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2022-2023 学年北师大版数学九年级上册压轴题专题精选汇编
专题 04 解一元二次方程
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022八下·莱芜期末）用配方法解一元二次方程 ，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解：∵x2-6x+4=0，
∴x2-6x=-4，
∴x2-6x+9=-4+9，即（x-3）2=5．
故答案为：D．
【思路引导】利用配方法的计算方法和步骤求解即可。
2．（2分）（2022八下·莱芜期末）已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程 的
一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．12 B．13 C．12或13 D．15
【答案】B
【完整解答】解：∵ ，
即（x﹣3）（x﹣4）=0，
∴x﹣3=0或x﹣4=0，
解得：x=3或x=4，
当x=3时，则三角形的三边3+3=6，无法构成三角形，舍去；
当x=4时，这个三角形的周长为3+4+6=13，
故答案为：B．【思路引导】先求出方程 的解，再利用三角形三边的关系求出第三边的长，最后利用三角
形的周长公式计算即可。
3．（2分）（2022八下·百色期末）用配方法解方程 ，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解： ，
，
，
，
故答案为：D．
【思路引导】先将常数项移到方程的右边，再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，最后价格方
程左边写成完全平方式即可.
4．（2分）（2022八下·临泉期末）用配方法解方程 时，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B．
【思路引导】利用配方法求解即可。5．（2分）（2022八下·上虞期末）用[x]表示不大于x的最大整数，则方程 的解的个数
为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【完整解答】解：因为x≥[x]，方程变形为2[x]=x2-3，
2x≥x2-3，
解此不等式得：-1≤x≤3.
现将x的取值范围分为5类进行求解
（1）-1≤x＜0，则[x]=-1，
原方程化为x2-1=0，
解得x=-1；
（2）0≤x＜1 则[x]=0，
原方程化为x2-3=0，
无解；
（3）1≤x＜2，则[x]=1，
原方程化为x2-5=0，
无解；
（4）2≤x＜3，则[x]=2，
原方程化为x2-7=0，
解得x= ；
（5）x=3显然是原方程的解.
综合以上，所以原方程的解为-1， ，3.
故答案为：C.
【思路引导】根据定义的新运算可将方程变形为2x≥x2-3，求解可得x的范围，然后分：当-1≤x＜0时，
[x]=-1，原方程化为x2-1=0，求解可得x的值；当0≤x＜1时，[x]=0，原方程化为x2-3=0，求解即可；同理
可求出1≤x＜2、2≤x＜3、x=3时对应的x的值.
6．（2分）（2021九上·通川期末）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上， ，
EC分别交AD，BD于点F，G，若 ，则 的值为（ ）.A． B． C．2 D．
【答案】B
【完整解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴DC∥AB，
∴∠DCE=∠AEC，∠CDA=∠EAD
∴
∴
设AB=AF=CD=x ，AE=AD=y，
则有
给方程两边同时除以 ，
令 为t则有
解得 ， （舍去）
则t= =
则 = .
故答案为：B.【思路引导】由矩形的性质以及平行线的性质可得∠DCE=∠AEC，∠CDA=∠EAD，证明
△EAF∽△CDF，设AB=AF=CD=x ，AE=AD=y，由相似三角形的对应边成比例可得x2-y2+xy=0，给方程
两边同时除以x2可得关于 的一元二次方程，求出 的值，据此解答.
7．（2分）（2019九上·富顺月考）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示
中较大的数，如 ,按这个规定，方程 的解为 ( )
A． B． C． D． 或-1
【答案】D
【完整解答】解：当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： ，即 ,
解得：
经检验 是分式方程的解；
当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： 代入公式得： ，
解得： （舍去），
经检验 是分式方程的解，
综上，所求方程的解为 或-1．
故答案为：D.
【思路引导】分 和 两种情况将所求方程变形，求出解即可．8．（2分）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 的两个根，则这个直角三
角形的斜边长是（ ）
A． B．3 C．6 D．9
【答案】B
【思路引导】设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7=0的两个根，
∴a+b=4，ab=3.5；
根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣7=9，
∴c=3.
故选B．
9．（2分）（2022八下·上城期末）用配方法解一元二次方程 ，配方后得到的方程是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】解：把方程 的常数项移到等号的右边，得到 ，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 ，
左边利用完全平方公式分解因式得 .
故答案为：B.
【思路引导】首先将常数项移至右边，然后给方程两边同时加上一次项系数一半的平方“1”，再对左边的
式子利用完全平方公式分解即可.
10．（2分）（2022八下·镇海区期末）方程 经配方后，可化为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【完整解答】解： ，故答案为：A.
【思路引导】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上一次项系数一半的平方“4”，再对左边的式子
利用完全平方公式分解即可.
二、填空题(共10题；共20分)
11．（2分）（2022八下·安庆期末）若方程 有两个相等的根，则方程
的根分别是 ．
【答案】 ， 或 ，
【完整解答】解：∵关于x的方程x2﹣（a﹣3）x﹣3a﹣b2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝[﹣（a﹣3）]2﹣4（﹣3a﹣b2）＝ ＝（a+3）2+4b2＝0，
∴a＝﹣3，b＝0，
把a＝﹣3，b＝0代入x2+ax+b＝0
得：x2﹣3x＝0，
解得：x＝0，x＝3．
1 2
故答案为：x＝0，x＝3．
1 2
【思路引导】根据题意先求出a＝﹣3，b＝0，再求出x2﹣3x＝0，最后解方程即可。
12．（2分）（2022·福建）已知抛物线 与x轴交于A，B两点，抛物线 与
x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为 .
【答案】8
【完整解答】解： 把y=0代入 得： ，
解得： ， ，
把y=0代入 得： ，解得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
，
令 ，则 ，
解得： ， ，
当 时， ，解得： ，
∵ ，
∴ 不符合题意舍去；
当 时， ，解得： ，
∵ ，
∴ 符合题意；
综上分析可知，n的值为8.
故答案为：8.
【思路引导】把y=0代入y=x2+2x-n中可得x2+2x-n=0，利用公式法表示出x、x，同理表示出x、x，根
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据AD=2BC可得AD2=4BC2，即(x-x)2=4(x -x)2，代入化简可得 ，然后利
1 4 2 3
用换元法进行求解即可.13．（2分）（2022·绥化）设 与 为一元二次方程 的两根，则 的值为
．
【答案】20
【完整解答】解：∵
=9-4=5＞0，
△
∴ ， ，
∴ = ，
故答案为：20；
【思路引导】先求出一元二次方程的解，再将其代入 计算即可。
14．（2分）（2022·扬州）在 中， ， 分别为 的对边，若
，则 的值为 .
【答案】
【完整解答】解：如图所示：
在Rt ABC中，由勾股定理可知： ，
△，
，
， ， ，
，即： ，
求出 或 （舍去），
在Rt ABC中： .
△
故答案为： .
【思路引导】由勾股定理可得a2+b2=c2，结合b2=ac可得a2+ac=c2，两边同时除以c2并求解可得 的值，然
后根据三角函数的概念进行计算.
15．（2分）（2022·宁阳模拟）当x满足 时，方程 的根是
．
【答案】
【完整解答】解： ，
解不等式①得x>2，
解不等式②得x<6，
∴不等式组的解集为2
