文档内容
专题1.20 《三角形的证明》全章复习与巩固（培优篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线
OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A．140° B．100° C．50° D．40°
2．如图，在平面直角坐标系中，点 在x轴正半轴上，点 在直线
上，若 ，且 均为等边三角形，则线段
的长度为（ ）
A． B． C． D．3．适合下列条件的△ABC中, 直角三角形的个数为
① ② ，∠A=45°;③∠A=32°, ∠B=58°；
④ ⑤ ⑥
⑦ ⑹
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．如图，在矩形 中， ， 的平分线交边 于点 ， 于
点 ，连接 并延长交边 于点 ，连接 交 于点 .给出下列命题：①
；② ；③ ；④ .其中正确命题为
（ ）
A．①② B．①③
C．①③④ D．①②③④
5．如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、
N，使三角形AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）A．80° B．90° C．100° D．130°
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交
AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点
P，连接AP，并廷长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线 ②∠ADC＝60°
③点D在AB的垂直平分线上 ④若AD＝2dm，则点D到AB的距离是1dm
⑤S ：S ＝1：2
△DAC △DAB
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，AC=9，BC=12，AD是∠BAC的平分线，若点P，
Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是( )
A． B． C．12 D．15
8．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，DE交AB于E，若AB＝BC，则下列结论
中错误的是（ ）A．BD⊥AC B．∠A＝∠EDA C．2AD＝BC D．BE＝ED
9．已知三条不同的射线OA、OB、OC有下列条件：①∠AOC=∠BOC ②∠AOB=2∠AOC
③∠AOC+∠COB=∠AOB ④∠BOC= ∠AOB，其中能确定OC平分∠AOB的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，四边形ABCD中，∠C= ，∠B=∠D= ，E，F分别是BC，DC上的点，
当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当
BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝_______°．12．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE
的最小值为_____．
13．如图,以数轴上的一个单位长度为边长作一个正方形,以数轴上表示1的点为圆心,正方
形对角线的长为半径画弧,交数轴负半轴于点A,则点A表示的数为____.(提示:直角三角形中
两直角边的平方和等于斜边的平方)
14．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线
l，l，l 上，且l、l 之间的距离为2，l、l 之间的距离为3，则AC的长是_________；
1 2 3 1 2 2 315．如图， 中， ， ，点 为 中点，且 ， 的
平分线与 的垂直平分线交于点 ，将 沿 （ 在 上， 在 上）折叠，点
与点 恰好重合，则 为________度．
16．如图， 中，点 在边 上， ， ， 垂直于 的延长线
于点 ， ， ，则边 的长为_____．
17．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC
交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC=_____°．
18．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于
E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF； ②∠BOC=90°+ ∠A；
③点O到△ABC各边的距离相等； ④设OD=m，AE+AF=n，则 ．
其中正确的结论是____．（填序号）
19．如图，BE、CE分别为 的内、外角平分线，BF、CF分别为 的内、外角平
分线，若 ，则 _______度．
20．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D，B，C分别在直线MN和PQ上，点E在AB上，
AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝_____．
21．如图，在 中， ，D、E是 内两点．AD平分 ，
，若 ， ，则 ______cm．22．如图，在△ABC和△ADC中，下列论断：①AB＝AD；②∠ABC＝∠ADC＝90°；
③BC＝DC．把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，可以写出＿个真命题．
23．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA 的直角边OA在x轴上，点A 在
1 1
第一象限，且OA=1，以点A 为直角顶点，OA 为一直角边作等腰直角三角形OA A，再
1 1 1 2
以点A 为直角顶点，OA 为直角边作等腰直角三角形OA A…依此规律，则点A 的坐标
2 2 2 3 2018
是_____．
24．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB＝AE，延长AB与
DE的延长线交于点F．下列结论中：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD＝
AF；④S ＝S ；⑤S ＝S ．其中正确的是_____．
△ABE △CDE △ABE △CEF三、解答题
25．如图，在⊿ 中， , , 是⊿ 内的一点，且 , ,
， ；求 的度数.
26．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，EA，EB分别平分∠DAB和
∠CBA，设AD＝x，BC＝y且（x﹣3）2+|y﹣4|＝0．求AB的长．27．如图，已知AE⊥FE，垂足为E，且E是DC的中点．
(1)如图①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为C，D，且AD＝DC，判断AE是∠FAD
的角平分线吗？(不必说明理由)
(2)如图②，如果(1)中的条件“AD＝DC”去掉，其余条件不变，(1)中的结论仍成立吗？请
说明理由；
(3)如图③，如果(1)中的条件改为“AD∥FC”，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由．
28．在平面直角坐标系xOy中，A（-1，0），B（1，0），C（0，1），点D为x轴正半轴
上的一个动点，点E为第一象限内一点，且CE⊥CD，CE=CD．
（1）试说明：∠EBC＝∠CAB ；
（2）取DE的中点F，连接OF，试判断OF与AC的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，试探索O、D、F三点能否构成等腰三角形，若能，请直接写出所
有符合条件的点D的坐标；若不能，请说明理由．参考答案
1．B
【详解】
如图，分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，
连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值.根据轴对称的性质可得
OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM；因∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°,即可得
∠COD=2∠AOB=80°，在△COD中，OC=OD，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和
定理可得∠OCD=∠ODC=50°；在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，
ON=ON，利用SAS判定△CON≌△PON，根据全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°,
同理可得∠OPM=∠ODM=50°,所以∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°.故选B.
点睛：本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、全等三角形
的判定与性质等知识点，根据轴对称的性质证得△OCD是等腰三角形，求得得
∠OCD=∠ODC=50°，再利用SAS证明△CON≌△PON，△ODM≌△OPM，根据全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°,∠OPM=∠ODM=50°,再由∠MPN=∠NPO+∠OPM即可求解．
2．D
【分析】根据题意得出∠AOB =30°，从而推出AB =OA，得到B B = B A ，算出
n n n n n n n+1 n n+1
B A=1，B A=2，B A=4，找出规律得到B A =2n-1，从而计算结果．
1 2 2 3 3 4 n n+1
解：设△B AA 的边长为a，
n n n+1 n
∵点B ，B ，B ，…是直线 上的第一象限内的点，
1 2 3
过点A 作x轴的垂线，交直线 于C，
1
∵A （1，0），令x=1，则y= ，
1
∴AC= ，
1
∴ ，
∴∠A OB =30°，
n n
∵ 均为等边三角形，
∴∠B AA =60°，
n n n+1
∴∠OB A=30°，
n n
∴AB =OA，
n n n
∵∠B A B =60°，
n n+1 n+1∴∠A B B =90°，
n+1 n n+1
∴B B = B A ，
n n+1 n n+1
∵点A 的坐标为（1，0），
1
∴AB =A A=B A=1，AB =OA=B A=2，AB =OA=B A=4，...，
1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4
∴AB =OA=B A =2n-1，
n n n n n+1
∴ = B A = ，
2019 2020
故选D．
【点拨】本题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，本题属
于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据等边三角形边的特征找出边的变化规律是
关键．
3．C
【解析】
根据勾股定理的逆定理，可分别求出各边的平方，然后计算判断： ，故
①不能构成直角三角形；
当a=6，∠A=45°时，②不足以判定该三角形是直角三角形；
根据直角三角形的两锐角互余，可由∠A+∠B=90°，可知③是直角三角形；
根据72=49，242=576，252=625，可知72+242=252，故④能够成直角三角形；由三角形的三边关系，2+2=4可知⑤不能构成三角形；
令a=3x，b=4x，c=5x，可知a2+b2=c2，故⑥能够成直角三角形；
根据三角形的内角和可知⑦不等构成直角三角形；
由a2=5，b2=20，c2=25，可知a2+b2=c2，故⑧能够成直角三角形.
故选：C.
点睛：此题主要考查了直角三角形的判定，解题关键是根据角的关系，两锐角互余，和边
的关系，即勾股定理的逆定理，可直接求解判断即可，比较简单.
4．B
【详解】
在矩形ABCD中, ，
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=45°，
∵AD⊥DE，∴△ADH是等腰直角三角形， ，∴AH=AB=CD.
∵△DEC是等腰直角三角形， ，∴AD=DE，∴∠AED=67.5°，
∴∠AEB=180°−45°−67.5°=67.5°，∴∠AED=∠AEB.
故①正确；
设DH=1，
则AH=DH=1, ， , ,故②错误；
∵∠AEH=67.5°，∴∠EAH=22.5°.
∵DH=CD,∠EDC=45°，∴∠DHC=67.5°，∴∠OHA=22.5°，
∴∠OAH=∠OHA，∴OA=OH，∴∠AEH=∠OHE=67.5°，∴OH=OE，，故③正确；
∵AH=DH，CD=CE，
在△AFH与△CHE中，
∵∠AHF=∠HCE=22.5°,∠FAH=∠HEC=45°,AH=CE，∴△AFH≌△CHE，∴AF=EH.
在△ABE与△AHE中，
∵AB=AH,∠BEA=∠HEA,AE=AE，∴△ABE≌△AHE，∴BE=EH，
∴BC−BF=(BE+CE)−(AB−AF)=(CD+EH)−(CD−EH)=2EH，
故④错误，
所以①，③正确，故选B
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质, 角平分线的性质, 等腰三角形的判定与性质,
等腰直角三角形, 矩形的性质.
根据矩形的性质得到 ，由DE平分∠ADC，得到△ADH是等腰直
角三角形，△DEC是等腰直角三角形，得到 ，得到等腰三角形求出
∠AED=67.5°，∠AEB=180°-45°-67.5°=67.5°，得到①正确；设DH=1，则AH=DH=1，
，求出 ，得到 ，故②错误；通过角的
度数求出△AOH和△OEH是等腰三角形，从而得到③正确；由△AFH≌△CHE，到
AF=EH，由△ABE≌△AHE，得到BE=EH，于是得到BC-BF=（BE+CE）-（AB-AF）=
（CD+EH）-（CD-EH）=2EH，从而得到④错误．
5．C
【分析】
作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．
【详解】
解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，
∵∠DAB=130°，
∴∠AA′M+∠A″=50°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×50°=100°，
故选C．
【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形
的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M、N的位置是解题关键.
6．D
【分析】
①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质可
以证明点D在AB的中垂线上；
④作DH⊥AB于H，由∠1=∠2，DC⊥AC，DH⊥AB，推出DC=DH即可解决问题；
⑤利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积
之比．【详解】
解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线，故①正确；
②如图，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2＝ ∠CAB＝30°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝60°，即∠ADC＝60°．故②正确；
③∵∠1＝∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∴点D在AB的中垂线上．故③正确；
④作DH⊥AB于H，
∵∠1＝∠2，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC＝DH，
在Rt△ACD中，CD＝ AD＝1dm，
∴点D到AB的距离是1dm；故④正确，
⑤在Rt△ACB中，∵∠B＝30°，
∴AB＝2AC，∴S ：S ＝ AC•CD： •AB•DH＝1：2；故⑤正确．
△DAC △DAB
综上所述，正确的结论是：①②③④⑤，共有5个．
故选：D．
【点拨】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时，
需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
7．B
【分析】
过点D作DE⊥AB于点E，过点E作EQ⊥AC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时
PC+PQ=EQ是最小值，根据勾股定理可求出AB的长度，再根据EQ⊥AC、∠ACB=90°即
可得出EQ∥BC，进而可得出 ，代入数据即可得出EQ的长度，此题得解.
【详解】
解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，过点E作EQ⊥AC于点Q，EQ交AD于点P，
连接CP，此时PC+PQ=EQ是最小值，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12，
∴ ，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠EAD，在△ACD和△AED中， ，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AE=AC=9．
∵EQ⊥AC，∠ACB=90°，
∴EQ∥BC，
，
∴ ，
.
故选B.
【点拨】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题以及平行线的性质，找出点C的
对称点E，及通过点E找到点P、Q的位置是解题的关键．
8．C
【详解】
试题分析：BD是△ABC的角平分线， AB＝BC，则BD是AC边上的高及中线，所以
∠ABD＝∠DBC ,BD⊥AC，2AD=AC, ∠A＝∠BCA；因为DE∥BC，所以∠EDA＝∠BCA,
∠EDB＝∠DBC，所以∠A＝∠EDA, ∠ABD＝∠EDB，所以BE＝ED．所以A、B、D正确，
C错误．
9．D
【详解】如图，
根据角平分线的意义，可由∠AOC=∠BOC，知OC是∠AOB的平分线；
如图，
此时，∠AOB=2∠BOC，∠BOC= ∠AOB，但OC不是∠AOB的平分线；
由于∠AOC+∠COB=∠AOB，但是∠AOC与∠COB不一定相等，所以OC不一定是∠AOB
的平分线.
所以只有①能说明OC是∠AOB的角平分线.
故选D.
10．D
【详解】
作点A关于直线BC和直线CD的对称点G和H，连接GH，交BC、CD于点E、F，连接
AE、AF，则此时△AEF的周长最小，由四边形的内角和为360°可知，∠BAD=360°-90°-
90°-50°=130°，即∠1+∠2+∠3=130°①，由作图可知，∠1=∠G，∠3=∠H，△AGH的内角
和为180°，则2（∠1+∠3）+ ∠2=180°②，又①②联立方程组，解得∠2=80°．
故选D．考点：轴对称的应用；路径最短问题．
11．105°
【分析】
如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，将CE转化为FH，
与BF在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即F为AC与BH的
交点时，BF＋CE的值最小，求出此时∠AFB＝105°．
【详解】
解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AC＝BC，∠DAC＝30°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ACH＝90°−60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，
∴△AEC≌△CFH，
∴CE＝FH，BF＋CE＝BF＋FH，
∴当F为AC与BH的交点时，BF＋CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，
∴∠AFB＝105°，
故答案为105°.
【点拨】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是
作出辅助线，当BF＋CE取得最小值时确定点F的位置，有难度．
12． ．
【分析】
作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据
两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，
【详解】
解：∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，
∴四边形ABCB′是平行四边形，∵等边三角形ABC是边长为2，
∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，
∴AD= ，BD=CD=1，BB′=2AD= ，
作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G=AD= ，在Rt△B′BG中，BG= = =3，
∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2，
在Rt△B′DG中，B′D= = = ．
故BE+ED的最小值为 ．
13．1-
【解析】
【分析】
根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求出CE的长，根据CA=CE结合数
轴上点的位置即可得出结论．
【详解】
∵正方形的边长为1，
∴正方形对角线的长度= ，
∴CA= ，
∵C点表示的数为1，点A在点C的左边，∴点A表示的数为1- ，
故答案为：1- .
【点拨】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的
关键．
14．
【解析】
【分析】
首先作AD⊥l 于D,作CE⊥l 于E,再证明△ABD≌△BCE，因此可得BE=AD=3，再结合勾股
3 3
定理可得AC的长.
【详解】
作AD⊥l 于D,作CE⊥l 于E,
3 3
∵∠ABC=90°,∴∠ABD+∠CBE=90°,
又∠DAB+∠ABD=90°,
∴∠BAD=∠CBE,
又AB=BC,∠ADB=∠BEC.
∴△ABD∴ BCE,∴≌B△E=AD=3,
在Rt△BCE中,根据勾股定理,得BC= ,在Rt△ABC中,根据勾股定理,
得AC=
故答案为
【点拨】本题主要考查直角三角形的综合问题，关键在于证明三角形的全等，这类题目是
固定的解法，一定要熟练掌握.
15．108
【分析】
连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出
∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边
对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角
形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得
OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】
如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC= ×54°=27°，
又∵AB=AC，∴∠ABC= （180°-∠BAC）= ×（180°-54°）=63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB=∠OBC=36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36°，
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°，
故答案为108．
【点拨】本题考查了三角形综合题，涉及了角平分线的定义，等腰三角形的性质，线段垂
直平分线的性质与判定，三角形的外心，全等三角形的判定与性质等，综合性较强，有一
定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
16．【分析】
如图，延长BD到点G，使DG=BD，连接CG，则由线段垂直平分线的性质可得CB=CG，
在EG上截取EF=EC，连接CF，则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，根据等腰三角形的性质和
三角形的内角和定理可得∠EFC=∠A=2∠CBE，再根据三角形的外角性质和等腰三角形的
判定可得FC=FG，设CE=EF=x，则可根据线段间的和差关系求出DF的长，进而可求出
FC的长，然后根据勾股定理即可求出CD的长，再一次运用勾股定理即可求出答案．
【详解】
解：如图，延长BD到点G，使DG=BD，连接CG，则CB=CG，在EG上截取EF=EC，连
接CF，则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，
∵EA=EB，∴∠A=∠EBA，
∵∠AEB=∠CEF，
∴∠EFC=∠A=2∠CBE=2∠G，
∵∠EFC=∠G+∠FCG，
∴∠G=∠FCG，
∴FC=FG，设CE=EF=x，则AE=BE=11－x，
∴DE=8－（11－x）=x－3，
∴DF=x－（x－3）=3，
∵DG=DB=8，
∴FG=5，∴CF=5，
在Rt△CDF中，根据勾股定理，得 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和三角形的外角性质、
勾股定理以及线段垂直平分线的性质等知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应
用上述知识是解题的关键．
17．30
【分析】
过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，根据角平分线的性质得到DF=DM，根据
邻补角的定义得到∠DAM=60°，根据角平分线的定义得到∠BAE=60°，推出DE平分
∠AEB，根据等腰三角形的性质得到∠AEB=90°，得到∠DEF=45°，根据三角形的外角的
性质即可得到结论．
【详解】
过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，∵CD平分∠ACB，
∴DF=DM，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAM=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=60°，
∴∠DAM=∠BAE，
∴DM=DN，
∴DF=DN,
∵DF⊥BC，
∴DE平分∠AEB，
∵AB=AC，AE平分∠BAC交BC于E，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠DEF=45°，
∵∠B=∠ACB=30°，CD平分∠ACB，
∴∠DCF=15°，
∴∠EDC=∠DEF -∠DCF=30°.故答案为30．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、角平分线的定义，正确的作出
辅助线，熟练运用性质是解题的关键．
18．①②③
【分析】
由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形的
内角和定理，即可求出②∠BOC=90°+ ∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义可得
△BEO和△CFO是等腰三角形可得①EF=BE+CF正确；由角平分线的性质得出点O到
△ABC各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形的面积求法，设OD=m，
AE+AF=n,则△AEF的面积= ，④错误.
【详解】
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°- ∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°，故②∠BOC=90°+ ∠A正确；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF，∴BE=OE,CF=OF,
∴EF=OE+OF=BE+CF，
即①EF=BE+CF正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于点N，连接AO，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON=OD=OM=m，即③点O到△ABC各边的距离相等正确；
∴S△AEF=S△AOE+ S△AOF= AE·OM+ AF·OD= OD·（AE+AF）= mn，故④错误；
故选①②③
【点拨】此题主要考查角平分线的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质.
19．13
【分析】
根据BF，CF分别为△EBC的内、外角平分线分别设 ，
，再根据BE，CE分别为△ABC的内，外角平分线，得到
和 ，最后根据
和 求出 即可．
【详解】
BF，CF分别为 的内、外角平分线，
， ，设 ， ，
， ，
又 BE，CE分别为 的内，外角平分线，
， ，
， ，
又 ，
，
又 ，
，
，
故答案为：13．
【点拨】此题考查了三角形内角和外角角平分线的相关知识，涉及到三角形外角等于与其
不相邻的两内角和的知识，有一定难度．
20．7
【详解】
由MN∥PQ，AB⊥PQ，可知∠DAE=∠EBC=90°，可判定△ADE≌△BCE，从而得出
AE=BC，则AB=AE+BE=AD+BC=7．
故答案为：7.
点睛：本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质，是基础知识，比较简
单．
21．10
【分析】
过点E作 ，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作 ，垂足为G，由直角三角形中 所对的直角边是斜边的一半可知 ， ，然后由等腰
三角形三线合一可知 ， ，然后再证明四边形DGFH是矩形，从而得到
，最后根据 计算即可.
【详解】
解；过点E作 ，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作 ，垂
足为G．
， ，
，
，
， ，
．
又 ，
，
，AD平分 ，
，且 ．
， ， ，
四边形DGFH是矩形．
．
.
故答案为：10.【点拨】本题主要考查的是等腰三角形的性质，含 直角三角形的性质以及矩形的性质
和判定，根据题意构造含 的直角三角形是解题的关键.
22．2
【详解】
根据题意，可得三种命题，由①② ③，根据直角三角形全等的判定HL可证明，是真命
题；由①③ ②，能证明∠ABC=∠ADC，但是不能得出一定是90°，是假命题；由②③
①，根据SAS可证明两三角形全等，再根据全等三角形的性质可证明，故是真命题.因
此可知真命题有2个.
故答案为2.
点睛：仔细审题，将其中的两个作为题设，另一个作为结论，可得到三种情况，然后根据
全等三角形的判定定理和性质可判断出是否是真命题.
23．（0，21009）
【详解】
【分析】本题点A坐标变化规律要分别从旋转次数与点A所在象限或坐标轴、点A到原点
的距离与旋转次数的对应关系．
【详解】∵∠OAA=90°，OA=AA =1，以OA 为直角边作等腰Rt△OAA，再以
1 1 1 1 2
OA 为直角边作等腰Rt△OAA，…，
2 2 3
∴OA = ，OA =（ ）2，…，OA =（ ）2018，
1 2 2018
∵A 、A、…，每8个一循环，
1 2∵2018=252×8+2
∴点A 的在y轴正半轴上，OA = =21009，
2018 2018
故答案为（0，21009）.
【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据
规律，还应该注意象限符号．
24．①②⑤
【分析】
由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，由AE平分∠BAD，可得∠BAE=∠DAE，可
得∠BAE=∠BEA，得AB=BE，由AB=AE，得到△ABE是等边三角形，②正确；则
∠ABE=∠EAD=60°，由SAS证明△ABC≌△EAD，①正确；由△FCD与△ABD等底
（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），得出S =S ，由△AEC与△DEC同底
△FCD △ABD
等高，所以S =S ，得出S =S ．⑤正确．
△AEC △DEC △ABE △CEF
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAD=∠AEB，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∵AB=AE，
∴△ABE是等边三角形；
②正确；∴∠ABE=∠EAD=60°，
∵AB=AE，BC=AD，
∴△ABC≌△EAD（SAS）；
①正确；
∵△FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），
∴S =S ，
△FCD △ABC
又∵△AEC与△DEC同底等高，
∴S =S ，
△AEC △DEC
∴S =S ；
△ABE △CEF
⑤正确．
若AD与AF相等，即∠AFD=∠ADF=∠DEC，
即EC=CD=BE，
即BC=2CD，
题中未限定这一条件，
∴③④不一定正确；
故答案为①②⑤．
【点拨】此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与
性质．此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．
25．135°
【分析】
连接BD，等腰直角△DAB与等腰直角△CDP有公共顶点C，则可证明⊿ ≌⊿ ，
求得DB的长，判断△DBP是直角三角形，从而求得∠BPC的度数.【详解】
解：如图，连接
∵ ，
∴⊿ 为等腰直角三角形．
∴ .
∵
∵
∴
∵ ，
∴⊿ ≌⊿ ( )
∴
在 ⊿ 中, .
又∵
∴ .
∴
∴ .26．7
【分析】
由非负性可求AD＝3，BC＝4，如图，在AB上截取AH＝AD＝3，连接HE，由“SAS”可证
△DAE≌△HAE，可得∠DEA＝∠AEH，由“ASA”可证△BEH≌△BEC，可得BH＝BC＝4，即
可求解．
【详解】
∵（x﹣3）2+|y﹣4|＝0，
∴x-3=0，y-4=0，
∴x＝3，y＝4，
∴AD＝3，BC＝4，
如图，在AB上截取AH＝AD＝3，连接HE，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵EA，EB分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠DAE＝∠EAB＝ ∠DAB，∠EBC＝∠EBA＝ ∠ABC，
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DEA+∠BEC＝90°，
∵∠DAE＝∠EAH，AD＝AH，AE＝AE，
∴△DAE≌△HAE（SAS）
∴∠DEA＝∠AEH，
∵∠AEH+∠BEH＝90°，∠DEA+∠BEC＝90°，∴∠HEB＝∠CEB，且BE＝BE，∠CBE＝∠HBE，
∴△BEH≌△BEC（ASA）
∴BH＝BC＝4，
∴AB＝AH+BH＝7．
【点拨】此题考查平行线的性质：两直线平行同旁内角互补，角平分线的性质，三角形全
等的判定及性质.
27．（1）AE是∠FAD的角平分线（2）成立（3）成立
【解析】
【分析】
见详解
【详解】
（1）AE是∠FAD的角平分线；
（2）成立，如图，延长FE交AD于点B，∵E是DC的中点，
∴EC=ED，
∵FC⊥DC，AD⊥DC，
∴∠FCE=∠EDB=90°，
在△FCE和△BDE中，
,
∴△FCE≌△BDE，
∴EF=EB，
∵AE⊥FE，
∴AF=AB，
∴AE是∠FAD的角平分线；
（3）成立，如图，延长FE交AD于点B，
∵AD=DC，
∴∠FCE=∠EDB，
在△FCE和△BDE中，,
∴△FCE≌△BDE，
∴EF=EB，
∵AE⊥FE，
∴AF=AB，
∴AE是∠FAD的角平分线.
【点拨】本题主要考察了全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质以及等腰三
角形三线合一的性质，延长FE交AD于点B，发现△FCE与△BDE一定全等是解决问题的
关键.
28．（1）证明见解析；（2）OF∥AC；（3）D(1，0)或D（1+ ，0）
【解析】
【分析】
（1）易证△AOC，△BOC均为等腰直角三角形，且∠ACD=∠ECB，从而得到
△ACD≌△BCE，由全等三角形对应角相等即可得出结论；
（2）作FL⊥OC ，FK⊥OB，易证∠CFL=∠KFD，CF=DF= DE，得到△CFL≌△DFK，由
全等三角形对应边相等得到FL=FK，由角平分线判定定理得到OF平分∠COB，从而得到
∠COF=∠BOF=45°，即可得到OF∥AC．
（3）设D（x，0）(x＞0)．则OD=x，过E作EG⊥y轴于G，则△EGC≌△COD，得到E的
坐标，由中点坐标公式得到F的坐标，由两点间距离公式得到OF，DF的长．然后分三种
情况讨论：①OD=OF，②OD=FD，③OF=FD．
【详解】（1）∵A（-1，0），B（1，0），C（0，1），∴AO=CO=BO=1．
∵CO⊥AB，∴AC=BC，△AOC，△BOC均为等腰直角三角形，
∴∠CBO=∠BCO=∠ACO=∠CAO =45°，∠ACB=90°，即∠ACD+∠BCD =90°．
又∵CE⊥CD，∴∠ECB+∠BCD =90°，∴∠ACD=∠ECB．
在△ACD与△BCE中，∵ ，∴△ACD≌△BCE，∴∠EBC＝∠CAB．
（2）OF∥AC．理由如下：
作FL⊥OC ，FK⊥OB，如图，∵CO⊥BO，∴∠LFK =90°，
∵CE=CD，点F是DE的中点，∴CF⊥DE，∴∠CFL+∠LFD =90°．
又∵∠KFD+∠LFD =90°，∴∠CFL=∠KFD．
∵CE⊥CD，点F是DE的中点，∴CF=DF= DE．
在△CFL与△DFK中，∵ ，∴△CFL≌△DFK，∴FL=FK．
又∵FL⊥OC ，FK⊥OB，∴OF平分∠COB，∴∠COF=∠BOF=45°．又∵∠CAO =45°，∠BOF=∠CAO，∴OF∥AC．
（3）设D（x，0）(x＞0)．则OD=x，过E作EG⊥y轴于G．
∵CE⊥CD，∴∠ECD=90°，∴∠GCE+∠DCO=90°．
∵∠GCE+∠GEC=90°，∴∠GEC=∠OCD．
∵∠EGC=∠COD=90°，CE=CD，∴△EGC≌△COD，∴GE=OC=1，CG=OD=x，∴E（1，
x+1）．
∵F为ED的中点，∴F( ， )，∴OF= = ，DF=
= ．
△ODF为等腰三角形，分三种情况讨论：
①OD=OF，则x= ，解得：x= ，∴D( ，0)；
②OD=FD，则x= ，解得：x=±1（负数舍去），∴x=1，∴D(1，0)；
③OF=FD，则 = ，解得：x=0(舍去)，∴此种情况不成立．
综上所述：D(1，0)或D( ，0)．【点拨】本题是三角形综合题．考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，两
点间距离公式、勾股定理、角平分线的判定定理等知识点，难度较大．解题的关键是证明
OF平分∠COB和表示出三角形OPF的三边．
