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专题05 网格中的勾股定理
1．如图，每个小正方形的边长都是1．
(1)求四边形 的周长．
(2)求证： ．
2．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上．
(1)直接写出线段AC、CD、AD的长；
(2)求∠ACD的度数；
(3)求四边形ABCD的面积．
3．如图，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)求四边形ABCD的面积与周长；
(2)∠ADC是直角吗？请你说明理由．
4．如图， 网格中每个小正方形的边长都为1，点A，点B均为网格上的格点．(1) ______．
(2)若格点上存在点C，使 ，请在图中标出所有满足条件的格点C．
5．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）画出格点 ABC关于直线l对称的 ABC ；（要求：A与A，B与B，C与C 相对应）
1 1 1 1 1 1
（2）在直线l上△画出点P，使PB+PC的△值最小，且这个最小值为______________．
6．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求△ABC的周长；
（2）求证：∠ABC＝90°；
（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为 ．（直接填写结果）
7．如图，在 的网格中，最小正方形的边长为1， 均为格点（最小正方形的顶点）．（1）如图1，在网格中画出一个以 为一边且与 全等的格点三角形， 的面积为
________．
（2）如图2，在线段 上画出一点 ，使 最小，其最小值为__________．
8．如图，在小正方形的边长为1的正方形网格中，点A，B在格点上．
(1)线段 的长是______；
(2)在网格中用无刻度的直尺，以 为边画矩形 ，使这个矩形的面积是 （要求：保留画
图痕迹）．
9．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点
上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线 成轴对称的△A′B′C′；
（2）在直线 上找一点P，使PB+PC的和最小，并算出这个最小值．
10．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为6的平行四边形．
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、 、 ．
(3)如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．
11．如图，是由49个边长为1的小正方形组成的 的正方形网格，小正方形的顶点为格点，点
、 、 均在格点上．
(1)直接写出 ______；
(2)点 在图（1）网格中的格点上，且 是以 为顶角顶点的等腰三角形，则满足条件的点
有______个，并在图（1）中标出；
(3)请在如图所示图（2）的网格中，用无刻度的直尺作出 的角平分线，并保留作图痕迹，
并加以证明．
12．如图，是一个17×6的网格图，图中已画出了线段AB和线段EG，其端点A，B，E，G均在小
正方形的顶点上，请按要求画出图形并计算：(1)画出以AB为边的正方形ABCD；
(2)画一个以EG为一条对角线的菱形EFGH（点F在EG的左侧），且面积与（1）中正方形的面
积相等；
(3)在（1）和（2）的条件下，连接CF，DF，请直接写出 CDF的周长．
13．在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导△下，利用正方形网格和勾股定理运用构
图法进行了一系列探究活动：
(1)在 中， 、 、 三边的长分别为 、 、 ，求 的面积．如图1，在
正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点 （即 三个顶点都在小正方形的
顶点处），不需要求 的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则
的面积为___________．
(2)在平面直角坐标系中，①若点A为 ，点B为 ，则线段 的长为___________；②若
点A为 ，点B为 ，则线段 的长可表示为__________∶
(3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小： _______ （填“>”或“<”）；
(4)若 三边的长分别为 、 、 （ ， ．且 ），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出 ，并求
出它的面积（结果用m，n表示）．
14．已知：在6×6的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1个单位长度．
(1)【背景呈现】 如图1，点A，B，C都在格点上，直接写出∠BAC的度数．
(2)【问题解决】 如图2，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD交于点E，求∠AEC的度数．
(3)【拓展应用】 如图3，点A，B都在格点上，点C在格线上，若∠BAC=45°，求线段BC的长度．
15．阅读探究
小明遇到这样一个问题：在 中，已知 ， ， 的长分别为 ， ， ，求
的面积．
小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网
格中画出格点 （即 的3个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出
的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法，
（1）图1中 的面积为________．
实践应用
参考小明解决问题的方法，回答下列问题：
（2）图2是一个 的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．
①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为 ， ， 的格点 ．② 的面积为________（写出计算过程）．
拓展延伸
（3）如图3，已知 ，以 ， 为边向外作正方形 和正方形 ，连接 ．若
， ， ，则六边形 的面积为________（在图4中构图并填
空）．
16．（1）问题背景：
在 中， 、 、 三边的长分别为 、 、 ，求这个三角形的面积．小明同学
在解答这道题时（每个小正方形的边长为1）再在网格中画出格点 （即 三个顶点都在
小正方形的顶点处），如图①所示，而借用网格就能计算出它的面积，请你求出图①中 的
面积；
（2）尝试运用
我们把上述求三角形面积的方法叫做构图法．若 三边的长分别为 、 、 （
）（每个小正方形的边长为 ）画出相应的 ，并求出它的面积；
（3）拓展创新：
若 三边的长分别为 、 、 （ ， ，且 ），试
运用构图法求出 的面积．17．琪琪是一个爱动脑筋的孩子，她学完勾股定理后，又进行了深入的探究：
（1）如图，请观察图形找出 与 的关系：图1中， ______ ；图2中，
______ ．这样，我们就猜想出了钝角三角形和锐角形中三边之间的关系．
（2）请你直接应用发现的结论：当 三边长分别为6，8，9时， 为____三角形；当
三边长分别为6，8，11时， 为______三角形．
（3）请你根据琪琪的猜想完成下面的问题：当a=2，b=4时，最长边c在什么范围内取值时，
是锐角三角形、钝角三角形？
18．问题背景：
在 ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 、 、 ，求这个三角形的面积．
△
小辉同学在解答这道题时．先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出
格点 ABC（即 ABC三个顶点都在小正方形的顶点处）．如图①所示．这样不需求 ABC的高．
而借△用网格就能△计算出它的面积． △
（1）请你将 ABC的面积直接填写在横线上______；
思维拓展： △（2）我们把上述求 ABC面积的方法叫做构图法．若 ABC三边的长分别为 ， ， ，
△ △
请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的 ABC．并求出它的面积
探索创新： △
（3）若 ABC三边的长分别为 a、2 a、 a（a＞0），请利用图（2）的正方形网格（每
△
个小正方形的边长为a）画出相应的 ABC．并求出它的面积．
△
（4）若 ABC三边的长分别为 、 ，2 （m＞0，n＞0，且m≠n），
△
试运用构图法求出这个三角形的面积．
