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专题 04 求一次函数的表达式
目录
A题型建模・专项突破
题型一、已知一点求正比例函数的表达式..........................................................................................................1
题型二、已知一点求一次函数中K值或b值......................................................................................................3
题型三、已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式............................................................................6
题型四、两直线平移，求直线的表达式..............................................................................................................8
题型五、已知两点求一次函数的表达式............................................................................................................11
B综合攻坚・能力跃升
题型一、已知一点求正比例函数的表达式
1.已知 与 成正比例，当 时， ．
(1)求 与 之间的函数解析式；
(2)当 时，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求函数值，根据正比例的定义设出函数表达式是解题
的关键．
（1）根据正比例的定义设 ，然后把已知数据代入进行计算求出k值，即可得解；
（2）求得 和 时所对应的函数值，然后根据一次函数的性质即可求得y的取值范围．
【详解】（1）解：设该正比例函数的解析式为 ，
把 ， 代入 ，得 ，
∴y与x之间的函数解析式为 ；
（2）解：当 时， ，
当 时， ，
，
∴y 随x的增大而减小，
∴当 时， ．
2．已知正比例函数图象经过点 ．
(1)求此正比例函数的解析式；(2)点 是否在此函数图象上？请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)点 不在此函数图象上，理由见解析
【知识点】正比例函数的性质
【分析】本题主要考查了求正比例函数图象的性质，求正比例函数值：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出当 时y的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设此正比例函数的解析式为 ，
把 代入 中得： ，
∴此正比例函数的解析式为 ；
（2）解：点 不在此函数图象上，理由如下：
在 中，当 时， ，
∴点 不在此函数图象上．
3．已知正比例函数 的图象经过点 ，求：
(1)该函数的表达式；
(2)若点 在此函数图象上，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式、正比例函数图象上的点的特征，熟练掌握以上知
识点是解此题的关键．
（1）将 代入 求出 的值即可得出函数的表达式；
（2）将 代入 得： ，求出 的值即可．
【详解】（1）解：将 代入 得： ，
解得： ，
该函数的表达式为： ；
（2）解：将 代入 得： ，
解得： ．
4．已知 与 成正比例关系，且当 时， ．
(1)求 与 之间的函数解析式．
(2)若点 在这个函数的图象上，求 的值．【答案】(1)
(2)10
【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的图象
【分析】本题主要考查了求正比例函数关系式，
（1）设关系式为 ，再将数值代入求值即可；
（2）将点 代入关系式，求出解即可．
【详解】（1）解：根据题意，设 ．
当 时， ，
，
解得 ，
与 之间的函数解析式为 ．
（2）把 代入 ，得 ，
解得 ，
的值为10．
题型二、已知一点求一次函数中K值或b值
5.已知直线 经过点 ．
(1)求a的值；
(2)将该直线向下平移k个单位长度使其成为正比例函数，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了求一次函数解析式和一次函数平移，解题关键是熟练运用待定系数法求出解析式；
（1）把 代入即可求出a的值；
（2）根据正比例函数图象经过原点，确定k的值即可．
【详解】（1）解：把 代入 ,
可得 ，
解得 ；
（2）解：因为正比例函数图象经过原点，
所以，将该直线向下平移3个单位长度使其成为正比例函数，
所以， ．6．已知一次函数 的图象经过点 ．
(1)求此一次函数的表达式．
(2)判断点 是否在该函数图象上，并说明理由．
【答案】(1)一次函数表达式为 ；
(2)点 在该函数图象上，理由见解析．
【分析】（ ）利用待定系数法解答即可求解；
（ ）把 代入（ ）得到的函数表达式中，求出 的值，与点的纵坐标 比较即可判断；
此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象，掌握待定系数法是解题的关键．
【详解】（1）解：把点 代入 得： ，
解得 ，
故所求一次函数表达式为 ；
（2）解：当 时， ，
故点 在该函数图象上．
7．已知一次函数 ，当 时， ．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求该一次函数与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】(1) ；
(2)16．
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴围成的图形面积．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得直线与坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：将 时， 代入 得： ，
解得
∴一次函数的解析式为 ；
（2）解：令 ，则 ， ，
令 ，则 ，
．
8．已知一次函数 ，其中 ．
(1)若点 在y的图象上，求k的值．(2)当 时，若函数有最大值9，求y的函数表达式．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查了一次函数图象上的点，一次函数的性质；
（1）将点 代入关系式，求出 ，即可求解；
（2）①当 时，即： ，利用一次函数的增减性得当 时， ，将此代入即可求解；②当
时，即： ，利用一次函数的增减性得当 时， ，将此代入即可求解；
掌握一次函数的性质中的增减性，并利用其确定取得最值的条件是解题的关键．
【详解】（1）解： 点 在 的图象上，
，
解得： ；
故答案为： ；
（2）解：①当 时，即： ，
当 时，函数的最大值为9，
当 时， ，
，
解得： ，
一次函数解析式为 ；
②当 时，即： ，
当 时，函数的最大值为9，
当 时， ，
，
解得： ，
一次函数解析式为 ；
综上所述：一次函数解析式为 或 ；
题型三、已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式
9.已知y与 成正比例，且当 时， ．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当 时，求x的值．
【答案】(1)
(2)【分析】本题考查了正比例函数的定义，求自变量的值；掌握正比例函数定义是关键．
（1）由题意设 ，把x与y的值代入即可求得k的值，从而求得函数解析式；
（2）把 代入所求函数式中，即可求得自变量的值．
【详解】（1）解：∵y与 成正比例，
∴设 ，
当 时， ，则 ，
即 ，
∴ ，
即 ；
（2）解：当 时，即 ，
解得： ．
10．已知 与 成正比例，当 时， ．
(1)求 与 的函数表达式；
(2)试判断点 是否在（1）中的函数图像上，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不在，理由见解析
【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式、正比例函数的图像上点的坐标特征，熟练掌握以
上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）设 ，再由当 时， ，求出 的值即可得解；
（2）当 时，求出 的值，与 进行比较即可．
【详解】（1）解： 与 成正比例，
设 ，
当 时， ，
，
解得： ，
，即 ，
与 的函数表达式为 ；（2）点 不在（1）中的函数图像上，理由如下：
在 中，当 时， ，
点 不在（1）中的函数图像上．
11．已知 和 成正比例，当 时， ．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)若点 是该函数图象上的一点，求a的值．
【答案】(1)
(2)8
【分析】本题考查正比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、点在图像上求参数等知识，熟练掌
握正比例函数的图象与性质是解决问题的关键．
（1）利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案；
（2）由（1）中所求表达式，将 代入解方程即可得到答案．
【详解】（1）解： 和 成正比例，
设 ，
代入 得 ，解得 ，
；
（2）解：由（1）知 ，
点 是该函数图象上的一点，
把点 代入 ，得 ，解得 ．
12．已知 与 成正比例，且当 时， ．
(1)求y与x之间的函数解析式．
(2)当 时，求y的值；
(3)若点 ， 都在该函数的图象上，且 ，试判断 ， 的大小关系．
【答案】(1)
(2)12
(3)
【分析】本题考查正比例函数的图象和性质：
（1）设 ，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将 代入（1）中解析式进行求解即可；
（3）根据正比例函数的性质，求解即可．【详解】（1）解：由题意，设： ，
∵ 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴当 时， ；
（3）∵ ， ，
∴ 随 的增大而增大，
∵点 ， 都在该函数的图象上，且 ，
∴ ．
题型四、两直线平移，求直线的表达式
13．已知一次函数 的图象与直线 平行，且经过点 ，求一次函数解析式．
【答案】
【分析】本题主要考查了两直线平行问题，求一次函数解析式．根据互相平行的两直线解析式的k值相等，
得到一次函数的解析式为 ，再把点 代入解析式求解即可．
【详解】解：∵一次函数 的图象与直线 平行，
∴ ，
∴一次函数为 ，
∵一次函数过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数的解析式为： ．
14．将直线 向下平移2个单位长度后得到直线 ．
(1)写出直线 的函数解析式；
(2)判断点 是否在直线 上．
【答案】(1) ；
(2)不在，理由见解析．
【分析】（1）根据上加下减的规律求解即可；
（2）把 代入 求出函数值即可判断．【详解】（1）直线 向下平移 2 个单位长度得到的直线的函数解析式为 ；
（2）当 时， ，
∴点 不在直线 上．
【点睛】本题考查了一次函数的平移，以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律是解答本
题的关键．
15.在平面直角坐标系中，一次函数 的图象由函数 的图象向下平移1个单位得到．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)直线 上存在 两点，求 的面积；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据“左加右减，上加下减”下减原则即可得答案．
（2）根据 是直线 上两点，确定两点的坐标，后计算 的面积．
本题考查了一次函数的平移，一次函数图像上点的坐标特征，三角形面积，熟练掌握平移规律是解题的关
键．
【详解】（1）解：一次函数 的图象由函数 的图象向下平移1个单位得到，
∴ ， ，
∴一次函数的表达式 ．
（2）∵ 是直线 上两点，
∴ ， ，
解得： ，
∴ ，．
16．在平面直角坐标系中，点 在直线 上，分别过点A、B作x轴，y轴的平行线
交于点C．
(1) ， ；
(2)求过点C且平行于 的直线 的解析式．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式等知识，求出 ， 的值是解题的
关键．
（1）把点 分别代入函数解析式即可得到答案；
（2）写出点A和点B的坐标，根据题意求出点C的坐标，利用待定系数法求出直线 的解析式即可．
【详解】（1）∵点 在直线 上，
∴ ， ，
解得 ， ，
故答案为： ， ，
（2）由（1）可得，点 ，
分别过点A、B作x轴，y轴的平行线交于点C．
∴点C的坐标是 ，
∵直线 平行于 ，
∴可设直线 的解析式为 ，
把点 代入得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
题型五、已知两点求一次函数的表达式
17.已知一次函数图像经过点 、 ．
(1)求这个一次函数的解析式；(2)求这个一次函数图像与两坐标轴所围成的图形面积．
【答案】(1)
(2)8
【分析】此题考查了一次函数的解析式和一次函数图像与坐标轴的交点问题．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）求出一次函数图像与x轴的交点，得到三角形两直角边的长，即可求出答案．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式为 ，
∵一次函数图像经过点 、 ，
∴ ，
解得： ，
所以，这个一次函数的解析式为 ，
（2）设一次函数图像与x轴交于点C，
令 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
18．在直角坐标系内，一次函数 的图象经过三点 ．
(1)求这个一次函数解析式；
(2)求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求一次函数及求自变量的值，熟练掌握待定系数法求一次函数是解题的关键．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）把 代入一次函数即可得解．
【详解】（1）解：把 代入 中得：
，解得： ，∴这个一次函数解析式为： ；
（2）解：把 代入： 中得：
，
∴ ；
19．已知一次函数 ，它的图象经过 ， 两点．
(1)求y与x之间的函数表达式．
(2)当 时，求函数值y的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法
求函数表达式的方法．
（1）把点 ， 的坐标分别代入 ，得到二元一次方程组，然后求得k、b的值，即可得到
答案；
（2）根据 ，y随x的增大而增大，即可得出对应自变量取值范围函数值y的取值范围．
【详解】（1）解：把点 ， 的坐标分别代入 ，
得： ，
解得 ，
∴y与x之间的函数关系式为： ．
（2）当 时， ；当 时， ，
∵ ，y随x的增大而增大，
∴当 时， ．
20．已知y是x的一次函数，且当 时， ；当 时， ．求：
(1)这个一次函数的表达式．
(2)当 时，函数y的值．
(3)当 时，自变量x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及求函数解析式的值，一次函数的性质．
（1）设 ，利用待定系数法求解即可；
（2）将 代入一次函数解析式，即可求解；
（3）根据 的值，可知 随 的增大而减小，分别求出 和 对应的 的取值，即可求解．
【详解】（1）解：设 ，
∵当 时， ；当 时， ，
∴ ，
解得 ，
函数解析式为 ；
（2）解：将 代入 得， ；
（3）解：∵ ，
∴y随x的增大而减小，
把 代入得， ，
解得： ，
∴当 时， ，
∴当 时，自变量x的取值范围为 ．
一、单选题
1．（24-25八年级下·吉林长春·期末）将一次函数 向下平移5个单位长度后得到 ，则
的表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的平移，掌握平移的规律是解题的关键；根据一次函数平移规律，原函数向
下平移5个单位后，解析式为 ，与平移后的函数 对比，即可求出原函数的表达式．
【详解】解：一次函数 向下平移5个单位后，解析式变为 ．
∵平移后的函数为 ，
∴ ， ，解得 ．
将 和 代入原函数，得 ，
故选：A．
2．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，李爷爷要围一个矩形菜园 ，菜园的一边利用足够
长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为 ．设边 的长为 ，边 的长为 ，则y与
x之间的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数表达式，解题关键是掌握找准等量关系．
根据题中等量关系列出一次函数表达式．
【详解】解：设边 的长为 ，边 的长为 ，
∵菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
又 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ，且 ，
故选：B．
3．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，在长方形 中， ，点P是边 上
的动点（不与点C重合），点Q是边 上任意一点．点P从点D出发以 的速度向点C运动，则
的面积 与点P的运动时间 间的函数关系式为（ ）A． B．
C． D．因点Q的位置不确定，故无法求出表达式
【答案】C
【分析】本题考查动点问题、求自变量与因变量的关系式，根据 ，用含t的代数式表示出
的底边 的长即可得到答案．
【详解】解：由题意， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
二、填空题
4．（23-24八年级上·江苏南京·期末）风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，
科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．当气温为
时，下表列出了风寒温度和风速的几组对应值，那么Ｔ与v的函数表达式可能是 ．
风速 0 10 20 30 40
风寒温度 5 3 1
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．利用待定系数法求解即可．
【详解】解：由表格中数据可知，当气温为一定时，风寒温度T和风速v成一次函数关系，
设风寒温度T和风速v的关系式为： ，
根据题意，得 ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．5．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）已知直线 平行于直线 ，且在y轴上的截距
为 ，那么该直线的解析式是 ．
【答案】
【分析】本题考查两条直线相交或平行问题，根据互相平行的直线的解析式的一次项系数的值相等确定出
k，根据“在y轴上的截距为 ”计算求出b值，即可得解．
【详解】解：∵直线 平行于直线 ，
∴ ．
又∵直线 在y轴上的截距为 ，
∴ ，
∴这条直线的解析式是 ．
故答案为： ．
6．（21-22八年级下·河北邯郸·期末）一次函数 向下平移 个单位长度，得到新的一次函数表达
式是 ；一次函数 经过平移过程 (填向上或向下平移几个单位长度)得到一个正比例函数．
【答案】 向下平移一个单位
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，以及正比例函数的定义，即可求解．
【详解】解：一次函数 向下平移 个单位长度，得到新的一次函数表达式是 ；
一次函数 经过向下平移一个单位得到正比例函数 ，
故答案为： ；向下平移一个单位．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，正比例函数的定义，熟练掌握一次函数的平移规律是解题的关
键．
三、解答题
7．（20-21八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数 （k为常数，且 ）的图象经过点
.
(1)求一次函数的表达式；
(2)写出一次函数图象沿y轴向下平移3个单位后的图象对应的函数表达式.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了求一次函数的解析式及一次函数图象的平移规律，熟练掌握求一次函数的解析式及一
次函数图象的平移规律是解题的关键．
（1）将点 的坐标代入 计算即可；
（2）根据一次函数图象的上下平移规律计算即可．
【详解】（1）解： 一次函数 （k为常数，且 ）的图象经过点 ，
∴ ，解得 ，
即该一次函数的表达式为 ；
（2）解：一次函数图象沿y轴向下平移3个单位后所得图象对应的函数表达式为 ．
8．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线 经过点 ，且与
x轴交于点B．
(1)求点B的坐标；
(2)若将直线 平移得到直线 ，且直线 经过点 ，求直线 的函数解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把 代入 ，确定直线的解析式，后计算与x轴的交点坐标即可．
（2）设直线 ，代入点 计算，即可解答．
本题考查了待定系数法，一次函数的平移，与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法，平移是解题的关键．
【详解】（1）解：把 代入 ，
得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
解得 ，
点B的坐标为 ．
（2）解： 直线 由直线 平移得到，
设直线 的函数解析式为 ．
直线 经过点 ，
，
解得 ，
直线 的函数解析式为 ．
9．（24-25八年级下·吉林·期末）已知一次函数的图象过点 和 ．
(1)求这个函数的解析式；
(2)求该一次函数的图象与 轴的交点坐标．
【答案】(1)
(2)【分析】此题主要是考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，求函数值，能够熟练掌握待定系数法是
解答此题的关键．
（1）设一次函数解析式为 ，把 、 代入解析式，求得 ，即可求解；
（2）令一次函数解析式中的 ，求得 的值，即可求解．
【详解】（1）设一次函数解析式为 ，
把 、 分别代入得 ，
解得 ，
一次函数解析式为 ；
（2）当 时， ，
解得 ，
该一次函数的图象与 轴的交点坐标为 ．
10．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知 与 成正比例，且当 时， ．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)若点 在这个函数的图象上，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题综合考查了正比例的定义，函数图象上点的坐标特征．正确理解正比例的定义是解题的关键；
（1）根据正比例的定义设 ，然后把 ， ，代入计算求出 值，再整理即可；
（2）将点 代入（1）中所求的函数解析式求 的值．
【详解】（1） y与 成正比例
可设 ，
把 ， 代入 得， ，
解得 ，
；
（2）若点 在这个函数的图象上，则 ，
解得 ．
11．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，直线 与x轴、y轴分别交于A、B，两点， ，
点C是直线 上与A、B不重合的动点．(1)求直线 的解析式；
(2)当 的面积是6时，求点C的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据已知得出
C点的纵坐标是解决问题的关键．
（1）依据题意，根据直线解析式求出点B坐标及 长度，结合 得出 长度，从而得出点A坐标，
进而可以得解；
（2）依据题意，先根据 面积及 长度可得点C纵坐标的绝对值，结合点 是直线
上与A、B不重合的动点可得点 C纵坐标，继而代入解析式得出答案．
【详解】（1）解：由题意， ，
当 时， ，
，
，
，
，
点A的坐标为 ，
把点 代入 得 ，
直线的解析式为 ；
（2）解：∵ 的面积是6，
点C的纵坐标的绝对值为 ，
点 是直线 上与A、B不重合的动点，
点C的纵坐标是 ，
把 代入 可得： ，点C的坐标是 ．
12．（2024九年级上·陕西西安·竞赛）平面直角坐标系中，已知直线 ，过 作 垂直于
，并使 ，求直线 的解析式．
【答案】 或
【分析】该题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数解析式求解，全等三角形的性质和判定，解题
的关键是分类讨论．先求出A、B的坐标，画出示意图，分为①当C点在x轴下方时，②当C点在x轴上方
时，分别构建全等三角形，解答即可．
【详解】解：令 ，则 ，故 ，
令 ，则 ，解得： ，故 ，
①当C点在x轴下方时，
过A点作x轴垂线，过B，C分别向x轴的垂线作垂线，垂足为D，E．
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入 得 ，解得： ，
∴ ；
②当C点在x轴上方时，
过C点作x轴垂线，垂足为D．
∵ ，
∴ ，
在 与 中 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入 得 ，解得： ，
∴ ，
综上，直线 的解析式为 或 ．
13．（24-25八年级下·贵州黔南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与两坐标轴相交于点
和 ．
(1)求直线 的函数解析式．(2)直线 上是否存在一点M，使得 ？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在． 或 ．
【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，已知三角形之间的面积关系求点的坐标．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）设点 的坐标为 ，列出方程 ，求解即可．
【详解】（1）解：设直线 的函数解析式为 ，
由题意，得 ，
解得 ，
∴直线 的函数解析式为 ．
（2）解：存在．
理由：设点 的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 ，
∴存在点 使得 ，其坐标为 或 ．
14．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，直线l与x轴、y轴分别交于点 、点 ，以
线段 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形 ， ，点 为y轴上一个动点．(1)求点C坐标；
(2)求直线 的函数表达式；
(3)当 与 面积相等时，求实数a的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）过点C作 轴，根据等腰直角三角形的性质证明 ，推出
，进而求出 ，即可得到点C的坐标；
（2）由（1）知点C的坐标，利用待定系数法即可求解；
（3）利用勾股定理求出 ，即可求出 的面积为 ，由题意可得 ，根据
，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点C作 轴，
∵ 为等腰直角三角形，且 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 、点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
（2）解：由（1）知 ，
设直线 的函数表达式为： ，
则 ，解得 ，
∴直线 的函数表达式 ；
（3）解：∵ 为等腰直角三角形，且 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 ，
∴ ，
∵ 与 面积相等，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ．
【点睛】本题考查图形与坐标、一次函数与几何综合、勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的
判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
15．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图， 反映了某公司产品的销售收入 （千元）与销售量x
（吨）之间的关系， 反映了该公司产品的销售成本 （千元）与销售量x（吨）之间的关系，其中点A
的坐标为 ，点P的坐标为 ．(1)当销售量 ________时，销售收入等于销售成本；当销售量x________时，该公司盈利（销售收入大于
销售成本）．
(2)求 和 的表达式．
(3)当该公司盈利（销售收入 销售成本）10千元时，销售量是多少？
【答案】(1)6；
(2) ；
(3)26吨
【分析】本题考查了函数图象的识别，一次函数解析式的求解，一元一次方程的求解，解决本题的关键是
正确识别图象并会使用待定系数法求解函数解析式．
（1）观察函数图象，根据函数图象即可求解；
（2）设出一次函数解析式，将点代入函数解析式，使用待定系数法求解即可；
（3）根据盈利即为销售收入 销售成本列方程求解即可．
【详解】（1）解：根据函数图象可知， 与 相交于点 ，
∴当销售量 时，销售收入等于销售成本；
由函数图象可知，当 位于 上方时，公司盈利，
即当销售量 时，该公司盈利（销售收入大于销售成本）；
故答案为：6； ；
（2）解：设 的表达式为 ．
把点 代入，得 ．解得 ．
∴ 的表达式为 ．
设 的表达式为 ．
把点 ， 代入，
，解得 ，∴ 的表达式为 ．
（3）解：由（2）知， ， ，
∴该公司盈利10千元时，
即 ．
解得 ．
答：当该公司盈利（销售收入-销售成本）10千元时，销售量是26吨．
