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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题1.1锐角三角函数
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021•兰州模拟）在 中， ， ， ，则
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求出 ，再根据锐角三角函数的定义求出 ， ， 和 即可．
【解析】
由勾股定理得： ，
所以 ， ， ， ，
即只有选项 正确，选项 、选项 、选项 都错误；
故选： ．
2．（2021秋•裕华区校级月考）如图，已知 中， ， ， ，则 的值为
A． B． C． D．【分析】根据锐角的余弦值的定义解决此题．
【解析】在 中， ，
．
故选： ．
3．（2021秋•鹿城区校级月考）如图，在 中， ， ， ，则 的长为
A．2 B． C．3 D．4
【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解析】在 中， ，
， ，
，
，
故选： ．
4．（2021秋•瓦房店市月考）在 中， ， ， ，则 的长为
A．6 B．8 C．10 D．9
【分析】根据余弦的定义求出 ，根据勾股定理计算，求出 ．
【解析】在 中， ， ，
， ，
，
解得： ，由勾股定理得： ，
故选： ．
5．（2020秋•崇明区期末）在 中， ，如果 ， ，那么 的正弦值为
A． B． C． D．
【分析】由勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义求出答案．
【解析】在 中， ， ， ，
，
，
故选： ．
6．（2020秋•邵阳县期末）在 中， ， ， ，那么下列各式中正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求出 ，根据锐角三角函数的定义计算，判断即可．
【解析】在 中， ， ， ，
由勾股定理得， ，
则 ， 选项计算正确；
， 选项计算错误；
， 选项计算错误；
， 选项计算错误；
故选： ．
7．（2020秋•岑溪市期末）在 中，若各边长都扩大为原来的3倍，则锐角 的正切值A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．以上都不对
【分析】根据锐角三角函数的定义进行判断即可．
【解析】由锐角三角函数的定义可知，
将 中的各边长都扩大为原来的3倍，其扩大前后相应的两条边的比值不变，
因此锐角 的正切值不变，
故选： ．
8．（2021•未央区校级开学）如图，在 中， ， ，则 的值为
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理和锐角三角函数求解即可．
【解析】在 中， ， ，
不妨设 ，则 ，由勾股定理得，
，
所以 ，
故选： ．
9．（2021•普陀区模拟） 在网格中的位置如图所示，则 的值为
A． B． C． D．【分析】 的值可以转化为直角三角形的边的比的问题，因而过点 作 垂直于 的延长线于
点 ．利用勾股定理计算出 ，在 中根据三角函数的定义求解．
【解析】作 的延长线于点 ．
在 中， ，则 ．
，
故选： ．
10．（2021•安徽模拟）如图， 中， ， ， ， 为 边上一动点，且
，则 的长度为
A． B． C．5 D．
【分析】作 于点 ，设 长为 ，有 及 求出 与 长度，再由勾股定
理求解．
【解析】作 于点 ，设 长为 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021秋•岱岳区校级月考）如图，在 中， ．
（1）斜边 ；
（2） 的对边 ；
（3） 的邻边 ；
（4） ．
【分析】根据直角三角形边角的意义可得答案．
【解析】（1）斜边为 ，
故答案为： ；
（2） 的对边为 ，
故答案为： ；
（3） 的邻边为 ，故答案为： ；
（4） ，
故答案为： ．
12．（2021秋•虹口区月考）已知在 中， ， ， ，则 等于 ．
【分析】根据余弦的定义计算即可．
【解析】在 中， ， ， ，
则 ，
故答案为： ．
13．（2021•中山市二模）在 中， ， ， ，则 的长为 1 0 ．
【分析】根据锐角三角函数的定义求出 ，根据勾股定理求出 即可．
【解析】如图：
， ， ，
，
，
，
．
故答案为：10．
14．（2021•潍坊一模）如图，在 中， ，设 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
则 、 ．
．．
．
．
【分析】根据正弦、正切的定义计算，判断即可．
【解析】 、 ，则 ，本选项说法正确；
、 ，则 ，本选项说法错误；
、 ，则 ，本选项说法正确；
、 ，则 ，本选项说法错误；
故答案为： 、 ．
15．（2020•海淀区一模）如图，在 中， ， ，且 ，则 6 ．
【分析】根据正切的定义列式计算，得到答案．
【解析】 ，
，即 ，
解得， ，
故答案为：6．
16．（2020•铁东区四模）如图，将 放置在 的正方形网格中，如果顶点 、 、 均在格点上，
那么 的正切值为 1 ．【分析】连接 ，先利用勾股定理逆定理证 是等腰直角三角形，再根据正切函数的定义可得．
【解析】如图所示，连接 ，
则 ， ，
，
是等腰直角三角形，且 ，
，
则 ，
故答案为：1．
17．（2021•东莞市校级一模）如图，在 中， ， 垂直于 ， ，
，则 9 ．
【分析】根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到 ，根据正切的定义计算即可
【解析】 ，
，
，
，在 中，
，
．
故答案为9．
18．（2021•相城区校级一模）如图，在四边形 中， ， ， ，
，连接 ，则 ．
【分析】延长 到 ，连接 ，使 ，由 得出 ，求出 即可得
出答案．
【解析】如图，延长 到 ，连接 ，使 ，作 于 ，
，
，
，
，
，
设 ，则 ， ，
又 ，
，
，，
，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021•崆峒区一模）如图，在 中， ， ， ，求 ， ，
的值．
【分析】根据勾股定理求出 ，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
【解析】在 中，由勾股定理得： ，
所以 ， ， ．
20．（2020秋•丽水期末）如图，在 中， ， ， ．
（1）求 的长；
（2）求 的值．
【分析】（1）关键根据勾股定理求出 ；
（2）根据正弦的定义计算即可．
【解析】（1）在 中， ， ， ，
；（2）在 中， ， ， ，
．
21．如图，在 中， ， ， ．求：
（1） ， ．
（2） ， ．
（3）观察（1）（2）中的计算结果，你发现了什么？请说明理由．
【分析】（1）根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
（2）根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
（3）根据（1）与（2）问的结果即可得出答案．
【解析】（1）根据勾股定理可知： ，
， ．
（2） ， ．
（3）由（1）、（2）可知： ， ．
22．用计算器求图中 的正弦值、余弦值和正切值．
【分析】利用勾股定理解出每个三角形，在由正弦、余弦、正切公式代入求值即可．
【解析】图（1） ，
， ， ；图（2） ，
， ， ；
图（3） ，
， ， ．
23．（2021秋•任城区校级月考）如图， 是 的高， ， ， ，求 的
长．
【分析】在直角三角形 中，根据边角关系先求出 、 ，再在直角三角形 中，求出 的长．
【解析】在 中， ，
， ，
，
．
．
在 中，
，
，
，
，
．
24．（2021秋•新泰市月考）如图，在 中， ，点 ， 分别在 ， 上， 平分， 于点 ， ， ．
（1）求 的长；
（2）求 的值．
【分析】（1）在 中，根据余弦函数的定义求出 ，利用勾股定理求出 ，再由角平分线的性
质可得 ；
（2）由 ， ，得 ．由 ， ，可知
由相似三角形对应边成比例可求出 的长，根据三角函数的定义可求出 ．
【解析】（1）在 中， ， ， ，
，
．
平分 ， ， ，
；
（2）由（1） ， ，
，
在 与 中，
， ，
，
，即 ，
，
．
