构成三角形，舍去；
当x=4时，这个三角形的周长为3+4+6=13，
故答案为：B．【思路引导】先求出方程 的解，再利用三角形三边的关系求出第三边的长，最后利用三角
形的周长公式计算即可。
3．（2分）（2022八下·百色期末）用配方法解方程 ，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解： ，
，
，
，
故答案为：D．
【思路引导】先将常数项移到方程的右边，再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，最后价格方
程左边写成完全平方式即可.
4．（2分）（2022八下·临泉期末）用配方法解方程 时，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B．
【思路引导】利用配方法求解即可。5．（2分）（2022八下·上虞期末）用[x]表示不大于x的最大整数，则方程 的解的个数
为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【完整解答】解：因为x≥[x]，方程变形为2[x]=x2-3，
2x≥x2-3，
解此不等式得：-1≤x≤3.
现将x的取值范围分为5类进行求解
（1）-1≤x＜0，则[x]=-1，
原方程化为x2-1=0，
解得x=-1；
（2）0≤x＜1 则[x]=0，
原方程化为x2-3=0，
无解；
（3）1≤x＜2，则[x]=1，
原方程化为x2-5=0，
无解；
（4）2≤x＜3，则[x]=2，
原方程化为x2-7=0，
解得x= ；
（5）x=3显然是原方程的解.
综合以上，所以原方程的解为-1， ，3.
故答案为：C.
【思路引导】根据定义的新运算可将方程变形为2x≥x2-3，求解可得x的范围，然后分：当-1≤x＜0时，
[x]=-1，原方程化为x2-1=0，求解可得x的值；当0≤x＜1时，[x]=0，原方程化为x2-3=0，求解即可；同理
可求出1≤x＜2、2≤x＜3、x=3时对应的x的值.
6．（2分）（2021九上·通川期末）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上， ，
EC分别交AD，BD于点F，G，若 ，则 的值为（ ）.A． B． C．2 D．
【答案】B
【完整解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴DC∥AB，
∴∠DCE=∠AEC，∠CDA=∠EAD
∴
∴
设AB=AF=CD=x ，AE=AD=y，
则有
给方程两边同时除以 ，
令 为t则有
解得 ， （舍去）
则t= =
则 = .
故答案为：B.【思路引导】由矩形的性质以及平行线的性质可得∠DCE=∠AEC，∠CDA=∠EAD，证明
△EAF∽△CDF，设AB=AF=CD=x ，AE=AD=y，由相似三角形的对应边成比例可得x2-y2+xy=0，给方程
两边同时除以x2可得关于 的一元二次方程，求出 的值，据此解答.
7．（2分）（2019九上·富顺月考）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示
中较大的数，如 ,按这个规定，方程 的解为 ( )
A． B． C． D． 或-1
【答案】D
【完整解答】解：当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： ，即 ,
解得：
经检验 是分式方程的解；
当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： 代入公式得： ，
解得： （舍去），
经检验 是分式方程的解，
综上，所求方程的解为 或-1．
故答案为：D.
【思路引导】分 和 两种情况将所求方程变形，求出解即可．8．（2分）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 的两个根，则这个直角三
角形的斜边长是（ ）
A． B．3 C．6 D．9
【答案】B
【思路引导】设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7=0的两个根，
∴a+b=4，ab=3.5；
根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣7=9，
∴c=3.
故选B．
9．（2分）（2022八下·上城期末）用配方法解一元二次方程 ，配方后得到的方程是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】解：把方程 的常数项移到等号的右边，得到 ，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 ，
左边利用完全平方公式分解因式得 .
故答案为：B.
【思路引导】首先将常数项移至右边，然后给方程两边同时加上一次项系数一半的平方“1”，再对左边的
式子利用完全平方公式分解即可.
10．（2分）（2022八下·镇海区期末）方程 经配方后，可化为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【完整解答】解： ，故答案为：A.
【思路引导】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上一次项系数一半的平方“4”，再对左边的式子
利用完全平方公式分解即可.
二、填空题(共10题；共20分)
11．（2分）（2022八下·安庆期末）若方程 有两个相等的根，则方程
的根分别是 ．
【答案】 ， 或 ，
【完整解答】解：∵关于x的方程x2﹣（a﹣3）x﹣3a﹣b2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝[﹣（a﹣3）]2﹣4（﹣3a﹣b2）＝ ＝（a+3）2+4b2＝0，
∴a＝﹣3，b＝0，
把a＝﹣3，b＝0代入x2+ax+b＝0
得：x2﹣3x＝0，
解得：x＝0，x＝3．
1 2
故答案为：x＝0，x＝3．
1 2
【思路引导】根据题意先求出a＝﹣3，b＝0，再求出x2﹣3x＝0，最后解方程即可。
12．（2分）（2022·福建）已知抛物线 与x轴交于A，B两点，抛物线 与
x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为 .
【答案】8
【完整解答】解： 把y=0代入 得： ，
解得： ， ，
把y=0代入 得： ，解得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
，
令 ，则 ，
解得： ， ，
当 时， ，解得： ，
∵ ，
∴ 不符合题意舍去；
当 时， ，解得： ，
∵ ，
∴ 符合题意；
综上分析可知，n的值为8.
故答案为：8.
【思路引导】把y=0代入y=x2+2x-n中可得x2+2x-n=0，利用公式法表示出x、x，同理表示出x、x，根
1 2 3 4
据AD=2BC可得AD2=4BC2，即(x-x)2=4(x -x)2，代入化简可得 ，然后利
1 4 2 3
用换元法进行求解即可.13．（2分）（2022·绥化）设 与 为一元二次方程 的两根，则 的值为
．
【答案】20
【完整解答】解：∵
=9-4=5＞0，
△
∴ ， ，
∴ = ，
故答案为：20；
【思路引导】先求出一元二次方程的解，再将其代入 计算即可。
14．（2分）（2022·扬州）在 中， ， 分别为 的对边，若
，则 的值为 .
【答案】
【完整解答】解：如图所示：
在Rt ABC中，由勾股定理可知： ，
△，
，
， ， ，
，即： ，
求出 或 （舍去），
在Rt ABC中： .
△
故答案为： .
【思路引导】由勾股定理可得a2+b2=c2，结合b2=ac可得a2+ac=c2，两边同时除以c2并求解可得 的值，然
后根据三角函数的概念进行计算.
15．（2分）（2022·宁阳模拟）当x满足 时，方程 的根是
．
【答案】
【完整解答】解： ，
解不等式①得x>2，
解不等式②得x<6，
∴不等式组的解集为2<x<6，
∵ ，∴ ，
解得 ，
∴方程 的根是 ，
故答案为 ．
【思路引导】先解不等式组求出解集，再解一元二次方程，找出符合题意的解。
16．（2分）（2022八下·杭州期中）已知关于x的方程x2－(k+2)x+2k=0，若等腰三角形ABC的一边长
a=1，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为 ．
【答案】5
【完整解答】解：当b＝c时，Δ＝（k+2）2-8k＝0，
解之：k＝2，
方程化为x2−4x＋4＝0，解得x＝x＝2，
1 2
∴△ABC的周长＝2＋2＋1＝5；
当b＝a＝1或c＝a＝1时，
把x＝1代入方程得1−（k＋2）＋2k＝0，
解之：k＝1，
∴x2−3x＋2＝0，解得x＝1，x＝2，
1 2
不符合三角形三边的关系，此情况舍去，
∴△ABC的周长为5.
故答案为：5.
【思路引导】分情况讨论：当b=c时，利用b2-4ac=0，建立关于k的方程，解方程求出k的值；将k的值代
入方程，可求出方程的解；当b＝a＝1或c＝a＝1时，求出方程的解；然后分别利用三角形的三边关系定
理，可确定出三角形的三边长；然后求出三角形的周长.
17．（2分）（2020八下·柯桥期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个
根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则
的值为 .【答案】4或1
【完整解答】解：整理（x﹣1）（mx﹣n）＝0得：mx2﹣（m+n）x+n＝0，
∵（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，
∴[﹣（m+n）]2﹣ m•n＝0，
∴m2﹣ mn+n2＝0，即2m2﹣5mn+2n2＝0，
∴（2m﹣n）（m﹣2n）＝0，
∴2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，
∴m＝ n或m＝2n，
∴ 的值为4或1.
故答案为：4或1.
【思路引导】将方程（x﹣1）（mx﹣n）＝0整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出[﹣
（m+n）]2﹣ m•n＝0，整理后即可得出2m2﹣5mn+2n2＝0，即可求得2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，进而求
得 的值为4或1.
18．（2分）如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC，D，E，F分别为BC，AC，AB边上的点，BF
＝3AF，∠DFE＝90°，若△△BDF与△FEA的面积比为3：2，则△CDE与△DEF的面积比为 ．【答案】5:12
【完整解答】解：如图，过点D、E分别作AB的垂线DG、EH
∵BF＝3AF，△BDF与△FEA的面积比为3：2，
∴ ＝
∴EH＝2DG
∠C＝90°，BC＝2AC
∴tan∠B＝
∴BG＝2DG
设FG＝x，DG＝a，则BG＝2a，AH＝a，EH＝2a
∴AE＝ ＝ a
∵∠DFE＝90°，
∴∠DFG+∠EFH＝90°
又∵∠FEH+∠EFH＝90°
∴∠DFG＝∠FEH
又∵∠FGD＝∠EHF＝90°
∴△DFG∽△FEH
∴
∴∴FH＝
∵BF＝3AF
∴2a+x＝3（a+ ）
整理得：x2﹣ax﹣6a2＝0
解得：x＝3a或x＝﹣2a（舍）
∴FH＝ ，BA＝4AF＝4（a+ ）＝
∵∠C＝90°，BC＝2AC
∴AC：BC：AB＝1：2：
∴AC＝ ＝ ，BC＝2AC＝
由勾股定理得：DF＝ ＝ ＝ ，
EF＝ ＝ ＝
∴S ＝ EF•DF＝ × a× ＝
DEF
△
CE＝AC﹣AE＝ ，CD＝CB﹣BD＝ ﹣ ＝
∴S ＝ × × ＝
CDE
△
∴S ：S ＝ ： ＝5：12
CDE DEF
△ △
故答案为：5：12．
【思路引导】如图，过点D、E分别作AB的垂线DG、EH，由BF＝3AF及△BDF与△FEA的面积比为3：2，可求得EH和DG的数量关系，设FG＝x，DG＝a，则BG＝2a，AH＝a，EH＝2a，先证明
△DFG∽△FEH，用x和a表示出FH，再根据BF＝3AF，列出方程，用含a的式子表示出x，然后用含a
的式子表示出相关线段，进而表示出△CDE与△DEF的面积，两者相比即可得解．
19．（2分）（2022·上虞模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x +4的图象与两坐标轴的正半
轴分别交于点A，B，以AB为三角形一边作等边△ABC，顶点C在反比例函数y= 的图象上，则k=
【答案】 或
【完整解答】解：设C（x， ），
∵一次函数y=-2x+4图象与坐标轴分别交于A、B两点，
∴A（0，4），B（2，0），
∴AC2=x2+（ -4）2，BC2=（x-2）2+ ，AB2=20，
∵等边△ABC，
∴AC2=BC2，
∴x2+（ -4）2=（x-2）2+ ，
整理得：4x- +12=0，∴k= = ，
∴k2= ，
又∵BC2=AB2，
∴BC2=（x-2）2+ =x2-4x+4+ =20，
整理得：x2-2x-11=0，
解得：x=1±2 ，
∴k= = 或k= = ，
整理，解得：k=8+5 或k=8-5 .
故答案为：8+5 或8-5 .
【思路引导】设C（x， ），先求得A（0，4），B（2，0），由两点间距离公式表示出AC2=x2+（
-4）2，BC2=（x-2）2+ ，AB2=20，再由等边三角形性质得AC2=BC2，BC2=AB2，从而得x2+（ -4）2=
（x-2）2+ ，整理得：4x- +12=0，即k= = ，从而得k2= ，再由BC2=（x-2）2+ =x2-4x+4+ =20，整理得x2-2x-11=0，解得x后代入k= ，计算即可求得k值.
20．（2分）（2021九上·隆昌期中）如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，P是边AB上的一个
动点，过点P作PE⊥AB，交BC于点E，连接DP，DE.若AB＝8，△PDE是等腰三角形，则BP的长是
.
【答案】12﹣4 或 ﹣3或4
【完整解答】解：如图，作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N.
∴∠AMD＝∠DNC＝90°，
则△AMD、△DNC都是直角三角形.
∵△ABC是等边三角形，且AB＝8，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵D为AC中点，
∴AD＝CD＝ AC＝4.
在Rt AMD中，
AM＝△AD•cos∠A＝4×cos60°＝2，
DM＝AD•sin∠A＝4×sin60°＝2 ，
同理可得CN＝2，DN＝2 .
∴BM＝AB﹣AM＝6，
BN＝BC﹣CN＝6.设BP＝a，
∵EP⊥AB
∴∠EPB＝90°.
在Rt EPB中，
△
PE＝BP•tan∠B＝a•tan60°＝ a，
BE＝ ＝ ＝2a.
∴MP＝BM﹣BP＝6﹣a，
EN＝BN﹣BE＝6﹣2a.
当△PDE为等腰三角形时，
①当PE＝DE时，
在Rt DEN中，由勾股定理得：
EN2+△DN2＝DE2.
即（6﹣2a）2+（2 ）2＝（ ）2.
解得：a＝12﹣4 ，a＝12+4 ＞8（不合题意，舍去）.
1 2
即BP＝12﹣4 .
②当PE＝PD时，
在Rt DMP中，由勾股定理得：
MP2+△DM2＝PD2.
即（6﹣a）2+（2 ）2＝（ ）2.
解得：a＝ ﹣3，a＝﹣ ﹣3（不合题意，舍去）.
1 2
即BP＝ ﹣3.
③当PD＝DE时，E点在N点右侧时 才能成立，此时 EN＝a﹣6，因为DM＝DN，DP＝DE，都是直角
三角形，所以MP＝EN，即6﹣a＝2a﹣6，解得a＝4.
综上所述，BP的长为12﹣4 或 ﹣3或4.故答案为：12﹣4 或 ﹣3或4.
【思路引导】作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，解直角三角形求出AM，DM，CN，DN的长，从而
得BM，BN的长，设BP＝a，求出MP和EN的长，分三种情况讨论：①当PE＝DE时，②当PE＝PD时，
③当PD＝DE时，分别求出a的值，即可得出答案.
三、解答题(共8题；共60分)
21．（6分）（2022八下·潜山期末）解下列方程：
（1）（3分）（配方法） ；
（2）（3分） ．
【答案】（1）解： ， ， ， ，
， 或 ， ， ；
（2）解： ， ， 或 ， ， ．
【思路引导】（1）利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）利用十字相乘法求解一元二次方程即可。
22．（5分）（2022八下·舟山期末）在用配方法解一元二次方程4x2﹣12x﹣1＝0时，李明同学的解题过程
如下：
解：方程4x2﹣12x﹣1＝0可化成（2x）2﹣6×2x﹣1＝0，
移项，得（2x）2﹣6×2x＝1．
配方，得（2x）2﹣6×2x+9＝1+9，
即（2x﹣3）2＝10．
由此可得2x﹣3＝± ∴x ，x ．
1 2
晓强同学认为李明同学的解题过程是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先把二次项系数化为
1，然后再配方，你同意晓强同学的想法吗？你从中受到了什么启示？
【答案】解：不同意晓强的想法， 当二次项系数不为 1 时，有时也可以把系数的算术平方根与字母看成
整体，再配方．【思路引导】利用数学思想：整体思想；观察解答过程可将2x看着整体，进行配方，然后利用直接开平方
法求出方程的解，即可作出判断.
23．（9分）（2022九上·萧山开学考）已知：关于 的一元二次方程
（1）（3分）求证：无论 取何值，方程都有实根；
（2）（3分）若 是该方程的一个根，求 的值；
（3）（3分）若方程的两个实根均为正整数，求 的值 为整数 ．
【答案】（1）证明：当 时，
方程 ，
，
，
当 时， ，
解得 ．
无论 取何值，方程都有实根；
（2）解：把 代入方程得 ，
解得 ．
故 的值 ；
（3）解： ，
， ， ，
运用公式法解方程可知道此方程的根为 ，此方程的两个根分别为 ， ，
方程的两个实根均为正整数，
， ， ．
【思路引导】（1）当k=0时，方程为3x-3=0，此时有一根；当k≠0时，△=(2k-3)2≥0，据此证明；
（2）根据方程解的概念，将x=-1代入方程中可得关于k的方程，求解可得k的值；
（3）利用求根公式求出方程的两根，结合方程的实根为正整数可得k的值.
24．（6分）（2022八下·百色期末）已知 、 、 是 的三边长，关于 的一元二次方程
有两个相等的实数根．
（1）（3分）请判断 的形状；
（2）（3分）当 ， 时，求一元二次方程的解．
【答案】（1）解：∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴△ABC为直角三角形；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴原方程为 ，
解得： ．
【思路引导】（1）根据关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，可得△=0，可得 ，根据勾股定理的逆定理即得结论；
（2）由 可求出c=4，即得方程为 ， 解之即可.
25．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（4m+1）x+3m2+m=0．
（1）（3分）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）（3分）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围；
（3）（3分）抛物线y=x2﹣（4m+1）x+3m2+m与x轴交于点A．B，与y轴交于点C，当m取（2）中
符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部
（不包括△ABC的边界），求n的取值范围（直接写出答案即可）．
【答案】（1）证明：△=[﹣（4m+1）]2﹣4（3m2+m）
=4m2+4m+1
=（2m+1）2
∵（2m+1）2≥0，
∴无论m取何实数时，原方程总有两个实数根
（2）解：解方程x2﹣（4m+1）x+3m2+m=0得 x=3m+1，x=m，
1 2
由题意得 ，
解得
（3）解：m=1，抛物线为y=x2﹣5x+4=（x﹣ ）2﹣ ，A点坐标为（1，0），B点坐标为（4，
0），C点坐标为（0，4），
直线BC的解析式为y=﹣x+4，
当x= 时，y=﹣x+4= ，
所以此抛物线向上平移 或（ + ）个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在边AB或BC上，所以符合题意的n的取值范围是
【思路引导】（1）利用判别式得到△=[﹣（4m+1）]2﹣4（3m2+m），化简后分析是否大于等于0即可；
（2）解方程用含m的式子表示方程的根，再根据两个实数根一个大于2，另一个小于7列出不等式，然后
求出解集即可；
（3）根据（2）中的解集得出m的最小整数值，代入抛物线中，得出点A、B、C的坐标，求出直线BC的
解析式，然后求出x= 时的y值，然后分析如何平移，可使平移后得到的抛物线顶点落在边AB或BC上，
即可得解.
26．（8分）（2017九上·虎林期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+b与坐标
轴交于C，D两点，直线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程x2﹣3x+2=0的两个根
（OA＞OC）．
（1）（2分）求点A，C的坐标；
（2）（3分）直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，反比例函数y= （k≠0）的
图象的一个分支经过点E，求k的值；
（3）（3分）在（2）的条件下，点M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N
为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：x2﹣3x+2=(x﹣1)(x﹣2)=0，
∴x=1，x=2，
1 2
∵OA＞OC，
∴OA=2，OC=1，
∴A（﹣2，0），C（1，0）
（2）解：将C（1，0）代入y=﹣x+b中，得：0=﹣1+b，解得：b=1，
∴直线CD的解析式为y=﹣x+1．
∵点E为线段AB的中点，A（﹣2，0），B的横坐标为0，
∴点E的横坐标为﹣1．
∵点E为直线CD上一点，
∴E（﹣1，2）．
将点E（﹣1，2）代入y= （k≠0）中，得：2= ，
解得：k=﹣2．
（3）解：假设存在，
设点M的坐标为（m，﹣m+1），
以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形分两种情况（如图所示）：
①以线段BE为边时，∵E（﹣1，2），A（﹣2，0），E为线段AB的中点，
∴B（0，4），
∴BE= AB= ．
∵四边形BEMN为菱形，
∴EM= =BE= ，
解得：m= ，m=
1 2
∴M（ ，2+ ）或（ ，2﹣ ），∵B（0，4），E（﹣1，2），
∴N（﹣ ，4+ ）或（ ，4﹣ ）；
②以线段BE为对角线时，MB=ME，
∴ ，
解得：m=﹣ ，
3
∴M（﹣ ， ），
∵B（0，4），E（﹣1，2），
∴N（0﹣1+ ，4+2﹣ ），即（ ， ）．
综上可得：坐标平面内存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（﹣ ，
4+ ）、（ ，4﹣ ）或（ ， ）
【思路引导】（1）通过解方程x2﹣3x+2=0，可得OA、OC的长，再结合A、C两点的位置即可写出A、C
坐标；
（2）根据（1）中C的坐标可求出直线CD解析式，再根据线段AB两端点的横坐标可知中点E的横坐标，
结合直线CD的解析式即可求出点E坐标，从而求出反比例函数中的k值；
（3）设出点M的坐标，分线段BE是菱形边和对角线两种情况，利用菱形的四边都相等及对角线垂直平
分的性质，借助两点间距离公式即可列方程求解。
27．（8分）（2022·龙东）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在
y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程 的两个根， ，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线 向点B运
动，到达B点停止．设运动时间为t秒， 的面积为S．
（1）（2分）求点C的坐标；
（2）（3分）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）（3分）在点P的运动过程中，是否存在点P，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解： ，解得 ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∴点C坐标为 ；（2）解：当 时， ，
当 时，过点A作 交CB的延长线于点F，如图，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：存在点P，使 是等腰三角形，理由如下：
根据题意得：当点P在CD上运动时， 可能是等腰三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠BAD，BC=AD=5，
∴ ，
∵点M为BC的中点，∴ ，
当CP=PM时，过点M作MF⊥PC于点F，
∴ ，
设PC=PM=a，则PD=7-a， ，
∵PF2+FM2=PM2，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴此时点P ；
当 时，∴ ，
∴此时点P ；
当PM=CM时，过点M作MG⊥PC于点G，则 ，
∴ ，
∴PD=7-PC=4，
∴此时点P ；
综上所述，存在点P 或 或 ，使 是等腰三角形
【思路引导】（1）先利用一元二次方程求出 ， ，再结合 求出 ，根
据平行四边形的性质求出 ，即可得到点C的坐标；
（2）分两种情况：①当 时，②当 时，分别利用三角形的面积公式求出函数解析式即可
得到答案；
（3）分类讨论：①当CP=PM时，过点M作MF⊥PC于点F，②当 时，③当PM=CM时，过点M作MG⊥PC于点G，则 ，分别画出图象并求解即可。
28．（9分）（2022八下·拱墅月考）如图，在长方形 中，边 、 的长
是方程 的两个根.点 从点 出发，以每秒 个单位的速度沿 边
的方向运动，运动时间为 秒 .
（1）（3分）求 与 的长；
（2）（3分）当点 运动到边 上时，试求出使 长为 时运动时间 的值；
（3）（3分）当点 运动到边 上时，是否存在点 ，使 是等腰三角形？若存在，
请求出运动时间 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解： ，
则 ，
， .
则 ， ；
（2）解：由题意得 ，
， 舍去 ，
则 时， ；（3）解：存在点 ，使 是等腰三角形，
当 时， 秒 ；
当 即 为对角线 中点 时， ， .
， ，
秒 ；
当 时，作 于 ，
， ，
，
秒 ，
可知当 为 秒或 秒或 秒时， 是等腰三角形.
【思路引导】（1）利用因式分解法求出方程的解，据此可得AB、BC的长；
（2）根据勾股定理可得32+(t-3)2=10，求解即可；
（3）存在点P，使△CDP是等腰三角形，①当PC=CD=3时，易得t的值；②当PD=PC时，利用勾股定理
可得AC、CP，进而可得t；③当PD=CD=3时，作DQ⊥AC于点Q，根据三角形的面积公式可得DQ，利
用勾股定理求出PQ，进而得到PC，据此不难求出t的值.
