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专题 1.2 一定是直角三角形吗
（专项训练）
1．（2021秋•皇姑区期末）下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3、4、5 B．5、12、13 C．4、5、6 D．1、 、
2．（2018春•防城港期中）下列各组数中，不能满足勾股定理的逆定理是（ ）
A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，5，10
3．（2021秋•北碚区校级期末）已知a，b，c是△ABC的三条边，则下列条件不能判定
△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a＝2，b＝ ，c＝3 B．∠A+∠B＝∠C
C．（a+b）2+（a﹣b）2＝2c2 D．∠A：∠B：∠C＝2：3：4
4．（2021秋•龙口市期末）在下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．a＝32，b＝42，c＝52 B．a＝4，b＝5，c＝6
C．a＝9，b＝12，c＝15 D．a：b：c＝1：1：2
5．（2021秋•滨江区校级期中）点A，B，C，在平面直角坐标系的位置如图所示．
（1）分别写出点A，B，C的坐标．
（2）连接AB，BC，CA，判断△ABC的形状并说明理由．6．（2021春•浦北县期末）如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，点D是BC边上一
点，BD＝5，AD＝12．
（1）求证：△ADB是直角三角形；
（2）求BC的长度．
7.（2021秋•福田区校级期末）如图，四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝
12，∠B＝90°．
（1）连接AC，求AC的长．
（2）求四边形ABCD的面积．
8.如图，已知CD＝3cm，AD＝4cm，∠ADC＝90°，BC＝12cm，AB＝13cm，求阴影部分的
面积．
9．（2021春•河东区期末）如图，某港口 P位于东西方向的海岸线上．“综合执法 1
号”、“综合执法2号”轮船同时离开港口，各自沿一定方向执法巡逻，“综合执法 1号”每小时航行16nmile，“综合执法2号”每小时航行12nmile，它们离开港口一个半小
时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．
（1）求PQ，PR的长度；
（2）如果知道“综合执法1号”沿北偏东61°方向航行，能知道“综合执法2号”沿哪
个方向航行吗？
10．下面各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，16，25 B．0.3，0.4，0.5
C．1，3，2 D．7，24，25
11．（2020春•当涂县期末）三个正整数a，b，c，如果满足a2+b2＝c2，那么我们称这三个
数a，b，c叫做一组勾股数．如32+42＝52，则3，4，5就是一组勾股数．请写出与3，
4，5不同的一组勾股数 ．
12．（2019春•洛阳期中）探索勾股数的规律：
观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…可
发现，4＝ ，12＝ ，24＝ …请写出第5个数组： ．
13.（2019春•合水县期末）观察下列式子：
当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5
n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10
n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17…
根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数 a＝
，b＝ ，c＝ ．专题 1.2 一定是直角三角形吗
（专项训练）
1．（2021秋•皇姑区期末）下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3、4、5 B．5、12、13 C．4、5、6 D．1、 、
【答案】C
【解答】解：A、32+42＝52，故是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、52+122＝132，故是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、42+52≠62，故不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、12+（ ）2＝（ ）2，故是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C
2．（2018春•防城港期中）下列各组数中，不能满足勾股定理的逆定理是（ ）
A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，5，10
【答案】D
【解答】解：A、32+42＝52，即满足勾股定理的逆定理，故本选项错误；
B、62+82＝102，即满足勾股定理的逆定理，故本选项错误；
C、52+122＝132，即满足勾股定理的逆定理，故本选项错误；
D、72+52＝102，即不满足勾股定理的逆定理，故本选项正确；
故选：D．
3．（2021秋•北碚区校级期末）已知a，b，c是△ABC的三条边，则下列条件不能判定
△ABC是直角三角形的是（ ）A．a＝2，b＝ ，c＝3 B．∠A+∠B＝∠C
C．（a+b）2+（a﹣b）2＝2c2 D．∠A：∠B：∠C＝2：3：4
【答案】D
【解答】解：A．由a＝2，b＝ ，c＝3可得a2+b2＝c2，能判定△ABC是直角三角形，
不合题意；
B．由∠A+∠B＝∠C可得∠C＝90°，能判定△ABC是直角三角形，不合题意；
C．由（a+b）2+（a﹣b）2＝2c2可得a2+b2＝c2，能判定△ABC是直角三角形，不合题
意；
D．由∠A：∠B：∠C＝2：3：4可得∠A＜∠B＜∠C＜90°，不能判定△ABC是直角三
角形，符合题意；
故选：D．
4．（2021秋•龙口市期末）在下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．a＝32，b＝42，c＝52 B．a＝4，b＝5，c＝6
C．a＝9，b＝12，c＝15 D．a：b：c＝1：1：2
【答案】C
【解答】解：A．因为（32）2+（42）2≠（52）2，所以不能组成直角三角形，不合题
意；
B．因为42+52≠62，所以不能组成直角三角形，不合题意；
C．因为92+122＝152，所以能组成直角三角形，符合题意；
D．因为12+12≠22，所以不能组成直角三角形，不合题意；
故选：C．
5．（2021秋•滨江区校级期中）点A，B，C，在平面直角坐标系的位置如图所示．
（1）分别写出点A，B，C的坐标．
（2）连接AB，BC，CA，判断△ABC的形状并说明理由．【答案】（1）A（3，2），B（2，﹣3），C（﹣3，﹣2） （2）△ABC是直角三角
形
【解答】解：（1）A（3，2），B（2，﹣3），C（﹣3，﹣2）；
（2）由勾股定理得：
AB＝ ，BC＝ ， ，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形．
6．（2021春•浦北县期末）如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，点D是BC边上一
点，BD＝5，AD＝12．
（1）求证：△ADB是直角三角形；
（2）求BC的长度．
【答案】（1）略 （2）BC=14
【解答】解：（1）在△ABD中，
∵AB＝13，BD＝5，AD＝12，
∴BD2+AD2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，
∴BD2+AD2＝AB2
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
即△ADB是直角三角形；（2）在Rt△ACD中，由勾股定理得， ，
∴BC＝BD+CD＝5+9＝14．
7.（2021秋•福田区校级期末）如图，四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝
12，∠B＝90°．
（1）连接AC，求AC的长．
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1） AC=5 （2）36
【解答】解：（1）连接AC，
在△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴ ；
（2） ，
在△ACD中，∵AD＝12，AC＝5，CD＝13，
∴AD2+AC2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴ ，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABC +S△ACD ＝6+30＝36，
答：四边形ABCD的面积为36．8.如图，已知CD＝3cm，AD＝4cm，∠ADC＝90°，BC＝12cm，AB＝13cm，求阴影部分的
面积．
【解答】解：由勾股定理得AC＝ ＝5cm，
∵BC＝12cm，AB＝13cm，AC2+BC2＝52+122＝132，
故△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
故四边形ABCD的面积＝S△ABC ﹣S△ACD
＝ BC•AC﹣ AD•CD
＝ ×12×5﹣ ×4×3
＝30﹣6
＝24cm2．
答：阴影部分的面积为24cm2．
9．（2021春•河东区期末）如图，某港口 P位于东西方向的海岸线上．“综合执法 1
号”、“综合执法2号”轮船同时离开港口，各自沿一定方向执法巡逻，“综合执法 1
号”每小时航行16nmile，“综合执法2号”每小时航行12nmile，它们离开港口一个半
小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．
（1）求PQ，PR的长度；
（2）如果知道“综合执法1号”沿北偏东61°方向航行，能知道“综合执法2号”沿哪
个方向航行吗？【答案】（1） 24海里 （2）北偏西29°方向
【解答】解：（1）由题意可得：RP＝12×1.5＝18（海里），PQ＝16×1.5＝24（海
里）；
（2）能，
理由：∵RP＝12×1.5＝18海里，PQ＝16×1.5＝24海里，QR＝30海里，
∵182+242＝302，
∴△RPQ是直角三角形，
∴∠RPQ＝90°，
∵“综合执法1号”沿北偏东61°方向航行，
∴∠QPS＝61°，
∴∠SPR＝90°﹣61°＝29°，
∴“综合执法2号”沿北偏西29°方向航行方向航行．
10．下面各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，16，25 B．0.3，0.4，0.5
C．1，3，2 D．7，24，25
【答案】D
【解答】解：A．∵92+162≠252，∴不是勾股数，不符合题意；
B．∵0.3，0.4，0.5不是整数，∴不是勾股数，不符合题意；
C．∵12+22≠32，∴不是勾股数，不符合题意；
D．∵72+242＝252，∴是勾股数，符合题意．
故选：D．
11．（2020春•当涂县期末）三个正整数a，b，c，如果满足a2+b2＝c2，那么我们称这三个
数a，b，c叫做一组勾股数．如32+42＝52，则3，4，5就是一组勾股数．请写出与3，4，5不同的一组勾股数 ．
【答案】 6 ， 8 ， 10 （答案不唯一）
【解答】解：与3，4，5不同的一组勾股数可以为6，8，10．
故答案为6，8，10（答案不唯一）．
12．（2019春•洛阳期中）探索勾股数的规律：
观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…可
发现，4＝ ，12＝ ，24＝ …请写出第5个数组： ．
【答案】 11 ， 60 ， 61
【解答】解：∵①3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；
②5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；
③7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；
④9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；
⑤11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1，
故答案为：11，60，61．
13.（2019春•合水县期末）观察下列式子：
当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5
n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10
n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17…
根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数 a＝
，b＝ ，c＝ ．
【答案】2n，n2﹣1，n2+1
【解答】解：∵当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5
n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10
n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17…
∴勾股数a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1．
故答案为：2n，n2﹣1，n2+1．
