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专题 1.1 锐角三角函数（知识讲解）
【学习目标】
1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；
2．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.
【要点梳理】
要点一、锐角三角函数的概念
B
如图所示，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的 边
BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对 c 的
a
边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C 所
对的边AB记为c，叫做斜边． A C
b
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 ；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即 ；
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即 .
同理 ； ； ．
特别说明：
(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，
是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 ，
，
，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省
略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成
“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外， 、 、 常写成 、
、 ．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时， ， ，tanA＞0．
要点二、特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：
锐角
30°
45° 1
60°
特别说明：
(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用
就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若
，则锐角 ．
(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
、 、 的值依次为 、 、 ，而 、 、
的值的顺序正好相反， 、 、 的值依次增大，其变化规律可
以总结为：
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
【典型例题】
类型一、三角函数概念的辨析
1． （1）如图1．△ABC中，∠C为直角，AC=6，BC=8，D，E两点分别从
B，A开始同时出发，分别沿线段BC，AC向C点匀速运动，到C点后停止，他们的速度
都为每秒1个单位，请问D点出发2秒后，△CDE的面积为多少？（2）如图2，将（1）中的条件“∠C为直角”改为∠C为钝角，其他条件不变，请问
是否仍然存在某一时刻，使得△CDE的面积为△ABC面积的一半？若存在，请求出这一
时刻，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）D点出发2秒后，△CDE的面积为12；（2）D点出发2秒钟时△CDE
的面积为△ABC面积的一半，理由见解析.
【分析】（1）D，E出发2秒后，BD=AE=2，然后求出CD，CE的长，根据三角形的
面积公式求解即可；
（2）如图，过B，D点分别作AC，CE边上的高，设D，E运动时间为x秒，根据根
据三角形的面积公式列出方程式求解即可.
解：（1）∵D，E出发2秒后，BD=AE=2，
∴CD=BC－BD=8－2=6，CE=AC－AE=6－2=4，
则S = CD·CE= ×6×4=12.
△CDE
答：D点出发2秒后，△CDE的面积为12.
（2）如图，过B，D作AC边上的高DH，BG
设D，E运动时间为x秒，
则 (8﹣x)(6﹣x)sin∠BCG= ×6×8sin∠BCG
解得x=2或x=12（舍去），
所以D点出发2秒钟时△CDE的面积为△ABC面积的一半，
举一反三：【变式1】如图，在 中，AD、BE分别是BC、AC边上的高， ，求
的值．
【答案】
【分析】先证明△ADC∽△BEC，根据相似三角形的性质得到 = ，再证明
CDE∽△CAB，根据相似三角形的面积比定义相似比的平方计算即可．
解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BEC，
∴ = ，
∴ = ，
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∵ ，
∴ = ，
∴ =（ ）²=（ ）2= ．
【点拨】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似
比的平方是解题的关键．
【变式2】.如图，射线OA放置在4×5的正方形虚线网格中，现请你在图中找出格点（即每个小正方形的顶点）B，并连接OB、AB使△AOB为直角三角形，并且
（1）使tan∠AOB的值为1；
（2）使tan∠AOB的值为 ．
【答案】（1）如图1所示：见解析；（2）如图2所示；见解析
【分析】根据tan∠AOB的值分别为1、 ，构造直角三角形进而得出答案．
解：如图1所示：
∵OA= ,且tan∠AOB=1，∴AB=OB= ,∴可找到格点B.
如图2所示；
同上一问的解法，可以求得AB= ,OB= .即可找到点B.
【点拨】此题主要考查了应用设计与作图，利用锐角三角函数关系得出是解题关键．
类型二、求三角函数值
2． 如图， 的顶点都是正方形网格的格点，求 的三角函数值．【答案】 ， ， ．
【分析】利用网格构造直角三角形，再根据勾股定理、逆定理求出三角形的边长，最
后根据三角函数的定义求解即可．
解：不妨设小正方形的边长为1，如图，过点C作 于点F， ，交
的延长线于点E，
则 ， ，
∵ ，
即 ，解得 ，
∴在 中， ，
∴ ， ， ，
故答案为： ， ， ．
【点拨】此题考查的是求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直角三角
形、勾股定理、勾股定理的逆定理和三角函数的定义是解决此题的关键．
举一反三：
【变式1】已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D点，AB=4，BC=3．求：sin∠ACD、cos∠ACD、tan∠ACD．
【答案】sin∠ACD ，cos∠ACD ，tan∠ACD ．
【分析】先得到∠B=∠ACD，根据勾股定理可以求得AC的长度，即可求得∠B即
∠ACD的三角函数值．
解：∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠B+∠BCD =∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD，
Rt△ABC中，AB=4，BC=3，
AC= ，
∴sin∠ACD=sinB= ，
cos∠ACD=cosB= ，
tan∠ACD= tanB= ．
【点拨】本题考查了直角三角形中三角函数值的计算，考查了勾股定理的运用，本题
中求AC的长是解题的关键．
【变式2】.（1）如图：在 中， ， ，根据图中的作图痕
迹可知 为 的______；
（2）在第（1）问的条件下，请完善以下求 的过程：
作 于点 ，设 为 ，则
列方程得：__________
解得： ______，∴ ______．【答案】（1）角平分线；（2）x+ x=1， -1， -1
【分析】（1）根据角平分线的作法判断即可．
（2）证明BD= DE，根据BC=1，构建方程求解即可．
解：（1）由作图可知，AD平分∠CAB，
故答案为：角平分线；
（2）∵DE⊥AB，DC⊥AC，AD是角平分线，
∴DC=DE，
∴∠AED=90°，
∵CA=CB=1，∠C=90°，
∴∠B=45°，
∴BD= DE，
∴x+ x=1，
∴x= -1，
∴tan∠BAD=tan∠CAD= -1，
故答案为：x+ x=1， -1， -1．
【点拨】本题考查了作图-基本作图，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等
知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
类型三、由三角函数值求边长
3． 如图，在 中， ，点D在 边上，且
．
（1）求 长；（2）求 的正弦值．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求得 ，再根据三角函数的定义求得 ，
勾股定理求得 ，即可求解；
（2）过点A作 交 延长线于点E，根据等腰直角三角形的性质求得 ，
根据三角函数的定义即可求解．
解：（1） ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，过点A作 交 延长线于点E，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，∴ ．
【点拨】此题考查了三角函数的有关性质，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性质，
熟练掌握三角函数的定义以及相关基本性质是解题的关键．
举一反三：
【变式1】已知：如图，在四边形 中， ， ，垂足为 ，过点
作 ，交 的延长线于点 .
（1）求证：四边形 是平行四边形
（2）若 ， ，求 的长
【答案】(1)详见解析;(2)9
【分析】(1)直接利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进而得出答案；
(2)利用锐角三角函数关系得 ，设 ， ，再利用勾股定理得出AE的
长，进而求出答案．
解：(1)∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
(2) ∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ,
∴ ，
设 ， ，∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定以及锐角三角函数关系、勾股定理，正确
得出 是解题关键．
【变式2】.如图，在矩形 中，点 是边 上的点， ， 于点
．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】（1）由题意易得 ，则有 ，进而可得
，然后可得 ，进而问题可求证；
（2）由（1）得： ，则有 ，进而可得
，然后可得 ，设 ，则有 ，最后由三角函数
可得 ，求解即可．
解：（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
设 ，则有 ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查三角函数及矩形的性质，熟练掌握三角函数及矩形的性质是解
题的关键．
类型四、三角函数值的增减性
4． 如图，已知 和射线 上一点 （点 与点 不重合），且点 到
、 的距离为 、 ．
（1）若 ， ， ，试比较 、 的大小；
（2）若 ， ， ， 都是锐角，且 ．试判断 、 的大小，并给出证明．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；
（2）运用两个角的正弦函数，根据正弦值的变化规律进行比较．
解： 在 中，
在 中，
又
∴ ；
根据 得
，
又∵
∴
∴ ．
【点拨】考查了锐角的正弦值的变化规律：在锐角的范围内，正弦值随着角的增大而
增大．
举一反三：
【变式1】我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，
如图所示.
（1）试探索随着锐角度数的增大，它的三角函数值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试分别比较 ， ， ， 角的正弦，余弦，正切值
的大小.【答案】（1）锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而
减小.锐角的正切值随着角度的增大面增大；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据概念结合图中几个锐角角，就能发现随着一个锐角的增大，它的对
边在减小，邻边在增大，即可找到正余弦变化规律
（2）根据（1）中规律即可
解：（1）由题图可知， .
∵ ，
，
，
又∵ ，且 ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
，
又∵ ，
∴ ，∴ ．
∵ ，
，
又∵ ， ，
∴ .
∴ .
规律：锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小.锐
角的正切值随着角度的增大面增大.
（2） ；
；
.
【点拨】本题考查锐角三角函数的求法以及比较大小，熟练掌握锐角函数的定义是解
题关键
【变式2】.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是 ，
， ．
（1）将 向下平移 4 个单位后得到 ，请画出 ；
（2）将 绕原点 逆时针旋转 90°后得到 ，请画出 ，并直接写
出 的值；【答案】（1）见解析；（2）图见解析，
【分析】（1）将 的向下平移 4 个单位后得到 坐标，依次连接即
可；
（2）将 三点绕绕原点 逆时针旋转 90°后得到 ，依次连接即可
得到 ，作C D⊥B C ，求出 ，即可求出 的值.
2 2 2
解：（1）将 的向下平移 4 个单位后得到 坐标，依次连接即可得
到 如图所示；
（2）将 三点绕绕原点 逆时针旋转 90°后得到 ，依次连接即可
得到 如图所示 ，
作C D⊥B C ，
2 2 2
在Rt△ 中，
，
.【点拨】本题是对图形平移旋转的考查，熟练掌握图形平移，旋转的作法及三角函数
知识是解决本题的关键.
类型五、由函数值确实锐角的取值范围
5． 如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离 ．
（1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A
在阳光下的影长为1m，求滑梯的高 ；
（2）若规定滑梯的倾斜角（ ）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架
滑梯的倾斜角是否符合安全要求？
【答案】（1）2米；（2）符合
【分析】（1）利用影长物高成比例求解即可；
（2）先求出锐角三角函数值，再利用锐角三角函数值求出角的范围即可．
解：（1） ，
，
答：滑梯高 为2米；
（2）∵AC=2m,BC=4m，
∴ ，
∵正切值随着角的增大函数值增大，，
这架滑梯的倾斜角符合安全要求．
【点拨】本题考查影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性，
掌握影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性是解题关键．
举一反三：
【变式1】如图，在 中， ， ，点 是 的中点， 是等
腰直角三角形， ，线段 与线段 相交于点 ，将 绕点 逆时针转
动，点 从线段 上转到与点 重合的过程中，线段 的长度的取值范围______．
【答案】
【分析】由旋转的性质可得DE=CD=3，由点Q在EF上运动，可得当点Q与点E重合
时，DQ有最大值为3，当DQ⊥EF时，DQ有最小值，由锐角三角函数可求解．
解：∵BC=6，点D是BC的中点，
∴CD=BD=3，
∵将△DEF绕点D逆时针转动，点E从线段AB上转到与点C重合，
∴DE=CD=3，
∵线段EF与线段AB相交于点Q，
∴点Q在EF上运动，
∴当点Q与点E重合时，DQ有最大值为3，
如图，连接DQ，当DQ⊥EF时，DQ有最小值，∵△DEF是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠E=45°，
∴DQ的最小值为
故答案为：
【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角函数，利用垂线段最短解
决问题是本题的关键．
【变式2】.函数 对任意实数 都有 ，且 是三角形的
内角，则 的取值范围是________
【答案】
【分析】因为cosθ＞0，所以只要△＜0，函数值恒为正．由△＜0，得到三角函数不等
式，再把正弦转化为余弦，解不等式，最后利用三角函数的增减性求出θ的取值范围．
解：由题意得：
即： ，
（2cosθ-1）（cosθ+2）＞0，解得cosθ＞ ，
又因为0°＜θ＜180°，
所以θ的取值范围为0°＜θ＜60°．
故答案是：0°＜θ＜60°．
【点拨】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△
＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没
有实数根．同时考查了锐角三角函数的性质，锐角的余弦随着角度的增大而减小；同角的
正余弦的平方和为1．记住特殊角的三角函数值．
