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专题 05 线段的垂直平分线与角平分线
目录
A题型建模・专项突破
题型一、线段垂直平分线的性质求解......................................................................................................................1
题型二、线段垂直平分线的判定定理......................................................................................................................4
题型三、角平分线性质定理......................................................................................................................................8
题型四、角平分线的判定定理................................................................................................................................11
题型五、线段的垂直平分线与角平分线的综合问题............................................................................................17
B综合攻坚・能力跃升
题型一、线段垂直平分线的性质求解
1．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，在 中， ， ，作 的垂直平分线交
于点 ，交 于点 ，若 ，则 的长度是 ．
2．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，在 中， ， 分别是边 ， 的垂直平分线，
分别交 于 ， 两点，连接 ， ，若 的周长为 ，则 ．
3．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在 中， ， 边的垂直平分线交 于D，交
于E，若 平分 ，则 ．
4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在 中， 是 的平分线， 的垂直平分线交 的
延长线于点 ，已知 ，则 的度数为 ．题型二、线段垂直平分线的判定定理
9．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图， 中， ，D是 上一点， ，过
点D作 的垂线交 于点E，连接 交 于 ，求证： 垂直平分 ．
10．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图1， ， 与 相交于点 ，
．
(1)如图1，求证： 垂直平分 ；
(2)如图2，在图1的基础上，过点 作 交 的延长线于点 ，如果 ，求证： 是
等边三角形；
11．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，在 中，边 的垂直平分线分别交 ， 于点 ，
，边 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ， ， 相交于点 ，连接 ， ．
(1)试判断点 是否在 的垂直平分线上，并说明理由
(2)若 ，求 的度数．
12．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图1和图2，在 中，以点A为圆心， 的长为半径作弧，
交 于点D．(1)求证：点A在线段 的垂直平分线上；
(2)P是线段 上的动点（点P不与点C，D重合），线段 的垂直平分线 分别与 ， 交于点E，
M，线段 的垂直平分线 分别与 ， 交于点F，N．
①若 ， ，求四边形 的周长；
②已知 ，判断当点P在线段 上运动时， 的度数是否会发生变化．若变化，请说明理
由；若不变，求 的度数．
题型三、角平分线性质定理
5．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在 中， ， 平分 ，交 于点E，
于点D，如果 ， ，那么 的长是 ．
6．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图， 中， 平分线 和边 的垂直平分线 交于点
，已知点 到 边距离为 ，那么点E和点A之间的距离为 ．
7．（25-26八年级上·北京·期末）如图， 是 的角平分线， 是 边 上的中线，若
的面积是18． ，则 的面积是 ．
8．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图， 中， 平分 ， 且平分 ，
于E， 于F．如果 ，则 的长是 ．题型四、角平分线的判定定理
13．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在 和 中， ， ，
， 分别交 ， 于点 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)求证： 平分 ．
14．（25-26八年级上·上海·期中）如图，在 中， 和 的平分线 、 交于点 ，连
接 ．
(1)求证： 平分 ；
(2) ？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
15．（25-26八年级上·全国·期末）如图，点 为 的中点， 平分 ．
(1)若 ．
①求证： 平分 ．
②猜想线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
(2)若 ，请你思考 应该满足什么条件，能使得（1） 中结论依然成立，并说明理由．16．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在 、
上分别取点 、 、 、 ，使得 ， ，连接 、 ，交点为 ，则射线 为
的角平分线．
【验证】（1）试说明 平分 ，且 ；
【应用】（2）如题图2，若 、 、 、 分别为 、 上的点，且 ， ，
试用（1）中的原理说明 平分 ；
【猜想】（3）如题图3， 是 角平分线上一点， 、 分别为 、 上的点，且 ，请
补全图形，并直接写出 与 的数量关系．
题型五、线段的垂直平分线与角平分线的综合问题
17．（25-26八年级上·福建三明·期末）如图，在 中，D是 上的一点，连接 ，作 交
于点E， 交 于点F，且 平分 ，连接 ．
(1)证明： 垂直平分 ．
(2)若 的周长为18，面积为24， ，求 的长．
18．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，E是 的平分线上的一点， ，
，垂足分别为C，D，连接 ，交 于点F．
(1)求证： ．
(2)求证： ．(3)求证： 是线段 的垂直平分线．
19．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在 中, ，点D在 的右侧且满足
，连接 ，其中 ．
(1)求证： ；
(2)如备用图，延长 至点M，使得 ．
求证：① 平分 ；
②点M在线段 的延长线上．
20．（25-26八年级上·广东珠海·期中）在 中， ， ．点 在 的平分线所在的直
线上．
(1)如图1，当点 在 的外部时，过点 作 于 ，作 交 的延长线于 ，且
．求证：点 在 的垂直平分线上；
(2)如图2，当点 在线段 上时，若 ， 平分 ，交 于点 ，交 于点 ，过点
作 ，交 于点 ．
①求 的大小；
②若 ， ，直接写出 的长度______．
(3)如图3，过点 的直线 ．若 ， ，点 到 三边所在直线的距离相等，则这
样的点 有______个，点 到直线 的距离是______．
一、单选题1．（25-26八年级上·广东韶关·期中）如图，在 中， 平分 ， ，D到 的距离是
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在 中， ，根据尺规作图的痕迹判断以下
结论正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
3．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在 中， ， 垂直平分 交 于点
，若 的周长为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，在 中， , , ，直线 垂直平
分线段 ，若点 为边BC的中点，点 为直线 上一动点，则 周长的最小值为（）
A．9 B．13 C．12 D．14
5．（25-26八年级上·浙江·期末）如图，三角形 中， 的平分线交 于点D，过点D作，垂足分别为E，F，下面四个结论：① ；② 垂直平分 ；③
；④ 一定平行 ．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
6．（25-26八年级上·全国·期末）如图， ，以点 为圆心，小于 长为半径画弧，分别交 ，
于 ， 两点，再分别以 ， 为圆心，大于 长为半径画弧，两条弧交于点 ，作射线 交
于点 ，若 ，则 的度数为 ．
7．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）如图，在 中， ，分别以点A和点C为圆心，大于
长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线 分别交 于点D，E．若 ，则
的度数是 度．
8．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图， ， 和 分别平分 和 ， 过点
P，且与 垂直，垂足为A，交 于点D若 ，则点P到 的距离是 ．
9．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图是一风筝的骨架图， 是 的垂直平分线， 为垂足．若
，四边形 的周长为 ，则 的长度为 ．10．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在锐角三角形 中， ， ， 分别为 的
角平分线． ， 相交于点 ， 平分 ，已知 ， ， 的面积 ，求
的面积 ．
三、解答题
11．（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图，在 中， 是 的垂直平分线， 于点 ，
且 为 的中点．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的周长．
12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，在 中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点
M，D，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E，连接AD，AE．
(1)若 ，求 的度数．
(2)设直线DM，EN交于点O，试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由．
13．（25-26八年级上·四川广元·期中）（1）【问题情境】如图1， 平分 ．点 为 上一点，
过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，求证： ；（2）【问题探究】如图2， 中， ， ， 平分 ， ，垂足 在
的延长线上，求证： ；
14．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在 中，点D在 边上， ， 的平
分线 交 于点E，过点E作 ，交 的延长线于点F，已知 ，连接 ．
(1)求 的度数；
(2)求证： 平分∠ADC；
(3)若 ， ， ，且 ，求 的面积．
15．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，在 中， , 是 的角平分线，
于E，点F在边 上，且 ．
(1)求证∶ ；
(2)若 ， ，且 ．
________；
②求出 的周长．
16．（2025八年级上·吉林长春·专题练习）已知：如图1， 是 的平分线，点 是 上的任意一
点， ， ，垂足分别为 和 ．求证： ．
请写出完整的证明过程：…
(1)请结合图 ，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程；
(2)如图 ，在 中， ， 平分 ， 于点 ，点 在 上， ，若
， ，则 的长为________；
(3)如图 ，在 中， 平分 交 于点 ， 于点 ，若 ， ，
， ，则 的面积为________．
