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专题 1.5 角平分线
作垂直求面积
【例1】如图， 、 分别平分 、 ， 于点 ， ，
的周长为28，则 的面积为
A．28 B．14 C．21 D．7
【解答】解：连接 ，作 于点 ，作 于点 ，
， 分别平分 和 ， 于点 ，且 ，
，
，
故选： ．
【变式训练1】如图， 中， ，点 在边 上， 平分 ，
， ，则 的面积是A． B． C． D．
【解答】解：过 作 于 ，
平分 ， ，
，
，
的面积 ，
故选： ．
【变式训练2】如图，已知在 中， 是 边上的高线， 平分 ，交 于
点 ， ， ，则 的面积等于
A．16 B．20 C．28 D．40
【解答】解：过 作 于 ，， ， 平分 ， ，
，
，
的面积是
，
故选： ．
【变式训练3】如图，在 中， 是边 上的高， 平分 ，交 于点 ，
， ，则 的面积为
A．16 B．15 C．14 D．13
【解答】解：过 作 于 ，
是 边上的高线， 平分 ，
，
，
的面积为 ，
故选： ．角平分线与面积的关系
【例2】如图， 中， 和 的角平分线交于点 ，连接 、 、 ，若
、 、 的面积分别为 、 、 ，则
A．
B．
C．
D．无法确定 与 的大小
【解答】解：过 点作 于 ， 于 ， 于 ，如图，
和 的角平分线交于点 ，
，
， ， ，
，
，
．
故选： ．
【变式训练1】如图， 的三边 ， ， 的长分别是10，15，20，其三条角平
分线相交于点 ，连接 ， ， ．将 分成三个三角形，则等于 ．
【解答】解：过点 作 于 ， 于 ， 于 ，
是三角形三条角平分线的交点，
，
， ， ，
．
故答案为： ．
【变式训练2】如图，在 中， ， ， ， 是 的角平分
线，设 和 的面积分别是 ， ，则 的值为
A． B． C． D．
【解答】解：过 点作 于 ，如图，
， ， ，
，
是 的角平分线， ， ，
，
．
故选： ．【变式训练3】如图， 是 的三条角平分线的交点，连接 ， ， ，若
， ， 的面积分别为 ， ， ，则下列关系正确的是
A． B． C． D．无法确定
【解答】解：过 点作 于 ， 于 ， 于 ，如图，
是 的三条角平分线的交点，
，
， ，
而 ，
．
故选： ．
求点到边的距离
【例3】如图，在 中， ， 平分 ，交 于点 ， ，
，则点 到 的距离为 ．A．3 B．4 C． D．
【解答】解： ， ，
，
平分 ， ，
到 的距离等于 ，
点到线段 的距离为 ，
故选： ．
【变式训练1】如图所示， 为 平分线上的点， 于 ， ，则点
到 的距离为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，过点 作 ，
是 的平分线，点 在 上，且 ， ，
，
，
．
故选： ．【变式训练2】如图， 平分 ，点 是 上一点， 于 ，且 ，点
是 上的点，则线段 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：过 点作 于 ，如图，
平分 ， ， ，
，
线段 的取值范围为 ．
故选： ．
【变式训练3】如图，四边形 中， ， ，连接 ， ，垂足
是 且 ，点 是边 上的一动点，则 的最小值是
A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解： ，
，
，
，
由垂线段最短得， 时 最小，
此时， ．
故选： ．
角平分线性质证明题
【例4】如图，在 中， 平分 ， ， 于点 ，点 在
上， ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 的长．
【解答】（1）证明： 平分 ， ， 于 ，
．
在 与 中，
，
，
．
（2）解：设 ，则 ，
平分 ， ，
．
在 与 中，，
，
，即 ，
解得 ，即 ．
【变式训练1】在 中， 是 的中点， ， ，垂足分别是 ， ．
（1）若 ，求证： 是 的角平分线．
（2）若 是 的角平分线，求证： ．
【解答】证明：（1） ， ，
是直角三角形．
在 与 中，
，
，
，
又 ， ，
是 的角平分线；
（2） 是 的角平分线， 于 ， 于 ，，
是 边的中线，
，
在 和 中，
，
，
．
【变式训练2】如图， 中， ， ， ， 平分 ，
，垂足为点 ．
（1） 线段 与 是否垂直？说明理由 ．
（2） 求 的周长；
（3） 求四边形 的面积 ．
【解答】解： （1） 在 和 中，
，
，
， ，
是 的垂直平分线，线段 与 垂直；
（2） ， ， ，
，
，
的周长 ；
（3） 的面积 ，
， ，
，又 ，
的面积 ，
四边形 的面积为 ．
【变式训练3】如图， 中， 平分 ， 且平分 ， 于 ，
于 ．
（1）说明 的理由；
（2）如果 ， ，求 、 的长．
【解答】（1）证明：连接 ， ，
平分 ， ， ，
， ，
且平分 ，
，在 与 中，
，
，
；
（2）解：在 和 中，
，
，
，
设 ，则 ，
， ， ， ，
，
解得： ，
， ．
证明某点在角平分线上
【例5】如图，在 中， 的平分线与 的外角 的平分线交于点 ，
于点 ， ，交 的延长线于点 ．
（1）若点 到直线 的距离为 ，求点 到直线 的距离；
（2）求证：点 在 的平分线上．【解答】（1）解：过点 作 于 ，
点 在 的平分线， ， ，
，即点 到直线 的距离为 ；
（2）证明： 点 在 的平分线， ， ，
，
，
，
， ，
点 在 的平分线上．
【变式训练1】已知：如图， ， 是 的外角平分线，证明：点 一定在
的角平分线上．
【解答】证明：过点 分别作 、 、 的垂线 、 、 ， 、 、 为垂
足，
是 的平分线，
．
同理： ．
．点 在 的平分线上．
【变式训练2】如图， 中 的外角平分线 于 的外角平分线 相交于点 ，
求证：点 在 的角平分线上．
【解答】证明：作 于 ， 于 ， 于 ，
的外角平分线 与 的外角平分线 相交于点 ，
， ，
，又 ， ，
点 在 的角平分线上．
【变式训练3】如图所示，已知 、 为 、 上的点，且 ， ，
，
求证：点 在 的角平分线上．
【解答】证明： ， ，
，
又 ， ，，
，
点 在 的角平分线上（角平分线性质的逆定理）．
实际应用
【例6】如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到
草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在
A． 的三条中线的交点 B． 三条角平分线的交点
C． 三条高所在直线的交点 D． 三边的中垂线的交点
【解答】解： 凉亭到草坪三条边的距离相等，
凉亭选择 三条角平分线的交点．
故选： ．
【变式训练1】如图，直线 、 、 表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三
条公路的距离相等，则可供选择的地址有
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
【解答】解： 内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
内角平分线的交点满足条件；
如图：点 是 两条外角平分线的交点，
过点 作 ， ， ，
， ，
，点 到 的三边的距离相等，
两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4个，
可供选择的地址有4个．
故选： ．
【变式训练2】如图，三条公路把 、 、 三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定
在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集
贸市场应建在
A．在 、 两边高线的交点处
B．在 、 两边中线的交点处
C．在 、 两内角平分线的交点处
D．在 、 两边垂直平分线的交点处
【解答】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在 、 两内角平分线的交点处．
故选： ．
【变式训练3】现要在一块三角形草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的
距离相等，则凉亭的位置应选在
A．三角形三条中线的交点
B．三角形三边的垂直平分线的交点
C．三角形三条角平分线的交点
D．三角形三条高所在直线的交点
【解答】解： 三角形角平分线上的点到角两边的距离相等，
亭的位置应选在三角形三条角平分线的交点上．故选： ．
尺规作图
【例7】尺规作图：已知 ，在 内求作一点 ，使 到 的两边 、 的
距离相等，且 ．
【解答】解：作 的角平分线 ，再作 的垂直平分线 ，
与 的交点即为 点．
如图：
【变式训练1】如图：某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园，要使公园到三条
公路的距离相等，应在何处修建？（使用尺规作图，保留作图痕迹）并证明你的观点．
【解答】解：
如图，设三条公路围成的三角形为 ，内角和外角平分线的交点为 ， ， ， ，
作 于 ， 于 ， 于 ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，即点 到三角形各边的距离相等；
同理可证点 ， ， 分别到三角形各边的距离相等．
