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专题05 网格中的勾股定理
1．如图，每个小正方形的边长都是1．
(1)求四边形 的周长．
(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理分别求出AB、BC、CD、AD即可解决问题；
（2）利用勾股定理的逆定理即可证明；
(1)
∵
AD＝1
∴
＝
(2)
如图，连接BD，则BD2＝32＋42＝25又BC2＋CD2＝20＋5＝25
∴BC2＋CD2＝AD2，
故∠BCD＝90°．
【点睛】
本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于
中考常考题型．
2．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上．
(1)直接写出线段AC、CD、AD的长；
(2)求∠ACD的度数；
(3)求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)AC= ，CD= ，AD=5
(2)∠ACD=90°
(3)13
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理可求；
（2）根据勾股定理逆定理可判断；
（3）由S ABCD= 可求．
四边形(1)
解：根据题意，得：
AC= ，
CD= ，
AD= =5．
(2)
解：∵AC +CD = + =25=5 =AD ．
∴∠ACD=90°．
(3)
解：．S ABCD= =8+5=13．
四边形
【点睛】
本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握勾股定理与逆定理是解题的关键．
3．如图，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)求四边形ABCD的面积与周长；
(2)∠ADC是直角吗？请你说明理由．
【答案】(1)面积12.5，周长
(2)是，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据四边形ABCD的面积=S EFGH﹣S AEB﹣S BFC﹣S CGD﹣S AHD即可求出面积，利
矩形
△ △ △ △
用勾股定理分别求出各边的长，将各边的长相加即为周长；（2）从图中可知AC的长为5，利用（1）中已求出的AD、CD的长，根据勾股定理进行判断．
(1)
解：
四边形ABCD的面积=S EFGH﹣S AEB﹣S BFC﹣S CGD﹣S AHD
矩形
△ △ △ △
∵ ；
；
；
；
四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD
∴
=
(2)
∠ADC是直角，理由如下：
∵ ， ，AC=5
∴△ADC是直角三角形，∠ADC是直角．【点睛】
本题考查了用大面积减小面积求面积和勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
4．如图， 网格中每个小正方形的边长都为1，点A，点B均为网格上的格点．
(1) ______．
(2)若格点上存在点C，使 ，请在图中标出所有满足条件的格点C．
【答案】(1)5
(2)见详解
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理进行计算即可；
（2）由网格图的特点显然 再利用勾股定理的逆定理证明
，从而可得答案．
(1)
解：由勾股定理可得：
故答案为：5
(2)
如图所示
理由：显然而
同理可得：
【点睛】
本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，二次根式的化简，熟练的运用勾股定理的逆
定理证明直角三角形是解本题的关键．
5．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）画出格点 ABC关于直线l对称的 ABC ；（要求：A与A，B与B，C与C 相对应）
1 1 1 1 1 1
（2）在直线l上△画出点P，使PB+PC的△值最小，且这个最小值为______________．
【答案】（1）作图见解析；（2）这个最小值为 ．
【解析】
【分析】
（1）利用轴对称的性质分别作出 ， ， 的对应点 ， ， ，然后连接起来即可．
（2）连接 交 于点 ，根据两点之间线段最短，点 即为所求，利用勾股定理和结合图形，即
可得到 ．
【详解】
解：（1）如图， 即为所求，其中A与A 重合．
1如图示，连接 交 于点 ，点 即为所求，
理由如下：∵B与B 是对应点，
1
∴ ，
∴ ，两点之间线段最短，点 即为所求
∴ ．
【点睛】
本题考查作图 轴对称变换，两点之间线段最短等知识，掌握轴对称的性质，正确作出图形，是
解题的关键．
6．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求△ABC的周长；
（2）求证：∠ABC＝90°；（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为 ．（直接填写结果）
【答案】（1） ；（2）见详解；（3）2．
【解析】
【分析】
（1）运用勾股定理求得AB，BC及AC的长，即可求出 ABC的周长．
（2）运用勾股定理的逆定理求得AC2=AB2+BC2，得出∠△ABC=90°．
（3）过B作BP⊥AC，然后利用三角形的面积公式，即可求出面积．
【详解】
解：（1）AB= ，BC= ，AC= ，
ABC的周长= ，
△
（2）∵AC2=25，AB2=20，BC2=5，
∴AC2=AB2+BC2，
∴∠ABC=90°．
（3）过B作BP⊥AC，如图：
∵△ABC的面积= AB•BC＝ AC•BP，
即 ，
解得BP=2，
故答案为：2【点睛】
本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟记勾股定理是解题的关键．
7．如图，在 的网格中，最小正方形的边长为1， 均为格点（最小正方形的顶点）．
（1）如图1，在网格中画出一个以 为一边且与 全等的格点三角形， 的面积为
________．
（2）如图2，在线段 上画出一点 ，使 最小，其最小值为__________．
【答案】（1）画图见解析，3；（2）5
【解析】
【分析】
（1）利用翻折，轴对称寻找全等三角形即可，再利用三角形面积公式计算．
（2）作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，此时 的值最小．
【详解】
解：（1）如图1中， ， ， 即为所求，
ABC的面积为 ．
△
（2）如图2中，点 即为所求．
的最小值 ．
【点睛】
本题考查作图 应用与设计，全等三角形的判定，勾股定理等知识天的关键是熟练掌握科基本知
识，属于中考常考题型．
8．如图，在小正方形的边长为1的正方形网格中，点A，B在格点上．(1)线段 的长是______；
(2)在网格中用无刻度的直尺，以 为边画矩形 ，使这个矩形的面积是 （要求：保留画
图痕迹）．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理进行计算即可；
（2）由（1）可知，以AB为边长的正方形面积为13，画矩形 ，使这个矩形的面积是 ，
即将正方形一分为二即可．
(1)
解：由图可知，
利用勾股定理可得AB= ．
故答案为： ．
(2)
解：如图，根据网格先画出以 为边的正方形 ，再画出 格对角线 ， 交 和
于点C和D，所以四边形 是以 为边的矩形，这个矩形的面积是 ．
所以矩形 即为所求．【点睛】
本题考查了勾股定理求边长，正方形的性质以及垂直平分线的性质，解决第二问的关键是找到矩
形面积和正方形面积的关系．
9．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点
上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线 成轴对称的△A′B′C′；
（2）在直线 上找一点P，使PB+PC的和最小，并算出这个最小值．
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析，
【解析】
【分析】
（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用轴对称求最短路线求法得出P点位置，然后根据勾股定理求解．
【详解】
解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；
（2）如图所示：点P即为所求．
PB+PC= = ．【点睛】
此题主要考查了轴对称变换，最短路径求法，以及勾股定理等知识，正确得出对应点位置是解题
关键．
10．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为6的平行四边形．
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、 、 ．
(3)如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)45°
【解析】
【分析】
（1）（2）利用数形结合的思想解决问题即可．
（3）连接AC，证明△ACB是等腰直角三角形即可．
(1)
解：平行四边形ABCD即为所求，如图所示：(2)
ABC即为所求．
△
(3)
连接AC，如图所示：
∵正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，由勾股定理得，
AC＝ ，BC＝ ，AB＝ ，
∴AC2+BC2＝10+10＝20＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，
又∵AC＝BC＝
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°．
【点睛】
本题考查作图−应用与设计，勾股定理以及逆定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11．如图，是由49个边长为1的小正方形组成的 的正方形网格，小正方形的顶点为格点，点
、 、 均在格点上．
(1)直接写出 ______；
(2)点 在图（1）网格中的格点上，且 是以 为顶角顶点的等腰三角形，则满足条件的点
有______个，并在图（1）中标出；
(3)请在如图所示图（2）的网格中，用无刻度的直尺作出 的角平分线，并保留作图痕迹，
并加以证明．
【答案】(1)5
(2)3，图见解析
(3)图见解析，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理求解即可；
（2）根据等腰三角形的定义以及题目要求作出图形即可；
（3）取格点A、B，使AM=1，NB=1，OB=5，连接BM、AN交于点C，作射线OC，射线OC即为
所求；理由根据题意可得四边形ABNM为平行四边形，从而得到CM=CB，可证得
△OCM≌△OCB，即可求解．
(1)
解： ；
故答案为：5
(2)
解：如图，满足条件的点E由3个，点E， 即为所求的点；理由：根据题意得：
， ，
∴
∴ 均是以O为顶角顶点的等腰三角形；
故答案为：3
(3)
解：如图，取格点A、B，使AM=1，NB=1，连接BM、AN交于点C，作射线OC，射线OC即为所
求；
理由如下：
根据题意得AM=BN=1，AM∥BN，
∴四边形ABNM为矩形，
∴MC=BC，
∵OB=OM=5，OC=OC，
∴△OCM≌△OCB，
∴∠COM=∠COB，即OC是∠MON的角平分线．
【点睛】
本题考查作图一应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定
理等知识，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
12．如图，是一个17×6的网格图，图中已画出了线段AB和线段EG，其端点A，B，E，G均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形并计算：
(1)画出以AB为边的正方形ABCD；
(2)画一个以EG为一条对角线的菱形EFGH（点F在EG的左侧），且面积与（1）中正方形的面
积相等；
(3)在（1）和（2）的条件下，连接CF，DF，请直接写出 CDF的周长．
【答案】(1)见解析 △
(2)见解析
(3) CDF的周长为2+2 +2 ．
△
【解析】
【分析】
（1）直接利用正方形的性质得出符合题意的图形；
（2）直接利用菱形的性质结合正方形面积得出符合题意的图形；
（3）直接利用网格的结构特征和勾股定理得出答案．
(1)
解：如图所示，正方形ABCD即为所求；
；
(2)
解：如图所示，菱形EFGH即为所求；S ABCD= ×4×4=8，S EFGH= ×8×2=8，
正方形 菱形
∴S ABCD= S EFGH；
正方形 菱形
(3)
解：∵由勾股定理可得，CD=2 ，DF=2 ，而CF=2，
∴△CDF的周长=2+2 +2 ．
【点睛】
此题主要考查了应用设计与作图以及正方形、菱形的性质，正确应用正方形、菱形的性质，首先
要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
13．在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构
图法进行了一系列探究活动：
(1)在 中， 、 、 三边的长分别为 、 、 ，求 的面积．如图1，在
正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点 （即 三个顶点都在小正方形的
顶点处），不需要求 的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则
的面积为___________．
(2)在平面直角坐标系中，①若点A为 ，点B为 ，则线段 的长为___________；②若
点A为 ，点B为 ，则线段 的长可表示为__________∶
(3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小： _______ （填“>”或“<”）；
(4)若 三边的长分别为 、 、 （ ， ．且 ），
请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出 ，并求出它的面积（结果用m，n表示）．
【答案】(1)
(2)① 5；
②
(3)<
(4)
【解析】
【分析】
（1）利用构图法求出 的面积，即可求解；
（2）①利用勾股定理，即可求解；②类比①的方法，即可求解；
（3）构造出三边长分别为 的三角形，即可求解；
（4）先画出三边长分别为 、 、 的 ，再利用构图法求解，
即可求解．
(1)
解： 的面积为 ；
故答案为：
(2)
解：① ；
故答案为：5；
②线段 的长可表示为 ；
故答案为：
(3)
解：如图，根据题意得： ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：<
(4)
解：解：如图， ， ，
，
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形
结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考常见题，
14．已知：在6×6的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1个单位长度．(1)【背景呈现】 如图1，点A，B，C都在格点上，直接写出∠BAC的度数．
(2)【问题解决】 如图2，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD交于点E，求∠AEC的度数．
(3)【拓展应用】 如图3，点A，B都在格点上，点C在格线上，若∠BAC=45°，求线段BC的长度．
【答案】(1)∠BAC=45°
(2)∠AEC=45°
(3)BC=2.5
【解析】
【分析】
（1）连接BC，运用勾股定理求出AB，BC，AC的长，判断 是等腰直角三角形即可得出结
论；
（2）过点A作AF//CD，且AF=CD，则 ，连接FB，证明 是等腰直角三角形即
可;
（3）延长AC交格点于点D，连接BD，可证明 是等腰直角三角形，根据
可求出BC的长．
(1)
连接BC，如图，
∵每一个小正方形的边长为1个单位长度,∴
∴ ，且 ,
∴ 是等腰直角三角形,
∴∠BAC=45°；
(2)
如图，过点A作AF//CD，且AF=CD，则 ，连接FB，
由勾股定理得，
∴ ，且
∴ 是等腰直角三角形,
∴
∴ ；
(3)
延长AC交格点于点D，连接BD，
由勾股定理得，
∴ ，且 ，∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
又 ，
∴
∴
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，平行线的性质等知识，正确作图是解答本题的关键．
15．阅读探究
小明遇到这样一个问题：在 中，已知 ， ， 的长分别为 ， ， ，求
的面积．
小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网
格中画出格点 （即 的3个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出
的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法，
（1）图1中 的面积为________．
实践应用
参考小明解决问题的方法，回答下列问题：
（2）图2是一个 的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．
①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为 ， ， 的格点 ．
② 的面积为________（写出计算过程）．
拓展延伸
（3）如图3，已知 ，以 ， 为边向外作正方形 和正方形 ，连接 ．若， ， ，则六边形 的面积为________（在图4中构图并填
空）．
【答案】（1） ；（2）①作图见详解；②8；（3）在网格中作图见详解；31．
【解析】
【分析】
（1）根据网格可直接用割补法求解三角形的面积；
（2）①利用勾股定理画出三边长分别为 、 、 ，然后依次连接即可；②根据①中图形，
可直接利用割补法进行求解三角形的面积；
（3）根据题意在网格中画出图形，然后在网格中作出 ， ，进而可得
，得出 ，进而利用割补法在网格中求解六边形的面积即可．
【详解】
解：（1）△ABC的面积为： ，
故答案为： ；
（2）①作图如下（答案不唯一）：② 的面积为： ，
故答案为：8；
（3）在网格中作出 ， ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
，
六边形AQRDEF的面积=正方形PQAF的面积+正方形PRDE的面积+ 的面积
，
故答案为：31．
【点睛】
本题主要考查勾股定理、正方形的性质、割补法求解面积及二次根式的运算，熟练掌握勾股定理、
正方形的性质、割补法求解面积及二次根式的运算是解题的关键．
16．（1）问题背景：
在 中， 、 、 三边的长分别为 、 、 ，求这个三角形的面积．小明同学
在解答这道题时（每个小正方形的边长为1）再在网格中画出格点 （即 三个顶点都在
小正方形的顶点处），如图①所示，而借用网格就能计算出它的面积，请你求出图①中 的
面积；（2）尝试运用
我们把上述求三角形面积的方法叫做构图法．若 三边的长分别为 、 、 （
）（每个小正方形的边长为 ）画出相应的 ，并求出它的面积；
（3）拓展创新：
若 三边的长分别为 、 、 （ ， ，且 ），试
运用构图法求出 的面积．
【答案】（1）3.5；（2）图见解析， ；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用割补法求解可得；
（2） a是直角边长为a，2a的直角三角形的斜边；2 a是直角边长为2a，2a的直角三角形的
斜边； a是直角边长为a，4a的直角三角形的斜边，把它整理为一个长方形的面积减去三个直
角三角形的面积；
（3）结合（1）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为
3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．
【详解】
解：（1）问题背景：
；
（2）尝试运用：
如图：；
（3）拓展创新：
构造 如图所示，
．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求
解是解题关键．
17．琪琪是一个爱动脑筋的孩子，她学完勾股定理后，又进行了深入的探究：
（1）如图，请观察图形找出 与 的关系：图1中， ______ ；图2中，
______ ．这样，我们就猜想出了钝角三角形和锐角形中三边之间的关系．
（2）请你直接应用发现的结论：当 三边长分别为6，8，9时， 为____三角形；当
三边长分别为6，8，11时， 为______三角形．（3）请你根据琪琪的猜想完成下面的问题：当a=2，b=4时，最长边c在什么范围内取值时，
是锐角三角形、钝角三角形？
【答案】（1）＜；＞；（2）锐角，钝角；（3） ， 是锐角三角形； ，
是钝角三角形．
【解析】
【分析】
（1）以a、b、c为边长的正方形，计算出每个正方形的面积，比较大小即可得出结论．
（2）若 ，则 为锐角三角形；若 ，则 为钝角三角形；依据这
个结论进行判断．
（3）对第二小题结论的逆运用，结合三角形三边关系，计算不等式得出答案．
【详解】
解：（1）图1中， 可以看作是直角三角形的斜边，两条直角边都是2，根据勾股定理得出：
，边长为 的正方形面积为： ；
边长为 的正方形面积是： ；
可以看作是直角三角形的斜边，两条直角边是2、5，根据勾股定理得出： ，边长为
的正方形面积为： ；
； ，
．
图2中， 可以看作是直角三角形的斜边，两条直角边是1、2，根据勾股定理得出： ，
边长为 的正方形面积为： ；
可以看作是直角三角形的斜边，两条直角边都是2，根据勾股定理得出： ，边长为的正方形面积是： ；
边长为 的正方形面积为： ；
； ，
．
（2）在上一小题中我们发现，三角形最长的边为 ，
若 ，则 为锐角三角形；
，是锐角三角形 ；
若 ，则 为钝角三角形；
，是钝角三角形．
（3） 为最长边， ；
又 三角形三边符合 ， ；
是锐角三角形， ，
将 代入， ， ， ；
的取值范围是： 时， 是锐角三角形；
是钝角三角形，则 ，
将 代入， ， ，
的取值范围是： 时， 是钝角三角形．
【点睛】
本题考查了三角形第三边的取值范围，非直角三角形三边关系，是对勾股定理知识的拓展探究；
注意用三角形最长边的值和另外两边比较，这是得出正确结论的关键．
18．问题背景：
在 ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 、 、 ，求这个三角形的面积．
△
小辉同学在解答这道题时．先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出
格点 ABC（即 ABC三个顶点都在小正方形的顶点处）．如图①所示．这样不需求 ABC的高．
而借△用网格就能△计算出它的面积． △
（1）请你将 ABC的面积直接填写在横线上______；
△思维拓展：
（2）我们把上述求 ABC面积的方法叫做构图法．若 ABC三边的长分别为 ， ， ，
△ △
请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的 ABC．并求出它的面积
探索创新： △
（3）若 ABC三边的长分别为 a、2 a、 a（a＞0），请利用图（2）的正方形网格（每
△
个小正方形的边长为a）画出相应的 ABC．并求出它的面积．
△
（4）若 ABC三边的长分别为 、 ，2 （m＞0，n＞0，且m≠n），
△
试运用构图法求出这个三角形的面积．
【答案】（1） ；（2） ；（3）3a2；（4）5mn
【解析】
【分析】
（1）利用割补法求解可得；
（2）在网格中利用勾股定理分别作出边长为 的首尾相接的三条线段，再利用割补法
求解可得；
（3）在网格中利用勾股定理分别作出边长为 （a＞0）的首尾相接的三条线段，再
利用割补法求解可得；
（4）在网格中构建边长为6m和6n的矩形，同理作出边长为 、 的
三角形，最后同理可得这个三角形的面积．
【详解】
（1）△ABC的面积为3×3- ，故答案为 ；
（2）如图②，AB= ，BC= ，AC= ，
由图可得：S = = ；
ABC
△
（3）如图②，
由图可得：S =2a×4a- =3a2；
ABC
△
故答案为3a2；
（4）构造△ABC所示，AB= =
=S =3m×4n- ×2m×2n=5mn．
ABC
△
【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了勾股定理及作图的知识，解答本题关键是仔细理解问题背景，熟
练掌握勾股定理，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积
进行解答．
