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专题2.13 二次根式（专项练习2）
一、单选题
知识点一、最简二次根式的判断
1．下列式子中，属于最简二次根式的是
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）.
A． B． C． D．
3．若最简二次根式 与 的被开方数相同,则a的值为( )
A．- B． C．1 D．-1
知识点二、最简二次根式化简
4．把 化为最简二次根式，得 （ ）
A． B． C． D．
5．下列二次根式中，不能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
6． 下列说法中正确的是（ ）
A． 化简后的结果是 B．9的平方根为3
C． 是最简二次根式 D．﹣27没有立方根
知识点三、化为最简二次根式的参数
7．若最简二次根式 与最简二次根式 是同类二次根式，则x的值为（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝38．若最简二次根式 和 能合并，则x的值可能为( )
A．x＝－ B．x＝ C．x＝2 D．x＝5
9．已知二次根式 与 化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则
a的最小值为（ ）
A．23 B．21 C．15 D．5
知识点四、同类二次根式
10．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
11．若 + = (b为整数)，则a的值可以是（ ）
A． B．27 C．24 D．20
12．下面说法正确的是（ ）
A． 是最简二次根式
B． 与 是同类二次根式
C．形如 的式子是二次根式
D．若 ＝a，则a＞0
知识点五、二次根式的加减法
13．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B． C．（x2）3=x5 D．m5÷m3=m2
14．下列运算正确的是（ ）
A． + = B．3 ﹣2 =1C．2+ =2 D．a ﹣b =（a﹣b）
15．下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
知识点六、二次根式的混合运算
16．估计 的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
17．下列计算正确的是
A． B．
C． D．
18．设 的整数部分为a，小数部分为b，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
知识点七、分母有理化
19．若a＝ + 、b＝ ﹣ ，则a和b互为（ ）
A．倒数 B．相反数 C．负倒数 D．有理化因式
20．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：
，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式
来化简一些有特点的无理数，如：对于 ，设 ，
易知 ，故 ，由，解得 ，
即 ．根据以上方法，化简 后的
结果为（ ）
A． B． C． D．
21．若a＝ ，b＝2+ ，则 的值为（ ）
1
A． B． C．√2+√3 D．
知识点八、已知字母的值，化简求值
22．已知 ， ，则代数式 的值是（ ）
A．24 B．± C． D．
23．已知 ，则代数式 的值是（ ）
A． B． C． D．
24．已知x=2﹣ ，则代数式（7+4 ）x2+（2+ ）x+ 的值是（ ）
A．0 B． C．2+ D．2﹣
知识点九、已知条件，化简求值
25．若 ，则化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．1
26．若 ，则 ( ).A． B． C． D．
27．当 时，多项式 的值为( ).
A．1 B． C． D．
知识点十、比较二次根式的大小
28．设a＝ － ，b＝ －1，c＝ ，则a，b，c之间的大小关系是( )
A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c
29．设x＝ ，y＝ ，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＞y B．x≥y C．x＜y D．x＝y
30． 和 的大小关系是( )
A． B．
C． D．不能确定
知识点十一、二次根式的应用
31．等式 ＝ 成立的条件是( )
A．x＞0 B．x＜1 C．0≤x＜1 D．x≥0且x≠1
32．设a为 的小数部分，b为 的小数部分，则
的值为（ ）
A． B． C． D．33．若实数a，b满足 + =3， ﹣ =3k，则k的取值范围是（ ）
A．﹣3≤k≤2 B．﹣3≤k≤3 C．﹣1≤k≤1 D．k≥﹣1
二、填空题
知识点一、最简二次根式的判断
34．已知：最简二次根式 与 的被开方数相同，则a＋b＝________.
35．在二次根式 ， ， ， 中，是最简二次根式的是_____．
36．若二次根式 是最简二次根式，则最小的正整数a=______
知识点二、最简二次根式化简
37．计算： ＝_____．
38．若 ，把 化成最简二次根式为________．
39．化简二次根式： ________， ______．
知识点三、化为最简二次根式的参数
40． 与最简二次根式 是同类二次根式，则 __________．
41．若最简二次根式 和 可以合并，则 ______．
42．若最简二次根式 和 是同类二次根式，则m=_____．
知识点四、同类二次根式
43． 与最简二次根式5 是同类二次根式，则a=_____．
44．若最简二次根式 与 能合并成一项，则a＝_____．
45．已知最简二次根式 与 可以合并，则 的值为_________.知识点五、二次根式的加减法
46．计算： ＝_____．
47．已知： ，则 _________．
48．观察下列等式：
第1个等式：a= ，
1
第2个等式：a= ，
2
第3个等式：a= =2- ，
3
第4个等式：a= ，
4
…
按上述规律,回答以下问题：
(1)请写出第n个等式：a=__________.
n
(2)a +a+a+…+a =_________
1 2 3 n
知识点六、二次根式的混合运算
49．若m＝ ，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝_____．
50．计算 =________________ .
51．化简 的结果为_____．
知识点七、分母有理化
52．分母有理化： ＝_____．
53．已知 ， ，则 的值是______．54．已知 ，a是x的整数部分，b是x的小数部分，则a-b=_______
知识点八、已知字母的值，化简求值
55．已知 ，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应 值的总和是
__________．
56．若实数 ，则代数式 的值为___.
57．已知y＝ ＋ ＋18，求代数式 ﹣ 的值为_____．
知识点九、已知条件，化简求值
58．已知 ，求 _____．
59．若 ,化简 __________.
60．若x，y为实数，且|x+1|+ ＝0，则（xy）2020的值是_____．
知识点十、比较二次根式的大小
61．比较大小：2 ____3 (填“ ＞、＜、或 = ”).
62．比较大小：－ ______－ .
63．比较大小： ___
知识点十一、二次根式的应用
64．观察下列各式： ， ， ，……请你将发现
的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来__________________．
65．已知1＜x＜2， ，则 的值是_____．66．设 的整数部分为 a,小数部分为 b.则 = __________________________.
三、解答题
知识点一、最简二次根式的判断
67．判断下列二次根式是否是最简二次根式，并说明理由．
； ； ； ； ； ．
知识点二、最简二次根式化简
68．把根号外的因式移到根号内：
(1) (2)
知识点三、化为最简二次根式的参数
69．如果 与 都是最简二次根式，又是同类二次根式，且 ＋
＝0，求x、y的值．
知识点四、同类二次根式
70．若最简二次根式 与 是同类二次根式，求 的值．知识点五、二次根式的加减法
71．计算：
（2）
（1）
知识点六、二次根式的混合运算
71．计算:（1） （2）
知识点七、分母有理化
72．先化简，再求值： ，其中 .
知识点八、已知字母的值，化简求值
73．先化简，后求值：（a+ ）（a﹣ ）﹣a（a﹣2），其中a= ．
知识点九、已知条件，化简求值
74．已知 ，求 的值．
知识点十、比较二次根式的大小
76．先观察解题过程，再解决以下问题：
比较 与 的大小．解： ， ，
， 又 ，
（1）比较 与 的大小．
（2）试比较 与 的大小．
知识点十一、二次根式的应用
77．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平
方，如： ，善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中 均为整数），则有
．
∴ ．这样小明就找到了一种把部分 的式子化为平方式的方
法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
当 均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分别表示 ，
得 ＝ ， ＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数 ，填空： ＋ ＝( ＋
)2；
（3）若 ，且 均为正整数，求 的值．参考答案
1．B
解：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条
件 (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因
式是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.
∵ ，∴ 属于最简二次根式.故选B.
2．A
解：根据最简二次根式的意义，可知 是最简二次根式， = ， ，
=x ，不是最简二次根式.
故选A.
3．C
【分析】根据最简二次根式的定义可知 = ，解出a即可.
解：依题意 = ，解得a=1，选C.
【点拨】此题主要考查最简二次根式的定义，解题的关键是找到被开方数相等.
4．A
【分析】根据最简二次根式的定义将原式子化简可得答案..
解： = = = .
故选A.
【点拨】本题主要考查二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键
5．D
【分析】先化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数是否与 相同，可得答案．
解：A、 ＝ ，故A能与 合并；B、 ＝2 ，故B能与 合并；
C、 ＝3 ，故C能与 合并；
D、 ＝2 ，故D不能与 合并；
故选D
【点拨】本题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式．
6．A
解：A． = ，故正确．
B．9的平方根为±3，故错误．
C． = ， 不是最简二次根式，故错误．
D．﹣27的立方根为﹣3，故错误．
故选A．
考点：最简二次根式；平方根；立方根；分母有理化．
7．D
【分析】根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可．
解：∵最简二次根式 与 最简二次根式是同类二次根式，
∴x+3＝2x，
解得：x＝3，
故选：D．
【点拨】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，熟练掌握这些知识点是解题的
关键．
8．C
【分析】根据能合并的最简二次根式是同类二次根式列出方程求解即可．
解：∵最简二次根式 和 能合并，
∴2x+1=4x-3，
解得x=2．故选C．
【点拨】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数
相同的二次根式称为同类二次根式．
9．D
【解析】
【分析】由 ，且与 是同类二次根式知23﹣a＝2n2，分别取n＝1、2、3
即可得答案．
解：∵ ，且与 是同类二次根式，
∴23﹣a＝2时，a＝21；
23﹣a＝8时，a＝15；
23﹣a＝18时，a＝5；
23﹣a＝32时，a＝﹣9（不符合题意，舍）；
∴符合条件的正整数a的值为5、15、21．
∴a的最小值为5．
故选D．
【点拨】本题主要考查最简二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念．
10．C
【分析】同类二次根式定义为几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，
这几个二次根式叫做同类二次根式.
解：符合定义的只有C项，所以答案选择C项.
【点拨】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键.
11．D
【分析】根据 + = (b为整数),可得： 的值等于一个整数的平方与5的乘积，
据此求解即可．
解：∵ + = (b为整数)，
∴ 的值等于一个整数的平方与5的乘积，
∵
∴ 的值可以是20.故选D.
【点拨】考查二次根式的加减，正确化简二次根式是解题的关键.
12．A
【分析】根据最简二次根式的定义以及同类二次根式的定义即可求出答案．
解：A． 是最简二次根式，正确；
B． ，故2 与 不是同类二次根式，故B错误；
C．形如 （a≥0）的式子是二次根式，故C错误；
D．若 a，则a≥0，故D错误．
故选A．
【点拨】本题考查了二次根式，解题的关键是正确理解二次根式的相关概念，本题属于基
础题型．
13．D
【解析】
分析：直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计
算得出答案．
详解：A、a2与a3不是同类项，无法计算，故此选项错误；
B、3 - =2 ，故此选项错误；
C、（x2）3=x6，故此选项错误；
D、m5÷m3=m2，正确．
故选D．
点睛：此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相
关运算法则是解题关键．
14．D
解：利用二次根式的加减法计算，可知：
A、 + 不能合并，此选项错误；
B、3 ﹣2 = ，此选项错误；C、2+ 不能合并，此选项错误；
D、a ﹣b =（a﹣b） ，此选项正确．
故选D．
15．C
【分析】根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案．
解：A． 与 不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
B．2与 不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
C． ，此选项计算正确；
D．2 与﹣2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
故选：C．
【点拨】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则与同
类二次根式的概念．
16．B
解：【分析】先利用分配律进行计算，然后再进行化简，根据化简的结果即可确定出值的
范围.
【详解】
= ，
= ，
而 ，
4< <5，
所以2< <3，所以估计 的值应在2和3之间，
故选B.
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，熟练掌握运算
法则以及“夹逼法”是解题的关键.
17．D
【分析】根据二次根式的运算法则逐项计算即可判断.
解：A、 和 不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B、 =2 ，故错误；
C、 = ，故错误；
D、 = =2 ，故正确.
故选D.
【点拨】本题考查了二次根式的四则运算.
18．D
解：∵1＜2＜4，∴1＜ ＜2，
∴﹣2＜ ＜﹣1，∴2＜ ＜3，
∴a=2，b= ， ，
∴ ．
故选D．
【点拨】本题考查估算无理数的大小．
19．D
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案
解： a+b≠0，ab≠ 1
a与b不是互为相反数，倒数，负倒数故选D
【点拨】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解相反数，倒数，负倒数的概念.
20．D
【分析】根据题中给的方法分别对 和 进行化简，然后再进
行合并即可.
解：设 ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴原式 ，
故选D．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和
掌握题中介绍的方法是解题的关键.
21．B
【解析】
【分析】将a乘以 可化简为关于b的式子，从而得到a和b的关系，继而能
得出 的值．解：a＝ • ＝
．
∴ ．
故选：B．
【点拨】本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形
式．
22．C
【分析】首先把原式变为 ，再进一步代入求得答案即可．
解：∵a=3 ，b=3 ，∴a+b=6，ab=4，∴
=2 ．
故选C．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，抓住式子的特点，灵活利用完全平方公式变形，
使计算简便．
23．D
【分析】直接代入，利用完全平方公式以及平方差公式计算即可.
解：∵ ，
∴
．
故选D.【点拨】本题考查了二次根式的化简求值、乘法公式等知识，解题的关键是熟练掌握应用
乘法公式，掌握二次根式的混合运算法则.
24．C
【分析】把x的值代入代数式，运用完全平方公式和平方差公式计算即可
解：当x=2﹣ 时，
（7+4 ）x2+（2+ ）x+
＝（7+4 ）（2﹣ ）2+（2+ ）（2﹣ ）+
＝（7+4 ）（7-4 ）+1+
＝49-48+1+
＝2+
故选C.
【点拨】此题考查二次根式的化简求值，关键是代入后利用完全平方公式和平方差公式进
行计算．
25．D
【分析】由1≤a≤2，即可判断出a-1≥0，a-2≤ 0，继而去根号和绝对值即可得出结果．
解：∵1≤a≤2，
∴a-1≥0，a-2≤0，
∴原式= =a-1+2-a=1，
故答案为D．
【点拨】二次根式和绝对值的化简是本题的考点，根据a的取值范围判断出a-1≥0，a-2≤ 0
是解题的关键.
26．D
【分析】根据二次根式的意义先化简各项，再进行分式的加减运算可得出解.
解：∵0＜x＜1，
∴0＜x＜1＜ ，∴ ， ．
原式=
=
=
=2x．
故选D．
点睛：本题考查了二次根式的性质和绝对值化简，也考查了分式的加减.
27．B
【分析】由原式得 ，得 ，原式变形后再将
代和可得出答案.
解：∵ ，
，即 ，
．
原式 ．
【点拨】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，学会转化.
28．D
解：a= － = （ -1），b= -1；c= = = ×（
-1），∵ ＞1＞ ，
∴a＞b＞c．
故选D．
29．A
【解析】
【分析】把x的值分母有理化，再比较．
解：x= =3- ，3- ＞ −3，
所以x=-y且x＞y．
故选：A．
【点拨】此题考查了分母有理化和比较实数的大小，化简 ，判断与 −3两者互为
相反数是解决本题的关键．
30．A
解：试题解析：
即
故选A.
点睛：两个负数，绝对值大的反而小.
31．C
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数必须是非负数，而且分母不能为0，可得x≥0，1-x＞0，
解不等式组即可．
解：由题意得， ,解得：0≤x＜1．
故答案为：C.
【点拨】本题主要考查了二次根式的乘除法运算和二次根式有意义的条件．二次根式的被
开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据．
32．B
【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、
运算、求值，即可解决问题．
解：
∴a的小数部分为 ，
∴b的小数部分为 ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．
33．C
【解析】
依据二次根式有意义的条件即可求得k的范围．
解：若实数a，b满足 + =3，又有 ≥0， ≥0，
故有0≤ ≤3 ①，0≤ ≤3，则
﹣3≤- ≤0 ②
+②可得﹣3≤ ﹣ ≤3，又有 ﹣ =3k，
即﹣3≤3k≤3，化简可得﹣1≤k≤1．
故选C．
点睛：本题主要考查了二次根式的意义和性质．解题的关键在于二次根式具有双非负性，
即 ≥0（a≥0），利用其非负性即可得到0≤ ≤3，0≤ ≤3，并对0≤ ≤3变形得到﹣
3≤- ≤0，进而即可转化为关于k的不等式组，求出k的取值范围.
34．8
【分析】根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可解出二
元一次方程组，再解出即可.
解：由题意得 解得
∴a＋b＝8.
【点拨】此题主要考查最简二次根式的定义，解题的关键是最简二次根式的定义列出方程
进行求解.
35． ,
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
解：最简二次根式的是 , ，
【点拨】本题考查的知识点是最简二次根式，解题的关键是熟练的掌握最简二次根式.36．2
解：因为a为正整数，当a=1时, =
不是最简二次根式，当a=2时， =
是最简二次根式，所以二次根式 是最简二次根式，
则最小的正整数a为2
故答案为：2．
【点拨】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两
个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
37．
【分析】根据算术平方根的定义求解可得．
解：解: =
故答案为
【点拨】本题考查算术平方根，解题关键是熟练掌握算术平方根的定义．
38．
【分析】先判断b的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可.
解：∵
∴
∴
所以答案是：【点拨】本题考查了二次根式的性质 .
39．
【分析】根据化简二次根式的一般方法计算即可．
解：
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查二次根式的化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键．
40．1
【分析】先把 化为最简二次根式 ，再根据同类二次根式的定义得到m＋1＝2，然
后解方程即可．
解：∵ ，
∴m＋1＝2，
∴m＝1．
故答案为1．
【点拨】本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，
那么这几个二次根式叫同类二次根式．
41．
【分析】由最简二次根式的定义，以及同类二次根式的定义，先求出a、b的值，然后进行
计算，即可得到答案．
解：∵最简二次根式 和 可以合并，
∴ 和 是同类二次根式，
∴ ，∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了最简二次根式的定义，以及同类二次根式的定义，解题的关键是熟记
所学的定义，正确求出a、b的值．
42．7．
【分析】由最简二次根式的定义可得3m+1=8+2m，解出m即可.
解：由题意得：3m+1=8+2m，解得：m=7.
故答案为7.
【点拨】本题主要考查最简二次根式的定义.
43．2
解：分析：先将 化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出
关于a的方程，解出即可．
详解：∵ 与最简二次根式5 是同类二次根式，且 =2 ，
∴a+1=3，解得：a=2．
故答案为2．
点睛：本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二
次根式叫做同类二次根式．
44．1
【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，
可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．
解： ，
由最简二次根式 与 能合并成一项，得
a+1＝2．解得a＝1．
故答案是：1．
【点拨】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数
相同的二次根式称为同类二次根式．
45．2
【分析】两个最简二次根式能够合并，则说明二者是同类二次根式，所以其被开方数、根
指数相同，依此建立方程组求解，再进一步代入求值即可
解：由题意得： ， ；解得 ， ；所以
所以答案为2
【点拨】本题考查了同类二次根式的性质，熟练掌握其概念是解题关键
46．
解：原式= ．
故答案为 ．
47．6
【分析】根据二次根式的运算法则即可求解．
解：∵
∴a=3,b=2
∴ 6
故答案为：6．
【点拨】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
48．
【分析】（1）由题意，找出规律，即可得到答案；
（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案．
解：∵第1个等式：a= ，
1第2个等式：a= ，
2
第3个等式：a= =2- ，
3
第4个等式：a= ，
4
……
∴第n个等式： ；
故答案为： ；
（2）
=
= ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次根式的加减混合运算，以及数字规律问题，解题的关键是掌握题
目中的规律，从而进行解题
49．4030
【分析】利用平方差公式化简m，整理要求的式子，将m的值代入要求的式子计算即可.
解：m= = m= = +1，
∴m3-m2-2017m+2015
=m2（m﹣1）﹣2017m+2015
= （ +1）2× ﹣2017（ +1）+2015
=（2017+2 ）× ﹣2017 ﹣2017+2015=2017 +2×2016﹣2017 ﹣2
=4030.
故答案为4030.
【点拨】本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算.
50．
【解析】
=
，
故答案为 .
51． +1
【分析】利用积的乘方得到原式＝[（ ﹣1）（ +1）]2017•（ +1），然后利用平方
差公式计算．
解：原式＝[（ ﹣1）（ +1）]2017•（ +1）＝（2﹣1）2017•（ +1）＝ +1．
故答案为 +1．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，
灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
52． + ．
【解析】
【分析】一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．据此作答．
解：解: = = + ．
故答案为 + ．
【点拨】本题考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公
式的特点的式子．
53． ．
【分析】先对a、b分母有理化，然后将 因式分解，最后将a、b的值代入计算即可．
解：∵ ，
，
∴
．
故填： ．
【点拨】本题主要考查了分母有理化以及因式分解的应用，正确的对a、b因式分解是解答
本题的关键．
54．
【分析】先把x分母有理化求出x= ，求出a、b的值，再代入求出结果即可．
解：
∵
∴
∴∴
【点拨】本题考查了分母有理化和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求a、b的值．
55．
【分析】先化简二次根式求出y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得．
解：
当 时，
当 时，
则所求的总和为
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方
法是解题关键．
56．3
解：∵ = ，
∴ =（a-2）2= =3，
故答案为3.
57．-
【分析】首先由二次根式有意义的条件求得x＝8，则y＝18，然后代入化简后的代数式求
值．
解：由题意得，x﹣8≥0，8﹣x≥0，
解得，x＝8，则y＝18，
∵x＞0，y＞0，∴原式＝ ﹣
＝ ﹣
＝
＝ ﹣
把x＝8， y＝18代入
原式＝ ﹣
＝2 ﹣3
＝- ，
故答案为：- ．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的化简求值，解题关键是根据二次
根式有意义的条件确定x、y的值，能够熟练的运用二次根式的性质化简．
58．13
【解析】
【分析】由 得a+b=2ab，然后再变形 ，最后代入求解即可.
解：∵
∴a+b=2ab
∴
故答案为13.
【点拨】本题考查了已知等式求代数式的值，解答的关键是通过变形找到等式和代数式的联系.
59．
【分析】首先将已知条件的不等式进行转换，，即可判定化简式的正负，即可得解.
解：由已知条件可得，
解得 ，即 ，
∴ ，
∴原式
故答案为 .
【点拨】此题主要考查二次根式的化简，关键是根据已知条件判定其正负.
60．1
【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出x，y的值，进而得出答案．
解：∵x，y为实数，且|x+1|+ ＝0，
∴x+1＝0，y-1＝0，
解得：x＝-1，y＝1，
则(xy)2020＝1．
故答案为：1．
【点拨】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
61．＜
解：试题分析：将两式进行平方可得： =12， =18，因为12＜18，则
＜ .
62．>
【解析】
， .
63．＜
【分析】直接利用二次根式的性质分别变形，进而比较得出答案．解： =
=
∵ ＞
∴
∴ ＜
故答案为：＜．
【点拨】此题主要考查了二次根式的分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．
64．
【分析】观察分析可得 ， ，
，则将此规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
解：由分析可知，发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
故答案为：
【点拨】本题主要考查二次根式，找出题中的规律是解题的关键，观察各式，归纳总结得到一般性规律，写出用n表示的等式即可．
65．-2
解：∵x+ =7，∴x-1+ =6，∴（x-1）-2+ =4，
即 =4，
又∵1＜x＜2,
∴ =-2，
故答案为-2.
【点拨】本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是要根据所求
的式子对已知的式子进行变形.
66．
【分析】根据实数的估算求出a,b，再代入 即可求解.
解：∵1＜ ＜2，
∴-2＜- ＜-1，
∴2＜ ＜3
∴整数部分a=2,小数部分为 -2=2- ，
∴ = =
故填： .
【点拨】此题主要考查无理数的估算，分母有理化等，解题的关键熟知实数的性质.67．（1）不是最简二次根式； 不是最简二次根式；（3）是最简二次根式；（4）不是
最简二次根式； 不是最简二次根式；（6）是最简二次根式．
【分析】根据最简二次根式的定义分别进行判断即可．
解： ，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
是最简二次根式．
【点拨】此题主要考查了最简二次根式的定义，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简
二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方
的因数或因式．
68．（1） ；（2）
解：试题分析：根据二次根式的性质进行化简即可.
试题解析：(1)原式
(2)原式
69．x＝8，y＝6.
【解析】
【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可．
解：由题意，得
3a﹣11＝19﹣2a，解得 a＝6.
所以 ＋ ＝0.
因为 ≥0， ≥0，
所以 24－3x＝0，y－6＝0.
解得 x＝8，y＝6.
【点拨】本题考查最简二次根式，熟练掌握运算法则是解题关键.
70．
【分析】根据同类二次根式的概念可得关于a的方程，解方程即可求得答案.
解：根据题意，得 ，
即 ，
所以 .
【点拨】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方
数相同的二次根式称为同类二次根式．
71．(1) ;(2)
【解析】试题分析：（1）将各个二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可得解；
（2）将原式按照完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类二次根式即可得解.
试题解析：（1）原式=
=
（2）原式=
=
72．（1） （2）9【分析】（1）根据绝对值的意义去绝对值，然后合并即可；
（2）先进行开方运算，然后进行加法运算．
解：（1）原式=
=2 -4；
（2）原式=-（-2）+5+2
=2+5+2
=9．
73． .
【分析】根据分式的运算法则进行化简，再代入求解.
解：原式= .
将 代入原式得
【点拨】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.
74．
【分析】先根据平方差公式和单项式与多项式的乘法将原式化简，再将a的值代入计算可
得．
解：原式=a2﹣5﹣a2+2a=2a﹣5，
当a= 时，
原式=2×（ ）﹣5
=2 +1﹣5
=2 ﹣4．
【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
75．7．
【解析】
【分析】给等式两边同时除以x，可得 ，然后再用完全平方公式对 进行
变形即可.
解：由 得 ，即 ，∴ = =9-2=7．
【点拨】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是对等式和代数式进行变形，寻找
联系.
76．（1） ＜ ；（2） ＜
【分析】（1）根据示例中的方法，把 与 化为分子是1的数，再比较大
小即可；
（2）根据示例中的方法，把 与 化为分子是1的式子，再比较大
小即可．
解：（1）∵ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ＜ ，即： ＜ ；
（2）∵( )( )=1，( )( )=1，
∴ ， ，又∵ ＞ ，
