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专题22 抛物线
【练基础】
一、 单选题
1．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的
曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫
星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对
称轴对称，
是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为 ，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值 称为抛物面天线的焦
径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角 满足， ，则其焦径比为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·福建莆田·统考二模）已知F为抛物线 的焦点，A为C上的一点， 中点的横坐标为2，则
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2023·北京平谷·统考模拟预测）已知抛物线 ，点O为坐标原点，并且经过点 ，若点P到
该抛物线焦点的距离为2，则 （ ）
A． B． C．4 D．4．（2023·新疆·统考一模）若 是抛物线 的焦点， 是抛物线 上任意一点， 的最小值为
，且 ， 是抛物线 上两点， ，则线段 的中点到 轴的距离为（ ）
A．3 B．2 C． D．
5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交 于 两点，当 与圆
相切时， 的中点 到 的准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·陕西榆林·统考一模）如图1，某建筑物的屋顶像抛物线，建筑师通过抛物线的设计元素赋予了这座建
筑轻盈､极简和雕塑般的气质.若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成图2所示的抛物线
的一部分， 为抛物线 上一点， 为抛物线 的焦点，若 ，且 ，则
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，点M在C上，点 ，若
，则 （ ）A． B．
C． D．
8．（2022·四川雅安·统考一模）过抛物线 的焦点F且倾斜角为锐角的直线 与C交于两点A，B
（横坐标分别为 ， ，点A在第一象限）， 为C的准线，过点A与 垂直的直线与 相交于点M．若
，则 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
二、多选题
9．（2023·安徽·统考一模）已知 为坐标原点，点 ，线段 的中点 在抛物线
上，连接 并延长，与 交于点 ，则（ ）
A． 的准线方程为 B．点 为线段 的中点
C．直线 与 相切 D． 在点 处的切线与直线 平行
10．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，点 在C上，P为C上的一个动点，
则（ ）
A．C的准线方程为 B．若 ，则 的最小值为
C．若 ，则 的周长的最小值为11 D．在x轴上存在点E，使得 为钝角
11．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知抛物线 （p＞0）的焦点为F，斜率为 的直线 过
点F交C于A，B两点，且点B的横坐标为4，直线 过点B交C于另一点M（异于点A），交C的准线于点D，
直线AM交准线于点E，准线交y轴于点N，则（ ）
A．C的方程为 B．C． D．
12．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知抛物线C： 的焦点为F，直线l与C交于 ，
两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（
）
A．若直线l经过焦点F，且 ，则
B．若 ，则直线l的倾斜角为
C．若以AB为直径的圆M经过焦点F，则 的最小值为
D．若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切
三、填空题
13．（2023·湖北·统考模拟预测）已知 为抛物线 上一点，过点 的直线与抛物线C
交于A，B两点，且直线 与 的倾斜角互补，则 __________．
14．（2023·山东威海·统考一模）已知椭圆 的右焦点为F，以F为焦点的抛物线
与椭圆的一个交点为M，若MF垂直于x轴，则该椭圆的离心率为______.
15．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）设 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ，过点 作 轴的
垂线交 于点 为 轴正半轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为______．
16．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知抛物线 为抛物线内一点，不经过
点的直线 与抛物线相交于 两点，连接 分别交抛物线于 两点，若对任意直线 ，总存在
，使得 成立，则该抛物线方程为______.四、解答题
17．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知抛物线 ，点 在C上，A关于动点 的对称点记
为M，过M的直线l与C交于 ， ，M为P，Q的中点．
(1)当直线l过坐标原点O时，求 外接圆的标准方程；
(2)求 面积的最大值．
18．（2023·山东日照·统考一模）已知抛物线 ： 的焦点为 为 上的动点， 垂直于动直线
，垂足为 ，当 为等边三角形时，其面积为 .
(1)求 的方程；
(2)设 为原点，过点 的直线 与 相切，且与椭圆 交于 两点，直线 与 交于点 ，试问：
是否存在 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
【提能力】
一、单选题
19．（2023·陕西咸阳·校考一模）设F为抛物线C： 的焦点，点A在C上，且A到C焦点的距离为
3，到y轴的距离为2，则p＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．420．（2023春·福建南平·高三校联考阶段练习）过抛物线 （p＞0）的焦点F的直线交抛物线C于A
（x，y），B（x，y）两点，设 ， ，若n， ， 成等比数列，则 （ ）
1 1 2 2
A． B．3
C．3或 D．
21．（2023·吉林·统考二模）已知抛物线 的焦点F与椭圆 的一个焦点重合，则下
列说法不正确的是（ ）
A．椭圆E的焦距是2 B．椭圆E的离心率是
C．抛物线C的准线方程是x=-1 D．抛物线C的焦点到其准线的距离是4
22．（2023秋·广西河池·高三统考期末）已知抛物线 ）的焦点为 ，准线为l，过 的直线与抛物
线交于点A、B，与直线l交于点D，若 ，则p=（ ）
A．1 B． C．2 D．3
23．（2023·四川成都·成都七中校考二模）已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为抛物线的焦
点， 在抛物线上且满足 ，当 取最大值时，点 恰好在以 为焦点的双曲线上，则双曲线的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
24．（2022·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）在平面直角坐标系 中， 为坐标原点， 为任
一动点．条件 ：直线 与直线 相交于点 ；条件 ：动点 在抛物线 上．则是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
25．（2022·河南·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，动点 在 上，圆 的半径为1，过点 的
直线与圆 相切于点 ，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
26．（2023·陕西西安·西安市东方中学校考一模）已知抛物线 ： 的焦点为 ，抛物线 上有一动点 ，
，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、多选题
27．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线 上一点A(1，-4)作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交
点分别为M，N，则（ ）
A．C的准线方程是
B．过C的焦点的最短弦长为8
C．直线MN过定点(0，4)
D．当点A到直线MN的距离最大时，直线MN的方程为
28．（2023·全国·高三专题练习）已知点 ， ， ，抛物线 ．过点 的直线 与 交于
， 两点，直线 分别与 交于另一点 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．直线 的斜率为C．若 的面积为 （ 为坐标原点），则 与 的夹角为
D．若 为抛物线 上位于 轴上方的一点， ，则当 取最大值时， 的面积为2
29．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的准线 与 轴相交于点 ，过抛物线 的焦
点 的直线 与抛物线 相交于 两点，且 两点在准线上的投影点分别为 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B． 的最小值为4
C． 为定值 D．
30．（2022·广东韶关·统考一模）设 是抛物线 上一点， 是 的焦点， 在 的准线 上的射影为 ，
关于点 的对称点为 ，曲线 在 处的切线与准线 交于点 ，直线 交直线 于点 ，则（ ）
A． 到 距离等于4 B．
C． 是等腰三角形 D． 的最小值为4
三、填空题
31．（2023·陕西西安·统考一模）若抛物线 上一点A到焦点和到x轴的距离分别为10和6，则p的
值为______.
32．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线E： 的焦点为F，直线l的倾斜角 ，l与抛物线交于
， 两点，且 ，过F作l的垂线，垂足为D，P为抛物线上任意一点，则 的最
小值为______．
33．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，准线为l，点P在D上，PA与l垂直，垂足为A，若 ，则 的面积等于______.
34．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，圆 与 交于 两点，
其中点 在第一象限，点 在直线 上运动，记 .
①当 时，有 ；
②当 时，有 ；
③ 可能是等腰直角三角形；
其中命题中正确的有__________.
四、解答题
35．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知抛物线 ，过焦点 的直线交抛物线 于 ， 两点，
且 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)若点 ，直线 ， 分别交准线 于 ， 两点，证明：以线段 为直径的圆过定点.
36．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，点F关于直线
的对称点恰好在y轴上．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)直线 与抛物线E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，若 ，求
的最大值．
37．（2023·广东广州·统考二模）已知直线 与抛物线 交于 ， 两点，且与 轴交于点 ，
过点 ， 分别作直线 的垂线，垂足依次为 ， ，动点 在 上.(1)当 ，且 为线段 的中点时，证明： ；
(2)记直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求 的值；若
不存在，请说明理由.
38．（2022·浙江·模拟预测）已知抛物线 ，其焦点 与准线的距离为 ，若直线 与 交于
两点（直线 不垂直于 轴），且直线 与 另一个交点为 ，直线 与 另一个交点 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)若点 ，满足 恒成立，求证：直线 过定点.
