文档内容
专题05 绝对值的几何意义
1．阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|
a﹣b|．回答下列问题：
(1)数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是 ，数轴上表示x和-2的两点之间的距离是 ；
(2)数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为 ；
(3)若x表示一个有理数，则|x+2|+|x-4|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．
2．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示6和2的两点之间的距离为 ______；表示－1和2两点之间的距离为
______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ，如
果表示数a和－1的两点之间的距离是3，那么a＝______．
(2)若数轴上表示数a的点位于－5与3之间，求 的值；
(3)当x＝______时， 的值最小，最小值为______．
3．阅读下面的材料：
我们知道，在数轴上， 表示有理数a对应的点到原点的距离，同样的道理， 表示有理数
a对应的点到有理数2对应的点的距离，例如， ，表示数轴上有理数5对应的点到有理数
2对应的点的距离是3．
请根据上面的材料解答下列问题：
(1)数轴上有理数 对应的点到有理数3对应的点的距离是_______；
(2) 表示有理数a对应的点与有理数_______对应的点的距离；如果 ，那么有理数a
的值是_______；
(3)如果 ，那么有理数a的值是_______．(4)代数式 的最小值是_________，此时有理数a可取的整数值有______个．
4．（1）数轴上表示4与 的点之间的距离为_________，数轴上表示3与5的点之间的距离为
_________
（2） ___________； ___________
（3）观察（1）（2）两小题，若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为y，则A与B两点
间的距离可以表示为__________．A与表示-2的点之间的距离可表示为__________
（4）结合数轴，求 的最小值为 ________
5．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点
之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道 ，它的几何意义是数轴上表示4
的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子 ，它的几何意义是数轴上表示数7的点
与表示数3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为
b，则A，B两点间的距离就可记作 ．
回答下列问题：
(1)几何意义是数轴上表示数2的点与数 的点之间的距离的式子是________；式子 的几何
意义是_______________________；
(2)根据绝对值的几何意义，当 时， ________；
(3)探究： 的最小值为_________，此时m满足的条件是________；
(4) 的最小值为________，此时m满足的条件是__________．
6．同学们都知道，|5－（－2）|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数
轴上所对的两点之间的距离．试探索：
（1）求|5－（－2）|＝______．
（2）若 成立，则x＝_________．
（3）请你写出 的最小值为________．并确定相应的x的取值范围是______．7．先阅读，后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离：
|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应
的两点之间的距离．
【探究】
(1)如图，先在数轴上找出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动3个单位，得到点C，则
点B和点C表示的数分别为_______和_______，B，C两点间的距离是_______；
(2)数轴上表示x和﹣2的两点A和B之间的距离表示为_______；如果|AB|＝3，那么x为_______；
(3)要使代数式|x+2|+|x﹣3|取最小值时，则整数x的值为_______．
(4)当x为_______时，|x+4|+|x﹣2|＝12．
8．点 、 在数轴上分别表示有理数 、 ，点 与原点 两点之间的距离表示为 ，则
，类似地，点 与原点 两点之间的距离表示为 ，则 ，点 与点 两
点之间的距离表示为 ．请结合数轴，思考并回答以下问题：
(1)填空：
①数轴上表示1和 的两点之间的距离是______．
②数轴上表示 和 的两点之间的距离是______．
③数轴上表示 和 的两点之间距离是3，则有理数 是______．
(2)求满足 的所有整数 的和______．
(3)已知 ．求 的最大值为______．
9．阅读下面一段文字：在数轴上点A，B分别表示数a，b．A，B两点间的距离可以用符号 表
示，利用有理数减法和绝对值可以计算A，B两点之间的距离 ．例如：当a＝2，b＝5时， ＝5－2＝3；当a＝2，b＝－5时， ＝ ＝7；当a＝－2，b
＝－5时， ＝ ＝3，综合上述过程，发现点A、B之间的距离 ＝ （也可以表
示为 ）．
请你根据上述材料，探究回答下列问题：
（1）表示数a和－2的两点间距离是6，则a＝ ；
（2）如果数轴上表示数a的点位于－4和3之间，则 ＝
（3）代数式 的最小值是 ．
（4）如图，若点A，B，C，D在数轴上表示的有理数分别为a，b，c，d，则式子
的最小值为 （用含有a，b，c，d的式子表示结果）
10．先阅读，后探究相关的问题
【阅读】 表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；
可以看做 ，表示5与 的差的绝对值，也可理解为5与 两数在数轴上所对应的
两点之间的距离．
【探究】（1）如图，先在数轴上找出表示点2.5的相反数的点 ，再把点 向左移动3个单位，
得到点 ，则点 和点 表示的数分别为_____和_____， ， 两点间的距离是_____；
（2）数轴上表示 和 的两点 和 之间的距离表示为_______；如果 ，那么 为______；
（3）要使代数式 取最小值时，则整数 的值为_______．
（4）当 为______时， + =12．
11．阅读下列内容：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|．数轴上表示数a的点与表示数b的
点的距离记作|a﹣b|，如|3﹣5|表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，|3+5|＝|3﹣（﹣
5）|表示数轴上表示数3的点与表示数﹣5的点的距离，|a﹣3|表示数轴上表示数a的点与表示数3
的点的距离．
根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程）
（1）若|x﹣1|=|x+1|，则x= ，若|x﹣2|＝|x+1|，则x= ；
（3）若|x﹣2|+|x+1|=3，则x的取值范围是 ；
（2）若|x﹣2|+|x+1|=5，则x的值是 ；
（4）若|x﹣2|﹣|x+1|=3，则x能取到的最大值是 ．
12．阅读材料，回答下列问题：
观察题中每对数在数轴上的对应点间的距离：4与 ，3与5， 与 ， 与3．并计算两个数
的差的绝对值，回答问题：
（1）所得距离与这两个数的差的绝对值的数量关系是_______；
（2）若数轴上的点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，则A与B两点间的距离可以表示为
_____；
（3）结合数轴可得 的最小值为______，此时x的取值范围是______；
（4）若关于 的方程 无解，则 的取值范围是_______．
13．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间
的内在联系，它是“数形结合”的基础．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示1和4的两点之间的距离是_____________；
数轴上表示 与2的两点之间的距离可以表示为_____________；
表示数 和-2的两点之间的距离是3，那么 _____________；
一般地，数轴上表示数 和数 的两点之间的距离等于_______________．
（2）同理 表示数轴上有理数 所对应的点到-3和1所对应的点的距离之和，请你找出
所有符合条件的整数 ，使得 ，这样的整数是_______________．（3）由以上探索猜想对于任何有理数 ， 是否有最小值？如果有，直接写出最小值；
如果没有，说明理由．
（4）存在不存在数 ，使代数式 的值最小？如果存在，请写出数
_____________，此时代数式 最小值是_______________．
14．同学们都知道： 表示3与－2之差的绝对值，实际上也可理解为3与－2两数在数轴
上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示 与2的两点之间的距离可以表示为___________．
（2）如果 ，则 __________．
（3）同理 表示数轴上有理数 所对应的点到－2和1所对应的点的距离之和，请你找
出所有符合条件的整数 ，使得 ，这样的整数是___________．
（4）由以上探索猜想对于任意有理数 ， 是否有最小值？如果有，直接写出
最小值；如果没有，说明理由．
15．我们知道：如果点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么在数轴上A、B两点之间的距离
AB=|a-b|．所以式子|x-3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．
利用这个结论，请结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上表示0和3的两点之间的距离是 ；数轴上表示-1和-4的两点之间的距离是
；数轴上表示1和-4的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示x和-1的两点之间的距离可以表示为|x-(-1)|，即：|x+1|．如果|x+1|=2，那么x=
．
（3）如果数轴上表示数x的点位于2与-3之间，那么|x-2|+|x+3|的值为 ．
（4）当x取 时， =|x+3|；当x取 时，|x-2|+|x+2|=6．（5）当x取 时，|x+3|+|x-1|+|x-5|的值最小，最小值是
16．我们知道，在数轴上， 表示数 到原点的距离．进一步地，点 ， 在数轴上分别表示有
理数 ， ，那么 ， 两点之间的距离就表示为 ；反过来， 也就表示 ， 两点之间
的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题．
例．若 ，那么 为：
① ，即 ．
文字语言：数轴上什么数到 的距离等于 ．
②图形语言：
③答案： 为 和 ．
请你模仿上题的①②③，完成下列各题：
（1）若 ，求 的值．
①文字语言：
②图形语言：
③答案：
（2） 时，求 的值：
①文字语言：
②图形语言：
③答案：
（3） ，求 的取值范围：
①文字语言：
②图形语言：
③答案：
（4）求 的最小值．①文字语言：
②图形语言：
③答案：
17．【问题提出】 的最小值是多少？
【阅读理解】
为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手． 的几何意义是 这个数在数轴上对应的点到
原点的距离，那么 可以看作 这个数在数轴上对应的点到1的距离； 就可以看作
这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究 的最
小值．
我们先看 表示的点可能的3种情况，如图所示：
（1）如图①， 在1的左边，从图中很明显可以看出 到1和2的距离之和大于1．
（2）如图②， 在1，2之间（包括在1，2上），可以看出 到1和2的距离之和等于1．
（3）如图③， 在2的右边，从图中很明显可以看出 到1和2的距离之和大于1．因此，我们可
以得出结论：当 在1，2之间（包括在1，2上）时， 有最小值1．
【问题解决】
（1） 的几何意义是 ，请你结合数轴探究： 的最小值是
．
（2）请你结合图④探究 的最小值是 ，由此可以得出 为 ．（3） 的最小值为 ．
（4） 的最小值为 ．
【拓展应用】
如图，已知 使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出 的取值范围是 ．
18．阅读下面材料：点 ， 在数轴上分别表示有理数 ， ． ， 两点之间的距离表示为
．设点 表示原点，当 ， 两点中有一点在原点时，不妨设 点在原点，如图1所示，
；
当 ， 两点都不在原点时．
（1）如图2所示点 ， 都在原点右边， ；
（2）如图3所示点 ， 都在原点左边， ；
（3）如图4所示点 ， 在原点两边， ．
综上所述，数轴上 ， 两点之间的距离表示为 ．
图1
图2图3
图4
根据阅读材料回答下列问题：
（1）数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________．
（2）数轴上表示1和-3的两点之间的距离是________．
（3）数轴上有表示 的点 和表示-1的点 ，如果 那么 等于________．
（4）求代数式 的最小值．
