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专题 13 用因式分解法求解一元二次方程(重难题型)
1．关于 的一元二次方程 ，下列结论不正确的是（ ）
A．当方程有实数根时
B．当 时，方程一定有两个不相等的实数根
C．当 时，方程的实数根为 ，
D．若 ， 为方程的两个实数根，则有
【答案】B
【分析】
对一元二次方程进行变形，化为 的形式，可知一个数的平方大于等于零，
即可求出方程有解时k的取值范围，再根据不同的k值进行方程求解．
【详解】
解析：原方程可以化为 ，当 时，方程有实数解，即 ．
因此当 时，方程没有实数根；
当 时，方程有两个相等的实数根；
当 时，方程有两个不相等的实数根．
当 时， ， ， ．
当 时，由 可以求得 ，
则有 .
故选B．
【点睛】
本题主要考查的是一元二次方程有解时以及一元二次方程的解法的相关知识．
2．已知关于 的一元二次方程 的两根为 ， ，则一元二次方程 的根为( )
A．0，4 B．－3，5 C．－2，4 D．－3，1
【答案】B
【分析】
先将 ， 代入一元二次方程 得出 与 的关系，再将 用含
的式子表示并代入一元二次方程 求解即得．
【详解】
∵关于 的一元二次方程 的两根为 ，
∴ 或
∴整理方程即得：
∴
将 代入 化简即得：
解得： ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了含参数的一元二次方程求解，解题关键是根据已知条件找出参数关系，并代入
要求的方程化简为不含参数的一元二次方程．
3．等腰三角形的底边长为6，腰长是方程 的一个根，则该等腰三角形的周
长为（ ）
A．12 B．16 C．l2或16 D．15
【答案】B
【分析】
利用因式分解法解方程求出x的值，再根据等腰三角形的概念和三角形三边关系确定出三
角形三边长度，继而得出答案．【详解】
解：∵x2-8x+15=0，
∴（x-3）（x-5）=0，
则x-3=0或x-5=0，
解得x =3，x =5，
1 2
①若腰长为3，此时三角形三边长度为3、3、6，显然不能构成三角形，舍去；
②若腰长为5，此时三角形三边长度为5、5、6，可以构成三角形，
所以该等腰三角形的周长为5+5+6=16，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的概念、三角形三边的关系、解一元二次方程的能力，熟练掌握
解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方
程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4．方程 的解是（ ）
A． B．
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】
移项并因式分解，得到两个关于x的一元一次方程，即可求解．
【详解】
解：移项，得 ，
因式分解，得 ，
∴ 或 ，
解得 ， ，
故选：C．
【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．
5．方程 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为（
）
A．12 B．15 C．12或15 D．18
【答案】B
【分析】
首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意．
【详解】
解：解方程x2-9x+18=0，得x =3，x =6，
1 2
当3为腰，6为底时，不能构成等腰三角形；
当6为腰，3为底时，能构成等腰三角形，周长为6+6+3=15．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角
形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，
把不符合题意的舍去．
6．方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得x（x﹣3）＝0，方程就可转化为两个一元
一次方程x＝0或x﹣3＝0，然后解一元一次方程即可．
【详解】
解：∵x2＝3x，
∴x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0，
∴x＝0或x＝3，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程ax2+bx+c＝0的方法：先把方程化为一般式，再
把方程左边因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程即可．
7．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的解是（ ）
A．x ＝x ＝0 B．x ＝x ＝1 C．x ＝0，x ＝2 D．x ＝1，x ＝2
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】D
【分析】
方程x（x﹣2）＝x﹣2移项后，运用因式分解法可以求得方程的解，本题得以解决．
【详解】
解：x（x﹣2）＝x﹣2，
移项，得x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
提公因式，得（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得x＝2或x＝1．
故选：D．
【点睛】
本题考查解解一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是会利用提公因式法解方程．
8．方程（x+1）（x﹣3）＝﹣4的解是（ ）
A．x ＝﹣1，x ＝3 B．x ＝x ＝1 C．x ＝1，x ＝﹣1 D．x ＝1，x ＝0
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】B
【分析】
把原方程整理后，再根据因式分解法即可求出答案．
【详解】
解：∵（x+1）（x-3）=-4，
∴x2-2x+1=0，
∴（x-1）2=0，
∴x =x =1，
1 2
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
9．一元二次方程 的解是（ ）A． ， B． ， C． D． ，
【答案】B
【分析】
利用提公因式分进行因式分解，再解方程，即可得到答案．
【详解】
解：x（5x-2）=0，
x=0或5x-2=0，
所以 或 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方
法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
10．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（ ）
A．x ＝2，x ＝﹣3 B．x ＝﹣2，x ＝3
1 2 1 2
C．x ＝﹣2，x ＝﹣3 D．x ＝2，x ＝3
1 2 1 2
【答案】D
【分析】
利用因式分解法解方程．
【详解】
解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
∴x ＝2，x ＝3．
1 2
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方
法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
11．已知 是关于 的方程 的一个实数根，且该方程的两实数根恰是等腰 的两条边长，则 的周长为（ ）
A． B． C．6或10 D．8或10
【答案】B
【分析】
将x=2代入方程求出m=2，由此得到方程的另一个根，确定三角形的三条边长得到答案.
【详解】
把 代入，得m=2，
∴该方程为 ，
∴（x-2）（x-4）=0，
解得x=2或x=4，
∴△ABC的三边只能是 ，周长为 ,
故选：B.
【点睛】
此题考查一元二次方程的根，等腰三角形的定义，因式分解法解一元二次方程，三角形的
三边关系.
12．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，若 为非负
整数，且该方程的根都是整数，则 的值为（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．
【答案】A
【分析】
根据根的判别式可得方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实数根则△＞0，然后列出不等式计
算即可，根据m为非负整数，得到m=0或1，代入方程求出方程的解即可求解．
【详解】
解：∵一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实数根，
∴△=(-2)2-4×1×(m-1)＞0，
∴m＜2；∵m为非负整数，
∴m=0或1，
当m=0时，x2-2x-1=0，
∵△=(-2)2-4×1×(-1)=8，
∴ ，
此时方程的根不是整数，
∴m=0舍去；
当m=1时，x2-2x=0，
∴ ，此时方程的根都是整数，
∴m=1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）
△＜0⇔方程没有实数根．
13．关于x的一元二次方程 的一个根是0，则 的值是（
）
A．−3或1 B．1 C．−3 D．
【答案】B
【分析】
把x=0代入原方程，转化为k的方程，并求解，注意二次项系数的非零性．
【详解】
∵关于x的一元二次方程 的一个根是0，
∴ +2k-3=0，且k+3≠0,
∴k=1或k=-3, 且k+3≠0,
∴k=1,
故选B．【点睛】
本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程的解法，一元二次方程的定义，熟练掌
握两个概念，准确进行解方程是解题的关键．
14．已知 ， 是一元二次方程 的两不相等的实数根，且
，则 的值是（ ）
A． 或 B． C． D．
【答案】C
【分析】
先利用判别式的意义得到m＞− ，再根据根与系数的关系的 ，
，则由 可得 ，然后解关于
m的方程，最后确定满足条件的m的值．
【详解】
解：根据题意得△＝ ＞0，
解得m＞− ，
根据根与系数的关系的 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
整理得 ，解得 ， ，∵m＞− ，
∴m的值为 ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式及根与系数
的关系是解答此题的关键
15．方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用因式分解法解一元二次方程，即可得到答案．
【详解】
解：∵（x 1）（x+3）=x 1，
∴（x 1）（x+3） （x 1）=0，
∴（x 1）（x+2）=0，
则x 1=0或x+2=0，
解得：x =1，x = 2，
1 2
故选：C．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开
平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的
关键．
16．一元二次方程（x+1）2﹣2（x﹣1）2＝7的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一正根一负根
C．有两个正根 D．有两个负根
【答案】C
【分析】解方程，根据方程根的情况判断即可．
【详解】
解：∵（x+1）2﹣2（x﹣1）2＝7，
∴x2+2x+1﹣2（x2﹣2x+1）＝7，
整理得：﹣x2+6x﹣8＝0，
则x2﹣6x+8＝0，
（x﹣4）（x﹣2）＝0，
解得：x ＝4，x ＝2，
1 2
故方程有两个正根．
答案：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程．
17．若 是关于x的一元二次方程 的一个根，则a的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D． 或4
【答案】C
【分析】
把 代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．
【详解】
解：∵ 是关于x的一元二次方程 的一个根，
∴ ，即 ，
解得 ， ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义以及解一元二次方程．能使一元二次方程左右两边相
等的未知数的值是一元二次方程的解．
18．方程x（x-2）=2x的解是 （ ）A．x=2 B．x=4 C．x =0，x =2 D．x =0，x =4
1 2 1 2
【答案】D
【分析】
先移项，然后提取公因式x，对等式的左边进行因式分解．
【详解】
解：∵x（x﹣2）＝2x，
∴x（x﹣2）﹣2x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
则x＝0或x﹣4＝0，
解得x ＝0，x ＝4．
1 2
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．因式分解法就是利用因式分解求出方程的解
的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
19．一元二次方程x2＝2x的根是（ ）．
A．0 B．2 C．0和2 D．0和﹣2
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的性质，先提公因式，通过计算即可得到答案．
【详解】
移项得，x2-2x＝0，
提公因式得，x（x-2）＝0，
解得，x ＝0，x ＝2，
1 2
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成
求解．
20．一元二次方程 的解是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】
先将原方程整理为 ，再利用因式分解法求出方程的解，即可得出
结论．
【详解】
解： ，
移项，得 ，
分解因式，得 ，
则 或 ，
解得： ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法及步骤是解题的关键．
21．关于x的一元二次方程 有一个根是0，则k的值是（ ）
A．0 B．1 C．-2 D．1或-2
【答案】C
【分析】
把x=0代入方程，得到 ，解得k值后，验证二次项系数不为零，判断即可．
【详解】
∵x的一元二次方程 有一个根是0，
∴ ，且k-1≠0，
解得k= -2或k=1，且k≠1，
∴k= -2，
故选C．【点睛】
本题考查了已知一元二次方程的一个根探解字母系数问题，熟练运用根的定义，一元二次
方程的定义是解题的关键．
22．下列一元二次方程中无实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由因式分解法、偶次方的非负性和根的判别式依次判断即可；
【详解】
解：A.由 可得 ，由因式分解法可知有两个实数根，故不符合题意；
B. ，由因式分解法可知有两个实数根，故不符合题意；
C. ， ，有两个实数根，故不符合题意；
D. ，没有实数根，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式Δ=b2−4ac以及配方法和因式分解法解一元二次方程，牢记Δ<0
时，方程有两个相等的实根是解题的关键．
23．请你判断， 的实根的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
利用绝对值的几何意义，假设x＞0或x＜0，分别分析得出即可．
【详解】
解：当x＞0时， ，
解得：x ＝1；x ＝2；
1 2当x＜0时， ，
解得：x ＝ （不合题意舍去），x ＝ ，
1 2
∴方程的实数解的个数有3个．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查的是含有绝对值符号的一元二次方程的一般计算题，理解绝对值的意义是关
键．
24．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程 的根，则该三角形的周
长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．12或14
【答案】B
【分析】
用因式分解法求得方程的根，后根据三角形三边关系判断三角形的存在性，后计算周长.
【详解】
∵ ，
∴（x-7）(x-5)=0,
∴x=7或x=5；
当x=7时,
3+4=7，
∴三角形不存在；
当x=5时,
3+4＞5，
∴三角形存在，
∴三角形的周长为3+4+5=12；
故选B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的因式分解求解法和三角形的存在性，熟练求方程的根，准确判
断三角形的存在性是解题的关键.25．方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题可用因式分解法，提取x后，变成两个式子相乘为0的形式，让每个式子都等于0，即
可求出x．
【详解】
解：∵x2-2x=0
∴x（x-2）=0，
可得x=0或x-2=0，
解得：x=0或x=2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的
左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程
的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用
26．在 中， ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】
利用分类讨论的思想，①当AC边为长边时，作 交AC于点D，设BD=x，由题意
可求出AD、DC长，再根据勾股定理可列出关于x的一元二次方程，解出x即可求出AB长；
②当AB边为长边时，作 交AB于点E，由题意可求出CE、AE长，再根据勾股定
理可求出BE长，从而得到AB长．
【详解】
分类讨论：①当AC边为长边时，作 交AC于点D，设BD=x，∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
整理得： ．
解得 ， ．
当 时， 不合题意，所以此解舍去．
∴ ．
②当AB边为长边时，作 交AB于点E，
∵ ，
∴ ， ．
在 中， ，
∴ ．
【点睛】本题考查勾股定理以及解一元二次方程．根据题意结合勾股定理得到边的关系是
解答本题的关键．
27．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根
的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（ ）个；①方程 是倍根方程；
②若 是倍根方程，则 ；
③若p、q满足 ，则关于x的方程 是倍根方程；
④若方程 是倍根方程，则必有 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个
根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合；③当p，q满足 ，
则 ，求出两个根，再根据 代入可得两个根之间
的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当 ，或
时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【详解】
解：①解方程
（x-2）（x+1）=0，
∴x-2=0或x+1=0，
解得， ， ，得， ，
方程 不是倍根方程；
故①不正确；
②若 是倍根方程， ，
因此 或 ，当 时， ，
当 时， ，
，
故②正确；
③∵pq=2，则： ，
， ，
，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程 的根为： ， ，
若 ，则 ，
即 ，
，
，
，
，
．若 时，则， ，
则 ，
，
，
，
，
．
故④正确，
正确的有：②③④共3个．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正
确求出方程的解是解决问题的关键．
28．若关于x的一元二次方程 有一根为2020，则方程
必有根为（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2015
【答案】C
【分析】
设 ，即 可改写为 ，由题意关于x的一元
二次方程 有一根为 ，即 有一个根为，所以 ，x=2019．
【详解】
由 得到 ，
对于一元二次方程 ，
设 ，
所以 ，
而关于x的一元二次方程 有一根为 ，
所以 有一个根为 ，
则 ，
解得 ，
所以一元二次方程 有一根为 ．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．
29．已知关于x的一元二次方程(k+1)x2+2x+k2-2k-3=0的常数项等于0，则k的值等于（
）
A．-1 B．3 C．-1或3 D．-3
【答案】B
【分析】
根据题意可得 且 ，继而求得答案．
【详解】
由题意，得 且 ，
∴ 且 ，∴ ．
解得 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义与因式分解法解一元二次方程．此题难度不大，注意二次
项系数不等于零，这是易错点．
30．若关于x的一元二次方程 的一个根为1，则实数k的值为
________．
【答案】2
【详解】
把 代入（ ，得 ，
整理，得 ，解得 ．
当 时， ，不合题意，舍去，
的值为2．
31．如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共
有210个小球．
【答案】20
【分析】
根据已知图形得出第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+ +n= ，列一元二次
方程求解可得．
【详解】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1，
第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，
第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，
第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，
……
∴第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5+ +n= ，
当共有210个小球时，
，
解得： 或 (不合题意，舍去)，
∴第 个图形共有210个小球．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n个图形中黑色三角
形的个数为1+2+3+……+n．
32．将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关
于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 ，我们将这
种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：
，且x＞0，则 的值为______．
【答案】
【分析】
先利用 得到 ，再利用 的一次式表示出 和 ，则化为 ，然后解方程 得，从而得到 的值．
【详解】
解： ，
,
解 得，
，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解，所以解高
次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程，也有的通过因式分解来解，通过
把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的
关键．
33．已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一
元二次方程 的两个根，则k的值等于______________．【答案】6或7．
【分析】
当m＝4或n＝4时，即x＝4，代入方程即可得到结论，当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×
（k+2）＝0，解方程即可得到结论．
【详解】
解：∵m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，
∴当m＝4或n＝4时，即x＝4，
∴方程为42﹣6×4+k+2＝0，
解得：k＝6，
此时该方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：x ＝4，x ＝2，
1 2
此时三角形的三边为4，4，2，符合题意；
当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，
解得：k＝7，
此时该方程为x2﹣6x+9＝0，
解得：x ＝x ＝3，
1 2
此时三角形的三边为3，3，4，符合题意，
综上所述，k的值等于6或7，
故答案为：6或7．
【点睛】
本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，
正确的理解题意是解题的关键．
34．解方程：
（1）x2﹣7x﹣18＝0
（2）（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）﹣3＝0．
【答案】（1）x ＝9，x ＝﹣2；（2）x ＝3，x ＝1
1 2 1 2
【分析】
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）把（2x﹣3）看成整体，利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）x2﹣7x﹣18＝0，（x﹣9）（x+2）＝0，
∴x﹣9＝0或x+2＝0，
∴x ＝9，x ＝﹣2；
1 2
（2）（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）﹣3＝0，
[（2x﹣3）﹣3][（2x﹣3）+1]＝0，
∴（2x﹣3）﹣3＝0或（2x﹣3）+1＝0，
∴x ＝3，x ＝1.
1 2
【点睛】
本题主要考查了换元法解一元二次方程、解一元二次方程-因式分解法，准确计算是解题的
关键．
35．解方程：
【答案】 .
【分析】
先通过两边平方的形式去根号，将方程化成整式方程为 ，化简后得
到一元二次方程 ，再利用十字相乘法因式分解即可得出方程的解.
【详解】
解：方程两边同时平方得：
化简得：
因式分解得：
解得：
， .
检验：将 代入原方程可得 ，是原方程的解；
将 代入原方程可得 ， ， 不成
立，不是原方程的解；
故答案为： .
【点睛】
本题重点考查一元二次方程的解法；当题目中的方式不是整式方程时，要先通过去根号或
去分母的方式先将方程转化成整式方程再去求解整式方程，此类方程注意整式方程得出的
根要代入原方程检验；一元二次方程的戒饭，优先考虑直接开平方或因式分解法，再考虑
公式法或配方法.
36．按要求解下列方程：
（1）x2﹣2021x＝0；
（2）x2﹣4x﹣8＝0（配方法）
【答案】（1）x ＝0，x ＝2021；（2）x ＝2＋2 ，x ＝2﹣2
1 2 1 2
【分析】
（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：（1）x2﹣2021x＝0，
x（x﹣2021）＝0，
x＝0或x﹣2021＝0，
x ＝0，x ＝2021；
1 2
（2）x2﹣4x﹣8＝0，
x2﹣4x＝8，
x2﹣4x＋4＝8＋4，
（x﹣2）2＝12，
x﹣2＝±2
x ＝2＋2 ，x ＝2﹣2 ．
1 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
37．解下列方程．
（1） x2 8x 9 0 （2） x(x 2) x 2 0
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）将（x-2）看作整体，提取公因式（x-2）即可利用因式分解法解一元二次方程．
【详解】
（1）x2 8x 9 0
解：方程左边因式分解得：（x 9）(x 1) 0
由此得： x 9=0 或 x 1 0
解得： x 9， x 1；
1 2
（2）x(x 2) x 2 0
解：方程左边因式分解得：(x 2) (x 1) 0
由此得：(x 2) 0 或 (x 1) 0
解得：x 2， x 1．
1 2
【点睛】
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练应用因式分解法分解多项式是解题关键．
38．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0
（1）求证：无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；
（2）若此方程的根都为正整数，求整数m的值．
【答案】（1）见解析；（2）1或3
【分析】
（1）利用因式分解法求出方程的解，即可得出结论；
（2）由（1）的方程的解，即可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0，
∴（mx﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x＝1或x＝ ，∴无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；
（2）解：由（1）知，一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0的解为x＝1或x＝ ，
∵方程的根都为正整数，
∴ 为正整数，
∴m＝1或m＝3．
即整数m的值为1或3．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程是解本题的关键．
39．若关于x的一元二次方程mx2-4x+3=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根．
【答案】（1）m＜ 且m≠0；（2）x =1，x =3
1 2
【分析】
（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则 >0，建立关于m的不等式，求出m的取
值范围． △
（2）根据题意方程为x2-4x+3=0，因式分解法解方程即可求得方程的根
【详解】
解：(1)∵△=(-4)2-4m×3=16-12m＞0,解得m＜
又m≠0，
∴ m＜ 且m≠0，
（2）∵m为正整数
∴ m=1，
∴原方程为x2-4x+3=0，
解得x =1，x =3．
1 2【点睛】
本题考查了根的判别式，解一元一次不等式和解一元二次方程，能根据根的判别式和已知
得出不等式是解题的关键．
40．已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）选择一个你喜欢的k值代入，并求此时方程的解.
【答案】（1）见解析；（2）取k=0， .
【分析】
（1）求出根的判别式，证明它大于等于0即可；
（2）选取一个符合题意的值代入，解方程即可．
【详解】
（1））证明： ，
＝ ，
＝ ，
，
∵
方程总有两个实数根；
（2）当k＝0时，方程为x2+x＝0，
x（x+1）＝0，
x＝0，或 x+1=0，
解得x ＝0，x ＝﹣1．
1 2
【点睛】
本题考查了根的判别式和解一元二次方程，解题关键是熟练运用根的判别式进行计算和判
断，会用因式分解法解一元二次方程．
41．小明解关于 的一元二次方程 时，在解答过程中写错了常数项，因而
得到方程的两个根是4和2．（1）求 的值；
（2）若菱形的对角线长是关于 的一元二次方程 的解，求菱形的面积．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）设看错的常数为 ，根据题意列出方程组，解方程组即可得出答案；
（2）首先解出一元二次方程的两个解，然后利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】
（1）由题意得，设看错的常数为 ，
，
∴ ．
（2）原方程为 ，
解方程得 ， ．
由菱形面积公式可得： ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程及菱形的面积，掌握二元一次方程组的解法及菱形的面积公式
是关键．
42．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根
（1）求a的取值范围；
（2）请你给出一个符合条件的a的值，并求出此时方程的解．
【答案】（1） ；（2）此题答案不唯一， ， ，
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式即可求解；（2）令 ，利用因式分解法求解方程即可．
【详解】
解：（1）∵关于x的一元二次方程一般式为 ，
∴ ，
∵方程有两个不相等的实数根，
．
，
；
（2）此题答案不唯一．如 ，
∴一元二次方程为 ，
因式分解得 ，
， ．
∴当 时，方程的根为 ， ．
【点睛】
本题主要考查根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的个
数与根的判别式的关系是解题的关键．
43．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的 的值，并求此时方程的根．
【答案】（1） ；（2）当 时，方程的两个整根为 ，
【分析】
（1）根据根的判别式即可求出m的取值范围；
（2）根据题意写一个m的值，然后代入方程求出方程的根即可．
【详解】解：（1）由题意， ，
即 ．
解得， ．
（2）∵ ，
由题意， 是平方数，
设 ，
原方程为 ，
，
或 ，
解得， ， ．
∴当 时，方程的两个整数根为 ， ．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法，掌握当△＞0时，方程有
两个不相等的两个实数根是解题的关键．
44．已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为 ， ，且k与 都为整数，求k所有可能的值．
【答案】（1）见解析；（2）0或-2或1或-1
【分析】
（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论；（2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与 都为整数，得出k的值；
【详解】
解：（1）
∵△=
=
∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根．
（2）∵
∴
∴ =0
∴ ， 或 ，
当 ， 时，
∵k与 都为整数，
∴k=0或-2
当 ， 时，
∴ ，
∵k与 都为整数，
∴k=1或-1∴k所有可能的值为0或-2或1或-1
【点睛】
本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞
0时，方程有两个不等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．
45．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．
【答案】（1）k＜3；（2）
【分析】
（1）根据方程有两个不相等的实数根,令△＞0，即可解题，
（2）根据k的取值范围确定k的值,代入原方程即可求解．
【详解】
解：（1） ，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
解得k＜3 ；
（2）取k＝2，得
，
解得： ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式和求解，属于简单题,熟悉根的判别式的概念是解题关
键．
