专题13分式化简求值-拔高练习（解析版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_06专项讲练_重难点突破八年级数学下册常考题专练（北师大版）

专题 13 分式化简求值(拔高练习) 题型一 化简求值基本题型 1．已知 ， ，那么分式 的值等于 3 或 ． 【解答】解： ， ， ， ， 或 ， 或 ． 当 时， 原式 ； 当 时， 原式 ． 故答案为：3或 ． 2．先化简，再求值： ，其中 是不等式组 的一个 整数解． 【解答】解：原式， 解不等式组 ， 由①得 ， 由②得 ， 所以不等式组的解集为 ，其整数解为0，1，2， 由于 不能取1和2， 所以当 时，原式 ． 3．先化简： ，再从 中选择一个整数代入求值． 【解答】解： ， 时，分式有意义， 当 时，原式 ． 4．（1）当 取何值时，方程 的解为正数？ （2）先化简代数式 ，再从 ，2，0三个数中选一个恰当的数作为 的值代入求值． 【解答】解：（1）方程两边同乘 ，得 ， 整理得： ， 解得： ，由题意得： ， ， 解得： 且 ； （2）原式 ， ， ， ， 原式 ． 5．先将 化简，再选取一个你认为合适的 的值代入求值． 【解答】解：原式 ， 当 时，原式 ， ， ； 当 时，原式 ． 6．先化简，后求值： ，其中 ． 【解答】解：原式 ， ， ， ，即 ， ， 则原式 ． 7．先化简再求值，代数式 ，从如下0， ， ，2中选择你喜欢的数代入计算．【解答】解： ， 且 且 ， 不能为0， ， ， 取 ， 当 时，原式 ． 题型二 裂项 8．阅读理解： ， 阅读以上信息，完成下列问题： （1） ；（填最后结果） （2） ；（填最后结果） （3）求 的值． 【解答】解：（1） ， ， 原式 ． 故答案为： ；（2） ， 原式 ； （3） ， ， ， 原式 ． 9．先阅读，再答题： 由于 ， ， 一般地有 ． 请根据上面的结论，计算： ． 【解答】解：原式 ， ． 10．观察下面的变形规律： ， ， ， 解答下面问题： （1）若 为正整数请你猜想 ； （2）证明你猜想的结论；（3）利用这一规律化简： ． （ 4 ） 尝 试 完 成 ． （ 直 接 写 答 案 ） ． 【解答】解：（1）猜想： ； 故答案为： ； （2）等式右边 左边，得证； （3）原式 ； （4）原式 ． 故答案为： 11．阅读下列规律，并解题： ； ； ； 根据以上规律解下列方程 ． 【解答】解：原方程变形为 ， 即 ，方程的两边同乘 ，得 ， 解得 ． 检验：把 代入 ． 原方程的解为： ． 题型三 整体代入法 12．若 ，且 ，则 的值为 1 ． 【解答】解： ， 把 代入上式得： 原式 ； 故答案为：1． 13．已知 ，求 的值． 【解答】解：把 代入得：原式 ． 14．当 时，代数式 的值是 ． 【解答】解：原式 ，当 时，原式 ， 故答案为： ． 15．已知 ，则分式 的值等于 ． 【解答】解：因为 ， 所以 ， 则分式 ． 故答案为： ． 16．已知 ，则代数式 的值等于 202 1 ． 【解答】解： ， ， 则原式 ， 故答案为：2021． 17．先化简，后求值： ，其中 是方程 的根． 【解答】解：原式， 是方程 的根， ，即 ， ， 则原式 18．（1）计算： ． （2）先化简，再求值： ，其中 ． 【解答】解：（1） ． ； （2）原式 ， 由 ．得 ． 当 时，原式 ． 题型四 利用取倒数的方法化简求值19．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即把式子变成其倒数形 式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知： ，求代数式 的值． 解：因为 ，所以 即 ，所以 ． 根据材料回答问题（直接写出答案） （1） ，则 3 ． （2）解分式方程组 ，解得方程组的解为 ． 【解答】解：（1） ， ， ， ， 故答案为：3； （2） ， 化简，得 ， 即 ，令 ， 则得 ， 解得， ， 故 ， 故答案为： ． 20．已知， ，则 6 ． 【解答】解： ， ， ， ， 即 ①； ②； ③， ① ② ③得， ， ， 故答案为6． 21．已知： ，则 ． 【解答】解： ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 22．若 ， ， ，则 1 ． 【解答】解： ， ， ， ， ， ， 原式， 故答案为1． 23．已知 ， ，求 的值． 【解答】解： ， ， ， ， ． 题型五 降次法 24．已知 ，求下列式子的值： （1） ； （2） ； （3） ． 【解答】解：（1） ， ， ， （2） ， ， ， ，（3） ， ， ． 25．已知 ，那么代数式 的值为 2 ． 【解答】解： 因为 ，所以 所以原式 ． 故答案为：2 26．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题： 已知实数 ， 同时满足 ， ，求代数式 的值． 结合他们的对话，请解答下列问题： （1）当 时， 的值是 或 1 ． （2）当 时，代数式 的值是 ．【解答】解：（1）当 时， ， ， ， 解得： 或1， 故答案为： 或1； （2）联立方程组 ， 将① ②，得： ， 整理，得： ③， 将① ②，得： ， 整理，得： ， ， ， 又 ， ，即 ④， 将④代入③，得 ，即 ， 又 ， ， 故答案为：7． 27．若 且 ，则 ． 【解答】解： ， ，， ， ，即 ， ， ， ， ， 故答案为： ． 题型六 分离系数（常数）法 28．若 取整数，则使分式 的值为整数的 值有 A．3 个 B．4 个 C．6 个 D．8个 【解答】解： ， 是奇数，分式的值是整数， 时， ， 时， ， 时， ， 时， ， 所以，整数 的值有0、 、1、2共4个． 故选： ． 29．已知 ，其中 ， 为常数，则 8【解答】解： ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：8． 30．若 取整数，则使分式 的值为整数的 值有 4 个． 【解答】解： ， 由题意可知 为6的整数约数， 故 ，2，3，6， ， ， ， 由 ，得 ， 由 ，得 （不合题意，舍去）， 由 ，得 ， 由 ，得 （不合题意，舍去）， 由 ，得 ， 由 ，得 （不合题意，舍去）， 由 ，得 ， 由 ，得 （不合题意，舍去）． 故 的值有4个． 31．请阅读下列材料：我们知道，分式类比分数，分数中有真分数、假分数、带分数、类似的，在分式中，也规定真分式、假分 式、带分式；在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式． 例如，分式 是假分式，一个假分式可以化为带分式，即化为一个整式与一个真分式的和，例如， ．（注意带分式中整式与真分式之间的符号不能省略） 请根据以上方法，解决下列问题； （1）请根据以上信息，任写一个真分式 ． （2）已知： ， ； ①当 时，若 与 都为正整数，求 的值； ②计算 ，设 ，探索 是否有最小值，若有，请求出 的值；若没有，请说明理由． 【解答】解：（1） 为真分式； 故答案为 ； （2）① ， 与 都为正整数， 或2或3或6， 或3或4或7； ② 有最小值． 理由如下： ， ， ，的最大值为 ， 的最小值为 ， 32．请仔细阅读下面材料，然后解决问题： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”． 例如： ， ；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如： ， ． 我们知道，假分数可以化为带分数，例如： ，类似的，假分式也可以化为“带 分式”（整式与真分式和的形式），例如： ． （1）将分式 化为带分式； （2）当 取哪些整数值时，分式 的值也是整数？ （3）当 的值变化时，分式 的最大值为 ． 【解答】解：（1）原式 ； （2）由（1）得： ， 要使 为整数，则 必为整数， 为3的因数， 或 ， 解得： ，2， ，4； （3）原式 ， 当 时，原式取得最大值 ． 故答案为：题型七 设“k”法化简求值 33．已知 、 、 是互不相等的实数，且 ，则 的值为 A． B．0 C．1 D．2 【解答】解：设 ， 则 ， ， ， ． 故选： ． 34．已知 ，且 ，则 ． 【解答】解：设 ，则 ① ② ③ 将①②③相乘得 ， ， ， ， ， 故答案为 ． 35．已知 ，则 的值为 9 ． 【解答】解：设 ， 可得 ， ① ②得： ④， ③ ②得： ⑤，④ ⑤ 得： ，即 ； 把 代入⑤得： ， 把 ， 代入①得： ， 则原式 ， 故答案为：9 36．已知 ，则 ． 【解答】解：设 ，则 ， ， ， 解得 ， ， ， ，令 ， 则 ． 故答案为： ． 37．阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知 、 、 互不相等），求 的值． 解：设 ，则 ， ， ， ， ． 依照上述方法解答下列问题： 已知： ，其中 ，求 的值． 【解答】解：设 ，则： ， （1） （2） （3）得： ， ， ， 原式 ． 38．若 ，则 的值是 8 或 ． 【解答】解：设 ， 于是 ①， ②， ③， ① ② ③得， ， 当 ，则 ， ； 当 ，则 ， ， ， ． 故答案是8或 ． 39．设互不相等的非零实数 ， ， 满足 ，求 的值． 【解答】解：令 ， 则 ， ， ， 由 ，可得 ， 即 ，同理可得： ， ， ， ， ， ， 为互不相等的非零实数， ，即 ， 则 ． ． 40．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式， 从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知： ，求代数式 的值． 解： ， 即 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“ ”，将连等式变成几个值为 的等式，这样就 可以通过适当变形解决问题． 例：若 ，且 ，求 的值． 解：令 则 ， ， ， 根据材料回答问题： （1）已知 ，求 的值． （2）已知 ，求 的值．（3）若 ， ， ， ，且 ，求 的值． 【解答】解：（1） ， ， ， ； （2）设 ，则 ， ， ， ； （3）设 ， ①， ②， ③， ① ② ③，得 ， ④， ④ ①，得： ， ④ ②，得： ， ④ ③，得： ， ， ， ，， ， 解得， ， ， ， ， ． 41．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式， 从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知： ，求代数式 的值． 解： ， 即 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“ ”，将连等式变成几个值为 的等式，这样就 可以通过适当变形解决问题． 例：若 ，且 ，求 的值． 解：令 则 ， ， ， 根据材料回答问题： （1）已知 ，求 的值． （2）已知 ， ，求 的值．（3）若 ， ， ， ，且 ，求 的值． 【解答】解：（1） ， ， ， ； （2） 设 ，则 ， ， ， ； （3）解法一：设 ， ①， ②， ③， ① ② ③得： ， ④， ④ ①得： ， ④ ②得： ， ④ ③得： ， ， ， 代入 中，得： ， ，， ， ， ， ； 解法二： ， ， ， ， ， ， ， 将其代入 中得： ， ， ， ， ． 42．阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知 、 、 互不相等），求 的值． 解：设 ，则 ， ， ， ， ． 依照上述方法解答下列问题： ， ， 为非零实数，且 ，当 时，求 的值． 【解答】解：设 ，所以 ①， ②， ③， 由① ② ③，得 ． ， ． ， ， ． ．