文档内容
专题 13 图形的位似
考点一 位似图形相关概念辨析 考点二 判断位似中心
考点三 求位似图形的对应坐标 考点四 求两个位似图形的相似比
考点五 在坐标系中画位似图形 考点六 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长
比或面积比
考点一 位似图形相关概念辨析
例题：（2023·河北·九年级专题练习） 和 是位似图形，位似中心是点O，下列说法不正确的
是（ ）
A． B．
C．直线 经过点O D．直线 、 和 相交于一点
【答案】B
【分析】依据位似变换的性质逐项判断即可．
【详解】∵ 和 关于点O位似，
∴ ，且直线 、 和 相交于一点O，即选项C、D正确；
如图，作出直线 、 和 ，三者交于O点，根据位似变换的性质有： ，故A答案合理；
根据位似变换的性质有： 和 交于点O，故B答案不合理；
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换：位似的两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一个点，也考查了
平行线的判定和相似三角形的性质．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点
A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
【答案】B
【分析】根据位似比的概念解答即可．
【详解】解： 图形甲与图形乙是位似图形， 是位似中心，位似比为 ，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似图形，解题的关键是掌握位似图形的位似比是对应边的比．
2．（2022·山东滨州·九年级期末）如图，以点 为位似中心，把 放大2倍得到 ．下列说法错
误的是( )
A． B．
C． D．直线 经过点【答案】B
【分析】根据位似变换的概念和性质判断即可．
【详解】解：∵以点 为位似中心，把 放大2倍得到 ，
∴ ， ，直线 经过点 ， ，
∴ ，
∴A、C、D选项说法正确，不符合题意；B选项说法错误，符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质．掌握位似三角形的性质是解题的关键．
考点二 判断位似中心
例题：（2021·北京师大附中九年级阶段练习）图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点P B．点O C．点M D．点N
【答案】A
【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的
连线上．
【详解】点P在对应点M和点N所在直线上，
∴两个三角形的位似中心是：点P．
故选A．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·四川德阳·二模）如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△ABC （顶点均在格点上），它们
1 1 1
是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是_____．【答案】（﹣4，﹣3）
【分析】根据位似图形的性质，对应点的连线交于一点则可得出答案．
【详解】解： △ABC的三边分别扩大一倍得到△ABC （顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心
1 1 1
的位似图形，
则连接 和 并延长相交，交点即为P点，
如图所示，P点的坐标为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，得出位似图形对应点的连线交于一点是解题的关键．
2．（2021·全国·九年级课时练习）如图，图中的小方格是边长为1的正方形， 与 是关于点O
为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）求出 与 '的位似比；（3）以点O为位似中心，在图中画一个 ，使它与 的位似比等于3∶2．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）见解析
【分析】（1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线AA′、BB′的交点就是位似中心
O；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于AB与A′B′的比，也等于AB与A′B′在水平线上的投影比，即位似比为
3：6=1：2；
（3）要画△ABC ，先确定点A 的位置，再过点A 画AB∥AB交O B′于B，过点A 画AC ∥AC交OC′于
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
C ．
2
【详解】解：（1）如图所示，点O即为所求；
（2） 与 的位似比为： ；
（3）如图所示， 即为所求．
【点睛】本题考查位似图形的意义及作图能力．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接
并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接
上述各点，得到放大或缩小的图形．
考点三 求位似图形的对应坐标
例题：（2021·湖南·李达中学九年级阶段练习）已知△AOB和 是以点O为位似中心的位似图形 ，
且△AOB和 的周长之比为1:2，点B的坐标为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】过B作BC⊥y轴于C，过B 作BD⊥y轴于D，依据△AOB和△AO 相似，且周长之比为1：2，
1 1 1
即可得到 ，再根据△BOC∽△ OD，可得OD=2OC=4， D=2BC=2，进而得出点B 的坐标为
1
（2，-4）或（-2，4）．
【详解】解：如图，过B作BC⊥y轴于C，过 作 D⊥y轴于D，
∵点B的坐标为（-1，2），
∴BC=1，OC=2，
∵△AOB和△ O 相似，且周长之比为1：2，
∴ ，
∵∠BCO=∠ DO=90°，∠BOC=∠ OD，
∴△BOC∽△ OD，
∴OD=2OC=4， D=2BC=2，
∴点 的坐标为（2，-4），
同理点（-2，4）也符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应
点坐标之间的关系是解题的关键．
【变式训练】1．（2022·吉林吉林·九年级期末）如图， ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，
4），以原点O为位似中心，将 ABC缩小△为原来的一半，则线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的
坐标为________． △
【答案】
【分析】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，
相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k,根据此题是线段AC的中点P变换后在第一象限对应
点的坐标进而得出答案．
【详解】解：∵△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），
∴AC的中点是（4，3），
∵将 ABC缩小为原来的一半，
△
∴线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律，利用图形得出AC的中点坐标是解题关键．
2．（2022·河北·泊头市教师发展中心九年级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（-4，2），
B（-2，-2）．以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到△AOB，△AOB 与△AOB的位似比为 ，则
1 1 1 1
点A的对应点A 的坐标为_______．
1【答案】（-2，1）或（2，-1）
【分析】根据在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形，如果相似比为k，那么位似图形对应
点的坐标的比等于k或-k计算，得到答案．
【详解】解∶∵以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到 ， 与△AOB的位似比为 ，
∴点 的对应点的横纵坐标与点A的横纵坐标的比值为 或 ，
∵A（-4，2），
∴ 的坐标为 或 ， 即(-2，1)或(2，-1)，
故答案为∶(-2，1)或(2，-1)．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形，
如果相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k是解题的关键．
考点四 求两个位似图形的相似比
例题：（2022·河北保定师范附属学校九年级期末）如图，四边形ABCD和 是以点O为位似中心的
位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形 的面积比为（ ）
A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．2：3
【答案】A
【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
【详解】解： 四边形 和 是以点 为位似中心的位似图形， ，
，
四边形 与四边形 的面积比为： ，
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，解题的关键是掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性
质．【变式训练】
1．（2022·重庆南开中学三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEC位似，点C为位似中心，
，若 ABC的面积是1，则 DEC的面积是（ ）
△ △
A．3 B．4 C．9 D．16
【答案】C
【分析】结合题意，根据位似的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵△ABC与△DEC位似，点C为位似中心， ，
∴
∵ ABC的面积是1，
∴△DEC的面积是9
故△选：C．
【点睛】本题考查了位似的知识，解题的关键是熟练掌握位似的性质，从而完成求解．
2．（2022·重庆·中考真题）如图， 与 位似，点 为位似中心，相似比为 ．若 的周长
为4，则 的周长是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．16
【答案】B
【分析】根据周长之比等于位似比计算即可．
【详解】设 的周长是x，∵ 与 位似，相似比为 ， 的周长为4，
∴4：x=2：3，
解得：x=6，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键．
3．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 与 位似，位似中心是坐标原点
O．若点 ，点 ，则 与 周长的比值是_____．
【答案】2
【分析】根据位似的定义，即可得出位似比=OA：OC，而 与 周长的比值等于位似比，即可得
出答案．
【详解】∵ 与 位似，位似中心是坐标原点O，点 ，点
∴OA=4，OC=2
∴ 与 的位似比为：4：2=2：1
∴ 与 周长的比值为：2：1
故答案为：2．
【点睛】本题考查了求位似图形的周长之比，求出位似比是本题的关键．
考点五 在坐标系中画位似图形
例题：（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图，菱形ABCD与菱形A'BC'D'是位似图形，若AD
＝6，A'D'＝4，则菱形A'BC'D'与菱形ABCD的位似比为______．【答案】2 3##
【分析】根据位似图形的位似比等于对应边的比，即可得出结论．
【详解】解： 菱形ABCD与菱形A'BC'D'是位似图形
菱形A'BC'D'与菱形ABCD的位似比=
故答案为：2 3．
【点睛】本题考查了位似比的定义，掌握位似图形的相关概念是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，点A，D在∠XOY的边OX上，点B，E在OY边上，射线OZ在
∠XOY内，且点C，F在OZ上，AC∥DF，BC∥EF． ．
(1)试说明 ABC与 DEF是位似图形；
(2)求 AB△C与 DE△F的位似比．
【答案△】(1)证△明见详解
(2)
【分析】（1）根据两直线平行同位角相等得到∠DFO＝∠ACO，∠OFE＝∠OCB，再根据两条直线被一
组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例，最终得到△ACB∽△DFE；
（2）根据三角形的相似比等于相应边长的比即可得到答案．
（1）
∵AC∥DF，BC∥EF，∴∠DFO＝∠ACO，∠OFE＝∠OCB， ， ，
∴∠DFE＝∠ACB， ，
∴△ACB∽△DFE，
因为两个相似三角形的对应点所在直线交于点O，且对应边平行，
∴△ABC与△DEF是位似图形；
（2）
∵△ABC与△DEF是位似图形， ，
∴△ABC与△DEF的位似比为： ．
【点睛】本题考查平行线和相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判断方法及性质．
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC与△DOE是位似图形，A（0，3），B（﹣2，0），C
（1，0），E（6，0），△ABC与△DOE的位似中心为M．
(1)写出D点的坐标；
(2)在图中画出M点，并求M点的坐标．
【答案】(1)
(2)画图见解析，
【分析】（1）首先过点 作 于点 ，由 与 是位似图形， ， ， ，
，可得 ， ， ，即可求得位似比，继而求得答案；
（2）首先连接 并延长，交 轴于点 ，则点 即为 与 的位似中心；然后根据位似图形
的性质，可得 ，继而求得答案．（1）
解：过点 作 于点 ，
与 是位似图形， ， ， ， ，
， ， ，
位似比为： ，
， ，
点的坐标为： ；
（2）
连接 并延长，交 轴于点 ，则点 即为 与 的位似中心；
则 ，
设 ，则 ，
，
解得： ，
点的坐标为 ．
【点睛】此题考查了位似图形的定义与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意位似图形是特
殊的相似图形．
考点六 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
例题：（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，
0），O（0，0），以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ ABO的位似比为 ．【答案】见详解
【分析】由位似比求出对应点坐标有两种情况，分别求出两组对应点坐标，然后在平面直角坐标系描点连
接即可
【详解】解：由位似比为 求得： 对应点坐标分别为 ，
或者 ， ，
O点是位似中心，所以位置不变，
所以，下图 或 都为满足题意的位似图形．
【点睛】本题考查了位似的概念．位似比为对应点到位似中心的距离比．解题关键是根据位似比找到对应
点的坐标．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校九年级期末）如图所示的平面直角坐标系中， ABC的三个顶点坐标
分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图： △(1)以坐标原点O为旋转中心，将 ABC顺时针旋转90°，得到 ，请画出 ；
△
(2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出 ABC的位似图形 ，使它与 ABC的位似比为2：
△ △
1．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点的位置，画出图形即可；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点的位置，画出图形即可．
（1）
解：如图， 即为所求．
；
（2）
解：如图， 即为所求．
【点睛】本题考查了位似变换与旋转变换，正确得出对应点的位置是解题的关键．
2．（2021·江苏·仪征市古井中学九年级期末）如图，在边长为 个单位长度的小正方形网格中，(1)画出 向上平移 个单位，再向右平移 个单位后的 ；
(2)以点 为位似中心，将 放大为原来的 倍，得到 ，请在网格中画出 ；
(3)直接写出 的面积，及 ， 的坐标．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)9，
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出 的坐标，然后描点即可；
（2）延长BA到 使 ，延长BC到 使 ，从而得到 ；
（3）利用三角形面积公式 的面积，然后利用（1）、（2）中所画图形写出 的坐标．
（1）
解：如图所示， 即为所求；
（2）
解：如图所示， 即为所求；（3）
解：由题意得： ，
【点睛】本题考查了作图−位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位
似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上
述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平移变换．
一、选择题
1．（2022·重庆市巴川中学校八年级期末）如图， 与 位似，位似中心为点O， ，
的面积为9，则 面积为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】A【分析】根据位似图形的概念得到 ABC∽ ，AB ，可得 OAB∽△O ，根据相似三角形的
△ △
性质得到 ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．
【详解】解：∵△ABC与 位似，
∴△ABC∽ ，AB ，
∴△OAB∽△O ，
∴ ，
∴△ABC的面积： 的面积＝9：4，
∵△ABC的面积为9，
∴ 的面积为：4，
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方
是解题的关键．
2．（2022·全国·九年级课时练习）如图， 与 位似，点O是位似中心．若 ，
与 的周长差为 ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据：位似图形高、周长的比都等于相似比即可解答．求出 与 的相似比为 即可．
【详解】∵
∴
∴ 与 的周长比为
∵ 与 的周长差为∴ 的周长= (cm)
故选：B
【点睛】本题主要考查了位似比，熟练的掌握位似图形高、周长的比都等于相似比是解题的关键．
3．（2022·重庆·模拟预测）如图，平面直角坐标系xOy 中，△ABO∽△CDO，且OA∶AC=1∶3，若A（1，
2），则点C 的坐标为（ ）．
A．（2，4） B．（3，6） C．（4，8） D．（6，12）
【答案】C
【分析】根据题意 与 是以 点为位似中心的位似变换，据此求得位似比，进而即可求得 点
的坐标．
【详解】解：∵
∴
A(1，2)，△ABO∽△CDO，
故选：C．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，求得位似比，根据位似比等于相似比是解题的关键．
4．（2022·山东济南·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形，其
中对应点C和F的坐标分别为 ， ，则位似中心的坐标是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据题意证明 ，再根据位似比和点的坐标求出线段长度，得到 ，求出点P
的坐标即可．
【详解】由题意可知，点P为位似中心，
， ， ， ，
矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形
即
故位似中心P的坐标为 ．
故选B．
【点睛】本题考查位似图形的性质、相似图形的应用，解决本题的关键是借助相似比求出线段长度．
5．（2022·全国·九年级专题练习）已知△ABC与 是以原点为中心的位似图形，且A（3，1），
△ABC与 的相似比为 ，则A的对应点 的坐标是（ ）
A．（6，2） B．（﹣6，﹣2）
C．（6，2）或（﹣6，﹣2） D．（2，6）
【答案】C
【分析】根据位似图形对应点坐标与位似比之间的关系进行求解即可．
【详解】解：∵△ABC与 是以原点为中心的位似图形，A（3，1），△ABC与 的相似比为，
∴点A的对应点 的坐标为（3×2，1×2）或（-2×3，-2×1），即（6，2）或（﹣6，﹣2），
故选：C．
【点睛】本题主要考查了位似图形对应点坐标，熟知两个以原点为位似中心的位似图形位似比为k，则点
A（x，y）的对应点坐标为（ ， ）或（ ， ）是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·江西吉安·九年级期末）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，其中点 ，
则位似中心的坐标是______．
【答案】
【分析】根据图示，对应点所在的直线都经过同一点，该点就是位似中心．
【详解】解：如图，
点G（4，2）即为所求的位似中心．
故答案是：（4，2）．【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应
顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这
个点叫做位似中心．
7．（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）如图，四边形ABCD和四边形ABC D 是以点O为位似中心
1 1 1 1
的位似图形，若OA：OA＝ ：2，则四边形ABCD与四边形ABC D 的面积比为 _____．
1 1 1 1 1
【答案】
【分析】根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD和四边形ABC D 是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA＝ ：2，
1 1 1 1 1
∴四边形ABCD与四边形ABC D 的面积比为 ．
1 1 1 1
故答案为： ．
【点睛】本题考查了位似的性质，相似多边形的性质，相似的性质是解题的关键．
8．（2021·甘肃·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将 AOB缩小为原来的 ，
△
得到 COD，若点A的坐标为（4，2），则AC的中点E的坐标是 _____．
△
【答案】（1， ）
【分析】根据位似变换的性质求出点C的坐标，根据线段中点的性质计算，求出点E的坐标．
【详解】∵以原点O为位似中心，将 AOB缩小为原来的 ，得到 COD，点A的坐标为（4，2），
△ △
∴点C的坐标为（4×（ ），2×（ ）），即点C的坐标为（﹣2，﹣1），∴AC的中点E的坐标是（1， ），
故答案为：（1， ）．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点
为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
9．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O
为位似中心的位似图形，且位似比为 ．点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标
为 ________．
【答案】（3，2）
【分析】先利用位似的性质得到 ，然后利用比例性质求出BC和OB即可得到C点坐标．
【详解】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为 ，
∴ ，
而BE=EF=6，
∴ ，
∴BC=2，OB=3，
∴C（3，2）．
故答案为：（3，2）．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边
互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
10．（2022·内蒙古·包头市第二十九中学三模） 三个顶点的坐标分别为 ， ， ，以原点 为位似中心，相似比为 ，将 缩小，则点 的对应点 的坐标是________．
【答案】（2，4）或（-2，-4）##（-2，-4）或（2，4）．
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：∵△AOB顶点B的坐标为（3，6），以原点O为位似中心，相似比为 ，将△AOB缩小，
∴点B的对应点B′的坐标为（3× ，6× ）或（3×（- ），6×（- ）），即（2，4）或（-2，-4），
故答案为：（2，4）或（-2，-4）．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似
比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
三、解答题
11．（2022·山东青岛·九年级期末）如图，已知点O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为
(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将 放大到原图的2倍，画出对应的 ，并写出点A的对应点
的坐标；
(2)直接写出 的面积．
【答案】(1)见解析，
(2)10
【分析】（1）直接根据位似图形的定义及性质得出对应点的坐标，进而得出答案；
（2）利用 所在矩形面积减去周围三角形面积，进而即可求解．
（1）
如图所示， 即为所求，点A的对应点 的坐标为 ；（2）
的面积为 ．
【点睛】本题考查了位似变换及三角形面积的求法，正确得出对应点位置是解题的关键．
12．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，在网格图中，每格是边长为1的正方形，四边形ABCD的顶点均
在格点上．
(1)请以点O为位似中心，在网格图中作出四边形A'B'C'D'，使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD位似，且
；
(2)填空：线段BB′的长为______， A′D′O的面积为______．
【答案】(1)见解析 △
(2) ；10
【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出A，B，C，D的对应点A′，B′，C′，D′即可；
（2）利用勾股定理求出BB′，把四边形的面积看成矩形的面积减去周围的四个三角形面积即可．
（1）
解：如图，四边形A'B'C'D'，即为所求；；
（2）
解：线段BB′的长= ，
A′D′O的面积为=4×6-2× ×2×4- ×2×6=10．
△
故答案为：6 ，10．
【点睛】本题考查作图-位似变换，勾股定理，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，
正确作出图形．
13．（2021·河南南阳·九年级期中）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和 的
顶点均为小正方形的顶点．
(1)以O为位似中心，在网格图中作 ，使 和 位似，且位似比为1：3．
(2)证明 和 相似．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据位似变换的性质画出图形即可；
（2）先用勾股定理算出两个三角形的各边长，然后根据对应边的比相同即可证明结论．
（1）解：如图 即为所求．
（2）
证明：小正方形边长为1，
∴ ， ， ， ，
， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查作图−位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知
识是解答本题的关键．
14．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中， ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B
（2，2），C（3，0）． △(1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将 ABC放大为原来的2倍得到的 ABC ，请写出点B的对
1 1 1
应点B 的坐标； △ △
1
(2)画出将 ABC向左平移1个单位，再向上平移2个单位后得到的 ABC ，写出点C的对应点C 的坐标；
2 2 2 2
(3)请在图△中标出 ABC 与 ABC 的位似中心M，并写出点M的坐△标．
1 1 1 2 2 2
【答案】(1)图见△解析，（4，△4）
(2)图见解析，（2，2）
(3)图见解析，（﹣2，4）
【分析】（1）把A，B，C的横纵坐标都乘以2得到 的坐标，然后描点即可．
（2）利用，点平移的坐标特征写出 的坐标，然后描点即可．
（3）对应点连线的交点M即为所求作．
（1）
如图 ABC 即为所求作的三角形，
1 1 1
点B△的坐标（4，4）．
1
（2）
如图， ABC 即为所求作的三角形
2 2 2
点C 的△坐标（2，2）．
2
（3）
如图所示：
点M即为所求作．M（﹣2，4）．【点睛】本题考查了作图一位似变换:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为
k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 ，也考查了平移变换．
15．（2022·河南焦作·模拟预测）如图， 与 是位似图形．
(1)在网格中建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为 ，点 的坐标为 ，则点B的坐标为
______．
(2)以点A为位似中心，在网格图中作 ，使 和 位似，且位似比是1∶2；
(3)在图上标出 与 的位似中心P，并写出点P的坐标为______，计算四边形 的周长为
______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3) ，
【分析】（1）根据题意找到原点以及坐标轴的位置，建立平面直角坐标系，进而求得点 的坐标即可；
（2）根据题意找到 的中点 即可画出 ；
（3）连接 交于点 ，则点 即为所求，根据坐标系写出点的坐标即可，根据网格的特点以及勾股
定理求得四边形 的周长即可.
(1)如图，
点B的坐标为 ，
故答案为： ；
(2)
如图，
(3)
如图，
点 的坐标是 ，的周长为：
，
故答案为： ， .
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，坐标与图形，画位似三角形，求位似中心，勾股定理，掌握以上知
识是解题的关键．
