文档内容
2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.13二次函数单元测试（能力过关卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021秋•费县期中）抛物线y＝3（x+4）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（2，4） B．（2，﹣4） C．（4，2） D．（﹣4，2）
【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵y＝3（x+4）2+2是抛物线解析式的顶点式，
∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣4，2）．
故选：D．
2．（2021秋•崇川区校级月考）函数 y＝（a﹣3）x|a﹣1|+（a﹣1）x+3的图象是抛物线，则 a的值是
（ ）
A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．a≠3
【分析】根据二次函数的定义解答即可．
【解答】解：由题意可得，
，
解得：a＝﹣1，
故选：B．
3．（2019•道外区二模）将抛物线y＝x2沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移1个单位，则得到
的抛物线解析式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣1 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+1）2﹣1
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解题．
【解答】解：抛物线y＝x2沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移1个单位，那么所得新抛物线
的表达式是y＝（x+1）2﹣1．
故选：D．
4．（2021秋•蜀山区校级月考）抛物线y＝x（x+k）﹣k+1（k是常数）与x轴的交点情况是（ ）A．没有交点 B．有唯一的交点
C．有两个不同的交点 D．以上结果都有可能
【分析】先令y＝0，得出关于x的一元二次方程，由Δ＞0可得答案．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+kx﹣k+1（k为常数），
∴当y＝0时，0＝x2+kx﹣k+1，
∴△＝k2﹣4×1×（﹣k+1）＝k2+4k﹣4＝（k+2）2﹣8，
∴不确定△的范围，
故选：D．
5．（2021•新华区校级一模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球运动时间t
（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球运动的时间为6s；
③小球抛出3秒时，速度为0；
④当t＝1.5s时，小球的高度h＝30m．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．①② C．②③④ D．②④
【分析】①②③可直接由函数图象中的信息分析得出答案；④可由待定系数法求得函数解析式，再
将t＝1.5s代入计算，即可作出判断．
【解答】解：①由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m，则小球在空中经过的路程一定大于
40m，故①错误；
②由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故③正确；
④设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，将（0，0）代入得：
0＝a（0﹣3）2+40，
解得a＝﹣ ，∴函数解析式为h＝﹣ （t﹣3）2+40，
∴当t＝1.5s时，h＝﹣ （1.5﹣3）2+40＝30，
∴④正确．
综上，正确的有②③④．
故选：C．
6．（2021•张家口一模）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为
一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流
距离喷水头20米时，达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距
离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷
灌．下列说法正确的是（ ）
A．水流运行轨迹满足函数y＝﹣ x2﹣x+1
B．水流喷射的最远水平距离是40米
C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米
D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌
【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+c，用待定系数法求得解析式，则可判断A；当x＝40时，
y＝0.1×40＝4，y＝4，解方程，即可判断B；计算当x＝30时的y值，则可判断选项C和D．
【解答】解：由题意可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+k，
将（0，1），（20，11）分别代入，得： ，解得： ，
∴y＝﹣ （x﹣20）2+11＝﹣ x2+x+1，
故A错误；
∵坡度为1：10，
∴直线OA的解析式为y＝0.1x，
当x＝40时，y＝0.1×40＝4，
令y＝4，得﹣ x2+x+1＝4，
∴x2﹣40x+120＝0，
解得x＝20±2 ≠40，
∴B错误；
设喷射出的水流与坡面OA之间的铅直高度为h米，
则h＝﹣ x2+x+1﹣0.1x＝﹣ x2+ x+1，
∴对称轴为x＝﹣ ＝18，
∴h ＝9.1，故C正确；
max
将喷灌架向后移动7米，则图2中x＝30时抛物线上的点的纵坐标值等于x＝37时的函数值，
当x＝37时，y＝﹣ ×372+37+1＝3.775，
在图2中，当x＝30时，点B的纵坐标为：0.1×30+2.3＝5.3，
则点A的纵坐标为5.3﹣2.3＝3＜3.775，故D错误．
故选：C．
7．（2021•建湖县二模）如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为y＝
x2﹣x+9：②若点B（﹣1，n）在这个二次函数图象上，则n＞m；③该二次函数图象与x轴的另一个交
点为（﹣4，0）；④当0＜x＜5.5时，m＜y＜8．所有正确结论的序号是（ ）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【分析】①由顶点坐标设出抛物线解析式，将点（8，0）代入解析式求解．
②由图象开口向下，对称轴为直线x＝2，求出点A，B距离对称轴的距离求解．
③由图象的对称性可得，抛物线与x轴两交点关于直线x＝2对称，由中点坐标公式求解．
④由图象中（0，8），（2，9），（8，0）可得y的取值范围．
【解答】解：①由图象顶点（2，9）可得y＝a（x﹣2）2+9，
将（8，0）代入y＝a（x﹣2）2+9得0＝36a+9，
解得a＝﹣ ，
∴y＝﹣ （x﹣2）2+9＝y＝﹣ x2+x+8，
故①错误．
②∵5.5﹣2＞2﹣（﹣1），
点A距离对称轴距离大于点B距离对称轴距离，
∴m＜n，
故②正确．
③∵图象对称轴为直线x＝2，且抛物线与x轴一个交点为（8，0），
∴图象与x轴的另一交点横坐标为2×2﹣8＝﹣4，
故③正确．
④由图象可得当x＝0时y＝8，x＝5.5时y＝m，x＝2时y＝9，
∴0＜x＜5.5时，m＜y≤9．
故④错误．
故选：C．
8．（2021•永春县模拟）已知二次函数y＝x2﹣2ax+5，当3≤x≤7时，y在x＝7取得最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤3 B．a≤5 C．3≤a≤5 D．a≥5
【分析】抛物线线开口向上，对称轴为直线x＝a，离对称轴距离越远的点的y值越大．
【解答】解：抛物线y＝x2﹣2ax+5对称轴为直线x＝a，且开口向上，
∴x＞a时，y随x增大而增大，x小于a时y随x增大而减小，
当7﹣a≥a﹣3时，a≤5满足题意，
当a≤3时满足题意，
∴a≤5．
故选：B．
9．（2021•镇江一模）将二次函数y＝﹣x2+2x+3（0≤x≤4）位于x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原二
次函数位于x轴上方的部分组成一个新图象，这个新图象对应的函数最大值与最小值之差为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【分析】令 y＝0，则 x ＝﹣1，x ＝3，令x＝0，则y＝3，再求出抛物线于x轴右侧的交点A（3，
1 2
0），翻折后的函数表达式为：﹣y′＝﹣x2+2x+3，当 x＝4 时，y′＝5，当 0≤x≤4 时，函数的最小
值为0，最大值为5，即可求出函数最大值与最小值之差．
【解答】解：如下图，函数y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，故顶点P的坐标为（1，4），
令 y＝0，则 x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
令x＝0，则y＝3，
设抛物线于x 轴右侧的交点A（3，0），
根据点的对称性，图象翻折后图象关于x 轴对称，故翻折后的函数表达式为：﹣y′＝﹣x2+2x+3，当 x
＝4 时，y′＝5，
∴当 0≤x≤4 时，函数的最小值为 0，最大值为5，
故函数最大值与最小值之差为5，
故选：D．
10．（2020秋•招远市期末）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+2交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，
顶点为B．下列说法：其中正确判断的序号是（ ）①抛物线与直线y＝3有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y ），N（1，y ），P（2，y ）在该函数图象上，则y ＜y ＜y ；
1 2 3 1 2 3
③将该抛物线先向左，再向下均平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+1；
④在x轴上找一点D，使AD+BD的和最小，则最小值为 ．
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【分析】①抛物线的顶点B（1，3），则抛物线与直线y＝3有且只有一个交点，即可求解；
②抛物线x轴的一个交点在2和3之间，则抛物线与x轴的另外一个交点坐标在x＝0或x＝﹣1之间，
即可求解；
③y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，将该抛物线先向左，再向下均平移2个单位，所得抛物线解析式为
y＝﹣（x+1）2+1，即可求解；
④点A关于x轴的对称点A′（0，﹣2），连接A′B交x轴于点D，则点D为所求，即可求解．
【解答】解：①抛物线的顶点B（1，3），则抛物线与直线y＝3有且只有一个交点，正确，符合题意；
②抛物线x轴的一个交点在2和3之间，则抛物线与x轴的另外一个交点坐标在x＝0或x＝﹣1之间，
则点N是抛物线的顶点为最大，点P在x轴上方，点M在x轴的下放，故y ＜y ＜y ，故错误，不符合
1 3 2
题意；
③y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，将该抛物线先向左，再向下均平移2个单位，所得抛物线解析式为
y＝﹣（x+1）2+1，正确，符合题意；
④点A关于x轴的对称点A′（0，﹣2），连接A′B交x轴于点D，则点D为所求，距离最小值为
BD′＝ ＝ ，正确，符合题意；
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．（2021•武进区校级模拟）二次函数y＝ x2﹣3的顶点坐标是 （ 0 ，﹣ 3 ） ．【分析】直接根据二次函数的顶点式即可求得顶点坐标．
【解答】解：二次函数y＝ x2﹣3的图象的顶点坐标为（0，﹣3）．
故答案为（0，﹣3）．
12．（2021秋•崇川区校级月考）已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4的图象的顶点在x轴上，则m的值是
6 或﹣ 2 ．
【分析】根据二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4的图象的顶点在x轴上，可知该函数顶点的纵坐标为0，即
＝0，然后求解即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4的图象的顶点在x轴上，
∴ ＝0，
解得m ＝6，m ＝﹣2，
1 2
故答案为：6或﹣2．
13．（2019秋•金凤区校级期末）抛物线y＝x2+bx+c的图象先向右平移2个单位再向下平移3个单位，所
得图象的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，则bc＝ 0 ．
【分析】直接利用配方法将原二次函数解析式变形，进而利用平移规律得出答案．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∵抛物线y＝x2+bx+c的图象先向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y＝x2﹣2x
﹣3，
∴y＝x2+bx+c＝（x﹣1+2）2﹣4+3＝x2+2x，
∴b＝2，c＝0，
故bc＝0．
故答案为：0．
14．（2021秋•连山区月考）已知函数y＝mx2+2x﹣m+2的图象与坐标轴只有两个交点，则m＝ 0 或 1 或
2 ．
【分析】根据题意，分三种情况讨论：（1）m＝0时，函数的图象是一条直线，它与x轴、y轴各有一
个交点，与坐标轴只有两个交点；
（2）m≠0时，Δ＝b2﹣4ac＝0，据此求出m的值是多少即可；（3）m≠0时，Δ＝b2﹣4ac＞0，函数的图象一定经过原点，据此求出m的值是多少即可．
【解答】解：（1）m＝0时，函数的图象是一条直线：y＝2x+2，
它与x轴、y轴各有一个交点，与坐标轴只有两个交点；
（2）m≠0时，Δ＝b2﹣4ac＝0，
∴22﹣4m（﹣m+2）＝0，
∴m2﹣2m+1＝0，
解得m＝1；
（3）m≠0时，Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴22﹣4m（﹣m+2）＞0，
∴（m﹣1）2＞0，
此时函数的图象一定经过原点，
∴﹣m+2＝0，
解得m＝2；
综上，可得m的值为0或1或2．
故答案为：0或1或2．
15．（2021秋•仓山区校级月考）已知抛物线y＝﹣x2+mx+2m，当﹣1≤x≤2时，对应的函数值y的最大值
是6，则m的值是 ﹣ 4+ 2 ．
【分析】先求出抛物线的对称轴方程为x＝ ，讨论：若 ＜﹣1，利用二次函数的性质，当﹣1≤x≤2
时，y随x的增大而减小，即x＝﹣1时，y＝6，所以﹣（﹣1）2﹣m+2m＝6；若﹣1≤ ≤2，根据二次
函数的性质，当﹣1≤x≤2，所以x＝ 时，y＝6，所以﹣（ ）2﹣ +2m＝6；当 ＞2，根据二次函
数的性质，﹣1≤x≤2，y随x的增大而增大，即x＝2时，y＝6，所以﹣22+2m+2m＝6，然后分别解关于
m的方程确定满足条件的m的值．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝ ，
当 ＜﹣1，即m＜﹣2时，则﹣1≤x≤2，y随x的增大而减小，即x＝﹣1时，y＝6，所以﹣（﹣1）2﹣
m+2m＝6，解得m＝7（舍）；当﹣1≤ ≤2，即﹣2≤m≤4时，则﹣1≤x≤2，所以x＝ 时，y＝6，所以﹣（ ）2+ +2m＝6，解
得m ＝﹣4+2 ，m ＝﹣4﹣2 （舍去）；
1 2
当 ＞2，即m＞4时，则﹣1≤x≤2，y随x的增大而增大，即x＝2时，y＝6，所以﹣22+2m+2m＝6，
解得m＝ （舍）；
综上所述，m的值为﹣4+2 ．
故答案为：﹣4+2 ．
16．（2020秋•阜宁县期末）向空中发射一枚炮弹，经 x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝
ax2+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第5秒与第13秒时的高度相等，则第 9 秒时炮弹位置达到最高．
【分析】求出抛物线的对称轴，即可得炮弹位置达到最高时x的值．
【解答】解：∵此炮弹在第5秒与第13秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是直线x＝ ＝9，
∴炮弹位置达到最高时，时间是第9秒．
故答案为：9．
17．（2020秋•泰兴市期末）已知抛物线 y＝ax2﹣4ax+b（a≠0），若记抛物线在1≤x≤4之间的图象为
G，若a≤3，无论a取何值时，图象G恒在直线y＝1的上方，求b的取值范围 b ＞ 1 3 ．
【分析】先求出函数的对称轴直线，然后分0＜a≤3和a＜0两种情况根据函数的性质进行讨论即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣4ax+b（a≠0），
∴对称轴x＝﹣ ＝2，
①当a＞0时，抛物线在1≤x≤4之间的图象先减后增，
此时抛物线的最低点对应的函数值为 ＝b﹣4a，
∵a≤3，无论a取何值时，图象G恒在直线y＝1的上方，
∴b﹣4a＞1，即b＞4a+1，
∵0＜a≤3，
∴b＞13；②a＜0时，抛物线在1≤x≤4之间的图象先增后减，
∵a≤3，无论a取何值时，图象G恒在直线y＝1的上方，
当x＝1时，y＝a﹣4a+b＝b﹣3a，
当x＝4时，y＝16a﹣16a+b＝b，
根据函数的性质和题意，b＞1，且b﹣3a＞1，
根据①②可得，b＞13，
故答案为：b＞13．
18．（2021秋•西城区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（0，y ），B（2，﹣1），C（4，
1
y ）三点，其中y ＞y ＞﹣1．下面四个结论中：
2 2 1
①抛物线开口向下；
②当x＝2时，y取最小值﹣1；
③当m＞﹣1时，一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根；
④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＜ax2+bx+c时，x的取值范围是x＜0或x＞4．
正确的结论有 ③④ ．（填序号）
【分析】将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式，求出抛物线的表达式为y＝x2﹣3x+1，画出函数图象，
进而求解．
【解答】解：将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得 ，解得 ，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣3x+1，
函数图象如下：
①∵a＝1＞0，故抛物线开口向上，故错误；
②抛物线开口向上，则x＝﹣ ＝ 时，取得最小值，当x＝ 时，y＝x2﹣3x+1＝﹣ ，故错误；
③由B知，函数的最小值为﹣ ＜﹣1，
故m＞﹣1时，直线y＝m和y＝ax2+bx+c有两个交点，
故一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等实根，故正确；
④观察函数图象，直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，
当kx+c＜ax2+bx+c时，x的取值范围是x＜0或x＞4，故正确；
故答案为：③④．
三．解答题（共6小题）
19．（2021秋•拱墅区校级期中）已知二次函数y＝ax2+2x﹣3的图象经过点（1，0）．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）求出该函数的顶点坐标与对称轴．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）利用二次函数性质确定出顶点坐标和对称轴．
【解答】解：（1）把点（1，0）代入y＝ax2+2x﹣3得：0＝a+2﹣3，
解得：a＝1，
则二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴该函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），对称轴为直线x＝﹣1．
20．（2020秋•渝中区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+1（其中a，b是常数，且a≠0），其自变量x与函数
值y的部分对应值如下表所示：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣2 m ﹣2 1 n …
（1）求这个抛物线的解析式及m、n的值；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出这个抛物线的图象；
（3）如果直线y＝k与该抛物线有交点，那么k的取值范围是 k ≥﹣ 3 ．【分析】（1）把三点坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值确定出解析式，进而求出m与n的值即
可；
（2）描点、连线画出抛物线图象即可，
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）把（﹣3，﹣2），（﹣1，﹣2），（0，1）代入y＝ax2+bx+c，得： ，
解得： ，
∴抛物线解析式为y＝x2+4x+1，
把x＝﹣2代入得y＝﹣3，
把x＝1代入得y＝6，
∴m＝﹣3，n＝6；
（2）描点、连线画出抛物线图象如图：
．
（3）由图象可知，如果直线y＝k与该抛物线有交点，那么k的取值范围是k≥﹣3．故答案为k≥﹣3．
21．（2020秋•八步区期末）某文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可售出100件．
根据市场行情，现决定涨价销售，调查反映，每涨价1元，每月要少卖出2件，设每件商品的售价为x
元，每个月的销量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？
【分析】（1）根据每月销售量＝100件﹣涨价减少的件数可得解析式；
（2）由利润＝（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，将解析式配方成顶点式后利用二次函数的性质
求解可得．
【解答】解：（1）由题意得：月销售量y＝100﹣2（x﹣60），
∴y＝220﹣2x，
由于x﹣60≥0且220﹣2x≥0，
x的取值范围为：60≤x≤110，且x为正整数，
答：y与x之间的函数关系式为y＝220﹣2x（60≤x≤110，且x为正整数）；
（2）设每个月获得利润w元，w＝（220﹣2x）（x﹣40）＝﹣2x2+300x﹣8800，
∴w＝﹣2（x﹣75）2+2450，
即售价为75元时，月利润最大，且最大月利润为2450元．
22．（2021•日喀则市一模）一名男生推铅球，铅球的行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之
间的关系为 ，铅球行进路线如图．
（1）求出手点离地面的高度．
（2）求铅球推出的水平距离．
（3）通过计算说明铅球的行进高度能否达到4m．
【分析】（1）令x＝0代入 即可求出答案．
（2）令y＝0代入 即可求出答案．（3）令y＝4代入 即可求出答案．
【解答】解：（1）令x＝0代入 ，
∴y＝ ．
（2） ，
解得x ＝10，x ＝﹣2（舍去）
1 2
∴铅球推出的水平距离为10米．
（3）把y＝4代入，得 ，
化简得x2﹣8x+28＝0，方程无解，
∴铅球的行进高度不能达到4米．
23．（2021•雨花区一模）定义：对于给定函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0），则称函数
为函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0）的“相依函数”，此
“相依函数”的图象记为G．
（1）已知函数y＝﹣x2+2x﹣1．
①写出这个函数的“相依函数” ；
②当﹣1≤x≤1时，此相依函数的最大值为 2 ；
（2）若直线y＝m与函数y＝﹣x2+2x﹣1的相依函数的图象G恰好有两个公共点，求出m的取值范围；
（3）设函数 （n＞0）的相依函数的图象G在﹣4≤x≤2上的最高点的纵坐标为y ，当
0
时，求出n的取值范围．
【分析】（1）①根据“相依函数”直接可以得到结果；
②当﹣1≤x＜0时，求出y＝﹣x2﹣2x+1的最大值为2，当0≤x≤1时，求出y＝﹣x2+2x﹣1的最大值为
0，即可得函数y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函数”最大值是2；
（2）画出图象，数形结合即可得到答案；（3）分（1）当n≥4时，（2）当2＜n＜4时，（3）当0＜n≤2时，三种情况，分别比较两个函数在
﹣4≤x≤2上函数值的大小，根据 列不等式，即可得到答案．
【解答】解：（1）①∵函数 y＝ax2+bx+c（其中 a，b，c 为常数，且 a≠0），则称函数
为函数y＝ax2+bx+c的“相依函数”，
∴y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函数”是 ；
故答案为： ；
②当﹣1≤x＜0时，y＝﹣x2﹣2x+1＝﹣（x+1）2+2，故当x＝﹣1时，y有最大值为2，
当0≤x≤1时，y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，故x＝1时，y有最大值为0，
综上所述，当﹣1≤x≤1时，函数y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函数”最大值是2，
故答案为：2；
（2）函数y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函数”的图象如图：
由y＝﹣x2﹣2x+1可得顶点B（﹣1，2），与y轴交点C（0，1）（函数y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函数”
图象不包含C），
由y＝﹣x2+2x﹣1可得顶点D（1，0），与y轴交点A（0，﹣1），
当直线y＝m与图象G恰好有两个公共点，由图象知：m＜﹣1或m＝0或1＜m＜2；
（ 3 ） 由 题 意 知 ， 函 数 y ＝ x2+nx+1 （ n ＞ 0 ） 的 “ 相 依 函 数 ” 为，且 n2+1＞ n2﹣1，
（1）当n≥4时，y＝﹣ （x+n）2+ n2﹣1图象的对称轴在直线x＝﹣4左侧，y＝﹣ （x﹣n）2+
n2+1图象的对称轴在x＝4右侧，
当x＝2时，y＝﹣2+2n+1＝2n﹣1，
当x＝﹣4时，y＝﹣8+4n﹣1＝4n﹣9，
∵n≥4，
∴2n﹣1≤4n﹣9，
又 ≤y ≤9，
0
∴ ≤4n﹣9≤9，
∴ ≤n≤ ，
∴4≤n≤ ，
（2）当2＜n＜4时，
当x＝2时，y＝﹣2+2n+1＝2n﹣1，
∵2＜n＜4，
∴2n﹣1＞ n2﹣1，
此时由 ≤y ≤9，可得 ≤2n﹣1≤9，有 ≤n≤5，
0
∴2＜n＜4，
（3）当0＜n≤2时，
而 n2+1＞ n2﹣1，
∴ ≤ n2+1≤9，
∴1≤n≤4，
∴1≤n≤2，综上所述，n的取值范围是1≤n≤ ．
24．（2021•清江浦区一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+ x+c的图象经过点A（2
，0）和点B（0，2），点P为二次函数图象上一动点且在直线AB上方，作PC平行于y轴交AB于
点C，连接PB，OC．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当线段PC＝2时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下：
①判断四边形PBOC的形状，并说明理由；
②如图2，将四边形PBOC沿射线BA平移得到四边形P′B′O′C′，直线O′C′与x轴交于点D，
连接P′O′，P′D，当△P′O′D为等腰三角形时，直接写出点D的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用待定系数法求得直线AB的解析式，设出点P的坐标，利用直线AB的解析式得到点C的坐标，
利用PC＝2列出方程即可求解；
（3）①利用PC与OB的关系可得四边形PBOC为平行四边形，通过计算OC的长度可得四边形PBOC
为菱形；
②利用已知条件，分三种情形同理解答：当 DO′＝DP′时，点D与点A重合；当O′P′＝O′D时，
利用O′P′＝2 ，可得O′D＝2 ，通过计算线段OD的长度可得结论；当P′O′＝P′D时，此
时点P′落在x轴上，通过计算线段OD的长度可得结论．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+ x+c的图象经过点A（2 ，0）和点B（0，2），
∴ ，解得： ．
∴二次函数的表达式为：y＝ ．
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，则：
，
解得： ，
∴直线AB的解析式为：y＝ x+2．
设点P（m，﹣ ），则点C（m，﹣ m+2），
∴PC＝ m+2﹣（ m+2）＝﹣ + m．
∵PC＝2，
∴﹣ + m＝2，
解得：m ＝m ＝ ．
1 2
∴P（ ，3）．
（3）①四边形PBOC为菱形，理由：
由（2）知：点C（ ，1），
延长PC交x轴于点F，如图，
则OF＝ ，CF＝1．
∴OC＝ ＝2．∵点B（0，2），
∴OB＝2．
∴OB＝OC．
∵PC＝2，
∴PC＝OB，
∵PC∥OB，
∴四边形PBOC为平行四边形，
∴平行四边形PBOC为菱形．
②当△P′O′D为等腰三角形时，
（Ⅰ）当DO′＝DP′时，此时点D与点A重合，
∴D（2 ，0）．
（Ⅱ）当O′P′＝O′D时，连接PO交BC于点H，如图，
∵点A（2 ，0），
∴OA＝2 ．
∵tan∠OBA＝ ，
∴∠OBA＝60°．
由（2）知，四边形PBOC为菱形，
∴PH⊥BC，PH＝OH．
∵OH＝OB•sin∠OBC＝ ，
∴PO＝2OH＝2 ．
由题意：O′D＝′OP′＝OP＝2 ．
∵OB＝OC，∠OBC＝60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°．∴∠B′O′C′＝∠BOC＝60°．
设B′O′交x轴于点E，则O′E⊥x轴，
∴DE＝O′D•sin∠B′O′C′＝2 ＝3，
O′E＝O′D•cos∠B′O′C′＝2 × ＝ ．
∴B′E＝B′O′﹣O′E＝2﹣ ．
∴AE＝B′E•tan∠O′B′C′＝（2﹣ ）× ＝2 ﹣3．
∴OE＝OA﹣AE＝2 ﹣（2 ﹣3）＝3，
∴OD＝OE+DE＝6，
∴D（6，0）．
（Ⅲ）当P′O′＝P′D时，此时点P′落在x轴上，如图，
∵′OP′＝OP＝2 ，
∴P′D＝2 ．
由题意得：C′P′⊥x轴，∠P′C′D＝∠P′C′A＝60°，
∴P′A＝P′D＝2 ．
∴OD＝OA+AP′+P′D＝6 ．
∴D（6 ，0）．
综上，当△P′O′D为等腰三角形时，点D的坐标为：（ ，0）或（6，0）或（ ，0）．
