文档内容
专题 05 线段的垂直平分线与角平分线
目录
A题型建模・专项突破
题型一、线段垂直平分线的性质求解......................................................................................................................1
题型二、线段垂直平分线的判定定理......................................................................................................................4
题型三、角平分线性质定理......................................................................................................................................8
题型四、角平分线的判定定理................................................................................................................................11
题型五、线段的垂直平分线与角平分线的综合问题............................................................................................17
B综合攻坚・能力跃升
题型一、线段垂直平分线的性质求解
1．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，在 中， ， ，作 的垂直平分线交
于点 ，交 于点 ，若 ，则 的长度是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了含 角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌
握相关知识是解题的关键．连接 ，由线段垂直平分线的性质可知， ，结合已知的 ，
根据等边对等角可得 ，可证 ，利用直角三角形中 角所对的直角边是
斜边的一半进行计算即可求解．
【详解】解：连接 ，
， ，
，
，
垂直平分 ，
，
，
，
在 中， ，
，
在 中， ，．
故答案为： ．
2．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，在 中， ， 分别是边 ， 的垂直平分线，
分别交 于 ， 两点，连接 ， ，若 的周长为 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，由线段的垂直平分线的性质可得 ， ，进
而得到 的周长 ，即可求解，掌握线段的垂直平分线的性质是
解题的关键．
【详解】解：∵ 分别是 的垂直平分线，
∴ ， ，
∴ 的周长 ，
故答案为： ．
3．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在 中， ， 边的垂直平分线交 于D，交
于E，若 平分 ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点
的距离相等是解题的关键．由线段垂直平分线和角平分线的定义可得 ，在
中由三角形内角和定理可求得 ．
【详解】解： 在线段 的垂直平分线上， ，
，
，
平分 ，
，
又 ，
．
故答案为： ．4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在 中， 是 的平分线， 的垂直平分线交 的
延长线于点 ，已知 ，则 的度数为 ．
【答案】 /50度
【分析】本题考查了三角形的外角性质，角平分线定义，线段垂直平分线性质，熟练应用相关性质定理是
解题的关键．根据线段垂直平分线得出 ，推出 ，根据角平分线得出 ，
根据三角形外角性质得到 ，结合 ，即可得到 ．
【详解】解： 的垂直平分线交 的延长线于点 ，
，
，
平分 ，
，
， ，
．
故答案为： ．
题型二、线段垂直平分线的判定定理
9．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图， 中， ，D是 上一点， ，过
点D作 的垂线交 于点E，连接 交 于 ，求证： 垂直平分 ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定定理，等腰三角形“三线合一”．
先用 证明 ，再用全等三角形的性质以及等腰三角形“三线合一”的性质即可证明．
【详解】证明： ，
．
在 和 中，
，
，．
又 ，
， ，
垂直平分 ．
10．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图1， ， 与 相交于点 ，
．
(1)如图1，求证： 垂直平分 ；
(2)如图2，在图1的基础上，过点 作 交 的延长线于点 ，如果 ，求证： 是
等边三角形；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的判定、三角形外角的性质、直角三
角形的性质以及等边三角形的判定．
（1）根据等角对等边可求 ， ，再运用垂直平分线的判定定理和两点确定一条直线即可
证明 垂直平分 ．
（2）根据等腰三角形性质和三角形外角性质可知 ，再通过平行线性质和直角三角形性质可
求 ，利用三角形内角和求 ，最后通过等边三角形的判定定理即可求证．
【详解】（1）证明： ， ，
， ，
在 的垂直平分线上， ，
在 的垂直平分线上，
垂直平分 ．
（2）证明：设 ，
，
，
是 的外角，
，
由（1）得 ， ，
，，
，
，
，
，
即 解得 ，
，
又 ，
是等边三角形．
11．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，在 中，边 的垂直平分线分别交 ， 于点 ，
，边 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ， ， 相交于点 ，连接 ， ．
(1)试判断点 是否在 的垂直平分线上，并说明理由
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)点 在 的垂直平分线上，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定，根据
题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）连接 ，根据线段垂直平分线的性质可得 ， ，从而可得 ，然后利用线段
垂直平分线性质定理的逆定理即可解答；
（2）因为 ，根据“等边对等角”得 ， ，
则可得 ，由三角形内角和可得 的度数．
【详解】（1）解：点 在 的垂直平分线上，理由如下：
连接 ，如图．
， 分别是 ， 的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质可得， ， ，，
点 在 的垂直平分线上；
（2）解： ，
， ，
，
，
，
，
，
，
即 ，
，
即 ．
12．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图1和图2，在 中，以点A为圆心， 的长为半径作弧，
交 于点D．
(1)求证：点A在线段 的垂直平分线上；
(2)P是线段 上的动点（点P不与点C，D重合），线段 的垂直平分线 分别与 ， 交于点E，
M，线段 的垂直平分线 分别与 ， 交于点F，N．
①若 ， ，求四边形 的周长；
②已知 ，判断当点P在线段 上运动时， 的度数是否会发生变化．若变化，请说明理
由；若不变，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①15；②不变，100度
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟记相关性质
定理是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，结合已知条件证明
点A在线段 的垂直平分线上；
（2）①根据线段垂直平分线的性质得到 ， ，进而求出四边形 的周长；
②通过三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，求出 的度数，判断其是否随点P的运动而变化．
【详解】（1）证明：∵以点A为圆心， 的长为半径作弧，交 于点D，∴ ．
∴点A在线段 的垂直平分线上；
（2）解：①∵线段 的垂直平分线 分别与 ， 交于点E，M，
∴ ．
∵线段 的垂直平分线 分别与 ， 交于点F，N，
∴ ．
∴四边形 的周长为 ．
∵ ， ，
∴四边形 的周长为 ；
② 的度数不变．理由如下：
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 的度数不变，为 ．
题型三、角平分线性质定理
5．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在 中， ， 平分 ，交 于点E，
于点D，如果 ， ，那么 的长是 ．
【答案】2
【分析】本题考查角平分线的性质．先根据线段的和差求出 ，再由角平分线的性质即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，∴ ．
故答案为：2．
6．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图， 中， 平分线 和边 的垂直平分线 交于点
，已知点 到 边距离为 ，那么点E和点A之间的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的性质，勾股定理，过点 作 ，根据题意得到
，由角平分线的性质可得 ，利用勾股定理即可求出 ．
【详解】解：过点 作 ，
由题意得 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点E和点A之间的距离为 ．
故答案为： ．
7．（25-26八年级上·北京·期末）如图， 是 的角平分线， 是 边 上的中线，若
的面积是18． ，则 的面积是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了角平分线的性质，中线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是
解题的关键．过点D作 于F，过D作 于G，利用角平分线的性质可得 ，然后利用三角形的面积公式可得 ， 从而可得 ，求得 ，最后利用三角形的中线性
质可得 ，进行计算即可解答．
【详解】解：如图所示，过点D作 于F，过D作 于G，
是 的角平分线，
，
，
，
的面积是18，
，
∵ 是 边 上的中线，
，
故答案为： ．
8．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图， 中， 平分 ， 且平分 ，
于E， 于F．如果 ，则 的长是 ．
【答案】2
【分析】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键
是准确作出辅助线，利用方程思想求解．
连接 ，由 平分 ， 于E， 于F，根据角平分线的性质，即可得
，又由 且平分 ，根据线段垂直平分线的性质，可得 ，继而可证得
，则可得 ，再证 ，即可得 ，然后设 ，由
，即可得方程 ，解方程即可求得答案．
【详解】解：连接 ，∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ 且平分 ，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故答案为：2．
题型四、角平分线的判定定理
13．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在 和 中， ， ，
， 分别交 ， 于点 ，连接 ．(1)求证： ；
(2)求证： 平分 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理；
（1）证明 即可得到 ；
（2）过点 分别作 于点 ， 于点 ，根据 得到 ，
，利用三角形的面积公式得到 ，再利用角平分线的判定定理即可证明 平分
．
【详解】（1）证明： ，
，
即 ，
，
，
．
（2）证明：过点 分别作 于点 ， 于点 ，
由（1）得， ，
， ，
，
，
又 ， ，
平分 ．
14．（25-26八年级上·上海·期中）如图，在 中， 和 的平分线 、 交于点 ，连
接 ．(1)求证： 平分 ；
(2) ？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形的
外角性质等知识；
（1）过 作 于点 ， 于点 ， 于点 ，由角平分线的性质得 ，
，则 ，再由角平分线的判定即可得出结论；
（2）过 作 于点 ， 于点 ， 于点 ，由角平分线的性质得
，再证明 ，然后证明 ，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图1，过 作 于点 ， 于点 ， 于点 ，
平分 ，
，
平分 ，
，
，
平分 ；
（2） 成立，证明如下：
设 ，
如图 ，过 作 于点 ， 于点 ， 于点 ，则点 在线段 上，点 在线段 上，
和 的平分线 、 交于点 ，
，
， ，
，
、 分别平分 、 ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
．
15．（25-26八年级上·全国·期末）如图，点 为 的中点， 平分 ．
(1)若 ．
①求证： 平分 ．
②猜想线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
(2)若 ，请你思考 应该满足什么条件，能使得（1） 中结论依然成立，并说明理由．
【答案】(1)①见解析；② ，见解析
(2) ，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理及判定定理等；添加恰当的辅助线构
建全等三角形是解题的关键．
（1）①过点 作 交于 ，由角平分线的性质得 ，再由角平分线的判定定理即可得证；
②由 可判定 ，由全等三角形的性质即可得证；
（2）在 上截取 ，连接 ，过点 作 交于 ，作 交于 ，由 判定，结合全等三角形的性质，再由 判定 、 ，由全等三角
形的性质即可得证．
【详解】（1）①证明：过点 作 交于 ，
平分 ， ，
，
点 为 的中点，
，
，
， ，
平分 ；
② ，
证明： ， ，
（ ），
，
同理可证 ，
；
（2）解： ，
理由如下：在 上截取 ，连接 ，过点 作 交于 ，作 交于 ，
，
平分 ，
，
，
（ ），
， ，
，，
，
点 为 的中点，
，
，
（ ），
，
平分 ，
，
，
（ ），
，
．
故 时，能使得（1） 中结论依然成立．
16．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在 、
上分别取点 、 、 、 ，使得 ， ，连接 、 ，交点为 ，则射线 为
的角平分线．
【验证】（1）试说明 平分 ，且 ；
【应用】（2）如题图2，若 、 、 、 分别为 、 上的点，且 ， ，
试用（1）中的原理说明 平分 ；
【猜想】（3）如题图3， 是 角平分线上一点， 、 分别为 、 上的点，且 ，请
补全图形，并直接写出 与 的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）补全图形见解析， 或
【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，本题综合性
强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
（1）先证明 ，得 ，再证 ，得 ，然后证
，得 ，即可得出结论；
（2）先证明 ，可得 ，由（1）可得 平分 ；（3）过点 分别作 于 ， 于 ，分两种情况进行求解即可．
【详解】解：（1） ， ， ，
， ，
，
， ，
，
，
， ， ，
，
，
即 ，
射线 平分 ；
（2） ，
，
，
，
，
由（1）同理可得 平分 ；
（3）补全图形如下，过点 分别作 于 ， 于 ，
是 的平分线，
， ，
当 时，
在 和 中，
，
，
；
当 时，
同理得 ，
；，
，
综上所述， 与 的数量关系为 或 ．
题型五、线段的垂直平分线与角平分线的综合问题
17．（25-26八年级上·福建三明·期末）如图，在 中，D是 上的一点，连接 ，作 交
于点E， 交 于点F，且 平分 ，连接 ．
(1)证明： 垂直平分 ．
(2)若 的周长为18，面积为24， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的逆定理．解题的关键在于
对知识的灵活运用．
（1）证明 ，可得 ， ，从而得到点A和点D在 的垂直平分线上，即可．
（2）首先求出 ，再证明 ， ，然后根据面积法进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴点A和点D在 的垂直平分线上，
∴ 垂直平分 ．
（2）解：∵ 的周长为18， ，
∴ ，
由（1）得 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
18．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，E是 的平分线上的一点， ，
，垂足分别为C，D，连接 ，交 于点F．
(1)求证： ．
(2)求证： ．
(3)求证： 是线段 的垂直平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，垂直平分线的判定．
（1）根据角平分线的性质得到 ，由“ ”可证 ，可得 ；
（2）由全等三角形的性质可得 ，由“ ”可证 ，则可得出结论；
（3）由全等三角形的性质可得 ， ，可证 是线段 的垂直平分线．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ， ， ，
∴ ， ， ，
又∵ ，
∴ （ ），
∴ ；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ （ ），
∴ ；
（3）证明：∵ ，
∴ ， ，∴ 是线段 的垂直平分线．
19．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在 中, ，点D在 的右侧且满足
，连接 ，其中 ．
(1)求证： ；
(2)如备用图，延长 至点M，使得 ．
求证：① 平分 ；
②点M在线段 的延长线上．
【答案】(1)见解析；
(2)①见解析；②见解析．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定及三点共线的证明，
解题的关键是利用等腰三角形的角关系推导角度，结合全等三角形的判定得到线段相等，再通过角的数量
关系证明共线．
（1）利用等腰 的内角和求出 ，结合已知 ，证得 ；
（2）①作角两边的垂线，证 得到距离相等，判定 平分 ；
②证 ，结合角的和为 ，证明点M在 的延长线上．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）①如图1，过点A作 ，垂足分别为H，K，∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ；
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 平分 ；
②如图2，连接 ，设 与 交于点G，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，由（1）知 ，且 平分 ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴A，M，B三点共线．
∴点M在线段 的延长线上．
20．（25-26八年级上·广东珠海·期中）在 中， ， ．点 在 的平分线所在的直
线上．
(1)如图1，当点 在 的外部时，过点 作 于 ，作 交 的延长线于 ，且
．求证：点 在 的垂直平分线上；
(2)如图2，当点 在线段 上时，若 ， 平分 ，交 于点 ，交 于点 ，过点
作 ，交 于点 ．
①求 的大小；
②若 ， ，直接写出 的长度______．
(3)如图3，过点 的直线 ．若 ， ，点 到 三边所在直线的距离相等，则这
样的点 有______个，点 到直线 的距离是______．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②2
(3)4；3或6或9或18．
【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质
定理是解决问题的关键．
（1）①点 在 的平分线所在的直线上，过点 作 于 ，作 交 的延长线于 ，
得出 ，借助 ，得到 ，即可证明点 在 的垂直平分线上；
（2）①先利用角平分线的定义求得 ，再利用三角形的外角性质求得，即可求解；
②延长 交 于 ，证明 ，得到 ，再由 ，即可求解；
（3）分4种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可．
【详解】（1）证明：连接 ， ，如图1，
点 在 的平分线所在的直线上，过点 作 于 ，作 交
的延长线于 ，
，
在 和 中，
，
，
，
点 在 的垂直平分线上；
（2）解：① 平分 ， 平分 ， ，
∴ ， ，
，即 ，
，
，即 ，
；
故答案为： ；
②延长 交 于 ，如图2，
， ，
，在 和 中，
，
，
，
∵ ， ， ， ，
，
，
，
， ， ，
，
，
；
（3）解：∵点 到 三边所在直线的距离相等，
∴点 是 内角的平分线交点或内角平分线与外角平分线的交点；
当点 在 内部时，记点 到 各边所在的直线距离为 ，如图3：
，
，
，
点 到直线 的距离是 ；
当点 在 的下方时，如图4：
设点 到三边的距离为 ，则由 得 ，
∴ ，
同理 ，
，
，
点 到直线 的距离是 ；
当点D在 的右边时，如图：
设点D到三边的距离为y，
同理可得： ，则 ，
∴ ，
点D到直线l的距离是 ；
当点D在 的上方时，如图：
设点D到三边的距离为z，
同理可得： ，
∴ ，
点D到直线l的距离是 ；
综上，这样的点 有4个，点D到直线l的距离是3或6或9或18．
故答案为：4；3或6或9或18．一、单选题
1．（25-26八年级上·广东韶关·期中）如图，在 中， 平分 ， ，D到 的距离是
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，能够正确理解距离的概念是
解题的关键．
作 于 ，根据角平分线的性质求解即可．
【详解】解：作 于 ，如图，
由图可得 ，且 平分 ，
，
∴D到 的距离是3，
故选：B．
2．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在 中， ，根据尺规作图的痕迹判断以下
结论正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质和等边对等角，由作图方法可知 垂直平分 ，再由线段垂直平分线的性质得到 ，则由等边对等角可得答案．
【详解】解：由作图方法可知 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
根据现有条件无法得到 ， ， ，
故选：D．
3．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在 中， ， 垂直平分 交 于点
，若 的周长为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：由线段垂直平分线的性质可得 ，进而得到 的
周长 ，据此即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关
键．
【详解】解：∵ 垂直平分 交 于点 ，
∴ ，
∴ 的周长 ，
即 ．
故选：D．
4．（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，在 中， , , ，直线 垂直平
分线段 ，若点 为边BC的中点，点 为直线 上一动点，则 周长的最小值为（）
A．9 B．13 C．12 D．14
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质等知识，掌握将军饮马模型是解题关
键．
连接 ， ，推出 周长的最小值为 ，证明 ，再利用三角形的面积公式列方程
求出 即可解决问题．【详解】解：连接 ， ，
∵直线 垂直平分线段 ．
，
∵点 为边 的中点， ，
周长 ，
周长的最小值为 ，
，点 为边 的中点，
∵ , ，
，
解得 ，
周长的最小值为 ，
故选：C．
5．（25-26八年级上·浙江·期末）如图，三角形 中， 的平分线交 于点D，过点D作
，垂足分别为E，F，下面四个结论：① ；② 垂直平分 ；③
；④ 一定平行 ．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．先根据角平分线的
性质得 ，证明 ，可得 ，继而证得① ；又由线段垂直平分线的判定，可得② 垂直平分 ；然后利用三角形的面积公式求解即可得③ ．
【详解】解：①∵三角形 中， 的平分线交 于点D，过点D作 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故①正确；
②∵ ， ，
∴点D在 的垂直平分线上，点A在 的垂直平分线上，
∴ 垂直平分 ，
故②正确；
③∵ ， ， ，
∴ ；
故③正确；
④∵ 不一定等于 ，
∴ 不一定平行 ．
故④错误．
综上所述，正确的有①②③．
故选：A．
二、填空题
6．（25-26八年级上·全国·期末）如图， ，以点 为圆心，小于 长为半径画弧，分别交 ，
于 ， 两点，再分别以 ， 为圆心，大于 长为半径画弧，两条弧交于点 ，作射线 交
于点 ，若 ，则 的度数为 ．
【答案】 / 度
【分析】此题主要考查了基本作图以及平行线的性质，由作图步骤得到 平分 ，是解题关键．
直接利用平行线的性质结合角平分线的作法得出 ，即可得出答案．
【详解】解：由题意可得： 平分 ，∵ ，
，
，
，
平分 ，
．
∵ ，
∴ ．
故答案为：
7．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）如图，在 中， ，分别以点A和点C为圆心，大于
长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线 分别交 于点D，E．若 ，则
的度数是 度．
【答案】30
【分析】本题考查中垂线的性质，根据作图得到 垂直平分 ，根据等边对等角，求出 的
度数，中垂线的性质，得到 ，进而得到 ，再根据角的和差关系，进行求解即可。
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
由作图可知： 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：30
8．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图， ， 和 分别平分 和 ， 过点
P，且与 垂直，垂足为A，交 于点D若 ，则点P到 的距离是 ．
【答案】8【分析】本题考查了角平分线的性质，利用角平分线的性质，得到点P到 、 、 的距离相等，再
结合 的长度求出点P到 的距离．
【详解】解：如图，过点P作 于点E，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 和 分别平分 和 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ,
∴ ，
∴ ，
故答案为：8．
9．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图是一风筝的骨架图， 是 的垂直平分线， 为垂足．若
，四边形 的周长为 ，则 的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离
相等；
由线段垂直平分线的性质推出 ， ，由四边形 的周长 ，即可求
出 的长．
【详解】解： 是 的垂直平分线，
， ，
四边形 的周长 ，
．
故答案为： ．
10．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在锐角三角形 中， ， ， 分别为 的角平分线． ， 相交于点 ， 平分 ，已知 ， ， 的面积 ，求
的面积 ．
【答案】4
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定与性质、三
角形面积公式是解题的关键．
过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，根据角平分线性质定理得 ，结合三角
形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出 ，再通过 证明 ，
，则 ， ， ，根据三角形面积公式求出
， ，再根据 的面积 求解即可．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
， ， 分别为 的角平分线，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
同理可得 ，
，，
， ，
，
的面积 ，
，
，
为 的角平分线， ， ，
，
，
的面积 ，
故答案为：4．
三、解答题
11．（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图，在 中， 是 的垂直平分线， 于点 ，
且 为 的中点．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到 ， ，等量代换即可证明；
（2）将 的周长转化为 ，等量代换即可求解．
【详解】（1）证明： 是 的垂直平分线，
．
， 为 的中点，
是 的垂直平分线．
．
．（2）解： 为 的中点，
．
由（1）得， ， ，
．
12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，在 中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点
M，D，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E，连接AD，AE．
(1)若 ，求 的度数．
(2)设直线DM，EN交于点O，试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)点O在BC的垂直平分线上，理由见解析．
【分析】（1）利用垂直平分线的性质得到线段相等，进而得到对应角相等，结合已知角的和，通过三角
形内角和定理计算出 的度数．
（2）利用垂直平分线的性质得到线段相等，推导出 ，再结合垂直条件证明线段平分，从而说明
点O在BC的垂直平分线上．
【详解】（1）解：∵DM，EN分别是边AB，AC的垂直平分线，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ．
（2）解：点O在BC的垂直平分线上．
理由：如图，延长MD，NE交于点O，连接AO，BO，CO，过点O作 于点F．
∵DM，EN分别是边AB，AC的垂直平分线，
∴ ， ， ．
∵ ，
∴F为BC的中点，
即 ，
∴OF垂直平分BC，
∴点O在BC的垂直平分线上．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质与三角形内角和定理，掌握垂直平分线的性质及三角形内角和为
是解题的关键．
13．（25-26八年级上·四川广元·期中）（1）【问题情境】如图1， 平分 ．点 为 上一点，
过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，求证： ；
（2）【问题探究】如图2， 中， ， ， 平分 ， ，垂足 在
的延长线上，求证： ；
【答案】（1）见详解，（2）见详解，
【分析】（1）利用已知条件，证明 ，即可得出结论；
（2）延长 交 延长线于F，求出 ，证明 ，推出 ，再证明
，进而可得结论；
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图：延长 交 延长线于F，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形
的判定和性质，解题的关键是熟悉全等三角形的判定．
14．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在 中，点D在 边上， ， 的平
分线 交 于点E，过点E作 ，交 的延长线于点F，已知 ，连接 ．
(1)求 的度数；
(2)求证： 平分∠ADC；
(3)若 ， ， ，且 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)18
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积．
（1）先根据三角形外角性质计算出 ，然后计算 即可；
（2）过E点作 于M点， 于N点，如图，先计算出 得到 平分 ，根
据角平分线的性质得到 ， ，所以 ，根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论；
（3）根据三角形面积公式得到 ，则可计算出 ，所以 ，然后根据三
角形面积公式求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：过E点作 于M点， 于N点，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点E在 的平分线上，
即 平分 ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 的面积 ．
15．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，在 中， , 是 的角平分线，
于E，点F在边 上，且 ．(1)求证∶ ；
(2)若 ， ，且 ．
________；
②求出 的周长．
【答案】(1)见详解
(2)① ②
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质定理，勾股定理，掌握其相关知识点
是解题的关键．
（1）由角平分线的性质得到 ，再利用 即可证明 ；
（2）① 且 ，可求 长，因为 ，则由勾股定理可求 ，则
可求；
②将三角形三边相加即可．
【详解】（1）证明： 是 的角平分线， ， ，
，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：①∵ ，且 ，
∴ ,
,
∵ ，
∴ ，
∵∴ ,
故答案为： ；
② 的周长为 .
16．（2025八年级上·吉林长春·专题练习）已知：如图1， 是 的平分线，点 是 上的任意一
点， ， ，垂足分别为 和 ．
求证： ．
请写出完整的证明过程：…
(1)请结合图 ，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程；
(2)如图 ，在 中， ， 平分 ， 于点 ，点 在 上， ，若
， ，则 的长为________；
(3)如图 ，在 中， 平分 交 于点 ， 于点 ，若 ， ，
， ，则 的面积为________．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由题意，得到 、 ，再由两个三角形全等的判定定理得
到 ，根据全等性质即可得证；
（2）先由（1）中的方法得到 ， ，再由 得到 ，从而由
， ，得到 ，代入线段长度计算即可得到答案；
（3）过点 作 ，交 于点 ，如图所示，由角平分线性质得到 ，再由三角形内角
和定理证得 是等腰三角形，从而得到 ，根据 ，代入线段长度计算即可
得到答案．
【详解】（1）证明： 是 的平分线，
，， ，
，
又 ，
，
；
（2）解： ，
，
平分 ， ，
同（1）法可得 ，
， ，
，
，
又 ， ，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
故答案为： ；
（3）解：过点 作 ，交 于点 ，如图所示：
平分 交 于点 ， ， ，
，
在 中， ， ，则由三角形内角和定理可得 ，
， 平分 ，
，
在 中， ，
，，
，
，
故答案为： ．
