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专题05 绝对值的几何意义
1．阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|
a﹣b|．回答下列问题：
(1)数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是 ，数轴上表示x和-2的两点之间的距离是 ；
(2)数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为 ；
(3)若x表示一个有理数，则|x+2|+|x-4|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．
【答案】(1)4，
(2) 或
(3)有最小值，6
【解析】
【分析】
（1）根据在数轴上A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|即可求解；
（2）根据在数轴上A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|即可求解；
（3）根据绝对值的几何意义，即可得解．
(1)
解： ，
故答案为：4， ．
(2)
解：∵
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
(3)
在数轴上的 几何意义是：表示有理数x的点到﹣2及到4的距离之和，所以当
时，它的最小值为6．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．
注意分类思想在解题中的运用．
2．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示6和2的两点之间的距离为 ______；表示－1和2两点之间的距离为
______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ，如
果表示数a和－1的两点之间的距离是3，那么a＝______．
(2)若数轴上表示数a的点位于－5与3之间，求 的值；
(3)当x＝______时， 的值最小，最小值为______．
【答案】(1)4，3，2或−4；
(2)8；
(3)0，9
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的性质列式计算即可；
（2）去绝对值即可求出答案；
（3）根据绝对值的几何意义分析得出x的值，进而计算即可．
(1)
解：数轴上表示6和2的两点之间的距离为 4；表示－1和2两点之间的距离为
3；
∵表示数a和−1的两点之间的距离是3，
∴|a−（−1）|＝3，
解得a＝2或−4，
故答案为：4，3，2或−4；
(2)
∵表示数a的点位于－5与3之间，∴ ；
(3)
由绝对值的几何意义可知： 的值就是数轴上表示数x的点到0的距离与到－4的距
离和到5的距离之和，
∴当x＝0时， 的值最小，最小值为9．
【点睛】
本题考查了绝对值的性质和绝对值的几何意义，正确理解数轴上表示数m和数n的两点之间的距
离等于 是解题的关键．
3．阅读下面的材料：
我们知道，在数轴上， 表示有理数a对应的点到原点的距离，同样的道理， 表示有理数
a对应的点到有理数2对应的点的距离，例如， ，表示数轴上有理数5对应的点到有理数
2对应的点的距离是3．
请根据上面的材料解答下列问题：
(1)数轴上有理数 对应的点到有理数3对应的点的距离是_______；
(2) 表示有理数a对应的点与有理数_______对应的点的距离；如果 ，那么有理数a
的值是_______；
(3)如果 ，那么有理数a的值是_______．
(4)代数式 的最小值是_________，此时有理数a可取的整数值有______个．
【答案】(1)12；
(2)5，3或7；
(3)0或7；
(4)5，6．
【解析】
【分析】（1）根据题意可知，数轴上有理数 对应的点到有理数3对应的点的距离是 ，计算即可；
（2）根据题意进行解题即可；
（3）式子代表的a对应的点到1的距离与到6的距离的和为7，找到对应的点即可；
（4）代数式 的最小值在数轴上1与6之间，最小值为5，符合条件的值有6个．
(1)
解：由题意得， =12，
故答案为：12．
(2)
表示有理数a对应的点与有理数5对应的点的距离；
，表示到5所对应的点距离为2的点，即为：3或7．
故答案为：5；3或7．
(3)
表示：a对应的点到1的距离与到6的距离的和为7，从数轴上观察得出a的值为：
0或7，
故答案为：0或7．
(4)
代数式 表示的是a对应的点到1的距离与到6的距离的和，最小值为1到6的距离，
最小值为5，符合条件的整数值在1到6之间，共6个．
故答案为：5，6．
【点睛】
本题主要考查的数材料阅读理解能力，考查知识点为绝对值的几何意义，灵活运用其几何意义是
解题的关键．
4．（1）数轴上表示4与 的点之间的距离为_________，数轴上表示3与5的点之间的距离为
_________
（2） ___________； ___________
（3）观察（1）（2）两小题，若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为y，则A与B两点
间的距离可以表示为__________．A与表示-2的点之间的距离可表示为__________（4）结合数轴，求 的最小值为 ________
【答案】（1）6；2；（2）6；2 ；（3） ， ；（4）5
【解析】
【分析】
（1）根据两点间的距离公式，即可求出距离；
（2）根据绝对值的性质即可求解；
（3）根据两点间的距离公式，即可求解；
（4）由绝对值的意义进行化简，即可求出答案；
【详解】
解：（1）数轴上表示4与−2的点之间的距离为 ，
数轴上表示3与5的点之间的距离为 ；
故答案为：6，2；
（2）|4−(−2)|=6；|3−5|= ；
故答案为：6，2；
（3）A与B两点间的距离可以表示为 ，
A与表示-2的点之间的距离可表示为 ；
故答案为： ， ；
（4）∵|x-2|+|x+3|理解为：在数轴上表示点x到2和-3的距离之和，
∴当点x在2与-3之间的线段上，即-3≤x≤2时，|x-2|+|x+3|有最小值，
最小值为：2-（-3）=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了数轴在两点间的距离及绝对值化简中的应用，明确数轴上两点间的距离及绝对值之间
的关系，是解题的关键．
5．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点
之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道 ，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子 ，它的几何意义是数轴上表示数7的点
与表示数3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为
b，则A，B两点间的距离就可记作 ．
回答下列问题：
(1)几何意义是数轴上表示数2的点与数 的点之间的距离的式子是________；式子 的几何
意义是_______________________；
(2)根据绝对值的几何意义，当 时， ________；
(3)探究： 的最小值为_________，此时m满足的条件是________；
(4) 的最小值为________，此时m满足的条件是__________．
【答案】(1) 或 ；数轴上表示数a的点与数2的点之间的距离．
(2) 或5
(3)10，
(4)17，
【解析】
【分析】
（1）根据距离公式及定义表示即可；
（2）分点在2表示的数的点的左边和右边两种情形求解；
（3）利用数形结合思想，画数轴求解即可；
（4）利用数形结合思想，画数轴求解即可．
(1)
解：①在数轴上的意义是表示数 的点与表示数 的点之间的距离的式子是 ，
故答案为： ；
②∵ =|a-(-5)|，
∴ 在数轴上的意义是表示数a的点与表示数-5的点之间的距离．
故答案为：表示数a的点与表示数-5的点之间的距离．(2)
解：∵ 表示数m到2的距离，画数轴如下：
当数在2的右边时，右数3个单个单位长，得到对应数是5，符合题意；
当数在2的左边时，左数3个单个单位长，得到对应数是-1，符合题意；
故答案为：-1或5；
(3)
解：∵ 表示数m与-1，9的距离之和，画数轴如下：
根据两点之间线段最短，-1表示点与9表示点的最短距离为9-（-1）=10，
此时动点m在-1表示点与9表示点构成的线段上，
∴ ；
故答案为：10、 ；
(4)
解：根据题意，画图如下，
根据两点之间线段最短，-1表示点与16表示点的最短距离为16-（-1）=17，
此时动点m在-1表示点与16表示点构成的线段上，且到9表示的点的距离为0，
∴ ；
故答案为：17、 ．
【点睛】
本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段最短原理，数轴的意义，解题的关键是利用数形
结合思想，分类思想，结合数轴，运用数学思想解题．
6．同学们都知道，|5－（－2）|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数
轴上所对的两点之间的距离．试探索：
（1）求|5－（－2）|＝______．（2）若 成立，则x＝_________．
（3）请你写出 的最小值为________．并确定相应的x的取值范围是______．
【答案】（1）7；（2）5或1；（3）3，1≤x≤2
【解析】
【分析】
（1）根据5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离为7得到答案；
（2）根据题意可得方程x-3=±2，再解即可；
（3）分情况讨论，去绝对值化简，从而确定x的最小值．
【详解】
解：（1）|5－（－2）|＝|5+2|＝7，
故答案为：7；
（2）∵|x-3|=2成立，
∴x-3=±2，
∴x=5或1，
故答案为：5或1；
（3）当x＜1时，
原式=-x+1-x+2=-2x+3＞1；
当1≤x≤2时，
原式=x-1-x+2=1；
当x＞2时，
原式=x-1+x-2=2x-3＞1，
∴|x-1|+|x-2|的最小值是1，
故答案为：3，1≤x≤2．
【点睛】
本题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法，难度较大，去绝对值的
关键是确定绝对值里面的数的正负性．
7．先阅读，后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离：
|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应
的两点之间的距离．【探究】
(1)如图，先在数轴上找出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动3个单位，得到点C，则
点B和点C表示的数分别为_______和_______，B，C两点间的距离是_______；
(2)数轴上表示x和﹣2的两点A和B之间的距离表示为_______；如果|AB|＝3，那么x为_______；
(3)要使代数式|x+2|+|x﹣3|取最小值时，则整数x的值为_______．
(4)当x为_______时，|x+4|+|x﹣2|＝12．
【答案】(1) ， ，2
(2) ，1或
(3) ， ，0，1，2，3
(4) 或5
【解析】
【分析】
（1）根据相反数的定义求得点 表示的数，根据数轴上点的的位置，求得点A，C表示的数；
（2）根据绝对值的意义，表示出|x+2|＝3，解绝对值方程即可求解；
（3）根据|x+2|+|x﹣3|取最小值，即数轴上表示数x的点到表示﹣2，3的距离之和最小，根据x为
整数即可求解；
（4）由（3）可知|x+4|+|x﹣2|的最小值为|﹣4﹣2|＝6，要使|x+4|+|x﹣2|＝12，则x＜﹣4或x＞2，
根据题意得出方程，﹣x﹣4+2﹣x＝12或x+4+x﹣2＝12，解方程即可求解．
(1)
解：∴点B所表示的数与2.5互为相反数，
∴点B所表示的数为﹣2.5，
又∵点A向左移动3个单位，得到点C，点A所表示的数是2.5，
∴点C所表示的数为2.5﹣3＝﹣0.5，
∴BC＝|﹣2.5+0.5|＝2，
故答案为：﹣2.5，﹣0.5，2；
(2)
由题意可知，数轴上表示x和﹣2的两点A和B之间的距离表示为|x+2|，
当AB＝3，即|x+2|＝3，解答x＝1，x＝﹣5，
1 2故答案为：|x+2|，1或﹣5；
(3)
∵|x+2|+|x﹣3|取最小值，
即数轴上表示数x的点到表示﹣2，3的距离之和最小，
∴当﹣2≤x≤3时，|x+2|+|x﹣3|的值最小，其最小值为|﹣2﹣3|＝5，
又∵x为整数，
∴整数x为﹣2，﹣1，0，1，2，3，
故答案为：﹣2，﹣1，0，1，2，3；
(4)
由（3）可知|x+4|+|x﹣2|的最小值为|﹣4﹣2|＝6，要使|x+4|+|x﹣2|＝12，
因此x＜﹣4或x＞2，
故有﹣x﹣4+2﹣x＝12或x+4+x﹣2＝12，
解得x＝﹣7或x＝5，
故答案为：﹣7或5
【点睛】
本题考查了绝对值的意义，数轴上的两点距离，一元一次方程，掌握绝对值的意义是解题的关键．
8．点 、 在数轴上分别表示有理数 、 ，点 与原点 两点之间的距离表示为 ，则
，类似地，点 与原点 两点之间的距离表示为 ，则 ，点 与点 两
点之间的距离表示为 ．请结合数轴，思考并回答以下问题：
(1)填空：
①数轴上表示1和 的两点之间的距离是______．
②数轴上表示 和 的两点之间的距离是______．
③数轴上表示 和 的两点之间距离是3，则有理数 是______．
(2)求满足 的所有整数 的和______．
(3)已知 ．求 的最大值为______．
【答案】(1)①4；②|m+1|；③2或-4
(2)-7(3)9
【解析】
【分析】
(1) ①根据题意即可求得；②根据题意即可求得；③根据题意可得|m+1|=3，解方程即可求得；
(2)根据 的几何意义是数轴上表示x的点到表示2与-4的点的距离之和为6，可得
，可得x可取的整数，据此即可求得；
(3)由原式可得 ，由 ， ，
，可得 ， ， ，据此即可求得．
(1)
解：①数轴上表示1和 的两点之间的距离是|1-(-3)|=4；
②数轴上表示 和 的两点之间的距离是|m-(-1)|=|m+1|；
③由数轴上表示 和 的两点之间距离是3，得
|m+1|=3，
故m+1=3或m+1=-3，
解得m=2或m=-4，
故有理数 是2或-4，
故答案为：①4；②|m+1|；③2或-4；
(2)
解： 的几何意义是数轴上表示x的点到表示2与-4的点的距离之和为6，
∵4-(-2)=4+2=6，
∴ ，
∴x可取的整数有-4，-3，-2，-1，0，1，2，
故满足 的所有整数 的和为：
(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2=-7，
故答案为：-7；
(3)
解：∵∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ，
故答案是：9．
【点睛】
本题考查了数轴上两点间距离的求法，绝对值的几何意义，理解和掌握绝对值的几何意义是解决
本题的关键．
9．阅读下面一段文字：在数轴上点A，B分别表示数a，b．A，B两点间的距离可以用符号 表
示，利用有理数减法和绝对值可以计算A，B两点之间的距离 ．
例如：当a＝2，b＝5时， ＝5－2＝3；当a＝2，b＝－5时， ＝ ＝7；当a＝－2，b
＝－5时， ＝ ＝3，综合上述过程，发现点A、B之间的距离 ＝ （也可以表
示为 ）．
请你根据上述材料，探究回答下列问题：
（1）表示数a和－2的两点间距离是6，则a＝ ；
（2）如果数轴上表示数a的点位于－4和3之间，则 ＝
（3）代数式 的最小值是 ．
（4）如图，若点A，B，C，D在数轴上表示的有理数分别为a，b，c，d，则式子
的最小值为 （用含有a，b，c，d的式子表示结果）【答案】（1）4和-8；（2）7；（3）2；（4）
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得： ，解出即可求解；
（2）根据题意可得： ，从而得到 ，进而得到 ＝a＋4， ＝
3－a，即可求解；
（3）根据题意可得：当a＝2时，代数式存在最小值，化简即可求解；
（4）根据题意可得：原式表示 对应点到 对应的点的距离之和，从而得到当
时， 有最小值，即可求解．
【详解】
解：（1）根据题意得： ，
∴ 或 ，解得： 或-8；
（2）∵表示数a的点位于－4和3之间，
∴ ，
∴ ，
∴ ＝a＋4， ＝3－a，
∴ ＝ a＋4＋3－a＝7；
（3） 当a＝2时，代数式存在最小值，
∴ ＝1＋0＋1＝2.
所以，最小值是2；
（4）根据题意得：
，
∴原式表示 对应点到 对应的点的距离之和，
如图所示，∴当 时， 有最小值，
∴原式
．
【点睛】
本题主要考查了绝对值得几何意义，数轴上两点间的距离，利用数形结合思想解答是解题的关键．
10．先阅读，后探究相关的问题
【阅读】 表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；
可以看做 ，表示5与 的差的绝对值，也可理解为5与 两数在数轴上所对应的
两点之间的距离．
【探究】（1）如图，先在数轴上找出表示点2.5的相反数的点 ，再把点 向左移动3个单位，
得到点 ，则点 和点 表示的数分别为_____和_____， ， 两点间的距离是_____；
（2）数轴上表示 和 的两点 和 之间的距离表示为_______；如果 ，那么 为______；
（3）要使代数式 取最小值时，则整数 的值为_______．
（4）当 为______时， + =12．
【答案】（1）B： ，C： ，BC=0.5；（2） ，1或 ；（3） ；（4）
或5
【解析】
【分析】
（1）根据相反数的定义，可得点B所表示的数为-2.5，再由点A向左移动3个单位，得到点C，
可得点C所表示的数为-0.5，即可求解；
（2）根据【阅读】可得|x+2|=3，即可求解；
（3）|x+2|+|x-3取最小值，即数轴上表示数x的点到表示-2，3的距离之和最小，可得到当-2≤x≤3
时，|x+2|+|x-3|的值最小，其最小值为|-2-3|=5，即可求解；（4）由（3）可知|x+4|+|x-2|的最小值为|-4-2|=6，从而得到x<-4或x>2时，|x+4|+|x-2|=12，即可求
解．
【详解】
解：（1）∵点B所表示的数与2.5互为相反数，
∴点B所表示的数为-2.5，
又∵点A向左移动3个单位，得到点C，点A所表示的数是2.5，
∴点C所表示的数为2.5-3=-0.5，
∴BC=|-2.5+0.5|=2；
（2）由题意可知，数轴上表示x和-2的两点A和B之间的距离表示为|x+2|，
当AB=3时， |x+2|=3，
解得：x=1或-5；
（3）|x+2|+|x-3取最小值，即数轴上表示数x的点到表示-2，3的距离之和最小，
∴当-2≤x≤3时，|x+2|+|x-3|的值最小，其最小值为|-2-3|=5，
又∵x为整数，
∴整数x为-2，-1，0，1，2，3；
（4）由（3）可知|x+4|+|x-2|的最小值为|-4-2|=6，
∵|x+4|+|x-2|=12，
∴x<-4或x>2，
∴-x-4+2-x=12或x+4+x-2=12，
解得：x=-7或5．
【点睛】
本题主要考查了绝对值的几何意义，绝对值方程的应用，一元一次方程，数轴上的动点问题，熟
练掌握绝对值的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键．
11．阅读下列内容：
数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|．数轴上表示数a的点与表示数b的
点的距离记作|a﹣b|，如|3﹣5|表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，|3+5|＝|3﹣（﹣
5）|表示数轴上表示数3的点与表示数﹣5的点的距离，|a﹣3|表示数轴上表示数a的点与表示数3
的点的距离．
根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程）
（1）若|x﹣1|=|x+1|，则x= ，若|x﹣2|＝|x+1|，则x= ；
（3）若|x﹣2|+|x+1|=3，则x的取值范围是 ；（2）若|x﹣2|+|x+1|=5，则x的值是 ；
（4）若|x﹣2|﹣|x+1|=3，则x能取到的最大值是 ．
【答案】（1）0， ；（2）大于等于﹣1且小于等于2；（3）-2或3；（4）﹣1．
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案；
（2）|x-2|+|x+1|=3表示的意义，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值；
（3）若|x-2|-|x+1|=3，所表示的意义，确定x的取值范围，进而求出最大值；
（4）根据|x-2|+|x+1|的意义，求出|x-2|+|x+1|的最小值为3，从而确定取值范围．
【详解】
（1）|x-1|=|x+1|表示数轴上表示x的点到表示1和-1的距离相等，因此到1和-1距离相等的点表示
的数为 ，
|x-2|=|x+1|表示数轴上表示x的点到表示2和-1的距离相等，因此到2和-1距离相等的点表示的数
为 ，
故答案为：0， ；
（2）|x-2|+|x+1|=3表示的意义是数轴上表示x的点到表示2和-1两点的距离之和为3，
∵2和-1两点的距离之和为3
∴表示x的点在2和-1之间
∴-1≤x≤2，
（3）|x﹣2|+|x+1|=5表示的意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点距离比它到表示-1的点的距
离等于5，
∵2和-1两点的距离之和为3
∴在2的右边多出（5-3）÷2=1，即表示数x=2+1=3；
或者在-1的左边多出（5-3）÷2=1，即表示数x=-1-1=-2；
故答案为-2或3；
（4）|x-2|-|x+1|=3表示的意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点距离比它到表示-1的点的距离
大3，根据数轴直观可得，
x≤-1，x的最大值为-1，
故答案为：-1；．【点睛】
考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键．
12．阅读材料，回答下列问题：
观察题中每对数在数轴上的对应点间的距离：4与 ，3与5， 与 ， 与3．并计算两个数
的差的绝对值，回答问题：
（1）所得距离与这两个数的差的绝对值的数量关系是_______；
（2）若数轴上的点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，则A与B两点间的距离可以表示为
_____；
（3）结合数轴可得 的最小值为______，此时x的取值范围是______；
（4）若关于 的方程 无解，则 的取值范围是_______．
【答案】（1）相等；（2） ；（3）5， ；（4）
【解析】
【分析】
（1）根据数轴上两点之间的距离可得出结论；
（2）根据数轴上两点之间的距离可得结果；
（3）把 的取值范围分成 ， 和 三类进行讨论，求出最小值及 对应的取值范
围即可；
（4）把 的取值范围分成 ， ， 和 四类进行讨论，求出最小值，由于方
程 无解，则 小于最小值即可得出答案．
【详解】
（1）由题可知，数轴上两点距离=两点表示的数的差的绝对值，
故答案为：相等；
（2）由（1）可知： ，
故答案为： ；
（3）①当 时， ， ，
，
②当 时， ， ，，
③当 时， ， ，
，
当 时， 有最小值为5，
故答案为：5， ；
（4）①当 时， ， ， ，
，
②当 时， ， ， ，
，
，
③当 时， ， ， ，
，
④当 时， ， ， ，
，
最小值为6，
方程 无解，
，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查数轴上两点的距离以及绝对值的意义，掌握分类讨论的思想方法求最值是解题的关键．
13．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间
的内在联系，它是“数形结合”的基础．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示1和4的两点之间的距离是_____________；
数轴上表示 与2的两点之间的距离可以表示为_____________；
表示数 和-2的两点之间的距离是3，那么 _____________；
一般地，数轴上表示数 和数 的两点之间的距离等于_______________．
（2）同理 表示数轴上有理数 所对应的点到-3和1所对应的点的距离之和，请你找出
所有符合条件的整数 ，使得 ，这样的整数是_______________．
（3）由以上探索猜想对于任何有理数 ， 是否有最小值？如果有，直接写出最小值；
如果没有，说明理由．
（4）存在不存在数 ，使代数式 的值最小？如果存在，请写出数
_____________，此时代数式 最小值是_______________．
【答案】（1）3； ；-5或1； ；（2）-3，-2，-1，0，1；（3）存在，最小值为3；
（4）存在，2，7
【解析】
【分析】
（1）根据题意，结合数轴即可得到结果；
（2）根据 表示数轴上有理数 所对应的点到-3和1所对应的点的距离之和即可求解；
（3）根据两点间的距离的表示，数x在3和6之间时，有最小值，然后求解即可；
（4）分类讨论a的范围，利用绝对值的代数意义化简，确定出最小值，以及此时a的值即可．
【详解】
（1）数轴上表示1和4的两点之间的距离是3；
数轴上表示 与2的两点之间的距离可以表示为 ；
表示数 和-2的两点之间的距离是3，则 ，
可得：a+2=3或a+2=-3，解得： -5或1；
一般地，数轴上表示数 和数 的两点之间的距离等于（2）因为 表示数轴上有理数 所对应的点到-3和1所对应的点的距离之和，
，所以数a位于-3与1之间，
所以符合条件的整数 为-3，-2，-1，0，1；
（3）当 时存在最小值，且最小值 ；
（4）存在数 ，使代数式 的值最小，
①a≤−3时，原式＝−a−3＋2−a＋4−a＝3−3a，则a＝−3；
②−3≤a≤2时，原式＝a＋3＋2−a＋4−a＝9−a，则a＝2；
③2≤a≤4时，原式＝a＋3＋a−2＋4−a＝a＋5，则a＝2；
③a＞4时，原式＝a＋3＋a−2＋a−4＝3a−3＞9，
综上所述，当a＝2时，原式有最小值7．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，数轴，以及绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关
键．
14．同学们都知道： 表示3与－2之差的绝对值，实际上也可理解为3与－2两数在数轴
上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示 与2的两点之间的距离可以表示为___________．
（2）如果 ，则 __________．
（3）同理 表示数轴上有理数 所对应的点到－2和1所对应的点的距离之和，请你找
出所有符合条件的整数 ，使得 ，这样的整数是___________．
（4）由以上探索猜想对于任意有理数 ， 是否有最小值？如果有，直接写出
最小值；如果没有，说明理由．
【答案】（1） ；（2）7或-3；（3）-2、-1、0、1；（4）有最小值，最小值为2【解析】
【分析】
（1）根据距离公式即可解答；
（2）利用绝对值求解即可；
（3）利用绝对值及数轴求解即可；
（4）根据数轴及绝对值，即可解答．
【详解】
（1）数轴上表示 与2的两点之间的距离可以表示为 ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
故答案为：7或-3；
（3）
∵ 表示数轴上有理数 所对应的点到-2和1所对应的点的距离之和，
如图，
当 对应的数在 与1之间（包含-2与1）
满足
∴这样的整数有-2、-1、0、1，
故答案为：-2、-1、0、1；
（4）有最小值，最小值为2，理由如下：如图，，
当 最小时，即 重合时，
则 ，
所以 的值有最小值，最小值为 ．
【点睛】
本题考查整式的加减、数轴、绝对值，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法，会去绝对值
符号，利用数轴的特点解答．
15．我们知道：如果点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么在数轴上A、B两点之间的距离
AB=|a-b|．所以式子|x-3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．
利用这个结论，请结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上表示0和3的两点之间的距离是 ；数轴上表示-1和-4的两点之间的距离是
；数轴上表示1和-4的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示x和-1的两点之间的距离可以表示为|x-(-1)|，即：|x+1|．如果|x+1|=2，那么x=
．
（3）如果数轴上表示数x的点位于2与-3之间，那么|x-2|+|x+3|的值为 ．
（4）当x取 时， =|x+3|；当x取 时，|x-2|+|x+2|=6．
（5）当x取 时，|x+3|+|x-1|+|x-5|的值最小，最小值是
【答案】（1）3，3，5；（2）-3或1；（3）5；（4）-1，-3，3；（5）1， 8
【解析】
【分析】
（1）根据数轴的概念和性质以及两点间的距离即可解答；
（2）根据绝对值的性质和方程的思想进行解；
（3）利用绝对值的性质进行化简，即可求出答案；
（4）根据绝对值的意义，进行分类讨论，由此可得到关于x的方程，求出x的值即可；
（5）根据绝对值的意义，当x为中间点时有最小值，依此即可求解．
【详解】
解：（1）根据题意，
数轴上表示0和3的两点之间的距离是： ；数轴上表示 1和 4的两点之间的距离是： ；
数轴上表示1和 4的两点之间的距离是： ；
故答案为：3，3，5；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ 或 ；
故答案为： 或1；
（3）由题意，则
∵如果数轴上表示数x的点位于2与 3之间，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
故答案为：5；
（4）根据题意，
∵ ，
∴x的值在1和 之间，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ；
∵ ，
当 时， ， ，
原方程可化为： ，
解得： ；
当 时， ，不符合题意；
当 时， ， ，
原方程可化为： ，
解得： ；
故答案为： ， ，3；（5）根据绝对值的意义和数轴的定义，
当 时，|x+3|+|x 1|+|x 5|的值有最小值；
∴原式 ；
故答案为：1，8；
【点睛】
考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键．
16．我们知道，在数轴上， 表示数 到原点的距离．进一步地，点 ， 在数轴上分别表示有
理数 ， ，那么 ， 两点之间的距离就表示为 ；反过来， 也就表示 ， 两点之间
的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题．
例．若 ，那么 为：
① ，即 ．
文字语言：数轴上什么数到 的距离等于 ．
②图形语言：
③答案： 为 和 ．
请你模仿上题的①②③，完成下列各题：
（1）若 ，求 的值．
①文字语言：
②图形语言：
③答案：
（2） 时，求 的值：
①文字语言：
②图形语言：
③答案：
（3） ，求 的取值范围：①文字语言：
②图形语言：
③答案：
（4）求 的最小值．
①文字语言：
②图形语言：
③答案：
【答案】（1）①文字语言：数轴上什么数到 的距离等于它到 的距离
②图形语言：画图见解析
③答案： ．
（2）①文字语言：数轴上什么数到 的距离减去它到 的距离等于 ．
②图形语言：画图见解析．
③答案：
（3）①文字语言：数轴上什么数到 的距离加上它到 的距离大于 ．
②图形语言：画图见解析
③答案： 或 ．
（4）①文字语言：数轴上什么数到 ， ， ， ， 五个数的距离之和最小，最小值是多少．
②图形语言：画图见解析．
③答案：当 时，最小值为 ．
【解析】
【分析】
（1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可；
（2）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可；
（3）根据数轴上什么数到 距离加上它到 的距离大于 ，观察数轴求解即可；
（4）根据绝对值的几何意义，数轴上什么数到 ， ， ， ， 五个数的距离之和最小，最小值
是多少求解．
【详解】
（1）文字语言：数轴上什么数到 的距离等于它到 的距离
图形语言：答案： ．
（2）文字语言：数轴上什么数到 的距离减去它到 的距离等于 ．
图形语言：
答案：
（3）文字语言：数轴上什么数到 的距离加上它到 的距离大于 ．
图形语言：
答案： 或 ．
（4）文字语言：数轴上什么数到 ， ， ， ， 五个数的距离之和最小，最小值是多少
图形语言：
答案：当 时，最小值为 ．
【点睛】
本题考查了绝对值的性质，解题的关键是利用数形结合求解．
17．【问题提出】 的最小值是多少？
【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手． 的几何意义是 这个数在数轴上对应的点到
原点的距离，那么 可以看作 这个数在数轴上对应的点到1的距离； 就可以看作
这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究 的最
小值．
我们先看 表示的点可能的3种情况，如图所示：
（1）如图①， 在1的左边，从图中很明显可以看出 到1和2的距离之和大于1．
（2）如图②， 在1，2之间（包括在1，2上），可以看出 到1和2的距离之和等于1．
（3）如图③， 在2的右边，从图中很明显可以看出 到1和2的距离之和大于1．因此，我们可
以得出结论：当 在1，2之间（包括在1，2上）时， 有最小值1．
【问题解决】
（1） 的几何意义是 ，请你结合数轴探究： 的最小值是
．
（2）请你结合图④探究 的最小值是 ，由此可以得出 为 ．
（3） 的最小值为 ．
（4） 的最小值为 ．
【拓展应用】如图，已知 使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出 的取值范围是 ．
【答案】（1）a这个数在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和，3；（2）2，2；（3）6；
（4）1021110；拓展应用 ．
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的几何意义结合数轴即可求解；
（2）由题意可得出，取中间值a=2时，求得最小值；
（3）由题意可得出，取中间值最中间数时，绝对值最小，求得最小值；
（4）由题意可得出，取中间值a= 1011时，求得最小值；
拓展应用
由已知得： ，解出绝对值不等式即可在数轴上表示出a的取值范围．
【详解】
解：（1） 的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和；
当a在4和7之间时（包括4，7上），
可以看出a到4和7的距离之和等于3，此时 取得最小值是3；
故答案为：a这个数在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和，最小值是3.
（2）当a取中间数2时，绝对值最小，
的最小值是1+0+1=2；
如图所示：
故答案为：2，2；
（3）当a取最中间数时，绝对值最小，的最小值是 ；
（4）当a取中间数1011时，绝对值最小，
的最小值为：
1010+1009+1008+1007+……+1+0+1+2+3+……+1010= ；
拓展应用
∵a使它到-1，2的距离之和小于4，
∴ ，
∴①当 时，则有 ，
解得： ，
∴ ；
②当 时，则有 ，
∴ ，
③当 时，则有 ，
解得： ，
∴ ，
综上： ，数轴上表示如下：
【点睛】
此题主要考查了绝对值的性质，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号、
即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内
化简求值即可．
18．阅读下面材料：点 ， 在数轴上分别表示有理数 ， ． ， 两点之间的距离表示为
．设点 表示原点，当 ， 两点中有一点在原点时，不妨设 点在原点，如图1所示，
；当 ， 两点都不在原点时．
（1）如图2所示点 ， 都在原点右边， ；
（2）如图3所示点 ， 都在原点左边， ；
（3）如图4所示点 ， 在原点两边， ．
综上所述，数轴上 ， 两点之间的距离表示为 ．
图1
图2
图3
图4
根据阅读材料回答下列问题：
（1）数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________．
（2）数轴上表示1和-3的两点之间的距离是________．
（3）数轴上有表示 的点 和表示-1的点 ，如果 那么 等于________．
（4）求代数式 的最小值．
【答案】（1）3；（2）4；（3）1或-3；（4）90．
【解析】
【分析】
（1）直接根据数轴上两点之间的距离|AB|=| |，代入数值即可求解；
（2）直接根据数轴上两点之间的距离|AB|=| |，代入数值即可求解；
（3）求出AB两点间的距离表达式，然后令|AB|=2求得x的值即可；（4）把原式看作是点x到各点的距离之和，即可得当x=10时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-19|有最小值，
将x=10代入原式求出最小值即可．
【详解】
（1）由题意得，-2和-5的两点之间的距离为 ．
故答案为：3；
（2）1和-3的两点之间的距离是 ．
故答案为：4；
（3）由题意得： ，
∴ ，
解得： 或 ．
故答案为：1或-3；
（4）∵ 可以看成是点 到各点的距离之和，
∴当 的值为1和19的中点所表示的数时， 有最小值，
∴当 时， 有最小值，
此时可得：
．
故最小值为90．
【点睛】
本题主要考查了数轴和绝对值及两点间的距离，读懂题干，掌握数轴两点的距离公式、绝对值的
性质是解题的关键．
