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专题 22 圆锥曲线轨迹全归纳
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题型一：定义法：圆型.........................................................................................................................................................1
题型二：椭圆定义型.............................................................................................................................................................2
题型三：双曲线定义型.........................................................................................................................................................3
题型四：抛物线定义型.........................................................................................................................................................4
题型五：直接设点型.............................................................................................................................................................4
题型六：相关点代入法.........................................................................................................................................................5
题型七：交轨法.....................................................................................................................................................................6
题型八：参数消参法.............................................................................................................................................................7
题型九：空间型：坐标法.....................................................................................................................................................8
题型十：空间型：截面型曲线轨迹...................................................................................................................................10
题型十一：空间型：双球圆锥型.......................................................................................................................................11
题型十二：立体几何定角型...............................................................................................................................................13
题型十三：复数中的轨迹...................................................................................................................................................14
题型一：定义法：圆型
如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，可直接写出所
求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法.
平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径．
(1) 若直线含参，参数在x系数出，则不包含竖直，如y=k（x-1）+1，不含想x=1
(2) 若直线含参，参数在y的系数出，则不含水平，如x+m（y-1）+2=0，不含y=1
(3) 若直线参数在常数位置，则为一系列平行线，如x+y+c=0与y=-x平行
1．（22-23高三·四川绵阳·阶段练习）已知 ，若过定点 的动直线 和过定点 的
动直线 交于点 （ 与 ， 不重合），则错误的是（ ）
A． 点的坐标为 B．点P的轨迹方程
C． D． 的最大值为
2．（2022高三·全国·专题练习）设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线
交于点 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三·福建厦门·阶段练习）已知 ，直线 ，直线
，若 为 的交点，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
4．（22-23高三·福建莆田·阶段练习，多选）已知 ，若过定点A的动直线 和过定
点B的动直线 交于点P（P与A，B不重合），则下列结论中正确的是（ ）
A．A点的坐标为 B．点P的轨迹方程
C． D． 的最大值为
5．（22-23高三·新疆乌鲁木齐·阶段练习）设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线
交于点 ，则 点的轨迹方程是
题型二：椭圆定义型
平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆
的点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
1．（20-21高三·浙江金华·模拟）如图， ，等边 的边长为2，M为BC中点，G为
的重心，B，C分别在射线OP，OQ上运动，记M的轨迹为 ，G的轨迹为 ，则（ ）
A． 为部分圆， 为部分椭圆 B． 为部分圆， 为线段
C． 为部分椭圆， 为线段 D． 为部分椭圆， 也为部分椭圆
2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）单位向量 ，向量 满足 ，若存在两个均满足此条件的向
量 ，使得 ，设 ， 在起点为原点时，终点分别为 .则 的最大值
（ ）
A． B． C．4 D．2
3．（23-24高三上·上海·模拟）设圆 和圆 是两个定圆，动圆 与这两个定圆都相切，则动圆 的圆心
的轨迹不可能是（ ）
A． B．C． D．
5．（23-24高三·陕西榆林·模拟）已知点 ，动点A在圆M： 上运动，线段AN的垂
直平分线交AM于P点，则P的轨迹方程为 ；若动点Q在圆 上运动，则 的最大
值为 .
题型三：双曲线定义型
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定
点做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
1．（22-23高三·江西·阶段练习）已知点 ，点P为圆 上
一点，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
2．（21-22高三·江苏南通·阶段练习）在矩形 中， ， ，把边AB分成n等份，在
的延长线上，以 的n分之一为单位长度连续取点.过边AB上各分点和点 作直线，过 延长线上的
对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，如图建立平面直角坐标系，则点P满足的方程可能是（
）
A． B．
C． D．
3．（2018高三上·全国·专题练习）已知定点 ， ， 是圆 ： 上任意一点，点
关于点 的对称点为 ，线段 的中垂线与直线 相交于点 ，则点 的轨迹是
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
4．（20-21高三·湖北武汉·模拟，多选）在平面直角坐标系 中，动点 与两个定点 和
连线的斜率之积等于 ，记点 的轨迹为曲线 ，直线 ： 与 交于 ， 两点，则（ ）
A． 的方程为 B． 的离心率为
C． 的渐近线与圆 相切 D．满足 的直线 有2条
5．（24-25高三·全国·模拟）过曲线 上一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，若
，则曲线 的方程为 ．
题型四：抛物线定义型
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线
的焦点,直线l叫做抛物线的准线．
1．（21-22高三下·浙江·阶段练习）已知点F(0，1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l
的垂线，垂足为Q，且 ，动点P的轨迹为C，已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨
迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|＝l，|DB|＝l，则 的最大值为（ ）
1 2
A．2 B．3 C．2 D．3
2．（2024高三·全国·专题练习）已知 是直线 上的一个动点，过点 作抛物线 的两
条切线 ， ，切点分别为 ， ，则 的重心 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（20-21高三·广西南宁·模拟）抛物线： 的过焦点的弦的中点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江·模拟预测，多选）已知曲线 上的点满足：到定点(1,0)与定直线 轴的距离的差为定值 ，
其中，点 ， 分别为曲线 上的两点，且点 恒在点 的右侧，则（ ）
A．若 ，则曲线 的图象为一条抛物线
B．若 ，则曲线 的方程为
C．当 时，对于任意的 ， ，都有
D．当 时，对于任意的 ， ，都有
5．（24-25高三·全国·模拟）设 ，点 在 轴上，点 在 轴上，且 ， ，当点
在 轴上运动时，点 的轨迹方程为 ．
题型五：直接设点型如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述
成含 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法．
（1）到线段两端点相等的点的轨迹是该线段的垂直平分线．
（2）到角的两边相等的点的轨迹是该角的平分线及外角平分线．
（3）平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径．
求解过程：
（1）建系：建立适当的坐标系
（2）设点：设轨迹上的任一点P(x,y)
（3）列式：列出有限制关系的几何等式
（4）代换：将轨迹所满足的条件用含x,y的代数式表示，
（5）检验：对某些特殊值应另外补充检验．
1．（24-25高三上·河北保定·阶段练习）已知曲线 ： ，从 上任意一点 向 轴作垂线
段 ， 为垂足，点 满足 ，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三·河南南阳·阶段练习）动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的
比是常数 ，则动点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三·江苏南通·阶段练习）已知等腰 底边两端点的坐标分别为 ， ，则顶
点A的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三上·山东济南·开学考试，多选）在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，直
线 ， 相交于点 ，且它们的斜率之和是 .设动点 的轨迹为曲线 ，则（ ）
A．曲线 关于原点对称
B．曲线 关于某条直线对称
C．若曲线 与直线 （ ）无交点，则
5．（24-25高三·江苏常州·阶段练习）已知在平面直角坐标系xOy中，直线 上存在动点P
满足条件 ， ，且 时，则实数k的取值范围为 ．题型六：相关点代入法
如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线
方程），则可以设出P(x,y),用(x,y)表示出相关点P'的坐标,然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得
到动点P的轨迹方程.
第一步：设所求轨迹的点 ，曲线上的动点 ；
第二步：找出 与 的关系，由 表示 ，即 ；
第三步： 满足已知的曲线方程，将 代人，消去参数．对于不符合条件的点要注意取舍．
1．（22-23高三·北京·阶段练习）设 为坐标原点，动点 在椭圆C： 上，过 作 轴的垂线，
垂足为 ，点 满足 ，则点 的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22高三·辽宁沈阳·模拟）设 为坐标原点，动点 在圆 上，过 作 轴的垂线，垂
足为 ，点 满足 ，则点 的轨迹方程为
A． B． C． D．
3．（22-23高三·四川内江·模拟）已知面积为16的正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴和y轴上滑动，O
为坐标原点， ，则动点P的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三·河北唐山·阶段练习，多选）数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，
到两个定点 ， 距离之比是常数 （ ，且 ）的点 的轨迹是圆．若两定点 ， ，
动点 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点 的轨迹围成区域的面积为
B．点 的轨迹关于直线 对称
C．点 到原点的距离的最大值为6
D． 面积的最大值为
5．（20-21高三·上海杨浦·模拟）已知△ 的顶点 ，若顶点 在抛物线 上移动，
则△ 的重心的轨迹方程为 .题型七：交轨法
1. 所求点满足条件方程1
2. 所求点满足条件方程2
3. 动点是方程1、2两轨迹方程，则满足两个轨迹所组成的方程组，通过两个方程选择适当
的技巧消去参数得到轨迹的普通方程
4. 参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵
活多变.
1．（2024高三·全国·专题练习）设 是椭圆 与x轴的两个交点， 是椭圆上垂直于
的弦的端点，则直线 与 交点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2014·四川·一模）过抛物线 的焦点作直线 交抛物线于 ， 两点，分别过 ， 作抛物线的
切线 ， ，则 与 的交点 的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三·全国·单元测试，多选）已知 ， 是椭圆 ： 的左右顶点，过点 且斜率
不为零的直线与 交于 ， 两点， ， ， ， 分别表示直线 ， ， ， 的斜率，
则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．直线 与 的交点的轨迹方程是
4．（2022高三·全国·专题练习）两条直线 和 的交点的轨迹方程是
5．（2022高三·全国·专题练习）由圆外一定点 向圆 作割线，交圆周于 两点，求弦
中点的轨迹
6．（2022高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 上异于坐标原点O的两不同动点
A、B满足 ，求 得重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程.
题型八：参数消参法有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点
常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，截距或时间等）的制约，即动点坐标(x,y)中的x,y分别随另一
变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，进而通过消参
化为轨迹的普通方程F(x,y)=0.
（1）选择坐标系，设动点坐标 ；
（2）分析轨迹的已知条件，选定参数（选择参数时要考虑，既要有利于建立方程又要便于消去参数）；
（3）建立参数方程；
（4）消去参数得到普通方程；
（5）讨论并判断轨迹．
解题步骤：
1 引入参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标 ；
2.消去参数，得到关于 的方程，即为所求轨迹方程。
1．（20-21高三·上海宝山·模拟）如图，设点 和 为抛物线 上除原点以外的两个动点，已
知 ，则点 的轨迹方程为（ ）
A． （原点除外）
B． （原点除外）
C． （原点除外）
D． （原点除外）
2．（2022·河南南阳·三模） 和 是抛物线 上除去原点以外的两个动点， 是坐标原点且满足
， ，则动点 的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三下·江苏扬州·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，x轴正半轴上从左至右四点A､B､C､D
横坐标依次为a-c､a､a+c､2a，y轴上点M､N纵坐标分别为m､-2m（m>0），设满足 的动点P
的轨迹为曲线E，满 的动点Q的轨迹为曲线F，当动点Q在y轴正半轴上时，DQ交曲线E于
点P（异于D），且OP 与BQ交点恰好在曲线F上，则a：c=（ ）
0 0
A． B． C．2 D．3
4．（2022高三·全国·专题练习）设M是椭圆C： 上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、
x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，
求动点E的轨迹方程.题型九：空间型：坐标法
立体几何内的轨迹，，尝尝从以下方向切入
1. 建系，利用空间坐标系求出方程。
2. 通过转化，把空间关系转化为平面关系，把空间轨迹转化为平面轨迹求解。
1．（2022·北京石景山·模拟）如图，正方体ABCD ABC D 的棱长为1，点M在棱AB上，且AM ，
1 1 1 1
点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线AD 的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的
1 1
轨迹是（ ）
A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆
2．（24-25高三·重庆·阶段练习）如图，已知正方体 的棱长为2， 、 分别为线段 、
的中点，若点 为正方体表面上一动点，且满足 平面 ，则点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．2
3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，已知 ， ， 分别是棱
， ， 的中点， 为平面 上的动点，且直线 与直线 的夹角为 ，则点 的轨迹长
度为（ ）A． B． C． D．
4．（24-25高三·吉林长春·阶段练习，多选）如图，在棱长为1的正方体 中， 为 边
的中点，点 在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）
A．不存在点 ，使得
B．不存在点 ，使得
C．点 在棱 上，且 ，若 ，则点 的轨迹是圆
D．当 是正方形ABCD的中心时， 为线段AB上的动点，则 的最小值为
5．（24-25高三·浙江·阶段练习）如图所示的试验装置中，两个正方形框架 、 的边长都是 ，
且它们所在的平面互相垂直.长度为 的金属杆端点 在对角线 上移动，另一个端点 在正方形
内（含边界）移动，且始终保持 ，则端点 的轨迹长度为 .
题型十：空间型：截面型曲线轨迹
1．（24-25高三·湖北·阶段练习）动点 在棱长为3的正方体 侧面 上，满足
，则点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·湖北武汉·模拟）已知棱长为4的正方体 ，点 是棱 的中点，点
是棱 的中点，动点 在正方形 （包括边界）内运动，且 平面 ，则 的长度范围为
（ ）
A． B． C． D．3．（23-24高三·浙江宁波·模拟）已知正方体 的棱长为3，以 为球心， 为半径的球
面与正方体表面的交线记为曲线 ，则曲线 的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习，多选）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，
平面 ， ， ， ，已知点 在平面 上运动，点
在平面 上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．若点 到 的距离等于其到平面 的距离，则点 的轨迹为抛物线的一部分
B．若 ，则点 的轨迹为圆的一部分
C．若 与 所成的角为30°，则点 的轨迹为椭圆的一部分
D．若 与平面 所成的角为30°，则点 的轨迹为双曲线的一部分
5．（24-25高三上·河南·开学考试）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为正方
形， ，点 分别为 的中点，点 为 内的一个动点（包括边界），若 平面
，则点 的轨迹的长度为 .
题型十一：空间型：双球圆锥型
1．（2023·辽宁阜新·模拟预测）比利时数学家丹德林( Germinal Dandelin)发现：在圆锥内放两个大小不同
且不相切的球使得它们与圆锥的侧面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截线是椭圆．这个
结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为20，底面半径为4的圆柱体内放两个球，球与圆柱底面及侧
面均相切．若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱侧面所得的截线为一个椭圆，则该椭圆的短轴长
为（ ）A． B． C． D．
2．（19-20高三·河南·阶段练习）比利时数学家Germinal Dandelin发现：在圆锥内放两个大小不同且不相
切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是
椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面
及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率
为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三·浙江宁波·模拟）如图1，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何
的角度对这个问题进行研究，其中比利时数学家Germinal dandelion（1794-1847）的方法非常巧妙，极具
创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面切于 、
，在截口曲线上任取一点 ，过 作圆锥的母线，分别与两个球切于 、 ，由球和圆的几何性质，可
以知道， ， ，于是 ，由 、 的产生方法可知，它们之间的距
离 是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以 、 为焦点的椭圆.如图2，一个半径为1的球放在桌面
上，桌面上方有一点光源 ，则球在桌面上的投影是椭圆，已知 是椭圆的长轴， 垂直于桌面且与
球相切， ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山东日照·一模，多选）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截
口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球 ，球 切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球 ，
球 的半径分别为4和1，球心距 ，则（ ）
A．椭圆C的中心不在直线 上
B．
C．直线 与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为
D．椭圆C的离心率为
5．（2020·吉林·模拟预测）如图（1），在圆锥内放两个大小不同且不相切的球,使得它们分别与圆锥的侧
面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到截口曲线是椭圆.理由如下：如图（2），若两个
球分别与截面相切于点 ，在得到的截口曲线上任取一点 ，过点 作圆锥母线，分别与两球相切于点
，由球与圆的几何性质，得 ， ，所以 ，且
，由椭圆定义知截口曲线是椭圆，切点 为焦点.这个结论在圆柱中也适用，如图（3），在一
个高为 ，底面半径为 的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此
平面截圆柱所得的截口曲线也为一个椭圆，则该椭圆的离心率为 .
题型十二：立体几何定角型
1．（20-21高三·浙江宁波·模拟）如图，在棱长为1的正方体 中，点M是底面正方形
的中心，点P是底面 所在平面内的一个动点，且满足 ，则动点P的轨迹为
（ ）A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆
2．（19-20高三·安徽黄山·模拟）如图所示正方体 中，设 是底面正方形 所在平面
内的一个动点，且满足直线 与直线 所成的角等于 ，则以下说法正确的是（ ）
A．点 的轨迹是圆 B．点 的轨迹是椭圆
C．点 的轨迹是双曲线 D．点 的轨迹是抛物线
3．（22-23高三·江西南昌·模拟）已知 是平面 的斜线段， 为斜足，若 与平面 成 角，过定
点 的动直线 与斜线 成 角，且交 于点 ，则动点 的轨迹是
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
4．（21-22高三·江苏南京·阶段练习，多选）如图，在棱长为1的正方体ABCD— 中，E为侧面
的中心，F是棱 的中点，若点P为线段 上的动点，N为ABCD所在平面内的动点，则下列
说法正确的是（ ）
A． · 的最小值为
B．若 ，则平面PAC截正方体所得截面的面积为
C．若 与AB所成的角为 ，则N点的轨迹为双曲线
D．若正方体绕 旋转θ角度后与其自身重合，则θ的最小值是
5．（22-23高三下·广东佛山·阶段练习）在棱长为1的正方体 中，点 是底面 内的动点， ，则动点 的轨迹的面积为 ，动线段 的轨迹所形成几何体的体积是
.
题型十三：复数中的轨迹
复数中的轨迹，基本是转化为解析几何来求
1、利用复数的模运算转化
2、利用复数的几何意义
1．（2025·广东·模拟预测）设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江西新余·模拟预测）已知复数 在复平面内表示一个圆周，则 在复平面内表
示的点构成的形状为：（ ）.
A．圆周 B．椭圆周 C．双曲线的一部分 D．线段
3．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）已知复数 ，复数 满足 ，则（ ）
A．
B．复数 在复平面内所对应的点的坐标是
C．
D．复数 在复平面内所对应的点为 ，则
4．（24-25高三·安徽马鞍山·阶段练习，多选）在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A．复数 ，则 在复平面内对应的点位于第一象限
B．若复数 ，则
C．若复数 满足 ，则
D．若复数 满足 ，则复数 对应的点所构成的图形面积为
5．（24-25高三上·全国·自主招生）复数 满足 ，则 .
