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专题1.29 《特殊平行四边形》全章复习与巩固（培优篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，菱形OABC的顶点O与原点重合，点C在x轴上，点A的坐标为（3，4）．
将菱形OABC绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点B的坐标为
（ ）
A．（-8，-4） B．（-9，-4） C．（-9，-3） D．（-8，-3）
2．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将 ABD沿射线BD方向平移，
得到 EFG，连接EC、GC．则EC+GC的最小值为（ ） △
△
A．2 B．4 C．2 D．4
3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），四边形OABC是菱形，
，以OB为边作菱形 ，使顶点 在OC的延长线上，再以 为边作菱
形 ，使顶点 在 的延长线上，再以 为边作菱形 ，使顶点 在
的延长线上，按照此规律继续下去，则 的坐标是（ ）
A． B．
C． D．4．如图，点 ， 分别在菱形 的边 ， 上，点 ， 分别在 ，
的延长线上，且 ．连结 ， ， ， ，若菱形 和四边
形 的面积相等，则 的值为（ ）
A． B． C． D．1
5．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为
DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．4 B．8 C． D．
6．如图，在矩形 中， ， ， 是对角线的交点，过 作
于点 ， 的延长线与 的平分线相交于点 ， 与 交于点 .给出下
列四个结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确结论有( ).A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，四边形ABCD是矩形纸片， ，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重
合，折痕为EF．展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕为BM，
再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．有如下结论：① ；②
；③△BMG是等边三角形；④ ；⑤P为线段BM上一动点，H是线段BN
上的动点，则 的最小值是 ．其中正确结论有（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
8．如图，将四边形纸片 沿过点 的直线折叠，使得点 落在 上的点 处，
折痕为 ；再将 ， 分别沿 ， 折叠，此时点 ， 落在 上的同
一点 处．下列结论不正确的是（ ）
A． 是 的中点 B．
C．当四边形 是平行四边形时， D．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， 分别以AC， BC为边向外作正方形ACDE与正方形BCFG， H为EG的中点，连接DH，FH．记△FGH的面积为S，△CDH的面积为
1
S，若S－S＝6，则AB的长为（ ）
2 1 2
A． B． C． D．
10．如图，正方形 边长为4，点E是 边上一点，且 ．P是对角
线 上一动点，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，正方形纸片 的顶点A的坐标为（-1，3），在
A B C D
1 1 1 1
纸片中心挖去边长为 的正方形 ，将该纸片以 为旋转中心进行逆时针旋转，每
次旋转45°，则第298次旋转后，点 和点 的坐标分别为（ ）
A．（-3，-1），（1，0） B．（-3，-1），（0，-1）C．（3，1），（0，-1） D．（3，1），（1，
0）
12．如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边的点P处（不与点A，
点D重合），点C落在G点处，PG交DC于点H，连接BP，BH．BH交EF于点M，连接
PM．下列结论：①PB平分∠APG；②PH=AP+CH；③BM= BP，④若BE= ，
AP=1，则S BEPM= ，其中正确结论的序号是（ ）
四边形
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
二、填空题
13．如在菱形 中， ， ，E为 的中点，P为对角线 上的
任意一点，则 的最小值为__________．
14．如图，已知 中， ， ，将 沿射线 方向平移m个
单位得到 ，顶点A，B，C分别与D，E，F对应，若以A，D，E为顶点的三角形是
等腰三角形，则m的值是___________．
15．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC、BD交于点O，BD＝4，点E
为OD的中点，点F为AB上一点，且AF＝3BF，点P为AC上一动点，连接PE、PF，则PF﹣PE的最大值为 ___．
16．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE翻
折180°，得到△AB′E，点B的对应点是点B′．若AB′⊥BD，BE＝2，则BB′的长是___．
17．如图，在矩形ABCD中， 是BC上一动点，将 沿AE折叠后得到 ，
点 在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点 ， ， ．
当点E是BC的中点时，线段GC的长为______；点E在运动过程中，当△CFE的周
长最小时，BE的长为______．
18．如图，在等腰 中， ， ，点 是 上一点，点 为
射线 （除点 外）上一个动点，直线 交射线 于点 ，若 ， ，
的面积的最小值为________．19．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥AC，AD＝AC，∠BAD＝105°，点E和
点F分别是AC和CD的中点，连接BE，EF，BF，若CD＝8，则 BEF的面积是_____．
20．如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，点P是边AD上的动点，沿直线PE将
APE对折，点A落在点F处. 已知AB=6，AD=4，连结CF、CE，当 CEF恰为直角三角
△形时，AP的长度等于___________. △
21．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，
△ECF的周长为8，则正方形ABCD的边长为_____．
22．如图， 中， ， ， ，点 为 边上任意一点，
将 沿 折叠，点 的对应点为点 ，当 时， 的长为______．23．如图，正方形 的边长为4， ， ， 分别是边 ， ， 上的一点，
将正方形 沿 折叠，使点 恰好落在 边的中点 处，点 的对应点为点 ，则
折痕 的长为______．
24．图，正方形 的边长为6，点 ， 分别在边 ， 上，若 是 的中
点， ，则 的长为 _____．
三、解答题
25．直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，菱形 如图放置在平面
直角坐标系中，其中点 在 轴负半轴上，直线 经过点 ，交 轴于点 ．
(1)请直接写出点 ，点 的坐标，并求出 的值；
(2)点 是线段 上的一个动点（点 不与 、 重合），经过点 且平行于 轴
的直线交 于 ，交 于 当四边形 是平行四边形时，求点 的坐标；(3)点 是 轴正半轴上的一个动点， 是平面内任意一点， 为何值时，以点 、
、 、 为顶点的四边形是菱形？
26．综合与实践：
如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为 ，点 ，且a．b满
足： ，点C与点B关于y轴对称，点P，点E分别是x轴，直线
上的两个动点．
(1)求点C的坐标；
(2)连接 ， ．
①如图1，当点P在线段 （不包括B，O两个端点）上运动，若 为直角三角
形，F为 的中点，连接 ， ，试判断 与 的关系，并说明理由；
②如图2，当点P在线段 （不包括O，C两个端点）上运动，若 为等腰三角
形，M为底边 的中点，连接 ，请直接写出 与 的数量关系．27．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆
放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、
CD上，连接AF；取AF中点M，EF的中点N，连接MD，MN．
(1)连接AE，求证： AEF是等腰三角形；
猜想与发现： △
(2)在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．
结论1：DM、MN的数量关系是___________________________；
结论2：DM、MN的位置关系是___________________________；
拓展与探究：
(3)如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则
（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
28．正方形ABCD的边长为6，点E是BC边上一动点，点F是CD边上一动点，过点
E作AF的平行线，过点F作AE的平行线，两条线交于点G．(1)如图1，若BE＝DF，求证：四边形AEGF是菱形；
(2)如图2，在（1）小题条件下，若∠EAF＝45°，求线段DF的长；
(3)如图3，若点F运动到DF＝2的位置，且∠EAF依然保持为45°，求四边形AEGF
的面积．
参考答案
1．A
【分析】
过点A作AE⊥OC于E，设第一次旋转点B的对应点为B，作BF⊥y轴于F，利用全等
1 1
三角形的性质求出的坐标，根据循环性规律，得出第2022次旋转结束时，点B的坐标即可．
解：过点A作AE⊥OC于E，设第一次旋转点B的对应点为B，作BF⊥y轴于F，
1 1
∵点A的坐标为（3，4），
∴ ，
∵菱形OABC的顶点O与原点重合，
∴ ，AB∥OC，
∴点B的坐标为（8，4），
延长BA交y轴于H，
∴BH⊥OF，
∴∠BHO=∠BFO=90°，
1
∵∠BOB =90°，
1
∴∠BOH+∠FOB =90°，∠BOH+∠OBH=90°，
1
∴∠FOB =∠OBH，
1
∵OB=OB，
1
∴△OBH≌△OBF，
1
∴FB=OH=4，FO=BH=8，
1 1B 的坐标为（-4，8）；
1
同理可求，第二次旋转点B的坐标为（-8，-4）,
第三次旋转点B的坐标为（4，-8）,
第四次旋转点B的坐标为（8，4）,
四次一循环，
∵2022÷4=505……2，
故第2022次旋转结束时，点B的坐标（-8，-4）,
故选：A．
【点拨】本题考查了菱形的性质、勾股定理、点的坐标变换，解题关键是熟练运用相
关性质求出变换后点的坐标，发现规律求解．
2．B
【分析】
连接AE，作点D关于直线AE的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，CH．由平移和
菱形的性质可证明四边形CDEG为平行四边形，即得出 ，从而可得出
，即CH的长为 的最小值．最后根据等边三角形的判定
和性质，含30度角的直角三角形的性质与勾股定理求出CH的长即可．
解：如图，连接AE，作点D关于直线AE的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，
CH．
由平移的性质可知 ， ．∵四边形ABCD为菱形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴四边形CDEG为平行四边形，
∴ ．
由轴对称的性质可知 ， ， ，
∴ ，
∴ ，即CH的长为 的最小值．
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 为顶角是120°，底角为30°的等腰三角形，
结合含30°角的直角三角形和勾股定理即可求 ．
故选B．
【点拨】本题考查平移的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形
的判定和性质，轴对称变换，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，综合性
强，为选择题中的压轴题．正确的作出辅助线是解题关键．
3．A
【分析】
连接AC、BC ，分别交OB、OB 于点D、D，利用菱形的性质及勾股定理即可得OB
1 1 1
的长，进一步在菱形OBB C 计算出OB，过点B 作BM⊥x轴于M，利用勾股定理计算出
1 1 1 1 1
BM，OM，从而得B 的坐标，同理可得B，B，B，B，B，B，B，B，B ，B ，B ，
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
根据循环规律可得B 的坐标．
2021解：如图所示，连接AC， 分别交OB， 与D、 ，
∵点A的坐标为（1，0），
∴OA=1，
∵四边形OABC是菱形，∠AOC=60°，
∴OC=OA=1，OB=2OD，∠COD=30°，∠CDO=90°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOC =90°-60°=30°，
1 1
∵四边形OBB C 是菱形，
1 1
，
在Rt△OC D 中 ，
1 1
∴ ，
∴OB=2OD =3，
1 1
过点B 作BM⊥x轴于点M，
1 1
在Rt△OMB 中，
1
∴
∴ ，
同理可得 ，，
，
，
由此可以发现规律“每经过12次作图后点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每
次菱形的边长变成原来的 倍即 ，
∵2021÷12=168……5，
∴B 的纵坐标符号与B 的相同，则B 在y轴的负半轴上，
2021 5 2021
又
∴B 的坐标为 ，
2021
故选A
【点拨】本题考查平面直角坐标系找规律，利用菱形的性质处理条件，掌握循环规律
的处理方法是解题的关键．
4．D
【分析】
根据题意先证四边形EFGH是平行四边形，由平行四边形的性质求出EH∥AC，进而由
面积关系进行分析即可求解．解：连接HC、AF、HF、AC，HF交AC于O，连接EG．
∵四边形ABCD是菱形，
∠D=∠B，AB=CD=AD=BC，
∵AE=AH=CG=CF，
∴DH=BF，BE=DG，
在△DHG和△BFE中，
，
∴△DHG≌△BFE，
∴HG=EF，∠DHG=∠BFE，
∵BC∥AD，
∴∠BFE=∠DKF，
∴∠DHG=∠DKG，
∴HG∥EF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∵AH=CF，AH∥CF，
∴四边形AHCF是平行四边形，
∴AC与HF互相平分，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴HF与EG互相平分，
∴HF、AC、EG互相平分，相交于点O，
∵AE=AH，DA=DC，BE∥DC，
∴∠EAH=∠D，
∴∠AEH=∠AHE=∠DAC=∠DCA，
∴EH∥AC，∴S AEH=S EHO=S AHO= S AHC= S EFGH= S ABCD，
四边形 四边形
△ △ △ △
∴S AHC= S ABCD=S ADC，
四边形
△ △
∴AD=AH，
∴ =1.
故选：D．
【点拨】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，
平行线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用
辅助线，证明EH∥AC是解题的关键．
5．C
【分析】
取CD中点H，连接AH，BH，根据矩形的性质题意得出四边形AECH是平行四边形，
可知 ，然后根据三角形中位线的性质得 ，得出点P在AH上，然后判断BP
的最小值，再求出值即可.
解：如图，取CD中点H，连接AH，BH，设AH与DE的交点为O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4， ，
∵点E是AB中点，点H是CD中点，
∴CH＝AE＝DH＝BE＝4，
∴四边形AECH是平行四边形，
∴ ，
∵点P是DF的中点，点H是CD的中点，
∴PH是△CDF的中位线，
∴ ，
∴点P在AH上，∴当BP⊥AH时，此时点P与H重合，BP有最小值，
∵AD＝DH＝CH＝BC＝4，
∴∠DHA＝∠DAH＝∠CBH＝∠CHB＝45°， ，
∴∠AHB＝90°，
∴BP的最小值为 .
故选：C．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，中位线的性质和定义等，
确定点P的位置是解题的关键．
6．C
【分析】
利用矩形性质及勾股定理， 所对的直角边等于斜边的一半，可知 ，进
一步可得 为等边三角形，得到 ，再利用角平分线的性质可证明
，故②正确；证明 ，即可知③正确；求出 ，
，即可知④正确；无法证明F是AH中点，故①错误．
解：∵ 为矩形， ， ，
∴ ， ， ，
∵AF平分 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ 为等边三角形，且 ，
∴ ，
同理： 为等边三角形，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，故③正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
∵ ，但是无法证明F是AH中点，故①错误；
综上所述：正确的有②③④．
故选：C．
【点拨】本题考查矩形性质及勾股定理， 所对的直角边等于斜边的一半，等边三
角形，角平分线，三角形外角的定义及性质．解题的关键是熟练掌握以上知识点，证明
， ；证明 ；求出 ，
．
7．C
【分析】
①首先根据EF垂直平分AB，可得AN=BN，然后根据折叠的性质，可得AB=BN，据
此判断出△ABN为等边三角形，即可判断出∠ABN=60°；②首先根据∠ABN=60°，∠ABM=
∠NBM，求出∠ABM=∠NBM=30°，然后在Rt△ABM中，根据AB=6，求出AM的大小即可；
③求出∠AMB=60°，得到∠BMG=60°，根据AD∥BC，求出∠BGM=60°即可；④根据勾股
定理求出EN即可；⑤根据轴对称图形的性质得到AP=PN，PN+PH=AH，且当AH⊥BN时，
PN+PH最小，应用勾股定理，求出AH的值即可．
解：如图，连接AN，
∵EF垂直平分AB，∴AN=BN，
根据折叠的性质，可得AB=BN，
∴AN=AB=BN，
∴ ABN为等边三角形，
△
∴∠ABN=60°，∠PBN= 60°=30°，即结论①正确；
∵∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，
∴∠ABM=∠NBM= 60°=30°，
∴BM=2AM，
∵AB=6， ，
∴62+AM2=（2AM）2，
解得 ，即结论②不正确；
∵∠AMB=90°-∠ABM=60°，
∴∠BMG=∠AMB=60°，
∵ AD∥BC，
∴∠MBG=∠AMB=60°，
∴∠BGM=60°，
△BMG是等边三角形；
即结论③正确；
∵BN=AB=6，BN=3，
∴ ，即结论④正确；
连接AN，
∵ ABM与△NBM关于BM轴对称，
∴A△P=NP，
∴PN+PH=AP+PH，∴当点A、P、H三点共线时，AP+PH=AH，且当AH⊥BN时AH有最小值，
∵AB=6，∠ABH=60°，
∴∠BAH=30°，
∴BH=3，
∴ ，
∴PN＋PH的最小值是3 ，即结论⑤正确；
故选：C．
【点拨】此题考查了矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，等边三
角形的判定及性质，直角三角形30度角的性质，熟记等边三角形的判定及性质是解题的关
键．
8．B
【分析】
由折叠的性质可得DM＝MN，CM＝MN，即M是CD的中点；故①正确；∠B＝
∠AMP，∠DAM＝∠MAP＝∠PAB，∠DMA＝∠AMN，∠CMP＝∠PMN，∠D＝∠ANM，
∠C＝∠MNP，由平角的性质可得∠D+∠C＝180°，∠AMP＝90°，可证AD∥BC，由平行线
的性质可得∠DAB＝90°，由平行四边形和折叠的性质可得AN＝PN，由直角三角形的性质
可得AB＝ PB＝ MN．
解：由折叠的性质可得：DM＝MN，CM＝MN，
∴DM＝CM，
即M是CD的中点；故A正确；
由折叠的性质可得：∠B＝∠AMP，∠DAM＝∠MAP＝∠PAB，∠DMA＝
∠AMN，∠CMP＝∠PMN，∠D＝∠ANM，∠C＝∠MNP，
∵∠MNA+∠MNP＝180°，
∴∠D+∠C＝180°，
∴AD∥BC，故D正确；
∴∠B+∠DAB＝180°，
∵∠DMN+∠CMN＝180°，
∴∠DMA+∠CMP＝90°，
∴∠AMP＝90°，∴∠B＝∠AMP＝90°，
∴∠DAB＝90°，
若MN⊥AP，
则∠ADM＝∠MNA＝∠C＝90°，
则四边形ABCD为矩形及AB∥CD，而题目中无条件证明此结论，故B不正确；
∵∠DAB＝90°，
∴∠DAM＝∠MAP＝∠PAB＝30°，
由折叠的性质可得：AD＝AN，CP＝PN，
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AD＝PC，
∴AN＝PN，
又∵∠AMP＝90°，
∴MN＝ AP，
∵∠PAB＝30°，∠B＝90°，
∴PB＝ AP，
∴PB＝MN
∴AB＝ PB＝ MN，故C正确；
故选：B．
【点拨】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质及直角三角形的性质等知识，熟练
掌握相关知识点并灵活运用这些性质是解题的关键．
9．A
【分析】
连接AD交EC于点M，连接BF交CG于点N，设 ，分别求出 ，
， ， ， ， ，，分别求得 ， ，由 得， ，由勾股定理可得结论．
解：连接AD交EC于点M，连接BF交CG于点N，
∵四边形ACDE，BCFG是正方形，
∴ ， ，
设 ，
∵∠ ，
∴
∴ ，
∴ ，
同理可证： ，
∵ ，
∴ ，
∵H为EG的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，又∵ ，
∴ ，
整理得， ，
∵∠ ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本
题的关键．
10．D
【分析】
连接AC，作 ，证明当 取最小值时，A，P，G三点共线，且
，此时最小值为AG，再利用勾股定理， 所对的直角边等于斜边的一半即可求
出结果．
解：连接AC，作
∵ 是正方形且边长为4，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 取最小值时，A，P，G三点共线，且 ，此时最小值为
AG，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，∴ ，解得： ，
设 ，则 ，
∵ ，∴ ，解得：
∴ ，
故选：D
【点拨】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理， 所对的直角边等于斜边
的一半，解题的关键是证明当 取最小值时，A，P，G三点共线，且 ，
此时最小值为AG．
11．C
【分析】
由该纸片以О为旋转中心进行逆时针旋转，每次旋转45°，可得旋转一周
次，由 ，可得第298次旋转后，实际是将纸片逆时针旋转37
周后再转90°，由正方形纸片ABCD对角线中点位于原点，可求点C（1，-3）由 ，
根据勾股定理， 求出B（-1，0），连结OD与OC，过D作ED⊥x轴
1
于E，CF⊥y轴于F，可证 FOC≌ EOD（AAS），可求点D（3，1），与点C （0，-1）
1
即可． △ △
解：∵该纸片以О为旋转中心进行逆时针旋转，每次旋转45°，
∴旋转一周 次，
∵ ，
∴第298次旋转后，实际是将纸片逆时针旋转37周后再转90°，
∵正方形纸片ABCD对角线中点位于原点，∴点A与点C关于点O成中心对称，
∵点A（-1，3），
∴点C（1，-3），
∵ ，
又∵ ，
根据勾股定理， ，
∴ ，
∴B（-1，0），
1
连结OD与OC，过D作ED⊥x轴于E，CF⊥y轴于F，
绕点O逆时针旋转90°后点C位置转到点D位置，
∵四边形ABCD为正方形， ， ，
∴∠FOC+∠COE=∠COE+∠EOD=90°，
∴∠FOC=∠EOD，
在 FOC和 EOD中，
△ △
，
∴△FOC≌△EOD（AAS），
∴CF=DE=1，OF=OE=3，
∴点D（3，1），
∴点B 转到C 位置，点C （0，-1），
1 1 1
∴第298次旋转后，点C和点 的坐标分别为（3，1）与（0，-1）．
故选：C．【点拨】本题主要考查坐标与旋转规律问题，涉及了正方形性质、中心对称性质、勾
股定理应用、三角形全等判定与性质等知识，熟练掌握正方形旋转性质、中心对称性质、
勾股定理应用、三角形全等判定与性质，根据旋转一周8次，确定旋转37周再转90°是解
题关键．
12．B
【分析】
根据折叠的性质， ， ，从而得到 ，根据
直角三角形两锐角互余，得到 ，即可判定①；过点B作BQ⊥PH，利用全等
三角形的判定与性质，得到 ， ，即可判定②；通过证明 为等腰直
角三角形，即可判定③；根据 求得对应三角形的面积，即可判定
④．
解：由题意可得： ， ，
∴ ， ，
∴ ，
由题意可得： ，
∴ ，
∴PB平分∠APG；①正确；
过点B作BQ⊥PH，如下图：∴
在 和 中，
∴
∴
∵四边形ABCD为正方形
∴ ，
又∵
∴ ，
∴
∴ ，②正确；
由折叠的性质可得：EF是PB的中垂线，
∴
由题意可得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，即 ，
∴BM= BP，③正确；
若BE= ，AP=1，则 ，
在 中，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
，④错误，
故选B，
【点拨】此题考查了正方形与折叠问题，涉及了折叠的性质，正方形的性质，直角三
角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，
勾股定理等知识，综合性比较性，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．
13．
【分析】
连接AC，CE，则CE的长即为AP+PE的最小值，再根据菱形ABCD中，
得出∠ABC的度数，进而判断出△ABC是等边三角形，故△BCE是直角三角
形，根据勾股定理即可得出CE的长．
解：连接AC，CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴A、C关于直线BD对称，
∴CE的长即为AP+PE的最小值，
∵ ，
∴ ，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是AB的中点，
∴ ，∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟知菱形的性质及两点之间线段最短是解
答此题的关键．
14． 或5或8
【分析】
△ADE是等腰三角形，所以可以分3种情况讨论：①当AD＝AE时，△ADE是等腰三
角形．作AM⊥BC，垂足为M，利用勾股定理列方程可得结论；②当AD＝DE时，四边形
ABED是菱形，可得m＝5；③当AE＝DE时，此时C与E重合，m＝8．
解：分3种情况讨论：
①当AD＝AE时，如图1，
过A作AM⊥BC于M，
∵AB＝AC＝5，BM＝ BC＝4，
∴AM＝3，
由平移性质可得AD＝BE＝m，
∴AE＝m，EM＝4−m，
在Rt△AEM中，由勾股定理得：AE2＝AM2＋EM2，
∴m2＝32＋（4−m）2，
m＝ ，
②当DE＝AD时，如图2，由平移的性质得 ， ，
∴四边形ABED是菱形，
∴AD＝BE＝ED＝AB＝5，即m＝5；
③当AC＝DE时，如图3，此时C与E重合，
m＝8；
综上所述：当m＝ 或5或8时，△ADE是等腰三角形．
故答案为： 或5或8．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、平移的性质，解题的关键是分三
种情况求出BE的长；本题属于基础题，难度不大，但在解决该题时，部分同学会落掉两
种情况，故在解决该题型题目时，全面考虑等腰三角形的三种情况是关键．
15．1
【分析】
取OB中点E'，连接PE'，作射线FE'交AC于点P'．则PE＝PE'，当P与P'重合，P'、
E'、F三点在同一直线上时，PF﹣PE'有最大值，即为FE'的长．
解：如图，取OB中点E'，连接PE'，作射线FE'交AC于点P'．
则PE＝PE'，∴PF﹣PE＝PF﹣PE'≤FE'，
当P与P'重合，P'、E'、F三点在同一直线上时，
PF﹣PE'有最大值，即为FE'的长，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠ABD＝60°，∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
∴AB＝BD＝AD＝4．
∴OD＝OB＝2．
∵点E'为OB的中点，E'B＝1，AF＝3BF，
∴BF AB＝1，
∵∠ABD＝60°，
∴△BE'F为等边三角形，
∴E'F＝FB＝1．
故PF﹣PE的最大值为1．
故答案为：1．
【点拨】本题考查了轴对称﹣最大值问题、菱形的性质、等边三角形的判定与性质，
熟练运用轴对称的性质和三角形三边关系是解题的关键．
16．
【分析】
根据菱形ABCD中，∠BAD＝60°可知△ABD是等边三角形，结合三线合一可得
∠BAB'＝30°，求出∠ABB'＝75°，可得∠EB'B＝∠EBB'＝45°，则△BEB'是直角三角形，借
助勾股定理求出BB'的长即可．
解：∵菱形ABCD，
∴AB＝AD，AD//BC，∵∠BAD＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∵AB′⊥BD，
∴∠BAB' ，
∵将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，
∴BE＝B'E，AB＝AB'，
∴∠ABB' ，
∴∠EBB'＝∠ABE﹣∠ABB'＝120°﹣75°＝45°，
∴∠EB'B＝∠EBB'＝45°，
∴∠BEB'＝90°，
在Rt△BEB'中，由勾股定理得：BB' ，
故答案为：2 ．
【点拨】本题考查了翻折的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质、以及勾股定理等
知识，明确翻折前后对应线段相等是解题的关键．
17． ##
【分析】
连接GE，根据点E是BC的中点以及翻折的性质可以求出BE＝EF＝EC，然后利用
“HL”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证FG＝CG，设GC＝
x，表示出AG、DG，然后在 中，利用勾股定理列式进行计算即可得解；先判断出
时， 的周长最小，最后用勾股定理即可得出结论．
解：①如图，连接GE，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC，∵ 沿AE折叠后得到 ，
∴BE＝EF，
∴EF＝EC，
∵在矩形ABCD中，
∴∠C＝90°，
∴∠EFG＝90°，
∵在 和 中，
∴ ，
∴GF＝GC；
设 ，则 ， ，
在 中， ，
解得x＝ ，即 ；
②如图：由折叠知，∠AFE＝∠B＝90°，EF＝BE，
∴ ，
∴当CF最小时， 的周长最小，
∵ ，
∴当点A，F，C在同一条直线上时，CF最小，
由折叠知，AF＝AB＝3，
在 中，AB＝3，BC＝AD＝4，
∴AC＝5，
∴ ，在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的
判定和性质，勾股定理，解题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题．
18．6
【分析】
设点M是PD的中点，过点M作直线 与射线CA、CB分别交于点 ，得到当
点M是PD的中点时， 的面积最小，再根据直角三角形的性质及三角形的面积公式
求解即可．
解：
设点M是PD的中点，过点M作直线 与射线CA、CB分别交于点 ，则
点M不是 的中点
当 时，在 上截取 ，连接DE
当 时，同理可得
当点M是PD的中点时， 的面积最小如图，作 于H
则
，
在等腰 中，
过点D作 交于K
四边形AKDH是矩形
故答案为：6
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、直角三角形的性
质，熟练掌握知识点是解题的关键．
19．
【分析】
过点E作EH⊥BF于H，利用三角形的中位线定理以及直角三角形斜边中线定理证明
△BFE是顶角为120°的等腰三角形即可解决问题．
解：过点E作EH⊥BF于H ．∵AD=AC，∠DAC=90°，CD=8，
∴AD=AC=4
∵DF=FC，AE=EC，
∴EF= AD=2 ， EF//AD，
∴∠FEC=∠DAC=90°，
∵∠ABC=90°，AE=EC，
∴BE=AE=EC=2 ，
∴EF=BE=2 ，
∵∠BAD=105°， ∠DAC=90°，
∴∠BAE=105°-90°=15°，
∴∠EAB=∠EBA=15° ，
∴∠CEB=∠EAB+∠EBA=30°，
∴∠FEB=90°+30°=120°，
∴∠EFB=∠EBF=30°，
∵EH⊥BF，
∴EH= EF= ， FH= EH= ，
∴ BF=2FH=2 ，
S EFB=
△
故答案为 ．
【点拨】本题考查三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判
定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20． 或1
【分析】
分∠CFE=90°和∠CEF=90°两种情况根据矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定
及性质求解．
解：①如图，当∠CFE=90°时，
∵四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边AB的中点，AB=6，AD=4，
∴∠PAE=∠PFE=∠EBC= 90°，AE=EF=BE=3，
∴∠PFE+∠CFE =180°，
∴P、F、C三点一线，
∴ EFC≌ EBC，
△ △
∴FC=BC=4，EC= =5，∠FEC=∠BEC，
∴∠PEF+∠FEC =90°，
设AP=x，则PC=x+4，
∴ ,
解得x= ；
②如图，当∠CEF=90°
∴∠CEB+2∠PEA =90°，
∴∠CEB+∠PEA =90°-∠PEA，延长PE、CB，二线交于点G，
∵AE=BE，∠PAE=∠GBE =90°，∠AEP=∠BEG，
∴ PAE≌ GBE，
∴△PA=BG，△∠AEP=∠BEG，
∴∠G =90°-∠GEB= 90°-∠PEA，∠CEB+∠PEA =90°-∠PEA，
∴∠G =∠CEB+∠PEA=∠CEB+∠GEB=∠CEG，
∴CE=CBC+BG=BC+AP，
∴5=4+AP，
解得PA=1，
故答案为： 或1．
【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，
等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
21．4
【分析】
将 DAF绕点A顺时针旋转90度到 BAF′位置，根据旋转的性质得出∠EAF′=45°，进
而得出△△FAE≌△EAF′，即可得出 △
EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=2BC=8，求出BC即可．
解：将 DAF绕点A顺时针旋转90度到 BAF′位置，
△ △
由题意可得出： DAF≌△BAF′，
∴DF=BF′，∠DA△F=∠BAF′，
∴∠EAF′=45°，
在 FAE和 EAF′中,
△ △
，∴△FAE≌△EAF′（SAS），
∴EF=EF′，
∵△ECF的周长为8，
∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=2BC=8，
∴BC=4，
即正方形的边长为4．
故答案为：4．
【点拨】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出
FAE≌△EAF′是解题关键．
△
22．
【分析】
根据翻折的性质和已知条件可得点 和点 重合，过点 作 ， ，
垂足分别为 ， ，得四边形 是正方形，设 ，得 ，求出
的值，进而可以解决问题．
解：如图，
由折叠可知： ，
，
当 时， ，
在 中，
， ，
，
点 和点 重合，如图，过点 作 ， ，垂足分别为 ， ，由折叠可知： ，
，
四边形 是正方形，
设 ，
，
，
，
解得 ，
，
，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查翻折变换，正方形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是
学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
23．
【分析】
过点H作HG⊥CD于点G，连接DE， DE交FH于点Q，得到∠HGF=∠HGD=90°，
推出∠HFG+∠FHG=90°，根据正方形ABCD中，AD=CD=BC=4，∠A=∠ADC=∠C=90°，得到四边形DAHG中，∠AHG=90°，推出四边形DAHG是矩形，得到GH=AD，GH=CD，根
据折叠知，FH⊥DE，得到∠DQF=90°，推出∠QFD+∠QDF=90°，得到∠GHF=∠CDE，根
据∠HGF=∠C=90°，推出 DCE≌△HGF(ASA)，得到FH=DE，根据E是BC中点，得到
△
CE= BC=2，推出 ，得到FH= ．
解：过点H作HG⊥CD于点G，连接DE， DE交FH于点Q，
则∠HGF=∠HGD=90°，
∴∠HFG+∠FHG=90°，
∵正方形ABCD中，AD=CD=BC=4，∠A=∠ADC=∠C=90°，
∴四边形DAHG中，∠AHG=90°，
∴四边形DAHG是矩形，
∴GH=AD，
∴GH=CD，
由折叠知，FH⊥DE，
∴∠DQF=90°，
∴∠QFD+∠QDF=90°，
∴∠GHF=∠CDE，
∵∠HGF=∠C=90°，
∴△DCE≌△HGF(ASA)，
∴FH=DE，
∵E是BC中点，
∴CE= BC=2，
∴ ，
∴FH=故答案为 ．
【点拨】本题主要考查了正方形，折叠，矩形，全等三角形，勾股定理．解决问题的
关键是熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性
质，勾股定理解直角三角形．
24．
【分析】
延长 到点 ，使 ，连接 ， ，利用 证明 ，得
， ，再证明 ，得 ，设 ，则
， ，再利用勾股定理即可解决问题．
解：：如图，延长 到点 ，使 ，连接 ， ，
∵ 四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵正方形 的边长为6， 是 的中点，
∴ ， ，
，
∵
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
故答案为： ．【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．
熟练掌握半角模型的处理策略是解题的关键．
25．(1) ， ， (2) (3) 或 或
【分析】
（1）首先求出点 、 的坐标，再利用勾股定理求出 的长，再根据菱形的性质可
得答案；
（2）表示出设 ， ，得 ，根据
，可得答案；
（3）若点 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，则 是等腰三角形，分
或 或 三种情形，分别求出 的值．
解：(1) 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
当 时， ，
当 时， ，
， ，
由勾股定理得， ，
四边形 是菱形，
，
，
， ，
将 代入 得， ，
；
(2) ，
，
，点 ，
设 ， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
解得 ，
；
(3) 点 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，
是等腰三角形，
当 时， ，
，
，
当 时，则点 与 重合，
；
当 时，则 ，
解得 ，
综上： 或 或 时，以点 、 、 、 为顶点的四边形是菱形．
【点拨】本题是一次函数综合题，主要考查了直线上点的坐标的特征，平行四边形的
性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等知识，将菱形的存在性问题转化为等腰三角形的
存在性问题是解题的关键．
26．(1) (2)① ， ，理由见分析；②【分析】
（1）利用二次根式的被开方数是非负数求出 ， 的值，可得结论．
（2）①结论： ．利用直角三角形斜边中线的性质证明即可．
②结论： ．如图2中，过点 作 于 ，连接 ， ， ．
想办法证明 ， ，可得结论．
解：(1) ，
又 ，
， ，
， ，
， 关于 轴对称，
．
故答案为： ．
(2)①如图1中，结论： ，
理由： ， ，
， ，
，
，
，
，
， ，
， ，
，．
②结论： ．
理由：如图2中，过点 作 于 ，连接 ， ， ．
， ，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
．
【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，直角三角
形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
27．(1)见分析；(2)相等，垂直；(3)成立，证明见分析.
【分析】
（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出
ABE≌ ADF，得到AE=AF，证明出 AEF是等腰三角形；
△ （2△）DM、MN的数量关系是相等△，位置关系式垂直；
（3）连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MN∥AE，MN= AE，再
有（1）的结论以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．
(1)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，
∵ 是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴CE=CF，
∴BC-CE=CD-CF，
即BE=DF，
∴ ，
∴AE=AF，
∴ 是等腰三角形；
(2)解：相等，垂直；
证明：∵在Rt ADF中,DM是斜边AF的中线，
∴AF=2D△M，
∵点M是AF的中点，点NEF的中点，
∴MN是 AEF的中位线，
∴AE=2M△N，
∵AE=AF，
∴DM=MN；
∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，
∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，
∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，
∴∠DMN=∠BAD=90°，
∴DM⊥MN；
(3)解：（2）中的两个结论还成立，证明：连接AE，交MD于点G，
∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，
∴MN∥AE，MN= AE，
由（1）同理可证，
AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，
又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，
在Rt ADF中，
∵点△M为AF的中点，
∴DM= AF，
∴DM=MN，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠1=∠2，
∵AB∥DF，
∴∠1=∠3，
同理可证：∠2=∠4，
∴∠3=∠4，
∵DM=AM，
∴∠MAD=∠5，
∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，
∵MN∥AE，
∴∠DMN=∠DGE=90°，
∴DM⊥MN．【点拨】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理、直
角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
28．(1)见分析(2) (3)四边形AEGF的面积为30
【分析】
（1）先判定四边形AEGF是平行四边形，证明 ，由全等三角形的
性质得出 ，由菱形的判定可得出结论；
（2）过点F作 于点H，证明 是等腰直角三角形，得出
，则可得出答案；
（3）过点A作AE的垂线，交CD的延长线于点K，过点F作 于点P，证明
△ ，由全等三角形的性质得出 ， ，证明
，由全等三角形的性质得出 ，求出 ，由勾股定理求出
AE和AF的长，最后由平行四边形的面积公式可得出答案．
(1)解：∵ ， ，
∴四边形AEGF是平行四边形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴ ， ，
又∵
∴ ，
∴ ，
∴四边形AEGF是菱形；(2)解：过点F作 于点H，
∵四边形AEGF为菱形，
∴AC平分 ，
∴ ．
又∵四边形ABCD是正方形，
∴ ，
∴ ．
∵ 于点D， 于点H，
∴ ．
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
(3)解：过点A作AE的垂线，交CD的延长线于点K，过点F作 于点P，∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵四边形ABCD是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ．
又∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ．
又∵ ， ， ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴等腰直角三角形 中， ．
又∵四边形AEGF为平行四边形，∴ ．
【点拨】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，菱形的判定，等腰
直角三角形的判定与性质以及全等三角形的判定和性质，判定四边形 AEGF为菱形是解题
的关键．
