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专题 22 数列的概念与表示（九大题型+模拟精练）
目录：
01 数列的有关概念
02 数列的周期性
03 数列的单调性及应用
04 求数列的通项公式—定义法
05 求数列的通项公式—累加法
06 求数列的通项公式—累乘法
07 求数列的通项公式—an与Sn的关系
08 求数列的通项公式—观察法
09 求数列的通项公式—构造法
01 数列的有关概念
1．（23-24高二上·山西·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．数列 可表示为集合
B．数列 与数列 是相同的数列
C．数列 的第 项为
D．数列 可记为
2．（2024高三·全国·专题练习）下列三个结论中，正确结论的序号的是（ ）
①数列 ， ， ， ， ， ，是无穷数列；
②任何数列都能写出它的通项公式；
③若数列 是等差数列，则数列 是等比数列.
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 满足 ，若要使 为k项的有穷数列，则
A． B． C． D．02 数列的周期性
4．（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）在数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．2
5．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）在数列 中， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二下·四川·期中）已知数列 满足 ， ，则数列 前2024项的积为（
）
A．4 B．1 C． D．
03 数列的单调性及应用
7．（23-24高二下·青海海西·期中）设数列 的通项公式为 ，若数列 是单调递增
数列，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．(−∞,8)
8．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知数列 满足： ，且数列
是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高三上·山西大同·期末）等比数列 中， 为其前 项和， ，且 成等差数列，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
10．（2024·重庆·二模）记正项数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最小值
为 .
11．（23-24高二下·辽宁·期末）设数列 满足 ，若对一切 ，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B．1≤m≤2 C． D．
04 求数列的通项公式—定义法
12．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列 满足： ， ， .
(1)证明： 是等差数列，并求 的通项公式；
(2)设 ，若数列 是递增数列，求实数 的取值范围.
13．（2023·四川成都·模拟预测）数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ， 的前 项和为 ，求 的最小值.
14．（22-23高三上·天津滨海新·阶段练习）已知 是正项数列 的前n项和 ，
， ， ， 成等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的前2n项和 ；(3)若 ，证明 的前n项和 ．
05 求数列的通项公式—累加法
15．（2023·广西南宁·模拟预测）数列 满足 ， （ 为正常数），且
， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
16．（23-24高二下·广东深圳·期末）设数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)求数列 的前 项和 .
06 求数列的通项公式—累乘法
17．（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）记数列 的前 项和为 ，已知 且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和
18．（23-24高二下·山东日照·期末）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，且 ，令 ，求 的最小值．
07 求数列的通项公式—an与Sn的关系
19．（23-24高二下·江西萍乡·期中）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ．(1)求 的值；
(2)试猜想 的通项公式，并证明．
20．（2024·辽宁·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)证明： 是等比数列，并求其通项公式；
(2)设 ，求数列 的前100项和 ．
08 求数列的通项公式—观察法
21．（23-24高二下·四川成都·期中）数列 满足 ， （ ）．
(1)计算 ， ，猜想数列 的通项公式并证明；
(2)求数列 的前n项和；
22．（2023·山东菏泽·二模）已知各项为正数的等比数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， ，求数列 的前2n项和 .
09 求数列的通项公式—构造法
23．（2024·内蒙古包头·三模）已知数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)证明：数列 是等比数列，并求 ；
(2)求数列 的前n项和 ．
24．（23-24高二下·辽宁锦州·期末）已知数列 满足 ，则
.25．（23-24高二下·湖南郴州·期末）已知数列 满足： ．若 ，
则数列 的前 项和 .
26．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知数列 是等差数列，且 ，数列 满足
， ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)将数列 的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列 ，求数列 的通项公式；
(3)设数列 的前 项和为 ，证明： .
一、单选题
1．（2024·贵州遵义·二模）已知数列 的前 项和 ，则 （ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
2．（2024·全国·模拟预测）在数列 中， ， ，则 （ ）
A．8 B．1 C．18 D．19
3．（2024·浙江·模拟预测）已知 且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·西藏·模拟预测）已知数列 对任意 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024·天津南开·二模）设数列 的通项公式为 ，若数列 是单调递增数列，则实数b的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
6．（2024·陕西安康·模拟预测）在数列 中， ，若对 ，
则 （ ）
A． B．1 C． D．
7．（2024·内蒙古赤峰·三模）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作
法是：从第一个正三角形（边长为1）P 开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别
1
向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，称为科赫曲线.设P 的
n
周长和面积分别为L、S，下列结论正确的是（ ）
n n
①P₅的边数为
②
③ 既不是等差数列，也不是等比数列；
④
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
8．（2024·辽宁·三模）已知数列 中各项均为正数，且 ，给出下列四个结论：
①对任意的 ，都有
②数列 可能为常数列③若 ，则当 时，
④若 ，则数列 为递减数列．
其中正确结论有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．（2024·山西太原·二模）已知数列 满足 ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A． 是递增数列 B． 是等比数列
C．当n是偶数时， D． ， ，使得
10．（2024·湖南长沙·三模）设无穷数列{a }的前 项和为 ，且 ，若存在 ，使
n
成立，则（ ）
A．
B．
C．不等式 的解集为
D．对任意给定的实数 ，总存在 ，当 时，
11．（2023·浙江·二模）已知递增数列 的各项均为正整数，且其前 项和为 ，则（ ）
A．存在公差为1的等差数列 ，使得B．存在公比为2的等比数列 ，使得
C．若 ，则
D．若 ，则
三、填空题
12．（2024·云南·二模）记数列 的前 项和为 ，若 ，则
.
13．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，则 ；数列
满足 ，数列 的前 项和为 ，则 的最大值为 ．
14．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列 中， ，且 ，若存在正
整数 ，使得 成立，则实数 的取值范围为 .
四、解答题
15．（2022·重庆·模拟预测）已知数列 满足 .
(1)求证： 是等差数列；
(2)若 ，求 的通项公式.
16．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列 满足 ， ， 是数列 的前 项和，对任意
，有(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 的前100项的和.
17．（2024·贵州贵阳·三模）已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 .试求:
(1)数列 的通项公式;
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，当 时，求满足条件的最小整数 .
18．（2024·河北沧州·三模）已知数列 满足 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
19．（2024·重庆·模拟预测）进位制是人们为了计数和计算方便而约定的记数方式，通常“满二进一，就
是二进制；满八进一，就是八进制；满十进一，就是十进制……；满几进一，就是几进制”．
我们研究的正整数通常是十进制的数，因此，将正整数 的各位上的数字分别记为 ，则
表示为关于10的 次多项式，即 ，其中
， ，记为 ，简记为 ．
随着计算机的蓬勃发展，表示整数除了运用十进制外，还常常运用二进制、八进制等等．更一般地，我们
可类似给出 进制数定义．
进制数的定义：给出一个正整数 ，可将任意一个正整数 ，其各位上的数字分别记为
，则 唯一表示为下列形式： ，其中
， ，并简记为 ．进而，给出一个正整数 ，可将小数 表示为下列形式：
，其中
， ，并简记为
．
(1)设 在三进制数下可以表示为 ， 在十进制数下可以表示为 ，试分别将 转
化成十进制数， 转化成二进制数；
(2)已知数列{a }的前 项和为 ，且满足 ， ，数列{b }满足，当 时，
n n
；
①当 时，求数列{b }的通项公式；
n
②证明：当 时， ．
