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专题 08 利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线求解与证明
目录
A题型建模・专项突破
题型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线求解..............................................................................................1
题型二、等腰三角形中底边有中点时，连中线证明..............................................................................................4
题型三、等腰三角形中底边无中点时，作高求解................................................................................................12
题型四、等腰三角形中底边无中点时，作高证明................................................................................................17
B综合攻坚・能力跃升
题型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线求解
模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线
直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。
连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC，∠1=∠2.
1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，根据下列已知条件，写出你能得到的结论．
（1）已知 ， ，则 ；
（2）已知 ，则 ；
（3）已知 ，则 ．
2．（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，在 中， ，D是 的中点， ，则
的大小为 ．3．（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，在 中， ， ， 是 的中点．若
，则 ．
4．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在 中， ， ， 为 的中点，
于 ．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的长．
题型二、等腰三角形中底边有中点时，连中线证明
模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线
直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。
连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC，∠1=∠2.
5．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在 中， ，点 是 的中点，点
在 的延长线上，点 在 的延长线上， ．(1)求证： ；
(2)连接 ，若 ，求 的值．
6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图， 是等腰直角三角形， ， 是 的中点，
，点 ， 在 ， 上．
(1)求证： ．
(2)连接 ，则 、 、 之间有什么数量关系？请说明理由．
7．（25-26八年级上·全国·期末）如图 ，在 中， ， ，点 是斜边 的中点，
点 ， 分别在边 ， 上，连接 ， 若 ．
(1)求证： ；
(2)若点 ， 分别在边 ， 的延长线上，如图 ，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以
证明．
8.（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在 中， ， ， 为 边的中点，
点 、 分别在射线 、 上，且 ， 连接 ．(1)如图1，当点 、 分别在边 和 上时，连接 ，
① 证明 ： ．
② 直接写出 ， 和 的关系是：
(2)探究：如图2，当点E、F 分别在边 、 的延长线上时， ， 和 的关系是：
(3)应用：若 ， ，利用上面探究得到的结论，求 的面积．
题型三、等腰三角形中底边无中点时，作高求解
1. 核心性质：等腰三角形底边上的高、底边中线、顶角平分线“三线合一”，即使底边中点未知，所作高
线也会自动经过它。
2. 关键步骤：直接从等腰三角形的顶点（顶角）向底边作垂线，此线段即为高。
3. 几何转化：高线将原等腰三角形分成两个全等的直角三角形，同时自动创造出底边的“一半”（即高足
为底边中点）。
4. 建立方程：在其中一个直角三角形中，利用勾股定理（腰为斜边，高与半底边为直角边）建立关键方程，
将已知和未知量联系起来求解。
5. 适用范围：此法是当已知腰长和底边长（或反之）求高、面积或相关长度时的普适方法，是无明确中点
问题的最直接解法。
9．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图是腰长为 的等腰三角形放入平面直角坐标系中，已知点 的坐
标为 ，则点 的坐标是 ．
10．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，在四边形 中， ，
若 ，则 的长为 ．
11．（25-26八年级上·吉林松原·期末）如图，在 中， ， ， 是 的中点．
动点 、 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点 、终点 ．连接 、 和 ．
设点 的运动时间为 ．(1)求证： 是等腰三角形；
(2)若 是等腰三角形，直接写出 的大小．
12．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在 中， ， 平分 ， ，连
接 ．
(1)求证： 等腰三角形；
(2)若 ， ，求 的面积．
题型四、等腰三角形中底边无中点时，作高证明
1.直接作高：从等腰三角形的顶点向底边作垂线。
2.利用“三线合一”：所作高线必然同时也是底边的中线，它将底边平分为两个相等的线段。
3.构造直角三角形：这条高将原三角形分成两个全等的直角三角形。
4.应用勾股定理：在其中一个直角三角形中，以腰为斜边，高和半底边为直角边，建立方程进行计算，从
而解决问题。
13．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）如图，在 中， ，过 延长线上一点 作
于点 ，交 于点 ，已知 为 的中点．
(1)求证： 为等腰三角形；
(2)若 ，求 的长．
14．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在等边 中，点 在 边上，点 在 延长线上，
且 ．(1)求证： ；
(2)若等边 的边长为6， 求 的长；
(3)求证： ；
(4)如图，当点 在 的延长线上，点 在 延长线上时，其它条件不变，（3）中的结论是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
15．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图， 为等腰直角三角形， ， 为等腰三
角形， ，点 为 延长线上一点，且 ．
(1)若 ，则求 和 的度数；
(2)求证： ；
(3)若 ， ， ．请直接写出 的面积为__________．（用含 的式子表示）
16．在 中， ，过点C作射线 ，使 （点 与点B在直线 的异侧）点
D是射线 上一动点（不与点C重合），点E在线段 上，且 ．
(1)如图1，当点E与点C重合时， 与 的位置关系是 ，若 ，则 的长为 ；（用含a的式子
表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接 ．
①用等式表示 与 之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．一、单选题
1．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在 中， ，D是 的中点，下列结论不一定正
确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中， 为等腰三角形， ，
轴，若 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在等腰 中， ，过点C作 且 ，
过点A作 于点D，过点E作 交 的延长线于点F，若 ，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
4．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，在 中， ， 是边 上一点，连接 并延长
至点 ，连接 ，过点 作 于点 ，若 ， ， ，则
的长为（ ）A． B． C． D．
5．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在等腰 中， ， 为 延长线上一点，
且 ，垂足为 ，连接 ，若 ，则 的面积为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
二、填空题
6．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在 中， ， 是边 上的高．若 ，
则 的长为 ．
7．（25-26八年级上·辽宁盘锦·月考）如图，已知 ，点 在边 上， ，点 ， 在
边 上， ．若 ，则 ．
8．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，在四边形 中， 平分 ， ，
， ．则 的长为 ．
9．（25-26八年级上·北京·期中）如图，四边形 中， ，点 关于 的对称点 恰好落在
上，若 ，则 的度数为 ．（用含有 的代数式表示）10．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如图所示，等腰三角形 的底边 为 ，腰长为 ，一动
点P在底边上从点B向点C以 的速度移动，请你探究：当P运动 秒时，P点与顶点
A的连线 与腰垂直．
三、解答题
11．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图， ， ， 于点 ， 于点 ，
于点 ．求证： 平分 ．
12．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在 中， ， ，D为 的中点，
于点E， ，求：
(1) 的度数；
(2) 的长．
13．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）房屋的屋顶常常设计为等腰三角形的形状，既是为了结构更牢
固，也是为了追求对称美观和排水效果，如图1所示．如图2是屋顶设计图一部分， ，
米．(1)尺规作图：为了屋顶更稳固，需要加一根立柱 支撑，立柱 垂直于横梁 ，垂足为点 ．请在图
2中作出立柱 （要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)当 时，求立柱 的长．
14．（25-26八年级上·四川成都·月考）定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的
直角边等于斜边的一半．如图1，等腰 中， ， ，作 于点D，则D为
的中点， ， ，在直角三角形 中， ，且 ；
迁移应用：如图2， 和 都是等腰三角形， ，D、E、C三点在同一条直
线上，连接 ．
(1)求证： ；
(2)请直接写出线段 ， ， 之间的等量关系式；
(3)如图2，若 ， ，求线段 的长．
15．（24-25八年级上·浙江金华·月考）如图，在 中， ， ， ，
在 边上运动 不与点 重合 ， ，将 沿 折叠至 ， 分别与 ， 交于
， 两点．
(1) ， 的周长为_______．
(2)若 ，则 ，猜想并写出 与 的数量关系为 _，并且证明．
(3)若 ，则 的周长为_______．
(4)如图2，设 与 交于点 ，在整个运动过程中，记 与 的周长之和为 ，求出 的取值范围为_______．
