文档内容
专题 04 直角三角形的性质与判定
目录
A题型建模・专项突破
题型一、直角三角形的两个锐角互余......................................................................................................................1
题型二、锐角互余的三角形是直角三角形..............................................................................................................3
题型三、判断三边能否构成直角三角形..................................................................................................................5
题型四、在网格中判断直角三角形..........................................................................................................................7
题型五、利用勾股定理的逆定理求解....................................................................................................................11
题型六、勾股定理逆定理的实际应用....................................................................................................................19
题型七、利用HL判定直角三角形全等.................................................................................................................22
题型八、直角三角形全等的性质和HL综合.........................................................................................................25
B综合攻坚・能力跃升
题型一、直角三角形的两个锐角互余
1．（25-26八年级上·广西钦州·期中）在 中，若一个锐角等于 ，则另一个锐角的度数为
2．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在 中， ， ， 分别在 上，
连接 ，若 ，则
3．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，直角三角形 中， ， ， ， 是
边 上一点，且 ，过点 作 ，交边 于点 ，则 的周长是 ．
4．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图， 是 的角平分线， ，垂足为 ，
， ，则 的大小是 ．题型二、锐角互余的三角形是直角三角形
5．（2025八年级上·全国·专题练习）在 中， ，若要使 是直角三角形，则 可以是
（写出一个即可）．
6．（2025八年级上·全国·专题练习）若 中， ，则最大角 ，
是 三角形．
7．（2025八年级上·全国·专题练习）一个三角形中，有两个角的度数分别为 和 ，则这个三角形是
三角形。
8．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在 中， ， 、 分别在 、 上，连接
，若 ，则 是 三角形．
题型三、判断三边能否构成直角三角形
9．（25-26八年级上·吉林长春·期末）若 的三边分别是 ， ， ，则下列条件不能判断 是直
角三角形的是（ ）
A． B．
C． ， ， D． ， ，
10．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）下列条件中，不能判断 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）下列条件不能判定 为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
题型四、在网格中判断直角三角形
13．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C
都在格点上，则下列结论错误的是（ ）A． B．
C． 的面积为10 D．点A到直线 的距离是2
14．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点 都
在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． 的面积为10 D．点 到直线 的距离是2
15．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点
均在网格线的交点上．
(1)直接写出 三边的长度．
(2)判断 的形状，并说明理由．
16．（24-25八年级上·贵州贵阳·月考）如图所示，图中每个小正方形的边长都为1，点 ， ， ， 在
格点上．
(1)四边形 的周长为 ，面积为 ．(2)直接写出 的 边上的高的长度为 ．
(3)若 是以 为斜边的直角三角形，且构成 的三边都为无理数，则在图中满足条件的格点
共有 个，请在图中画出满足条件的一个 ．
题型五、利用勾股定理的逆定理求解
17．（23-24八年级上·广东揭阳·期末）如图，一张三角形纸片 ，已知， ， ， ，
将该纸片折叠，若折叠后点 与点 重合，折痕 与边 交于点 ，与边 交于点 ．
(1)求 的面积．
(2)求折痕 的长．
18．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在 中，点E为边 上的一点，连接 ，过点A作
，交 延长线于点F，过点A作 ，垂足为D．已知 ， ， ，
．
(1)求线段 的长；
(2)求证： ．
19．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，已知在 中， ， ， ，动
点 从点 出发，沿着 的三条边逆时针走一圈回到 点，速度为 ，设运动时间为 秒．
(1)求 边上的高；
(2) 为何值时， 为等腰三角形？
(3)另有一点 ，从点 开始，按顺时针走一圈回到 点，且速度为每秒 ，若 两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 为何值时，直线 把 的周长分成相等的两部
分？
20．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，已知 中， ，
(1) ______ 填“是”或“不是” 直角三角形，如图1，过点A作 于点H，则线段 的长
度为______；
(2)如图2，以A为直角顶点，作等腰直角 ， ，点B，D，E在同一条直线上，连接 ，
请求出 线段长，并说明 与 的位置关系；
(3)在同一平面内有一点P，满足 ，且 ，设点A到直线 的距离为h，请直接写出h的值．
题型六、勾股定理逆定理的实际应用
21．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，某农场设置了两个灌溉喷头A，B，且 ，B之间的距离为
，为保障灌溉用水供应，在农田边缘的灌溉渠 上安装了一个供水阀 ，供水阀 到 的距离
（ 于点 ）的长为 ， 到喷头 的管道 的长为 ．
(1)求供水阀M到喷头A的距离；
(2)试判断灌溉渠 与管道 的位置关系，并说明理由．
22．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在笔直的公路 旁有一座山，为方便运输货物现要从公路
上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为 ，与公路上另
一停靠站B的距离为 ，停靠站A、B之间的距离为 ，且 ．(1)判断 的形状，并说明理由．
(2)若公路 修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
23．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）在泰州溱潼古镇附近的湿地公园中，规划修建一条观鸟栈道．该栈
道计划沿三角形区域 的岸边布置．由于 段穿越一处重点保护的古建筑，无法直接测量．勘测人员
在 上取一点 ，测得 米， 米， 米， 米．
(1)求证： ：
(2)求 的长．
24．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）如图1是某超市的购物车，如图2为其侧面简化示意图，测得支架
， ，两轮中心的距离 ，滚轮半径 ．
(1)判断支架 与 的位置关系，并说明理由．
(2)若购物车上篮子的左边缘 与点 的距离 ， ，且 ， 和 都与地面平
行，求购物车上篮子的左边缘 到地面的距离．
题型七、利用HL判定直角三角形全等
25．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在 和 中， ， 与
分别为 边上的中线，且 ，求证： ．26．（23-24八年级下·湖南益阳·月考）如图，点B、F、C、E在同一直线上， ， ，
，垂足分别为B、E且 ，连接 、 ．求证： ．
27．（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，在 中， 是 的中点， ， ，垂
足分别是 、 ，且 .
求证： ．
28．（25-26八年级上·全国·期中）如图，点C，F在线段BE上， 请只添加
一个合适的条件，使
(1)根据“ ”，需添加的条件是 ；根据“ ”，需添加的条件是 ．
(2)请从（1）中选择一种加以证明．
题型八、直角三角形全等的性质和HL综合
29．（2025八年级上·河北沧州·专题练习）如图， 平分 平分 ，点F在线段
的延长线上，点E在线段 上，且 ．(1)求证： ；
(2)试判断 与 的数量关系，并说明理由．
30．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，点 为线段 上一点， ， ，
， ， 平分 ．
(1)证明： ．
(2)若 ，求 的度数．
31．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图1，在等腰 中， ， ， 是
的角平分线．
(1)求 ；
(2)求证： ；
(3)如图2，E在 上，过点E作 垂线，垂足为点G，延长 交 的延长线于点F．若E是 的中
点，求证： ；
32．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）【问题初探】（1）如图1 是 的平分线，点D为 上
一点且 ，求证： ．小明的想法是：过点C，分别作 和 的垂线，通过构造全等三角形解决问题．
小强的想法是：在 上截取 ，然后利用全等三角形和等腰三角形的性质解决问题．
请你选择一种方法完成证明，其它方法也可以；
【类比分析】（2）如图2， 是等边三角形， 是顶角 的等腰三角形，M是 延
长线上一点，N是 延长线上一点， ．探究 、 、
之间的数量关系，并证明．
一、单选题
1．（25-26八年级上·江西宜春·期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于 ，则另一个锐角的度数是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八年级上·全国·专题练习）一个三角形的两个角分别为 和 ，若 ，则这个三角形是
（ ）三角形
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定
3．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如果用a、b、c表示 的三边，那么分别满足① ；②
；③ ；④ ，下列条件的三角形中，直角三角形有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（20-21八年级上·广东深圳·期末）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方
形格点上，则下列结论错误的是（ ）A．点A到直线 的距离是2 B．
C． D．
5．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在 中， ， 的角平分线 、 相交于
点 ，过 作 交 的延长线于点 ，交 于点 ．现有下列结论：① ；②
；③ ；④ ．其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③
二、填空题
6．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图， ， ，要根据“ ”判定 ，
还需添加的一个条件是 ．
7．（25-26八年级上·贵州黔南·期中）如图，在 和 中， ， ，
，则 的度数为 ．
8．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在 中， ， ， ，若 于
D，则CD的长 ．
9．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图， ，垂足为 ， 是 上的一点， ，连接
、 ，且 ．若 ， ，则 的长为 ．10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在 中， ， ， 于点
M， 于点N．若 ，则 的度数为 ．
三、解答题
11．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图， 于点A， 于点D， 与 相交于点O，
， ．
(1)求证： ≌ ．
(2)判断 是等腰三角形吗？请说明理由．
12．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯水平方向的跨度为3米，
且左边滑梯的高度 与右边滑梯水平方向的跨度 相等．
(1)这两个滑梯的倾斜角 与 的大小关系如何？请说明理由．
(2)求右边滑梯的高度 ．
13．（25-26七年级上·山东威海·期中）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造
出该岛的一个数学模型（如图乙四边形 ）， 是四边形岛屿上的一条小溪流，其中 ，
千米， 千米， 千米， 千米．(1)求小溪流 的长．
(2)求四边形 的面积．
14．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图， 在 中， 是高， 点 E 在 上，
．
(1)若 ， 求 的长；
(2)求证： ．
15．（25-26八年级上·全国·期中）小明跑步的路线如图，从A点到 D 点有两条路线，分别是
和 ．已知 米， 米，点C 在点 B 的正东方向120米处，点D 在
点 C的正北方向 60米处．
(1)试判断 与 的位置关系，并说明理由．
(2)通过计算比较两条路线哪条更短．(参考数据：
16．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，已知一次函数 与 轴相交于点 ，与 轴交于点
．(1)求出点 和点 的坐标．
(2)点 的坐标是 ，求证： 是直角三角形．
(3)在直线 是否存在点 ，使得 是等腰直角三角形？如果存在，请直接写出 的面积，如果
不存在，请说明理由．
(4)点 是直线 上的点，若 面积是10，请你求出点 的坐标．
