文档内容
专题1.1 菱形的性质与判定（知识讲解）
【学习目标】
1. 理解菱形的概念；
2. 掌握菱形的性质定理与判定定理；
3. 掌握求菱形的两种方法，利用等面积法求线段；利用菱形的对称称求最值；
【要点梳理】
要点一、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
特别说明：：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一
个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.，菱形的定义也是判定菱形的方法。
要点二、菱形的性质
1.从边出发：菱形的四条边都相等；
2.从对角线出发：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对
称中心.
特别说明：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将
菱形分成完全全等的两部分. 利用菱形是轴对称图形求几何最值问题。
（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；
另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角
线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.
（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.
要点三、菱形的判定
菱形的判定方法有三种：
1. 从边出发：（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）四条边相等的四边形是菱形.
2.从对角线出发：（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
特别说明：：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一
种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.
【典型例题】
类型一、利用菱形的性质求角1．如图， 是菱形 的对角线， ，（1）请用尺规作图法，
作 的垂直平分线 ，垂足为 ，交 于 ；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接 ，求 的度数．
【答案】（1）见分析； （2）45°
【分析】
（1）分别以A、B为圆心，大于 长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；
（2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可；
解：（1）如图所示，直线EF即为所求；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠DBC ∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C，
∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝∠A＝30°．
∵EF垂直平分线段AB，
∴AF＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．
【点拨】本题考查了线段的垂直平分线作法和性质，菱形的性质等知识，解题的关键
是灵活运用所学知识解决问题．
【变式1】如图，在菱形 中， ， ， 是对角线 的中点，过点 作 于点 ，连结 ．则四边形 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知及菱形的性质求得∠ABD=∠CDB=30º，AO⊥BD，利用含30º的直角
三角形边的关系分别求得AO、DO、OE、DE，进而求得四边形 的周长.
解：∵四边形ABCD是菱形， 是对角线 的中点，
∴AO⊥BD ， AD=AB=4，AB∥DC
∵∠BAD=120º，
∴∠ABD=∠ADB=∠CDB=30º，
∵OE⊥DC，
∴在RtΔAOD中，AD=4 ， AO= =2 ，DO= ，
在RtΔDEO中，OE= ，DE= ，
∴四边形 的周长为AO+OE+DE+AD=2+ +3+4=9+ ，
故选：B.
【点拨】本题考查菱形的性质、含30º的直角三角形、勾股定理，熟练掌握菱形的性
质及含30º的直角三角形边的关系是解答的关键.
【变式2】如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点
E，连接AF、AC，若∠DCB＝70°，则∠FAC＝______．
【答案】20°【分析】由菱形的性质和等腰三角形的性质求出∠BAC和∠FAB的度数，即可解决问
题．
解：∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠FAB＝∠FBA，
∵四边形ABCD是菱形，∠DCB＝70°，
∴BC＝AB，∠BCA＝ ∠DCB＝35°，AC⊥BD，
∴∠BAC＝∠BCA＝35°，
∴∠FBA＝90°﹣∠BAC＝55°，
∴∠FAB＝55°，
∴∠FAC＝∠FAB﹣∠BAC＝55°﹣35°＝20°，
故答案为：20°．
【点拨】本题考查菱形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质和等腰三角
形的性质是解题的关键．
类型二、利用菱形的性质求线段
2．如图，菱形 中，作 、 ，分别交 、 的延长线
于点 ．
（1）求证： ；
（2）若点 恰好是 的中点， ，求 的值．
【答案】（1）见分析；（2） .
【分析】
(1)由“ ”可证 ，可得 ；
(2)由线段垂直平分线的性质可得 ．
解：(1)四边形 是菱形，∴ ，
∴ ，
∵ 、 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
(2)∵ 是 中点，且 ，
∴直线 为 的垂直平分线，
∴ .
【点拨】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，
熟练运用菱形的性质是本题的关键．
【变式1】如图，在菱形 中， ，连接 、 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设AC与BD的交点为O，由题意易得 ，
，进而可得△ABC是等边三角形， ，然后问题可
求解．
解：设AC与BD的交点为O，如图所示：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴△ABC是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选D．
【点拨】本题主要考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练
掌握菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
【变式2】如图，菱形ABCD，以点B为圆心，BD长为半径作弧，交AD于点E；分
别以点D，E为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点F，射线BF交边AD于点G，
连接CG，若∠BCG＝30°，AG＝3，则AB的长为______．【答案】
【分析】由作法得∠AGB=90°，利用菱形的性质得到AD∥BC，AB=BC，所以
∠GBC=90°，在Rt BCG中，设BG=x，则BC= x，所以AB= x，在Rt ABG中利用勾
△ △
股定理得到x2+32=（ x）2，然后解方程求出x，从而得到AB的长．
解：由作法得BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AB=BC，
∴∠GBC=90°，
在Rt BCG中，设BG=x，
∵∠BC△G=30°，
∴BC= x，
∴AB= x，
在Rt ABG中，x2+32=（ x）2，解得x= ，x=- （舍去），
1 2
△
∴AB= ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线
段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已
知直线的垂线）．也考查了菱形的性质．
类型三、利用菱形的性质求面积
3．如图，在 ABCD中，BC＝2AB＝4，点E，F分别是BC，AD的中点．
▱
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．【答案】（1）见试题解析；（2）2
【分析】
（1）由□ABCD可得AB=CD，BC=AD，∠ABC=∠CDA，再结合点E、F分别是
BC、AD的中点即可证得结论；
（2）当四边形AECF为菱形时，可得△ABE为等边三角形，根据等边三角形的性质
即可求得结果．
解：∵在□ABCD中，AB=CD，
∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．
又∵BE=EC= BC，AF=DF= AD，
∴BE=DF．
∴△ABE≌△CDF．
（2）当四边形AECF为菱形时，△ABE为等边三角形，
四边形ABCD的高为 ,
∴菱形AECF的面积为2 .
【点拨】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握
平行四边形的对边平行且相等，对角相等；菱形的四条边相等．
【变式1】已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为（ ）
A．8 B．8 C．4 D．2
【答案】D
【分析】
根据菱形的性质和菱形面积公式即可求出结果．
解：如图，∵两邻角度数之比为1：2，两邻角和为180°，
∴∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，
∵菱形的周长为8，∴边长AB＝2，
∴菱形的对角线AC＝2，BD＝2×2sin60°＝2 ，
∴菱形的面积＝ AC•BD＝ ×2×2 ＝2 ．
故选：D．
【点拨】本题考查菱形的性质，解题关键是掌握菱形的性质．
【变式2】如图，在菱形 中， ， 分别是 ， 的中点，若 ，
，则菱形 的面积为________．
【答案】20
【分析】连接AC，利用中位线的性质，得AC=2EF=8，再利用菱形对角线乘积的一半
求面积即可．
解：连接AC
∵ ， 分别是 ， 的中点
∴EF是 ACD的中位线
又EF=4
∴AC=8
∴S ABCD= ×BD×AC= ×5×8=20
菱形
故答案为：20．【点拨】本题考查了中位线的性质以及菱形的面积求法，熟练掌握以上知识点作出辅
助线是解决问题的关键．
类型四、利用菱形的性质证明
4．如图，在菱形 中， ， 是对角线 上的两点，且 ．
（1）求证： ≌ ； （2）证明四边形 是菱形．
【分析】
(1)利用SAS证明即可； (2)从对角线的角度加以证明即可.
解：（1）∵四边形 为菱形，
∴ ，且 ，
又∵ ，
∴ ≌ ．
（2）
证明：连接 交 于点 ，
∵四边形 为菱形，
∴ ，且 为 ， 中点，
又∵ ，
∴
∴ 与 互相垂直且平分，故四边形 是菱形．
【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，三角形的全等判定和性质，熟练掌握三角形
全等判定的基本原理,菱形判定基本方法和性质是解题的关键．
【变式1】如图，四边形 是菱形，点E，F分别在 边上，添加以下条件
不能判定 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形全等判定定理SAS可判定A，三角形全等判定定理ASA可判定
B，三角形全等判定定理可判定C，三角形全等判定定理AAS可判定D即可．
解：∵四边形 是菱形，
∴AB=AD,∠B=∠D,
A. 添加 可以，
在 ABE和 ADF中，
△ △
，
∴ (SAS)，
故选项A可以；
B.添加 可以，
在 ABE和 ADF中
△ △
，
∴ (ASA)；
故选项B可以；
C. 添加 不可以，条件是边边角故不能判定；故选项C不可以；
D. 添加 可以，
在 ABE和 ADF中
△ △
，
∴ (SAS)．
故选项D可以；
故选择C．
【点拨】本题考查添加条件判定三角形全等，菱形性质，掌握三角形全等判定定理，
菱形性质是解题关键．
【变式2】如图，四边形ABCD为菱形， ，延长BC到E，在 内作
射线CM，使得 ，过点D作 ，垂足为F．若 ，则对角线BD
的长为______．
【答案】
【分析】连接AC交BD于H，证明 DCH≌ DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性
质得出BD的长度．
解：如图，连接AC交BD于点H，
由菱形的性质得∠BDC=35 ，∠DCE=70 ，又∵∠MCE=15 ，
∴∠DCF=55 ，
∵DF⊥CM，
∴∠CDF=35 ，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC=35 ，
在 CDH和 CDF中，
∴ CDH≌ CDF（AAS），
∴ ，
∴DB= ，
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，菱形的对角线互相平分是此
题的关键知识点，得出∠HDC=∠FDC是这个题最关键的一点．
类型五、添加一个条件证明四边形是菱形
5．如图，AC是 ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于
▱
点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？并说明理由．
【答案】（1）证明见分析；（2）EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形，理由见分析．
【分析】
（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠EAO=∠FCO，利用对顶角相等∠AOE=∠COF，O是AC的中点，OA=OC，所以由ASA即可得出结论；
（2）此题应用菱形的判定，先说明四边形AFCE已经是平行四边形，再应用对角线互
相垂直的平行四边形是菱形即可．由△AOE≌△COF，得出对应边相等AE=CF，证出四边形
AFCE是平行四边形，再由对角线EF⊥AC，即可得出四边形AFCE是菱形．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵O是CA的中点，
∴OA=OC，
又∵∠AOE=∠COF（对顶角相等），
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）∵△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边
形），
当EF⊥AC时四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
∴EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形．
【点拨】本题考查平行四边形的性质与判定；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
【变式1】如图，要判定 是菱形，需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据菱形的判定方法即可解决问题．
解：根据邻边相等的平行四边形是菱形，可知选项D正确，
故选：D．
【点拨】本题考查菱形的判定，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基
本知识，属于中考常考题型．【变式2】如图，在 ABC中，AD⊥BC于点D，点E，F分别是A4B．AC边的中点，
请你在 ABC中添加一个△条件：_______________使得四边形AEDF是菱形．
△
【答案】AB=AC（或∠B=∠C，或BD=DC）
【分析】可根据三角形的中位线定理、等腰三角形的性质、菱形的判定，分析得出当
△ABC满足条件AB=AC或∠B=∠C时，四边形AEDF是菱形．
解：要使四边形AEDF是菱形，则应有DE=DF=AE=AF，
∵E，F分别为AC，BC的中点
∴AE=BE，AF=FC，
应有DE=BE，DF=CF，则应有△BDE≌△CDF，应有BD=CD，
∴当点D应是BC的中点，而AD⊥BC，
∴△ABC应是等腰三角形，
∴应添加条件：AB=AC或∠B=∠C．
则当△ABC满足条件AB=AC或∠B=∠C时，四边形AEDF是菱形．
故答案为：AB=AC（或∠B=∠C，或BD=DC）．
【点拨】本题考查了菱形的判定，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用
发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、
横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．
类型六、证明已知四边形是菱形
6．如图，在 中，G为BC边上一点， ，延长DG交AB的延长
线于点E，过点A作 交CD的延长线于点F．求证：四边形AEDF是菱形．【分析】先证四边形AEDF是平行四边形，再证 ，则 ，即可
得出结论．
解： 四边形ABCD是平行四边形，
， ， ，
，
四边形AEDF是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
平行四边形AEDF是菱形．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，菱形的判定定理，熟练掌握以
上几何性质是解题的关键．
【变式1】如图，在 中， 分别是边 上的中线， 于点 ，
点 分别是 的中点，若 ， ，则四边形 的周长是（ ）
A．14 B．20 C．22 D．28
【答案】B
【分析】根据已知条件证明四边形MNDE为菱形，结合OB和OC的长求出MN，
OM，OE，计算出EM，可得结果．
解：∵BD和CE分别是△ABC的中线，
∴DE= BC，DE∥BC，
∵M和N分别是OB和OC的中点，OB=8，OC=6，∴MN= BC，MN∥BC，OM= OB=4，ON= OC=3，
∴四边形MNDE为平行四边形，
∵BD⊥CE，
∴平行四边形MNDE为菱形，
∴OE=ON=3
∴BC= ，
∴DE=MN=EM=DN=5，
∴四边形MNDE的周长为20，
故选B．
【点拨】本题考查了菱形的判定，中位线定理，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的
判定．
【变式2】如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D，E为线段AC上两动点，且
∠DBE=30°，过点D，E分别作AB，BC的平行线相交于点F，分别交 BC，AB于点H，
G．现有以下结论：①S△ABC= ；②当点D与点C重合时，FH= ；③AE+CD=
DE；④当AE=CD时，四边形 BHFG为菱形．则其中正确的结论的序号是________．
【答案】①②④
【分析】过A作AI⊥BC垂足为I，然后计算△ABC的面积即可判定①；先画出图形，
然后根据等边三角形的性质和相似三角形的性质即可判定②；如图将△BCD绕B点逆时针
旋转60°得到△ABN，求证NE=DE；再延长EA到P使AP=CD=AN，证得∠P=60°，
NP=AP=CD，然后讨论即可判定③；如图1，当AE=CD时，根据题意求得CH=CD、
AG=CH，再证明四边形BHFG为平行四边形，最后再说明是否为菱形．
解：如图1，过A作AI⊥BC垂足为I，∵ 是边长为1的等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠C=60°，CI= ，
∴AI= ，
∴S ABC= ，故①正确；
△
如图2，当D与C重合时，
∵∠DBE=30°， 是等边三角形，
∴∠DBE=∠ABE=30°，
∴DE=AE= ，
∵GE//BD，
∴ ，
∴BG= ，
∵GF//BD，BG//DF，
∴HF=BG= ，故②正确；如图3，将△BCD绕B点逆时针旋转60°得到△ABN，
∴∠1=∠2，∠5=∠6=60°，AN=CD，BD=BN，
∵∠3=30°，
∴∠2+∠4=∠1+∠4=30°，
∴∠NBE=∠3=30°，
又∵BD=BN，BE=BE，
∴△NBE≌△DBE（SAS），
∴NE=DE，
延长EA到P使AP=CD=AN，
∵∠NAP=180°-60°-60°=60°，
∴△ANP为等边三角形，
∴∠P=60°，NP=AP=CD，
如果AE+CD= DE成立，则PE= NE，需∠NEP=90°，但∠NEP不一定为
90°，故③不成立；
如图1，当AE=CD时，
∵GE//BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，∠GEA=∠C=60°，
∴∠AGE=∠AEG=60°，
∴AG=AE，
同理：CH=CD，
∴AG=CH，∵BG//FH，GF//BH，
∴四边形BHFG是平行四边形，
∵BG=BH，
∴四边形BHFG为菱形，故④正确．
故答案为：①②④．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质以
及菱形的判定等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键．
类型七、用菱形的性质与判定求角度
7．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE
于点D，AC与BD相交于点O，连接CD
（1）求∠AOD的度数；
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】（1）∠AOD=90°； （2）证明见分析.
【分析】
（1）首先根据角平分线的性质得到∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，然后根据平行线
的性质得到∠DAB+∠CBA=180°，从而得到∠BAC+∠ABD= （∠DAB+∠ABC）=
×180°=90°，得到答案∠AOD=90°；
（2）根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，根据角平分线定义得出
∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，求出∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的
判定得出AB=BC=AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出
答案．
解：（1）∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，
∵AE∥BF，∴∠DAB+∠CBA=180°，
∴∠BAC+∠ABD= （∠DAB+∠ABC）= ×180°=90°，
∴∠AOD=90°；
（2）证：∵AE∥BF，
∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，
∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，
∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，
∴AB=BC，AB=AD
∴AD=BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，∴四边形ABCD是菱形．
【点拨】菱形的判定．
【变式1】如图，四边形 为菱形，若 为边 的垂直平分线，用 的度
数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【答案】C
【分析】连接AC，证明△ABC为等边三角形，得到∠ABC=60°，根据菱形性质即可求
解．
解：连接AC，
∵四边形 为菱形，
∴AB=BC，
∵ 为边 的垂直平分线，
∴BC=AC，
∴AB=BC=AC，∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵四边形 为菱形，
∴∠ADB= ．
故选：C
【点拨】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，证明
△ABC为等边三角形是解题关键．
【变式2】如图，在菱形 中， ， 在 上，将 沿 翻折至
，且 刚好过 的中点 ，则 _________．
【答案】30°
【分析】由菱形的性质得出AB=BC，∠D=∠B=60°，∠C=120°，得出△ABC是等边三
角形，由等边三角形的性质得出AD⊥BC，由翻折变换的性质得： =∠D=60°，求出
∠CME= =30°，即可得出 的度数．
解：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠C=120°，
∴△ABC是等边三角形，∵AD'刚好过BC的中点P，
∴AD⊥BC，
∴∠D'PC=90°，
由翻折变换的性质得： =∠D=60°，
∴∠CME=∠PMD'=30°，
∴∠D'EC=180°-∠C-∠CME=30°；
故答案为：30°．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角
三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握翻折变换的性质和菱形的性质是解题关键．
类型八 用菱形的性质与判定求线段
8．如图，在矩形 中， 为对角线 的中点，过点 作直线分别与矩形
的边 ， 交于 ， 两点，连接 ， ．
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）若 ， ，且 ，求 的长
【答案】（1）证明见分析；（2）
【分析】
（1）通过证明 AOM和 CON全等，可以得到 ，又因为 ，所以可
以证明四边形 △为平行四△边形；
（2）根据 ，从而可以证明平行四边形 是菱形，得到 ，
再使用勾股定理计算出BN的长度，从而可以得到DM的长度．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴ ，
∴
在 AOM和 CON中
△ △∴△AOM △CON
∴
又∵
∴四边形 为平行四边形．
（2）∵四边形 为平行四边形
∵
∴平行四边形 是菱形
∴
∵
设BN的长度为x
在Rt ABN中， ，
△
∴
【点拨】（1）本题主要考查了如何证明平行四边形，明确一组对边平行且相等的四边
形是平行四边形是解题的关键；（2）本题主要考查了菱形的证明以及勾股定理的应用，知
晓对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解题的关键．
【变式1】四边形ABCD中， ， ， ，点O为AC中点，DO
的延长线交AB于E．若 ， ，则AB的长为（ ）A．5 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】连接 ，根据已知条件证明四边形 是菱形，勾股定理求得 ，根据
即可求解．
解：如图，连接
，点O为AC中点，
,
四边形 是平行四边形
四边形 是菱形
在 中， ， ，故选C
【点拨】本题考查了勾股定理，菱形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，证明
四边形 是菱形是解题的关键．
【变式2】如图，在 ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F．分别以点
▱
F，B为圆心，大于 BF长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点E，若BF＝
6，AB＝5，则AE的长为 ___．
【答案】8
【分析】根据作图痕迹得出AE为∠BAD的平分线，AB=AF，根据平行四边形性质和
平行线性质可证明四边形ABEF是菱形，再根据勾股定理求解即可．
解：连接EF，设AE与BF交于点O，
由作图得：∠BAE=∠FAE，AB=AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AF∥BE，
∴∠FAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB= BE=AF，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴BO = BF=3，OA= AE，AE⊥BF，
在Rt△AOB中，AB=5，∠AOB=90°，
由勾股定理得： ，
∴AE=2OA=8，故答案为：8．
【点拨】本题考查尺规作图-作角平分线、平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等
腰三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用是解
答的关键．
类型九、用菱形的性质与判定求面积
9．如图，四边形 是菱形，点 为对角线 的中点，点 在 的延长线
上， ，垂足为 ，点 在 的延长线上， ，垂足为 ．
（1）若 ，求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， 的面积为16，求菱形 的面积．
【答案】（1）证明见分析；（2）20．
【分析】
（1）由直角三角形斜边中线等于斜边一半和30度直角三角形性质性质可证
，即可证明结论；
（2）由根据三角形面积求法可求AE，设AB=x，在 ，由勾股定理列方程即可
求出菱形边长，进而可求面积．
解：∵四边形 是菱形， ，
∴ ，
∵ ，，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ，即：四边形 是菱形；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
在四边形 是菱形中，设 ，则
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴菱形ABCD面积= ．
【点拨】本题主要考查了菱形的判定和性质，涉及了直角三角形性质和勾股定理．解
题关键是灵活运用直角三角形性质得出线段之间发热关系．
【变式1】如图，在 的两边．上分别截取 ，使 ；分别以点A，
B为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点C；连接 ．若 ，四边形
的面积为4．则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的
一半列式计算即可得解．解：根据作图，AC＝BC＝OA，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝BC＝AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB＝2，四边形OACB的面积为4，
∴ AB•OC＝ ×2×OC＝4，
解得OC＝4．
故选：C．
【点拨】本题主要考查菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．
【变式2】如图所示，四边形 中， 于点 ， ，
，点 为线段 上的一个动点．过点 分别作 于点 ，作
于点 ．连接 ，在点 运动过程中， 的最小值等于______．
【答案】
【分析】作点 关于 的对称点 ，连接 ，根据题意先证明四边形 是
菱形，则 ， ，可知 ，进而可知 ， 共线，
根据等面积法求得 ，当 时 最短即 的长，进而求得 的最
小值为 ．
解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ，， ，
于点 ， ， ，
四边形 是菱形，
， ， ，
在 和 中
，
（ASA），
，
，
，
， ，
，
，
三点共线，
，
，
，
当 时 最短即 的长，
的最小值为 ，
．故答案为： ．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，菱形的判定与性质，勾股定理，轴对
称，找到 的最小值为 是解题的关键．
