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专题 13 用因式分解法求解一元二次方程(重难题型)
1．关于 的一元二次方程 ，下列结论不正确的是（ ）
A．当方程有实数根时
B．当 时，方程一定有两个不相等的实数根
C．当 时，方程的实数根为 ，
D．若 ， 为方程的两个实数根，则有
2．已知关于 的一元二次方程 的两根为 ， ，则一元二次
方程 的根为( )
A．0，4 B．－3，5 C．－2，4 D．－3，1
3．等腰三角形的底边长为6，腰长是方程 的一个根，则该等腰三角形的周
长为（ ）
A．12 B．16 C．l2或16 D．15
4．方程 的解是（ ）
A． B．
C． ， D． ，
5．方程 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为（
）
A．12 B．15 C．12或15 D．18
6．方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
7．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的解是（ ）A．x ＝x ＝0 B．x ＝x ＝1 C．x ＝0，x ＝2 D．x ＝1，x ＝2
1 2 1 2 1 2 1 2
8．方程（x+1）（x﹣3）＝﹣4的解是（ ）
A．x ＝﹣1，x ＝3 B．x ＝x ＝1 C．x ＝1，x ＝﹣1 D．x ＝1，x ＝0
1 2 1 2 1 2 1 2
9．一元二次方程 的解是（ ）
A． ， B． ， C． D． ，
10．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（ ）
A．x ＝2，x ＝﹣3 B．x ＝﹣2，x ＝3
1 2 1 2
C．x ＝﹣2，x ＝﹣3 D．x ＝2，x ＝3
1 2 1 2
11．已知 是关于 的方程 的一个实数根，且该方程的两实数
根恰是等腰 的两条边长，则 的周长为（ ）
A． B． C．6或10 D．8或10
12．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，若 为非负
整数，且该方程的根都是整数，则 的值为（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．
13．关于x的一元二次方程 的一个根是0，则 的值是（
）
A．−3或1 B．1 C．−3 D．
14．已知 ， 是一元二次方程 的两不相等的实数根，且
，则 的值是（ ）
A． 或 B． C． D．15．方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
16．一元二次方程（x+1）2﹣2（x﹣1）2＝7的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一正根一负根
C．有两个正根 D．有两个负根
17．若 是关于x的一元二次方程 的一个根，则a的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D． 或4
18．方程x（x-2）=2x的解是 （ ）
A．x=2 B．x=4 C．x =0，x =2 D．x =0，x =4
1 2 1 2
19．一元二次方程x2＝2x的根是（ ）．
A．0 B．2 C．0和2 D．0和﹣2
20．一元二次方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
21．关于x的一元二次方程 有一个根是0，则k的值是（ ）
A．0 B．1 C．-2 D．1或-2
22．下列一元二次方程中无实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
23．请你判断， 的实根的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
24．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程 的根，则该三角形的周
长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．12或1425．方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
26．在 中， ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
27．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根
的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（ ）个；
①方程 是倍根方程；
②若 是倍根方程，则 ；
③若p、q满足 ，则关于x的方程 是倍根方程；
④若方程 是倍根方程，则必有 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
28．若关于x的一元二次方程 有一根为2020，则方程
必有根为（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2015
29．已知关于x的一元二次方程(k+1)x2+2x+k2-2k-3=0的常数项等于0，则k的值等于（
）
A．-1 B．3 C．-1或3 D．-3
30．若关于x的一元二次方程 的一个根为1，则实数k的值为
________．
31．如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共
有210个小球．32．将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关
于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 ，我们将这
种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：
，且x＞0，则 的值为______．
33．已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一
元二次方程 的两个根，则k的值等于______________．
34．解方程：
（1）x2﹣7x﹣18＝0
（2）（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）﹣3＝0．
35．解方程：
36．按要求解下列方程：
（1）x2﹣2021x＝0；
（2）x2﹣4x﹣8＝0（配方法）37．解下列方程．
（1） x2 8x 9 0 （2） x(x 2) x 2 0
38．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0
（1）求证：无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；
（2）若此方程的根都为正整数，求整数m的值．
39．若关于x的一元二次方程mx2-4x+3=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根．
40．已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）选择一个你喜欢的k值代入，并求此时方程的解.41．小明解关于 的一元二次方程 时，在解答过程中写错了常数项，因而
得到方程的两个根是4和2．
（1）求 的值；
（2）若菱形的对角线长是关于 的一元二次方程 的解，求菱形的面积．
42．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根
（1）求a的取值范围；
（2）请你给出一个符合条件的a的值，并求出此时方程的解．
43．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的 的值，并求此时方程的根．44．已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为 ， ，且k与 都为整数，求k所有可能的值．
45．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．
