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专题 25 圆锥曲线压轴小题必刷 100 题
一、单选题
1．已知圆 是以点 和点 为直径的圆，点 为圆 上的动点，若点 ，点
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题设可知圆 ： ，在坐标系中找到 ，应用三角线相似将 转化到 ，再利
用三角形的三边关系确定目标式的最大值即可.
【详解】
由题设，知： 且 ，即圆 的半径为4，
∴圆 ： ，
如上图，坐标系中 则 ，
∴ ，即 ，故 ，
△ △
∴ ，在 中 ，
△
∴要使 最大， 共线且最大值为 的长度.
∴ .故选：A
2．已知点 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，点 在直线 上运动，若
的最大值为 ，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设直线 ， 的倾斜角分别为 ， ， ，且 ，利用差角正切公式、基
本不等式求 关于椭圆参数的表达式，结合已知求椭圆参数的数量关系，进而求离心率.
【详解】
由题意知， ， ，直线 为 ，设直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，
由椭圆的对称性，不妨设 为第二象限的点，即 ， ，则 ， .
，
，
当且仅当 ，即 时取等号，又 得最大值为 ，
，即 ，整理得 ，故椭圆 的的离心率是 .
故选：C.3．过 轴上点 的直线与抛物线 交于 ， 两点，若 为定值，则实数 的值为（
）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
设出直线 的方程与抛物线方程联立，根据两点间距离公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解
即可.
【详解】
设直线 的方程为 ，
代入 ，得 ，
设 ， ，则 ， ．
，
同理， ，
∴
，
∵ 为定值是与 无关的常数，∴ ，
故选：D．
4．已知椭圆 ： 的两个顶点在直线 上， ， 分别是椭圆的左､右
焦点，点 是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过点 作椭圆 的切线 与直线 交于点 ，设直
线 ， 的斜率分别为 ， ，则 的值为（ ）
A．- B． C．- D．-
【答案】A
【分析】
根据题意求出 ， ，进而写出椭圆的方程，设点 的切线方程为 ，与椭圆联立，由
得到 ，然后依次表示出相关点的坐标，利用斜率公式表示出 ，进而化简整理即可求
出结果.
【详解】
∵椭圆 的两顶点在直线 上，∴ ， ，∴椭圆 的方程为 ，∴ ，
，设点 的切线方程为 ， ，联立 ，消去 得
，∵直线 与椭圆 相切，∴ ，即 ，∴
， ，∴ ，∴点 ，又，∴ ，∴ ，设点 ，又 在切线 上，∴
，∴ ，∴ ，
故选：A.
5．已知F是椭圆 的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不与x轴重合）与该
椭圆相交于点M，N．记 ，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】A
【分析】
设 在 轴上方， 在 轴下方，设直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，联立直线 的方
程与椭圆方程可求 的坐标，同理可求 的坐标，利用 三点共线可得 ，利用离心
率的范围可得 ，从而可判断 为锐角.
【详解】
不失一般性，设 在 轴上方， 在 轴下方，设直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，
则 ， ， ，且 .
又 .
又直线 的方程为 ，
由 可得 ，
故 ，所以 ，故 ，
同理 ，故 ，
因为 共线，故 ，
整理得到 即 ，
若 ， ，
因为 ， ，故 ，所以 ，
故 .
故选：A.
6．已知过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于点 、 ，若 、 两点在准线上的射影分别为 、
，线段 的中点为 ，则下列叙述不正确的是（ ）A． B．四边形 的面积等于
C． D．直线 与抛物线相切
【答案】B
【分析】
对于选项AB，利用向量知识研究 与 ､ 与 的位置关系即可；对于选项C，可利用抛物线的定
义确定 、 的长度，然后判断等号是否成立；对于选项D，求出直线 的斜率，并设抛物线在点
处的切线方程为 ，与抛物线的方程联立，由 求出 ，进而可判断出D选项的正误.
【详解】
如图，由题意可得 ，抛物线的准线方程为 ．
设 、 ，设直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，利用根与系数的关系得 ，
因为线段 的中点为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以， ，所以， ，A选项正确；
对于B选项，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以四边形 的面积等于 ，B选项错误；
对于C选项，根据抛物线的定义知 ， ，
所以 ，
，
所以， ，C选项正确；
对于D选项，直线 的斜率为 ，
抛物线 在点 处的切线方程为 ，
联立 ，消去 可得 ，
由题意可得 ，可得 ，即 ，则 .
所以，直线 与抛物线 相切，D选项正确.
故选：B.
7．如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过右焦点作平行于一条渐近线的
直线交双曲线于点 ，若 的内切圆半径为 ，则双曲线的离心率为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设双曲线的左、右焦点分别为 ， ，设双曲线的一条渐近线方程为 ，可得直线 的
方程为 ，联立双曲线的方程可得点 的坐标，设 ， ，运用三角形的等面积法，
以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得关于 ， 的方程，结合离心率公式可得所
求值．
【详解】
设双曲线的左、右焦点分别为 ， ，
设双曲线的一条渐近线方程为 ，
可得直线 的方程为 ，与双曲线 联立，
可得 ， ，
设 ， ，
由三角形的等面积法可得 ，
化简可得 ，①由双曲线的定义可得 ，②
在三角形 中 ， 为直线 的倾斜角），
由 ， ，可得 ，
可得 ，③
由①②③化简可得 ，
即为 ，
可得 ，则 ．
故选：A．
8．在棱长为 的正四面体 中，点 为 所在平面内一动点，且满足 ，则 的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意可知，点 在 所在平面内的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为 、 ，长轴长为 ，然后以
线段 的中点 为坐标原点，直线 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，求
出椭圆的方程，利用二次函数的基本性质可求得 的最大值.
【详解】
如图所示，在平面 内， ，
所以点 在平面 内的轨迹为椭圆，取 的中点为点 ，连接 ，以直线 为 轴，直线 为
建立如下图所示的空间直角坐标系 ，则椭圆的半焦距 ，长半轴 ，该椭圆的短半轴为 ，
所以，椭圆方程为 .
点 在底面的投影设为点 ，则点 为 的中心， ，
故点 正好为椭圆短轴的一个端点，
，则 ，
因为 ，故只需计算 的最大值.
设 ，则 ，
则 ，
当 时， 取最大值，
即 ，
因此可得 ，故 的最大值为 .
故选：B.
9．已知点 为抛物线 的焦点， ，点 为抛物线上一动点，当 最小时，点 恰好在
以 ， 为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作出图形，可知 与抛物线相切时， 取得最小值，求出点 的坐标，利用双曲线定义求出2a，结
合 ，可求得 ，再利用 求得结果.
【详解】
由抛物线的对称性，设 为抛物线第一象限内点，如图所示：
故点 作 垂直于抛物线的准线于点B，由抛物线的定义知 ，易知 轴，可得
当 取得最大值时， 取得最小值，此时 与抛物线 相切，
设直线 方程为： ，
联立 ，整理得 ，
其中 ，解得： ，由 为抛物线第一象限内点，则
则 ，解得： ，此时 ，即 或
所以点 的坐标且由题意知，双曲线的左焦点为 ，右焦点为
设双曲线的实轴长为2a，则 ， ，
又 ，则
故渐近线斜率的平方为
故选：B
10．已知 ， 为双曲线 的左、右焦点，以 为直径的圆与双曲线右支的一个交
点为P， 与双曲线相交于点Q，且 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设 则 ，由 及 ， 求
a、t的数量关系，可得双曲线参数的齐次方程，即可求双曲线的离心率.
【详解】
设 ，则 ，而 ，
∴ ， ，
由 ，则 ， ，
∴ ，解得 ，则 ，
∴ .故选：B
11．若椭圆 上的点 到右准线的距离为 ，过点 的直线 与 交于两点
，且 ，则 的斜率为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
点代入椭圆方程，点到准线距离和 ，解得 ，由 ，得 ，
联立直线与椭圆方程得到 ，联立消去 即可求出
【详解】
解：由题意可得 ，解得 ，
所以椭圆 ，
设 ： ,设因为 ，所以
由 得
则 结合 ，联立消去 解得
故选：B.
12．已知双曲线 ： 的左焦点为 ，过原点的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 ， 两
点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设 ， ，则 ，构造函数 ， ，用导数求
在 上的取值范围即可.
【详解】
设 ，则 .
设双曲线的右焦点为 ，由对称性可知 ，则 ，
所以 .令 ， ，则 ，令 得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
所以 ，又当 时 ，所以 .
故 的取值范围是 .
故选：B.
13．已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，点 ， 分别在双曲线
的左、右两支上，点 在 轴上，且 ， ， 三点共线，若 ， ，则双曲线
的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】
根据平面向量共线的性质，结合双曲线的定义、等边三角形的判定及性质、余弦定理、双曲线的离心率公
式进行求解即可.
【详解】
依题意， 得 ， ，故 ；又 ，故
；不妨设 ，由双曲线的定义可得， ， ，故 ，故 ，则 ，故 为等边三角形，故在 中， ，即
， ， ，由余弦定理， ，则
，
故选：B．
14．已知抛物线 ， 为 的焦点，过焦点 且倾斜角为 的直线 与 交于 ， 两点，
则下面结论不正确的是（ ）
A．以 ， 为直径的圆与抛物线 的准线相切
B．
C．过点 ， 分别作抛物线 的切线，则两切线互相垂直
D．记原点为 ，则
【答案】D
【分析】
根据抛物线 和过焦点的直线 的位置关系，联立抛物线方程和直线方程，结合韦达定理
和焦点弦公式，逐个判断即可得解.
【详解】
由题意知，令直线 ， ， ，
与抛物线 联立方程，消去 得 ，
由韦达定理知： ， ，
如图所示，过 ， 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为 ， ，
记 的中点为 ，过 作抛物线准线的垂线，垂足为 ，由 ，
所以以 为直径的圆与抛物线 的准线相切，故A正确；
由 ，
所以可得：
，故B正确；
由图，抛物线在第一象限的解析式为 ，
所以 ，
所以过点 抛物线的切线的斜率为 ，
同理过点 抛物线的切线的斜率为 ，所以 ，所以两切线垂直，故C正确；
由 ，所以可得：
；
如图，作 垂直 于 ，
则 ，
当 时，经检验 亦成立，故D错误，
故选：D.
15．已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为抛物线的焦点，过 作抛物线的
一条切线，切点为 ，且满足 ，则抛物线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题首先可根据题意得出点 ，然后设切线方程为 、切点为 ，通过联立抛物线
与切线方程解得 ，最后对 、 两种情况分别进行讨论，通过 即可得出结果.
【详解】
由题意可知，抛物线准线方程为 ，点 ，切线斜率 一定存在，
设过点 与抛物线相切的直线方程为 ，切点 ，联立抛物线与切线方程 ，转化得 ，
，解得 ，
当 时，直线方程为 ，
，解得 ，则 ，
因为 ，所以 ，解得 ；
当 时，同理得 ，
综上所述，抛物线方程为 ，
故选：C.
16．过点 斜率为正的直线交椭圆 于 ， 两点. ， 是椭圆上相异的两点，满足 ，
分别平分 ， .则 外接圆半径的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分析可知，P，C，D在一个阿波罗尼斯圆上，设其半径为r，且 ，分直线AB斜率存在及不存
在两种情况分别讨论得解．
【详解】
如图，先固定直线AB，设 ，则 ，其中 为定值，
故点P，C，D在一个阿波罗尼斯圆上，且 外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r，阿波罗尼
斯圆会把点A，B其一包含进去，这取决于BP与AP谁更大，不妨先考虑 的阿波罗尼斯圆的情况，
BA的延长线与圆交于点Q，PQ即为该圆的直径，如图：
接下来寻求半径的表达式，
由 ，解得 ，
同理，当 时有， ，
综上， ；
当直线AB无斜率时，与椭圆交点纵坐标为 ，则 ；
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为 ，即 ，
与椭圆方程联立可得 ，
设 ， ，则由根与系数的关系有， ，，
注意到 与 异号，故 ，
设 ，则 ，，当 ，即 ，
此时 ，故 ，
又 ，综上外接圆半径的最小值为 .
故选：D．
17．已知点P在抛物线 上，过点P作抛物线 的切线 ， ，切点分别为M，N，
若 ，且 ，则C的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设 ，利用导数写出切线 的方程，联立求出交点 坐标 ，
又由 ，知 为三角形 的重心，代入重心坐标公式，利用已知条件可求出 的坐标
为 再代入抛物线 方程, 求出 ，进而求C的准线方程.
【详解】
设 ，由 ，得 ，则 ，
则 即同理直线 的方程为 ，
联立 的方程可得 ，则 ，
又由 ，得 为三角形 的重心,
则 ， ，得 ，
则 ，又 抛物线 上，得 ，即 ，
准线方程为 .
故选：A.
18．已知点P（－1，0），设不垂直于x轴的直线l与抛物线y2＝2x交于不同的两点A、B，若x轴是
∠APB的角平分线，则直线l一定过点
A．（ ，0） B．（1，0） C．（2，0） D．（-2，0）
【答案】B
【分析】
根据抛物线的对称性，分析得出直线过的顶点应该在x轴上，再设出直线的方程，与抛物线方程联立，设
出两交点的坐标，根据角分线的特征，得到所以AP、BP的斜率互为相反数，利用斜率坐标公式，结合韦达
定理得到参数所满足的条件，最后求得结果.
【详解】
根据题意，直线的斜率不等于零，并且直线过的定点应该在x轴上，
设直线的方程为 ，与抛物线方程联立，消元得 ，
设 ，因为x轴是∠APB的角平分线，
所以AP、BP的斜率互为相反数，所以 ，
结合根与系数之间的关系，整理得出 ，
即 ， ，解得 ，所以过定点 ，
故选B.19．已知 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF2 || PF1 |，椭圆的离心率
为 ，双曲线的离心率为 ， ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
【答案】D
【分析】
由题意可得 ，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得
的表达式，化简后再用均值不等式即可求解.
【详解】
由题意得： ，设椭圆方程为 ，
双曲线方程为 ，
又∵ .
∴ ，∴ ，
则
，当且仅当 ，
即 时等号成立.
则 的最小值为8.
故选：D20．已知 ， 分别为双曲线 的左，右焦点，过 且倾斜角为锐角 的直线与双曲线的右支交
于 ， 两点，记 的内切圆半径为 ， 的内切圆半径为 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意作出示意图，先证焦点三角形内切圆圆心的横坐标均为 ，再根据角度关系结合半径关系，即可
求得结果.
【详解】
如图，记 的内切圆圆心为 ，
内切圆在边 、 、 上的切点分别为 、 、 ，
易知 、 两点横坐标相等， ， ， ，
由 ，即 ，
得 ，即 ，
记 点的横坐标为 ，则 ，
则 ，得 .
记 的内切圆圆心为 ，同理得内心 的横坐标也为 则 轴，由题意知 ， ，
在 中， ，
在 中， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
故选：D.
21．如图，椭圆 ， 是直线 上一点，过点 作椭圆 的两条切线 ， ，直线
与 交于点 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先证明过椭圆 上点 处的切线方程是 ，这样只要设 ，可得切
线方程，由切线过 可得直线 方程，得直线 过左焦点 ，可证明 ，由直线
方程与 方程联立可解得交点 坐标，计算 ，可得 ，再由不等式的性质得出最小值．
【详解】
设
若 在椭圆的上半部分，则 得 ，
在椭圆上， ，
．
∴过 点的切线方程是 ， ，即 ，
同理可证当 在下半圆时，过 的切线方程也是 ， 是椭圆的左右顶点时，切线方程也是．
∴无论 在椭圆的何处，切线方程都是 ．
设 ，则过 点的切线方程是 ，
在直线 ，设 ，则由两切线都过 点
∴ ，∴直线 方程是 ，易知直线 过定点 ，该定点为椭圆左焦点 ．
直线 方程为 ，则由 ，得 ，即 ，
， ， ，∴ ，
， ，∴
．当且仅当
，即 时等号成立．
故选：A．
22．已知抛物线 ，焦点为 ，圆 ，过 的直线 与 交于 、
两点（点 在第一象限），且 ，直线 与圆 相切，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设点 、 ，可得 ，且 ，由 结合向量的坐标运算以及 可求得
点 的坐标，进而可求得直线 的方程，由直线 与圆 相切，得出圆心到直线的距离等于圆的半径，由
此可求得实数 的值.
【详解】
抛物线 的焦点为 ，设点 、 ，则 ，且 ，
由 得 ， ，
由 ，即 ，即 ，可得 ， ，
所以，点 的坐标为 ，直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，即 ，
将圆 的方程写为标准式得 ，则 ，可得 .
由于直线 与圆 相切，则 ，解得 ，合乎题意.
故选：B.
23．已知A，B，C为抛物线 上不同的三点，焦点F为 的重心，则直线 与y轴的交点的纵
坐标t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合三角形重心的性质，结合题意，求
得结果.
【详解】
设 ，由抛物线 的焦点 的坐标为 ，
焦点F为 的重心，
所以 ，
显然直线 斜率存在，设为 ，则直线 方程为 ，
联立 ，消去 得： ，
所以 ，即 ①，且 ，所以 ，
代入式子 得 ，
又点 也在抛物线上，所以 ，即 ②，
由①②及 可解得 ，即 ，
又当 时，直线 过点 ，此时 三点共线，
由焦点F为 的重心，得 与 共线，
即点 也在直线 上，此时点 与 之一重合，
不满足点 为该抛物线上不同的三点，所以 ，
所以实数的取值范围为 ，
故选：C.
24．已知 、 是椭圆 的左、右焦点，点 是椭圆上任意一点，以 为直径作圆 ，直线
与圆 交于点 （点 不在椭圆内部），则
A． B．4 C．3 D．1
【答案】C
【分析】
利用向量的数量积运算可得 ，利用 ，进一步利用椭圆的定义可
转化为 ，进而得解.
【详解】
连接 ,设椭圆的基本量为 ，,
故答案为：3.
25．已知双曲线 ： 的右焦点为 ， 和 为双曲线上关于原点对称的两点，且
在第一象限.连结 并延长交 于 ，连结 ， ，若 是以 为直角的等腰直角三角形，
则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
如图所示，连接有关各点，根据题意可设 , 为矩形,根据双曲线的定义得到
, , , 在 和 中，利用勾股定理列出方程组，消
去 得到得到 的关系，进而求得离心率.
【详解】如图所示，连接有关各点，根据题意可设 ,
为矩形，且 , , ,
在 和 中，
，
由（2）化简得 ，代入（1）化简得 ，
故选：C.
26．已知 是椭圆 的一个焦点，若直线 与椭圆相交于 两点，且 ，
则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将 与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利用椭圆的定义和余弦定理，
结合重要不等式可得离心率的范围.
【详解】
如图设 分别为椭圆的左、右焦点，设直线 与椭圆相交于 ，连接 .根据椭圆的对称性可得：四边形 为平行四边形.
由椭圆的定义有：
由余弦定理有：
即
所以
当且仅当 时取等号，又 的斜率存在，故 不可能在 轴上.
所以等号不能成立,即即 ，所以
故选：A
27．已知双曲线 的左、右焦点分别为F ，F ，过F 且斜率为 的直线与双曲线在第
1 2 2
一象限的交点为A，若 ，则此双曲线的标准方程可能为（ ）
A．x2 1 B．
C． D．【答案】D
【分析】
由向量的加减运算和数量积的性质，可得 ，由双曲线的定义可得 ，再由三角形
的余弦定理，可得 ， ，即可判断出所求双曲线的可能方程．
【详解】
解：由题可知， ，
若 ，即为 ，
可得 ，即有 ，
由双曲线的定义可知 ，
可得 ，
由于过F 的直线斜率为 ，
2
所以在等腰三角形 中， ，
则 ，
由余弦定理得： ，
化简得： ，
即 ， ，
可得 ， ，
所以此双曲线的标准方程可能为： .
故选：D．
28．已知椭圆 ， ， ，过点 的直线 与椭圆交于 ， ，过点 的直
线 与椭圆交于 ， ，且满足 ，设 和 的中点分别为 ， ，若四边形 为矩形，且面积为 ，则该椭圆的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
画出图像，由面积和勾股定理列式可得 ， ，在 中，有长度关系可得
，从而得 和 ，再利用点差法得 ，从而可求得离心率．
【详解】
如图，不妨设 ， 两条直线的斜率大于零时，连结 ，
由题意知 ，
解得 ， ，或 ， （舍）
， ，
在 中，因为 ，所以 ，
故此时 ， ．
设 ， ，则 ，两式相减得 ，
即 ，即 ，
因此离心率 ，所以 ，故选D．
29．已知单位向量 ， 满足 ，若存在向量 ，使得 ，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意,设向量 , 的夹角为 ,由 化简求得 ，设 ,则
,由 化简可知 即
在以 为圆心,半径为1的圆上,由点与圆的位置关系分析可得 即可得答案.
【详解】
根据题意,设向量 , 的夹角为 ,若 ,
则 ,
即 ,解得: .
则在直角坐标系中,设 ,则 ,
则有 ,若 ,
则有 ,
即 ,
变形可得: ,
点C在以 为圆心,半径为1的圆上,设 ,
则 ,则有 ,
则有 ,
所以 的取值范围是
故选:C.
30．设双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 分别与双曲线 左右两
支交于 两点，以 为直径的圆过 ，且 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】
根据圆的性质得到 ，根据 得到 .设 为 的中点.根据双曲线的定
义和等腰直角三角形的性质，结合勾股定理列方程，求得 ，以及 ，进而求得直线 的斜
率.
【详解】
由 为直径的圆过 ，所以 ，由 ，得 ，即
，即 ，即 ，所以
，所以 .设 ，则 ，由
， ，两式相加可得 ，即有 ，设 为
的中点，在直角三角形 中可得 ，化为 ，即 ，而
，所以 ，所以直线 的斜率为
.
故选：B31．已知抛物线 ，F是抛物线C的焦点，M是抛物线C上一点，O为坐标原点， ，
的平分线过FM的中点，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设线段FM的中点为Q，作 轴于点N， 轴于点 ，交C的准线l于点 ，
则 ，故 ,过点Q作 于点T,可得 重合，
设 可得出 的坐标满足 ，再与抛物线方程联立，可求出 的坐标.
【详解】
设线段FM的中点为Q，作 轴于点N， 轴于点 ，交C的准线l于点 ，
则 ，故 .
过点Q作 于点T，由 是 的角平分线.
则 ，由垂线段的唯性知， 重合，
可得 ，则M在以线段PF为直径的圆上.设 ，则由 ， 得 ，将 代入得
，易知 ，所以 ，即 ，
得 ，所以 .故M的坐标为 .
故选：A
32．已知 是椭圆 上的两个动点， ，则以 为直角顶点的等腰直角 的个数为
（ ）
A． B． C． D．多于
【答案】A
【分析】
当 轴时，易得有两个满足条件的三角形，当 不垂直于x轴时，通过分析 可知 点从左顶点
运动到右顶点的过程中， 是逐渐减小的，可得此种情况没有满足题意的等腰直角三角形.
【详解】
当 轴时，如图所示，显然有两个满足条件的三角形.
当 不垂直于x轴时，不妨假设 ， ，
，由复合函数的单调性知， 在 上单调递减，所以 点从左顶点运动到右顶点的
过程中，不存在另一个异于 的 点，使得 .综上，满足条件的三角形只有
2个.
故选：A.
33．在平面直角坐标系 中，圆 ，若圆 上存在以 为中点的弦 ，且
，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题的实质是圆 上存在 两点，使 .若 ， 为切线，则可求得 .过 向圆引的
两条切线的夹角不小于 时， ，进而求得答案.
【详解】
为 的中点，且 ，
为直角三角形， ，
若 ， 为切线，且 ，则 ，
在 中， ， ， ，
则 ，
过点 向圆引的两条切线的夹角不小于 时，满足题意，则圆心 到 的距离不大于 ，
即 ，解得 .
故选：C.
34．已知椭圆 ，过x轴上一定点N作直线l，交椭圆C于A，B两点，当直线l绕点N任意旋
转时，有 （其中t为定值），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设点 ,当直线 与 轴不重合时,设 的方程为 ,代入椭圆方程,化
简得 ,利用韦达定理化简得 ,因为
为定值,特殊值代入即可求得 ,进而求得定值 .
【详解】
设点
当直线 与 轴不重合时,设 的方程为 ,代入椭圆方程,得: ,即.
当直线l绕点N任意旋转时，有 （其中t为定值）,
当 时,
当 时,
,
解得: 代入当 时, .
故选:B.
35．已知圆 与圆 ，过动点 分别作圆 、圆 的切线 ，
，（ 分别为切点），若 ，则 的最小值是
A．5 B． C． D．
【答案】D
【分析】
P的轨迹为线段 的中垂线： ，
由 ，得到 的最小值是点 到直线的距离的平方，由此能求出结果．
【详解】
∵圆 与圆 ，
∴ ， ，
∵过动点 分别作圆 、圆 的切线 ， ，（ ， 分别为切点）， ，
∴P的轨迹为线段 的中垂线，线段 的中点坐标为 ，
线段 的斜率 ， 的中垂线所在直线的斜率为 ，
∴P的轨迹方程为 ，即 ，
∵ 表示点 与 距离的平方，
∴ 的最小值是点 到直线 的距离的平方，
∴ 的最小值为： ．
故选：D．
36．已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于不同的两点 ， ，且满足
，以 为中点的线段的两端点分别为 ，其中 在 轴上， 在 上，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设出直线 方程，联立抛物线方程，根据韦达定理求得 ；设出 方程，利用韦达定理，将目标式转化为
关于未知量的函数，求函数值域即可求得结果.
【详解】设 的方程为 ，代入 ，得 ，
所以 ， ，可得 .
设直线 方程为 ，
，同理得 ， ，
所以 ，
又 为中点，所以 ，即 .所以 ，
所以
，令 ，则 ，其对称轴 ，
故当且仅当 时取得最小值.
故当 ，即 轴时， 最小，最小值为 .
故选：D.
37．设抛物线 的焦点为F，过F的两条直线 ， 分别交抛物线于点A，B，C，D，且 ，
的斜率 ， 满足 ，若 的最小值为30，则抛物线的方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设 ， ，联立直线 的方程和抛物线的方程消元，然后韦达定理可得 ，
，然后利用弦长公式可算出 ，同理 ，然后可得，然后利用导数求出 的最小值，然后即
可求出
【详解】
由题意可得直线 的方程为： ，与 联立得
.
设 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
同理可得 ，
所以 .
令 ， ，
则 ，
当 时， ，
则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 上单调递增.
所以当 时， ，
所以 ， ，
所以抛物线的解析式为 .
故选：B.
38．设点 为椭圆 上一点， 、 分别是椭圆 的左、右焦点，且 的重心为点 ，
如果 ，那么 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题设条件及椭圆的定义，可得 ，进而可得 为等腰三角形，计算 ，由重心
和中点的定义， ，即得解
【详解】
由于点P为椭圆 上一点，又
故 为等腰三角形，以 为底的高为：
故
故选：C
39．过双曲线 的右焦点 作直线 ，且直线 与双曲线 的一条渐近线垂直，垂足为
，直线 与另一条渐近线交于点 ，已知 为坐标原点，若 的内切圆的半径为 ，则双曲线
的离心率为（ ）
A． B． C． D． 或2
【答案】D
【分析】
分 在 轴同侧和 在 轴异侧两种情况进行求解：不妨设 在第一象限，根据题意作出图形，利用
图形中的几何关系求出 的值，再由离心率 求解即可.
【详解】
有两种情况：
（1）若 在 轴同侧，不妨设 在第一象限.如图，设 内切圆的圆心为 ，则 在 的平分线 上，
过点 分别作 于 ， 于 ，
由 得四边形 为正方形，利用点到直线的距离公式可得，
焦点 到渐近线 的距离为 ，
又 ，所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
从而可得离心率 ；
（2）若 在 轴异侧，不妨设 在第一象限如图，易知 ， ， ，
因为 的内切圆半径为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
则 ，
从而可得离心率 .
综上，双曲线 的离心率为 或2.
故选：D
40．已知 为抛物线 的焦点，点 都是抛物线上的点且位于 轴的两侧，若 ( 为原
点)，则 和 的面积之和的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先设出直线方程，代入抛物线方程，利用根系关系及平面向量数量积坐标公式得到 ，再计算
和 的面积之和，利用均值不等式求其最小值即可.
【详解】
设直线 的方程为 ， ， ，
.
，
解得： 或 .
因为 位于 轴的两侧，所以 .
即： ， .
设点 在 轴的上方，则 ， ， .
当且仅当 时，即 时，取“ ”号.
所以 和 的面积之和的最小值为 .
故选：A二、多选题
41．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 且斜率大于0的直线
交抛物线 于 ， 两点(其中 在 的上方)，过线段 的中点 且与 轴平行的直线依次交直线 ，
， 于点 ， ， .则（ ）
A．
B．若 ， 是线段 的三等分点，则直线 的斜率为
C．若 ， 不是线段 的三等分点，则一定有
D．若 ， 不是线段 的三等分点，则一定有
【答案】AB
【分析】
设直线方程为 ， ，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得 ，从而
可表示出 点坐标，然后求出 点坐标，判断各选项．
【详解】
抛物线 的焦点为 ，准线
设直线 方程为 ， ， ，
联立 ，消去y得 ，
由韦达定理得： ， ，
∴ ， ，直线 方程为 ，
对于A，∵ 共线，∴ ， ，同理 ，
， ，∴ ，即 ，故A正确；
对于B，若P，Q是线段 的三等分点，则 ， ，即
，
又 ， ，
∴ ，∴ ，又 ，解得： ，故B正确；
对于C，由 得 ， ，
， ，∴ ，
又 ，∴ ，
当 时， ，故C错；
对于D，由图可知 ，而 ，只要 ，就有 ，故D错．
故选：AB．42．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，O为坐标原点，圆 ，P
是双曲线C与圆O的一个交点，且 ，则下列结论中正确的有（ ）
A．双曲线C的离心率为
B．点 到一条渐近线的距离为
C． 的面积为
D．双曲线C上任意一点到两条渐近线的距离之积为2
【答案】ABD
【分析】
由双曲线及圆的方程知圆O的半径为c，所以 ，又 ，根据双曲线的定义、勾股定理、
双曲线中 的关系得双曲线C的方程为： ，从而可判断选项A正确；求出双曲线的渐近线
方程，由点到直线的距离公式可判断选项B、D正确；由面积公式可判断选项C错误.
【详解】
解：∵双曲线 ，
∴ ，
又圆 ，
∴圆O的半径为c，
∴ 为圆O的直径，∴ ，
故作图如下：对于A，∵ ，∴ ，
∴ ，令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴双曲线C的离心率 ，故A正确；
对于B，由于 到渐近线 的距离 ，故B正确；
对于C，由离心率 得 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 的面积为 ，故C错误；
对于D，由 得双曲线C的方程为： ，
故其两条渐近线方程为 ，即 ，设 为双曲线C上任意一点，则 ，即 ①，
到两条渐近线的距离 ， ，
∴ ，故D正确；
故选：ABD.
43．曼哈顿距离(或出租车几何)是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空
间的几何学用语.例如，在平面上，点 和点 的曼哈顿距离为： .若点
为 上一动点， 为直线 上一动点，设 为
， 两点的曼哈顿距离的最小值，则 的可能取值有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】
直线l恒过定点(2，-4)，画出图形，对k分类讨论并借助导数求出 的取值范围即可作答.
【详解】
直线 恒过定点A(2，-4)，
由点(0，0)到直线 的距离 得 ，即直线 与
圆相离，
(1)当l的斜率k满足|k|<1时，作出一条纵截距为负数的直线平行于l，如图：要使得 最小，P应位于切点处，作PC⊥x轴交直线l于点C，过Q作直线QB⊥PC于点B，
当Q位于点C的左方时， ，当Q位于点C的右方时，同理也有 ，于
是有 ，
设直线 与圆相切，则有 ，即切线的纵截距 ，而直线l的纵
截距为 ，
， 在 上递增， ；
(2)当l的斜率k满足 时，作出一条纵截距为负数的直线平行于l，如图：
要使得 最小，P应位于切点处，作PC⊥y轴交直线l于点C，过Q作直线QB⊥PC于点B，
当Q位于点C的左方时， ，当Q位于点C的右方时，同理也有 ，于
是有 ，设直线 与圆相切，则有 ，即切线的横截距 ，而直线l的
横截距为 ，
， 在 上递减， ，
综上得 ，则选项ABC满足.
故选：ABC
44．已知抛物线方程为 ，直线 ，点 为直线l上一动点，过点P作抛物线的
两条切线，切点为A､B，则以下选项正确的是（ ）
A．当 时，直线 方程为 B．直线 过定点
C． 中点轨迹为抛物线 D． 的面积的最小值为
【答案】ACD
【分析】
运用导数知识求出切线方程，可以得到直线 的表达式，判断A、B选项；联立直线 与抛物线的方程
组，求解出其中点坐标，解出中点轨迹判断C选项；运用弦长公式和点到直线距离公式求出三角形的底和
高，得到三角形面积表达式，求出最值判断D选项.
【详解】
解析： ， ，设 ，
则 ，即 ，
同理 ， 都过点 ，直线 ，即 ，
当 时， .故A正确；
， ， 直线 过定点 ，故B错误；
联立 ，消去 得 ， ， ，
， 中点坐标为 ，故其轨迹方程为 ，故C正确；
， ，
，
当 时， ，故D正确；
故选：ACD
45．过抛物线 ： 焦点 的直线 交 于 ， 两点， 为坐标原点，则（ ）
A．不存在直线 ，使得
B．若 ，则直线 的斜率为
C．过 作 准线的垂线，垂足为 ，若 ，则
D．过 ， 两点分别作抛物线 的切线，则两切线交点的纵坐标为定值
【答案】ACD
【分析】设 ： ， ， ，联立抛物线方程应用韦达定理求 、 、 ，利用向量数
量积的坐标表示求 可判断A的正误，由 结合图象有 ，进而求 ，
坐标即可确定直线 的斜率判断B的正误，根据抛物线定义及余弦定理求 判断C的正误，利用
导数求切点处的切线方程，根据切线交点横坐标相等求纵坐标判断D的正误.
【详解】
由题设，设 ： ， ， ，联立抛物线方程整理可得： ，且
，则 ， ， .
∴由上知： ， ，则 ，故不存在直线 ，使得 ，A
正确；
若 ，则 ，结合 可得 ， ，
∴ ， ，故 ，B错误；如上图示，若 ，由抛物线定义知： ，
∴ ，即 ，可得 ，
在△ 中， ，C正确；
由抛物线方程得 ，故过 的切线为 ，过 的切线为 ，令
，整理得 ，
∴ ，两切线交点的纵坐标为定值，D正确.
故选：ACD
46．在 中， ， 为 的中点，且 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．动点 的轨迹是双曲线 B．动点 的轨迹关于点 对称
C． 是钝角三角形 D． 面积的最大值为
【答案】BD
【分析】
由 联想到双曲线的定义，可以考虑以 两点作为焦点， 为原点作图，设 = ，此时
点在以 为圆心， 为半径的圆上，由 ，知 点在双曲线上，由图逐项判断即可．【详解】
以 为原点， 为 轴建立直角坐标系．
设 = ，此时 点在以 为圆心， 为半径的动圆上．
由 ，知 点在以 为焦点， 的双曲线 上且 ．
对点 有 ， ，从而 ，当 时， 最大，故 ，
，故 正确；
时，得到另一个 点 ，此时 为直角三角形，故 错误；
∵ 非定值，∴ 不以双曲线为轨迹，故 错误；
∵ ，∴一定有 关于 的对称点关于原点对称，故 正确．
故选：BD．
47．已知抛物线 ，点 ，过M作抛物线的两条切线 ，其中A，B为切点，
直线 与y轴交于点P，则下列结论正确的有（ ）
A．点P的坐标为 B．
C． 的面积的最大值为 D． 的取值范围是
【答案】AC【分析】
由 ，可得 ，得到 点处的切线的斜率分别为 和 ，设过点 的切线方程为
，联立方程组，由由 ，求得 ，根据 ，可判
断B不正确；由 ，得出 的直线方程为 ，将 代入直线 的方程，可判
定A正确；设直线 的方程为 ，根据点到直线的距离公式和弦长公式，求得 ，可
判定C正确；由 ，结合韦达定理，得到 ，得出不等式组，可判定D不正确.
【详解】
由题意，设 ，由 ，可得 ，
所以 点处的切线的斜率为 ， 点处的切线的斜率为 ，
设过点 的切线方程为 ，
联立方程组 ，可得 ，
由 ，可得 ，
又由 ，则 ，
所以 不垂直，所以B不正确；
由 ，所以 的直线方程为 ，
即 ，将 代入直线 的方程，可得 ，由 知，方程 成立，所以点 在直线 上，所以A正确；
由点 在直线 上，可设直线 的方程为 ，
则点 到 的距离为 ，
且
，
所以 ，
因为 ，可得 ，所以 的最大值为 ，所以C正确；
由 ，所以 ，
由 ，可得 ，
所以 ，因为 ，可得 ，
又由 ，设 ，可得 ，
即 ，解得 或 ，
即 的取值范围是 ，所以D不正确.
故选：AC.
48．已知抛物线E： 的焦点为F，准线l交x轴于点C，直线m过C且交E于不同的A，B两点，B在
线段 上，点P为A在l上的射影．下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若P，B，F三点共线，则C．若 ，则 D．对于任意直线m，都有
【答案】BCD
【分析】
解法一：设出直线方程，然后与抛物线方程联立，结合韦达定理与抛物线的定义进而逐项分析即可，其中
D选项需要结合均值不等式；解法二：对A选项首先假设 ，然后推出矛盾即可判断，B，C，D
选项则同解法一一样.
【详解】
解法一：由已知条件可得
由抛物线的对称性，不妨设直线 的方程为
依题意 ，由 整理，得
当 ，即 时，由韦达定理，
得 .
对于 选项，因为直线 的斜率为 ，
所以 ，即
又 ，所以 ，解得 ，所以所以 ，
故 ，故 错误；
对于 选项，易得 ，所以
当 三点共线时， ，
所以
由 和 ，解得 ，
所以 故 正确
对于 选项，过 作 ，垂足为 由已知可得 ，
所以 .
又 ，所以 .
由抛物线的定义，得
因此 故 正确；
对于 选项，因为 ，
所以 ，又 ，
故 成立.故 正确.
故选：BCD.
解法二：对于选项 ，假设 成立，则 为等腰直角三角形，
，所以 为等腰直角三角形，则点 在 轴上，这与已知条件显然矛盾，故
故 错误，其他选项同解法一进行判断.故选：BCD.
49．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ，过点 作与 轴垂直的直线，与抛物
线 交于 、 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 为正三角形，则
C．若抛物线 上存在两个不同的点 、 （异于 、 ），使得 ，则
D．当 取得最大值时，
【答案】BCD
【分析】
由 求出 的取值范围，可判断A选项的正误；求出 、 ，根据 解出 ，可判断
B选项的正误；设点 ，由 得出关于 的方程 有四个不同的实
根，求出 的取值范围，可判断C选项的正误；设 ，求得 的最大值及其对应的 的
值以及 的值，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，将 代入抛物线 的方程可得出 ，则 ，
所以， ， ，由 可得 ，解得 ，A选项错误；
对于B选项，设点 ，则点 ，则 ， ，
由于 为正三角形，则 ，即 ，解得 ，B选项正确；
对于C选项，在抛物线 上任取一点 ，则 ，由 ，可得 ，整理可得 ，
即 ，即 ，
关于 的方程 有四个不同的实根，则 ，解得 ，C选项正确；
对于D，设 ， ，
其中 为锐角，且 ， ，
当且仅当 时， 取得最大值 ，
则 ， ，
则 ，即 ，解得 ，D选项正确.
故选：BCD.
50．已知椭圆 上有一点P， 分别为左､右焦点， 的面积为S，则下
列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 为钝角三角形，则 D．椭圆C内接矩形的周长范围是
【答案】ACD
【分析】
用椭圆的焦点三角形和内接矩形等知识分别对四个选项判断即可.
【详解】
对于椭圆 ，设 ， ， ，则，由此可得 …①，
所以 的面积 .
对于选项A：若 ，则 ，故A正确；
对于选项B：由①知 （当且仅当 即点 是短轴端点时取等号），所以
，因此 不可能是 ，故B错误；
对于选项C：由以上分析可知， 不可能是钝角，由对称性不妨设 是钝角.先考虑临界情况，当
时，易得 ，此时 ，结合图形可知，当 是钝角时
，故C正确；
对于选项D：令 ， ，
则椭圆内接矩形的周长为 ，其中锐角 满足 ， .
由 得 ，所以，周长的范围是 ，即 ，故D正确.
故选：ACD.51．设 ， 是抛物线 ： 上两个不同的点， 为坐标原点，若直线 与 的斜率之积为-4，则
下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．直线 过抛物线 的焦点 D． 面积的最小值是2
【答案】ACD
【分析】
对于选项B，可以通过特殊点来判断，而对于选项ACD，可以通过设直线 ，再联立方程组，结合韦达
定理一一判断即可.
【详解】
取 ， ，满足 ，从而 ，故B错误；
由题意可知直线 的斜率不为0，设直线 的方程为 ， ， ，
联立 ，整理得 ，则 ， .
因为 ，所以 ，所以直线 的方程为 ，
则直线 过点 ，故C正确；
因为抛物线 的焦点为 ，所以直线 过焦点 ，
则由抛物线的性质可知 ，故A正确；
由上可得直线 的方程为 ，则 ，原点 到直线 的距离 ，
则 ，故D正确.
故选：ACD.
52．已知双曲线 的左焦点为 ， 为 右支上的动点，过 作 的一条渐近线的
垂线，垂足为 ， 为坐标原点，当 最小时， ， ， 成等差数列，则下列说法正确的
是（ ）
A．若 的虚轴长为2，则 到 的一条渐近线的距离为2
B． 的离心率为
C．若 的焦距为2，则 到 的两条渐近线的距离之积小于
D．若 的焦距为10，当 最小时，则 的周长为
【答案】BCD
【分析】
设出双曲线的右焦点，根据双曲线的定义以及题意得到 ， ，对A，写出双曲线的一条渐近线
方程利用点到直线的距离即可求解；对B，根据离心率的公式即可求解；对C，根据双曲线的焦距以及离
心率，求出双曲线的方程，设出 点的坐标，表示出 到 的两条渐近线的距离，再根据 点在双曲线上
即可求解，对D，根据题意可得 ，在 中利用余弦定理求出 ，即可求解.
【详解】
解：设双曲线的右焦点为 ，
则 ，
，故当 最小时，即 取得最小值，
故当 三点共线时 最小，
设双曲线的一条渐近线为： ，
故 ，
即 ，
，
又 ， ， 成等差数列，
故 ,
即 ，
即 ，
又 ，
将 代入得： .
对A，若 的虚轴长为2，则 ，
设双曲线的一条渐近线为： ，
则 到 的一条渐近线的距离为 ，故A错误；
对B，由上述可知： ，
即 ，即 ，故B正确；
对C，若 的焦距为2，则 ，
由 得： ，
故双曲线的方程为： ，
双曲线的渐近线方程为： ，
即 ，
设 ，
则 到两条渐近线的距离分别为：
，
，
又 在双曲线上，
故 ，
即 ，
到两条渐近线的距离之积为： ，
故C正确；
对D，若 的焦距为10，则 ，
由 得： ，
则 的周长为： ，又 ，
，
在 中，由余弦定理得： ,
即 ，
故 ，
故 ，故D正确.
故选：BCD.
53．双扭线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy
中，把到定点 ， 距离之积等于 的点的轨迹称为双扭线C．已知点 是双扭
线C上一点，下列说法中正确的有（ ）
A．双扭线C关于原点O中心对称；
B． ；
C．双扭线C上满足 的点P有两个；
D． 的最大值为 ．
【答案】ABD
【分析】
对A，设动点 ，则对称点 代入轨迹方程，显然成立；对B，根据 的面积范围证明；
对C，若 ，则 在y轴上，代入轨迹方程求解；对D，根据余弦定理分析 中的边
长关系，进而利用三角形的关系证明即可.
【详解】
对A，设动点 ，由题意可得 的轨迹方程为把 关于原点对称的点 代入轨迹方程，显然成立；
对B，因为 ，故 ．
又 ，所以 ，
即 ，故 ．故B正确；
对C，若 ，则 在 的中垂线即y轴上．
故此时 ，代入 ，
可得 ，即 ，仅有一个，故C错误；
对D，因为 ，
故 ，
，
因为 ， ，
故 ．
即 ，
所以 ．
又 ，当且仅当 ， ， 共线时取等号．
故 ，
即 ，解得 ，故D正确．
故选：ABD.54．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交抛物线于 、 两点，以线段 为直径的
圆交 轴于 、 两点，设线段 的中点为 ，则（ ）
A．
B．若 ，则直线 的斜率为
C．若抛物线上存在一点 到焦点 的距离等于 ，则抛物线的方程为
D．若点 到抛物线准线的距离为 ，则 的最小值为
【答案】AD
【分析】
设点 、 ，设直线 的方程为 ，将直线 的方程与抛物线的方程联立，列出韦
达定理，利用平面向量数量积的坐标运算可判断A选项的正误，根据 求出 的值，可判断
B选项的正误，利用抛物线的定义求出 的值，可判断C选项的正误，求出 的取值范围，可判断
D选项的正误.
【详解】
若直线 轴，则直线 与抛物线 有且只有一个交点，不合乎题意.
设点 、 ，设直线 的方程为 ，
联立 ，整理可得 ， ，
由韦达定理可得 ， ， ，
，A正确；，解得 ，
所以，直线 的斜率为 ，B错误；
抛物线上一点 到焦点的距离为 ，则 ，可得 ，
故抛物线方程： ，C错误；
抛物线的焦点 到准线的距离为 ，则 ，所以，抛物线的方程为 ，
所以， ， ， ，
所以，圆 的直径为 ，则 ，
点 到 轴的距离为 ,
，
， ， ，
即 ，D正确.
故选：AD.
55．已知四面体 的所有棱长均为 ，则下列结论正确的是（ ）A．异面直线 与 所成角为
B．点 到平面 的距离为
C．四面体 的外接球体积为
D．动点 在平面 上，且 与 所成角为 ，则点 的轨迹是椭圆
【答案】BC
【分析】
在正四面体中通过线面垂直可证得 ，通过计算可验证BC,通过轨迹法可求得 的轨迹为双曲线方
程即可得D错误.
【详解】
取 中点 ,连接 ,可得 面 ,则 ,故A错误；
在四面体 中，过点 作 面 于点 ,则 为为底面正三角形 的重心，因为所有棱长均
为 , ,即点 到平面 的距离为 ,故B正确；
设 为正四面体的中心则 为内切球的半径， 我外接球的半径，
因为 ，所以 ，即 ,
所以四面体 的外接球体积 ,故C正确；
建系如图： ,设 ，则
因为 ，所以 ，
即 ，平方化简可得： ，可知点 的轨迹为双曲线,故D错误.
故选：BC．56．在平面直角坐标系 中，动点 与两个定点 和 连线的斜率之积等于 ，记点
的轨迹为曲线 ，直线 ： 与 交于 ， 两点，则（ ）
A． 的方程为 B． 的离心率为
C． 的渐近线与圆 相切 D．满足 的直线 有2条
【答案】CD
【分析】
由已知结合斜率的两点式有 ，即可得 的方程为 ，进而可求 的离心
率，利用圆心到 的渐近线距离判断圆与 的渐近线的位置关系，联立直线 与曲线 ，结合
求 值的个数，由此即可判断各选项的正误.
【详解】
令 ，由题意得： ，即得 ，
∴A错误，又 ，即 ，故B错误，
由E的渐近线为 ，而 圆心为 ，半径为1，∴ 到 距离为 ，故 的渐近线与圆 相切，故C正确，
联立曲线E与直线 的方程，整理得： ， ，
∴ ，而 ，
代入整理： ，即有 或 (由 与 无交点，舍去)，故
，
∴D正确.
故选：CD
57．在棱长为1的正方体 中，已知点P为侧面 上的一动点，则下列结论正确的是
（ ）
A．若点P总保持 ，则动点P的轨迹是一条线段；
B．若点P到点A的距离为 ，则动点P的轨迹是一段圆弧；
C．若P到直线 与直线 的距离相等，则动点P的轨迹是一段抛物线；
D．若P到直线 与直线 的距离比为 ，则动点P的轨迹是一段双曲线.
【答案】ABD
【分析】
由 平面 且平面 平面 ，即可判断A；根据球的性质及与正方体的截面性质即
可判断B；作 ， ，连接 ，作 .建立空间直角坐标系，由 即可求得
动点P的轨迹方程，即可判断C；根据题意，由距离比即可求得轨迹方程，进而判断D.
【详解】对于A， ，且 ，所以 平面 ，平面 平面 ，
故动点P的轨迹为线段 ，所以A正确；
对于B，点P的轨迹为以A为球心、半径为 的球面与面 的交线，即为一段圆弧，所以B正确；
对于C，作 ， ，连接 ；作 .由 ，在面 内，以C为原点、以
直线 、 、 为x，y，z轴建立平面直角坐标系，如下图所示：
设 ，则 ，化简得 ，P点轨迹所在曲线是一段双曲线，所以C错误.
对于D，由题意可知点P到点 的距离与点P到直线 的距离之比为 ，结合C中所建立空间直角坐标
系，可得 ，所以 ，代入可得 ，化简可得 ，故点P的轨迹
为双曲线，所以D正确.
综上可知，正确的为ABD.
故选：ABD.
58．已知抛物线 ： 的焦点 到准线的距离为2，过点 的直线与抛物线交于 ， 两点，
为线段 的中点， 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）A． 的准线方程为 B．线段 的长度最小为4
C． 的坐标可能为 D． 恒成立
【答案】BCD
【分析】
根据抛物线的几何意义判定，联立直线与抛物线方程结合韦达定理计算即可得解.
【详解】
焦点 到准线的距离即为 ，所以抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，A项错误.
当 垂直于 轴时长度最小， 此时 ， ，所以 ，B项正确.
设 ， ，直线 的方程为 .联立 ，消去 可得 ，
消去 可得 ，所以 ， ，当 时，可得 ，所以C正确，
又 ， ，所以 ，所以D正确.
故选：BCD
59．已知 ， ，记 ，则
A． 的最小值为 B．当 最小时，
C． 的最小值为 D．当 最小时，
【答案】BC
【分析】
将所求最小值转化为为函数 图象上的点到直线 上的点的距离的最小值的
平方；利用导数可求得与直线 平行的函数的切线，由此可求得切点坐标，则切点到直
线距离的平方即为所求最小值，利用点到直线距离公式求得最小值；求得过切点且与
垂直的直线方程，两直线方程联立即可求得 最小时， 的值.【详解】
由 得：
的最小值可转化为函数 图象上的点到直线 上的点的
距离的最小值的平方
由 得：
与直线 平行的直线的斜率为
则令 ，解得： 切点坐标为
到直线 的距离
即函数 上的点到直线 上的点的距离的最小值为
的最小值为
过 与 垂直的直线为
即
由 ，解得： ，即当 最小时，
故选：
60．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，P为双曲线上一点，且 ，若
，则下面有关结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABCD
【分析】
根据 对 分类讨论，利用双曲线的定义以及 ，再结合 对应的余弦定理，即可计算出离心率的值，从而可求 的关系.
【详解】
若 为锐角时， ，如图所示，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，故BD正确；
若 为钝角时， ，如图所示，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，故AC正确.
故选：ABCD.
61．已知到两定点 ， 距离乘积为常数16的动点 的轨迹为 ，则（ ）
A． 一定经过原点 B． 关于 轴、 轴对称
C． 的面积的最大值为45 D． 在一个面积为64的矩形内
【答案】BCD
【分析】
先由已知条件求出点 的轨迹方程，然后结合轨迹方程及三角形的面积公式逐一判断即可得解.
【详解】
解：设点 的坐标为 ，由题意可得 .
对于A，将原点坐标代入方程得 ，所以，A错误；
对于B，点 关于 轴、 轴的对称点分别为 、 ，
∵ ，
∵ ，
则点 、 都在曲线 上，所以，曲线 关于 轴、 轴对称，B正确；
对于C，设 ， ， ，则 ，
由余弦定理得 ，
当且仅当 时等号成立，则 ，所以 ，
则 的面积为 ，C正确；
对于D， ，可得 ，得 ，解得 ，
由C知， ，得 ，
曲线 在一个面积为 的矩形内，D正确.
故选：BCD.
62．已知 分别是双曲线 的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，
若 且 的最小内角为 ，则（ ）
A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为
C． D．直线 与双曲线有两个公共点
【答案】ABD
【分析】
A．根据 以及 对应的余弦定理计算出离心率 的值；B．根据离心率 的值，计算出 的值，
即可求解出双曲线的渐近线方程；C．根据 的大小关系判断出三角形 的形状，再根据长度关
系判断 是否成立；D．联立直线与双曲线，利用一元二次方程的 ，判断出直线与双曲线的交
点个数.
【详解】
A．因为 ， ，所以 ， ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，故结论正确；B． ，所以 ，所以 ，所以渐近线方程为 ，故结论正确；
C．因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，所以结论不成立；
D．因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以直线 与双曲线有两个公共点，所以结论正确.
故选：ABD.
63．过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 ， 两点， 为线段 的中点，则（ ）
A．以线段 为直径的圆与直线 相离 B．以线段 为直径的圆与 轴相切
C．当 时， D． 的最小值为4
【答案】ACD
【分析】
根据抛物线的定义和直线与圆的相切关系对四个选项逐一判断即可.
【详解】
对于选项A，点 到准线 的距离为 ，于是以线段 为直径的圆与直线
一定相切，进而与直线 一定相离：
对于选项B，显然 中点的横坐标与 不一定相等，因此命题错误.
对于选项C，D，设 ， ，直线 方程为 ，联立直线与抛物线方程可得
， ， ，若设 ，则 ，于是， 最小值为4；当 可得 ，
，所 ， .
故选:ACD.
64．已知抛物线 的焦点为 ，直线的斜率为 且经过点 ，直线 与抛物线 交于点
、 两点（点 在第一象限），与抛物线的准线交于点 ，若 ，则以下结论正确的是
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】
作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误.
【详解】
如下图所示：
分别过点 、 作抛物线 的准线 的垂线，垂足分别为点 、 .
抛物线 的准线 交 轴于点 ，则 ，由于直线 的斜率为 ，其倾斜角为 ，
轴， ，由抛物线的定义可知， ，则 为等边三角形，
，则 ， ，得 ，
A选项正确；，又 ， 为 的中点，则 ，B选项正确；
， ， （抛物线定义），C选项正确；
， ，D选项错误.
故选：ABC.
65．已知点F是抛物线 的焦点，AB,CD是经过点F的弦且AB⊥CD，AB的斜率为k，且
k>0，C,A两点在x轴上方.则下列结论中一定成立的是（ ）
A． B．四边形ACBD面积最小值为
C． D．若 ，则直线CD的斜率为
【答案】ACD
【分析】
利用抛物线的极坐标方程求出 ，然后即可计算求解，判断出各选项的真假．
【详解】
设AB的倾斜角为 ，则有 ，所以 ，C正确；
，若 ，则 ， ，
直线CD的斜率为 ，D正确；
，所以B不正确；
设 ，由抛物线过焦点弦的性质可知， ，
，所以A正确．
故选：ACD．66．过点 作圆C： 的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 所在直线的方程为
C．四边形 的外接圆方程为
D． 的面积为
【答案】BCD
【分析】
在 中利用等面积法得到 ，即可求出 的长度，进而可得 ，即可判断A选项；
求出以 为圆心， 为半径的圆的方程与圆C做差，即可得到 所在直线的方程，进而判断B选项；根
据平面几何知识可得四边形 的外接圆是以 为直径的圆，进而可以求出圆的方程进行判断；求出
的长度，利用面积公式即可求出 的面积，从而可判断D选项.
【详解】因为 ，所以以 为圆心， 为半径的圆交圆 于 两点，
因为 ,
又因为以 为圆心， 为半径的圆为 ，
与 相减得
所以 所在直线的方程为 ，故B正确；
连接 交 于 ，等面积法可得 ，即 ，所以 ，即
，所以 ，故A错误；
四边形 的外接圆是以 为直径的圆，故圆心为 ，半径为 的圆，故方程为
，即 ，故C正确；
因为 ，
所以 ，故D正确；
故选：BCD.
67．已知点 为椭圆 （ ）的左焦点，过原点 的直线 交椭圆于 ， 两点，点
是椭圆上异于 ， 的一点，直线 ， 分别为 ， ，椭圆的离心率为 ，若 ，
，则（ ）
A． B． C． D．【答案】AC
【分析】
设出右焦点 ，根据椭圆定义结合对称性以及余弦定理可求得 的关系，则离心率可求；设出 的坐
标，根据对称性写出 的坐标，利用点差法可求得 的表示，结合 的关系可求解出 的值.
【详解】
设椭圆的右焦点 ，
连接 ， ，根据椭圆对称性可知四边形 为平行四边形，
则 ，且由 ，可得 ，
所以 ，则 ， ．
由余弦定理可得 ，
所以 ，所以椭圆的离心率 ．
设 ， ，则 ， ， ，
所以 ，又 ， ，相减可得 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
故选：AC．
68．已知点 在椭圆 上，过点 分别作斜率为-2，2的直线 ， 与直线 ，分别交于 ， 两点.若 ，则实数 的取值可能为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】CD
【分析】
设出 ， ， 三点的坐标→利用四边形 为平行四边形构造方程→将 转化为关于点 坐标的
关系式→ 的最大值→ 的范围.
【详解】
设 ， ， ，则 ， ，
由题得四边形 为平行四边形，所以 ，
故 故 .
因为 ，所以 ，
故实数 的取值范围为 ，
故选:CD.
69．曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线 上点
处的曲率半径公式为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．对于半径为 的圆，其圆上任一点的曲率半径均为
B．椭圆 上一点处的曲率半径的最大值为C．椭圆 上一点处的曲率半径的最小值为
D．对于椭圆 上点 处的曲率半径随着 的增大而减小
【答案】AC
【分析】
利用曲率半径公式的定义，A中有圆上任一点 ；B、C中由椭圆在 ， 处分
别是最大、最小处，结合公式求得曲率半径的范围；D中由公式得 ，构造
，利用导数研究其单调性即可，进而可确定正确选项.
【详解】
A：由题设知：圆的方程可写为 ，所以圆上任一点 曲率半径为
，正确；
B、C：由 弯曲最大处为 ，最小处为 ，所以在 处有
，
在 处有 ，即 ，故B错误，C正确；
D：由题意， 处的曲率半径 ，而 ，所以 ，令 ，
则在 上有 恒成立，故 在 上随着 的增大而增大，错误；
故选：AC.
70．如图，已知椭圆 的左､右顶点分别是 ，上顶点为 ，在椭圆上任取一点 ，连结
交直线 于点 ，连结 交 于点 ( 是坐标原点)，则下列结论正确的是（ ）
A． 为定值B．
C． D． 的最大值为
【答案】ABC
【分析】
设点 的坐标为 ， ，而 ，从而可求出直线 的斜率，进
而可得直线 的方程，令 ，求出 的值，可得点 的坐标，然后可求出 的斜率，进而可对选项
A，B，C进行判断，求出直线 ， 的方程，两方程联立可求出点 的坐标，从而可表示出 的
长，进而可判断其最值【详解】
解：椭圆的左右顶点分别 ，
因为点 在椭圆上，所以设点 的坐标为 ， ，
对于A， ，所以A正确；
对于B，因为 ，
所以直线 为 ，令 ，得 ，所以点 的坐标为 ，
所以 ，所以 ，所以B正确；
对于C，因为 ，所以 ，所以 ，所
以C正确；
对于D，直线 为 ，直线 为 ，
由两直线的方程联立方程组，解得 ，
所以点 的坐标为 ，
因为 ，
所以
当 时，所以 的最大值为 错误，
故选：ABC
第II卷（非选择题）
三、填空题
71．已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，A，B分别在双曲线的左右两支上，且
满足 （ 为常数），点C在x轴上， ， ，则双曲线 的离心率为
_______．
【答案】
【分析】
根据平行线的性质，结合角平分线的性质、双曲线的定义、余弦定理、双曲线离心率公式进行求解即可.
【详解】
解析： ，∵ ，所以 ∴ ，∴ ，设 ，则
．由 可知， 平分 ，由角分线定理可知，∴ ，∴
， ， ，由双曲线的定义知， ，∴ ，即
①， ，∴ ，∴ ，即 是等边三角形，∴，在 中，由余弦定理知， ，即
，化简得， ②，由①②可得， ，∴离心率 ．
故答案为：
72．已知平面向量 、 、 满足 ， ， ，则 的取值范围为______．
【答案】
【分析】
设 ， ， ，作 ， ， ，则 ，求出线段 的中点 的
轨迹方程为 ，可得出 ，设点 ，由 结合向量模
的三角不等式可求得 的取值范围.
【详解】
如图，设 ， ， ，作 ， ， ，则 ，
则 ， ， ，令 ，即 ，
，
整理得 ，
故点 的轨迹方程为 ， ，
设点 ，圆 的方程为 ，半径为 ，
因为 ，且 ， ，
所以， ， .
即 ，即 .
故 的取值范围是 .故答案为： .
73．已知平面非零向量 、 ， 、 满足 ， ，若 ，
，则 的最小值为______．
【答案】
【分析】
设 ， ， ， ，分析可知点 、 在抛物线 上，且 为抛物线
的一条过焦点 的弦，并可得出以 为直径的圆 与抛物线 准线相切，可得值点 的轨
迹为圆 ，数形结合可得出 的最小值.
【详解】
设 ， ， ，则 ， ，
设点 、 ，则 ，
设 ，则 ，则 ， ，
由 可得 ，化简可得 ，
故点 、 在抛物线 上，
因为 ，则 ，故 、 、 三点共线，
即 为抛物线 的一条过焦点 的弦，
设 ，则 ， ，所以， ，
故点 的轨迹是以 为直径的圆，设点 、 ，则 ，
而 是线段 的中点 到抛物线 准线的距离，
故以 为直径的圆 与抛物线 准线相切，
当点 不是圆 与直线 的切点时， ；
当点 是圆 与直线 的切点时， .
综上所述， 的最小值为 .
故答案为： .
74．设 , 分别是椭圆 的左､右焦点，过点 的直线交椭圆 于 两点，
，若 ，则椭圆 的离心率为___________.
【答案】
【分析】
求椭圆的离心率，要列出关于 的等量关系式，设 ，根据椭圆的定义以及 ，
可以表示出三角形各边的长度，通过余弦定理得到各边关于 的表达式，根据几何关系可以列出关于
的等量关系式，从而求出离心率
【详解】设 ，则 ， ，
， .
，
在 中，由余弦定理得， ，
，
化简可得 ，而 ，故 ，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
椭圆的离心率 ，
故答案为： .
75．已知双曲线 的左、右焦点分別为 ，过 作直线l垂直于双曲线的一条渐近
线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若 ，且 ，则双曲线C的离心率
的取值范围为________．【答案】
ax2
+5x−2
【分析】
由题意知： 在 、 之间，若过 作直线l垂直 于B，交 于A，可令 求 、
坐标，进而可得 、 ，应用向量共线的坐标表示，列方程得到a、c的齐次方程，即可求 的范围.
【详解】
由题意，双曲线C的渐近线为 ，若过 作直线l垂直 于B，交 于A， .
∵ 且 ，
∴ 在 、 之间，如上图示，令 ，
∴ ， ，则 ， ，
∴ ， 即 ，
∴ ，故 ，得 ，又 ，
∴ .
故答案为：
ax2
+5x−276．已知椭圆C： 的左，右焦点分别是 是椭圆C上第一象限内的一点，且
的周长为 .过点 作 的切线 ，分别与 轴和 轴交于 两点， 为原点，当点 在 上移动时，
面积的最小值为___________.
【答案】2
【分析】
设出直线 的方程 ，根据焦点三角形的周长求解出 的值，则椭圆方程可求，联立
椭圆方程与抛物线方程并根据相切关系对应的 求解出 的关系式，然后表示出 面积并结合基
本不等式求解出面积的最小值.
【详解】
设直线方程为 ，
因为 的周长为 ，所以 ，且 ，
所以 ，所以椭圆 ，
联立 可得 ，
所以 ，所以 ，
又因为 与坐标轴交于 ，
所以 ，
取等号时 ，
所以 面积的最小值为 ，
故答案为： .
77．已知抛物线 上一点 ，且抛物线上两个动点 满足 ，若直线 过定点 ，则 的坐标为 _________.
【答案】
【分析】
根据题意设出合适直线 的方程 ，联立直线与抛物线的方程，得到关于 的一元二次方程及其韦
达定理形式，将 转化为和韦达定理有关的形式，由此求解出 的关系式，用 表示 后即可求
得所过的定点坐标.
【详解】
由题意可知，直线 的斜率不为零，所以设 ， ，
所以 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 过定点 ，
故答案为：
78．已知点 在抛物线 上，过点 作抛物线的切线与 轴交于点 ，抛物线的焦点为 ，若
，则 的坐标为___________.
【答案】
【分析】
设出 点坐标，求得切线方程，由此求得 点坐标，根据 列方程，解方程求得 点的坐标.
【详解】
，设 ， ，
依题意可知过 点的切线斜率存在且不为 ，设为 ，
则切线方程为 ，
即 ，
由 ，
化简得 ，
， ，
， ，
故切线方程为 ，
令 得 ，故 ，
， ，
依题意， ，
即 ，
， ，由于 ，故 ，此时 ，
所以 点坐标为 .
故答案为：
79．已知抛物线 的焦点 到其准线的距离为4，圆 ，过 的直线 与
抛物线 和圆 从上到下依次交于 四点，则 的最小值为_________.
【答案】
【分析】
根据已知条件先求出抛物线的方程，然后将问题转化为计算“ ”的最小值，通过抛物线的
焦半径公式将 表示为坐标的形式，采用直线与抛物线联立的思想，根据韦达定理和基本不
等式求解出最小值.
【详解】
因为抛物线的焦点到准线的距离为 ，所以 ，所以抛物线方程为 ，
如下图， ，
因为 ，
设 ，所以 ，
所以 ，
设 ，所以 ， ，所以 ，
所以 ，取等号时 ，
所以 的最小值为 ，
故答案为： .80．过抛物线 ： 的焦点 作直线 ， 分别与抛物线 交于 ， 和 ， ，若直线 ，
的斜率分别为 ， ，且满足 ，则 的最小值为___________.
【答案】12
【分析】
根据抛物线弦长公式，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】
抛物线 的焦点坐标为 ，设直线 的方程为 ，
与抛物线方程联立得： ，
设 ，所以 ，
同理可得：
， ，
所以有：
，因为 ，当且仅当 时，等号成立，所以
，
故答案为：12
81．双曲线 的渐近线为正方形 的边 、 所在的直线，点 为该双
曲线的右焦点，若过点 的直线与直线 、 的分别相交于 、 两点，则 内切圆半径的最大
值为______．
【答案】
【分析】
根据双曲线和正方形的对称性、三角形的面积公式，结合基本不等式、直角三角形内切圆半径公式、分式
型函数的单调性进行求解即可.
【详解】
由题意得 ，过 、 向 轴作垂线，垂足分别为 ， ．
设 ， ，则 ， ．
，所以有 ．
又 ，有 ．（当且仅当 时等号成立）．的内切圆半径 令 ， ，则
在 上单调递减．
∴当 时， 有最大值为 ．
故答案为：
82．已知双曲线 ， ， ， 是坐标原点，过点 的直线 交双曲线 于 ，
两点，若直线 上存在点 满足 ，则 的最小值是___________.
【答案】6
【分析】
设OA的中点为N,根据已知条件，利用向量的加法的模的几何意义可得N到直线l的距离小于等于2.当直
线l与双曲线的左右支各交于一个交点时，根据双曲线的几何性质即可得到|MN|的最小值为2a=6,接下来验
证在当直线l与双曲线的右支交于两点时，且在N到直线l的距离小于等于2时，|MN|的长度大于6即可.
【详解】
设OA的中点为N,则N的坐标为 .
由已知可得直线l上存在点P,使得
即使得 ，即N到直线l的距离小于等于2.
当直线l与双曲线的左右支各交于一个交点时，由双曲线的几何性质可得弦长|MN|的最小值为2a=6,此时直
线l即为x轴，N到l的距离为0，符合题意.
当直线l与双曲线的右支交于两点时，弦越短，直线的斜率的绝对值越大，
当斜率不存在时，即MN为通径时，|MN|的长度取得最小值 但此时点M到直线l的距离为,
当直线的斜率存在时，直线的斜率的取值范围 ,直线的方程为 , .
由N到直线l的距离小于等于2，即： ，解得 ，
∴ ,直线的方程为 代入双曲线的方程并整理化简得：
,
,
易得 ,设M,N的横坐标分别为 ,则 ,
,
,∴
综上所述，|MN|的最小值为6，
故答案为：6.
83．已知 、 分别为抛物线 与圆 上的动点，抛物线的焦点为 ，
、 为平面内两点，且当 取得最小值时，点 与点 重合；当 取得最大值时，点
与点 重合，则 的面积为______.
【答案】【分析】
利用抛物线和圆的几何性质找出点 、 ，并求出点 、 的坐标，求出 以及点 到直线 的距离，
利用三角形的面积公式可求得 的面积.
【详解】
抛物线 的焦点为 ，圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，如
下图所示：
抛物线 的准线为 ，过点 作抛物线 的垂线 ，垂足为点 ，
由抛物线的定义可得 ，则 ，
当 时， 取最小值，此时 取最小值，
直线 的方程为 ，联立 ，解得 ，即点 ，
点 到圆 上任意一点 的距离 ，当且仅当 为射线 与圆 的交点，且 为线段
上的点，
所以， ，当且仅当 为射线 与抛物线 的交点，且 为射线 与圆 的交点（ 为线段 上的点），
取得最大值 .
直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，即点 ，
直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，
即 ， ，
点 到直线 的距离为 ，因此， .
故答案为： .
84．已知 ， 分别为双曲线 （ ， ）的左、右焦点，过点 作圆 的切线
交双曲线左支于点 ，且 ，则该双曲线的渐近线方程为__________．
【答案】 ．
【分析】设切点为 ，过 作 ，垂足为 ，根据三角形中位线定理，结合正弦函数的定义，双曲线的定义、
双曲线的渐近线方程进行求解即可.
【详解】
解：设切点为 ，过 作 ，垂足为 ，
由题意可得 ， ， ，
由 为 的中位线，可得 ，
，
又 ，可得 ， ，
，
又 ，
所以 ，
所以双曲线的渐近线方程为 ．
故答案为： ．85．已知二元函数 的最小值为 ，则正实数
a的值为________．
【答案】 .
【分析】
根据两点间距离公式，可得 的表达式的几何意义为：点 与点 的距离之和，
作出图形，根据两点间线段最短，可得 的距离即为最小值 ，化简计算，即可得结果.
【详解】
由题意得 ，
其几何意义为：点 与点 的距离之和，如图所示：
设点 ，则求 的最小值即可，
以B为旋转中心，将 绕点B顺时针旋转 至 ，连接 ，
则 均为等边三角形，
所以 ，
所以 ，取等号时 四点共线，
即 ，又 ，所以 ，
化简可得 ，
左右同时平方，根据 ，解得 ，
故答案为：2.
86．已知点 ，点 为抛物线 ： 的焦点，第一象限内的点 在抛物线
上，则 的最大值为______．
【答案】 ．
【分析】
根据抛物线定义，结合换元法、基本不等式进行求解即可.
【详解】
由已知得 ，所以抛物线 的方程为 ，准线 ： ．
如图，过 作 于点 ，则由抛物线的定义可知 ，则 ．
设 ，在 中， ．
又 ，所以 ．记 ，则 ，
所以 ，
由基本不等式可得 （当且仅当 时等号成立）.所以 ，即 的最大值为 ．
故答案为：
87．已知： ， ， ， ，则 最小值为________.
【答案】
【分析】
由题意不妨设 ， ，在直角坐标系中根据向量的加减法可得 ，利用数形结合
求解即可.
【详解】
∵ ， ，
不妨设 ， ，
在直角坐标系中作出 ， ，如图，
，记 ，则点 在过原点与直线 平行的直线 上，易知直线 方程是 即 ，
记 ，则 ，
∴ 在以 为圆心，半径为 的圆 上，
到直线 的距离为 ，
∴ 的最小值为 .
即 最小值为 .
故答案为： .
88．圆 的方程为 ，圆 的方程为 ，过圆 上任
意一点 作圆 的两条切线 、 ，切点分别为 、 ，则 的最小值为__________.
【答案】
【分析】
设 ，可得出 ，利用三角函数的定义以及平面向量数量积的定义可得出
，利用圆的几何性质求得 的取值范围，结合双勾函数的单调性可求得
的最小值.
【详解】
设 ，则 ，
由切线长定理可得 ， ， ，，
圆心 的坐标为 ，则 ，
由图可得 ，即 ，则 ，
由双勾函数的单调性可知，函数 在区间 上单调递增，
所以，当 时， 取得最小值 .
故答案为： .
89．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，过椭圆的右焦点 作一条直线 交椭圆于点 、 .
则 内切圆面积的最大值是_________.
【答案】【详解】
令直线 ： ，与椭圆方程联立消去 得 ，可设 ，
则 ， ．可知 ，
又 ，故 ．三角形周长与三角形内切圆的半径的积是
三角形面积的二倍，则内切圆半径 ，其面积最大值为 ．故本题应填 ．
90．如图所示， 是椭圆 的短轴端点，点 在椭圆上运动，且点 不与 重合，
点 满足 ，则 ＝____________．
【答案】2
【分析】
本题首先可以设出点 坐标，然后利用椭圆的相关性质得出直线 的斜率，再通过 得出
直线 的斜率以及直线 的方程，然后使用同样的方式得出直线 的方程，并对两方程进行联立化
简，最后再利用点在椭圆上得出 与 的关系，最后得出结果．
【详解】设 ，则直线 的斜率为 ，
由 所以直线 的斜率为 的斜率为 ，
于是直线 的方程为 ，
同理，直线 的方程为 ，
联立两直线方程，消去 ，得 ，
因为 在椭圆 上，所以 ，
从而 ，所以 ，
所以 故选A．
91．在平面直角坐标系 中，已知直线 上存在点 ，过点 作圆 的切线，切点
分别为 ， ，且 ，则实数 的取值范围为________．
【答案】
【分析】
作出图形，取 的中点 ，可得点 ，根据已知条件计算得出 ， ，由此
可得出坐标原点 到直线 的距离 ，可得出关于 的不等式，由此可解得实数 的取值范围.
【详解】
取 的中点 ，如图，由圆的几何性质可得 ，且 ，
则 ，所以 ，
由 ，
所以 ，
由 ， ， .
所以 ，则 ，点 到直线 的距离为 ，
则 或 ，所以 ，
故答案为： ．
92．已知 中，角 ， ， 所对的边分别是 ，且 ，则 的面积的最大值是
___________．
【答案】
【分析】
设 ，则点 ， ，设 ，根据题意可求出点 在以 为圆心，为半径的圆上，则 构造基本不等式可得结果.
【详解】
如图建立坐标系，设 ，则点 ， ，设 ，
则由 得 ，
化简可得： ，
这说明点 在以 为圆心， 为半径的圆上（不含 轴上两点），
于是 ，
（当且仅当 ， ， 取到等号）．
93．已知 为双曲线 ： 上一点， 为坐标原点， ， 为曲线 左右焦点.若
，且满足 ，则双曲线的离心率为___.
【答案】
【分析】
由 知 为 外接圆的圆心，即有 ，运用勾股定理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到.
【详解】
，
为 外接圆的圆心，
，
又 ，
，
由双曲线定义可知 ，
解得 ，
由
即
即有
所以
故答案为：
94．已知抛物线 ，其焦点为 ，准线为 ，过焦点 的直线交抛物线 于点 、 （其
中 在 轴上方）， ， 两点在抛物线的准线上的投影分别为 ， ，若 ， ，则
____________.
【答案】3
【分析】根据抛物线的的定义可得 ，利用直角三角形可求出 ，由面积等积法求出 ，求出
直线 的倾斜角 ，利用公式 ， 计算.
【详解】
由抛物线的定义得： ， ，易证 ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
.∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形.
∴直线 的倾斜角 .
∴ ， .
∴ .
故答案为：3
95．已知双曲线 （ ）的左、右焦点分别是 、 ， 为双曲线左支上任意一点，当
最大值为 时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.
【答案】
【分析】， ，分 ， 两种情况讨论，要注意题目
中隐含的条件 .
【详解】
由已知， ，因为 ，当 时，
，当且仅当 时， 取最大值 ，
由 ，所以 ；当 时， 的最大值小于 ，所以不合题意.
因为 ，所以 ，所以 ，所以
故答案为：
96．已知函数 ，则 的最大值为______.
【答案】
【分析】
将该函数转化为两点连线的斜率问题，其中 为定点， 为单位圆 上的动点，则
可利用直线与圆的位置关系，解决本题.
【详解】
，
表示点 和点 连线的斜率，
又 ，
则点 在单位圆 上设过点 的直线的方程为： ，
即 ，
故单位圆与该直线相切或相交，
，解得 ，
即 ，则
故答案为： .
97．已知 和 为抛物线 的焦点和准线，点 为 上一点，过 作 于 ，若 四点共
圆（ 为原点)，则该圆的半径为____________.
【答案】
【分析】
作出函数图象,由 四点共圆可知,圆心为垂直平分线的交点,由已知可求得直线 的方程,由 为
中点,可求得 点横坐标代入抛物线方程即可求得 点坐标,进而知道 点坐标,求出 的垂直平分线方程和
直线 联立即可求得圆心坐标,进而求得结果.
【详解】
四点共圆，所以圆心 在 和 的垂直平分线上，
设 和 的垂直平分线为 ，由 知 ，
即 点的横坐标为 ，又知 点的横坐标为 ，所以点 横坐标为2代入抛物线易得 （设 在第一象限），
则 ，则知线段 的垂直平分线方程为 ，
将 与直线 联立得圆心 ，所以圆的半径 .
故答案为: .
98．在平面直角坐标系 中，已知 在圆 ： 上运动，且 .若直线 ：
上的任意一点 都满足 ，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【分析】
先求出 ，再化简 得 ，再代点到直线的距离公式解不等式得解.
【详解】
由题得圆 的圆心 .且 , ,
（其中 是 的夹角），
，
因为 ，
所以 ,所以 ，
所以 ，
所以 .
所以 .
故答案为：
99．已知双曲线C： （ ）的左、右焦点为 ， ， 为双曲线C上一点，且
，若线段 与双曲线C交于另一点A，则 的面积为______.
【答案】
【分析】
由已知得 即 ， ,可解得 ,由 在双曲线C上,代入即可
求得双曲线方程,然后求得直线 的方程与双曲线方程联立求得点A坐标,借助 ,即可
解得所求.
【详解】
由已知得 ，又 ， ，所以 ，解得
或 ，由 在双曲线C上，所以 或 ，所以 或 （舍
去），因此双曲线C的方程为 .又 ，所以线段 的方程为 ，与双曲线C的方程联立消去x整理得 ，所以 ， ，所以点A坐标为 ，所以
.
100．直线 ： 经过抛物线 ： （ ）的焦点 ，与抛物线相交于 ， 两点，过原
点的直线经过弦 的中点 ，并且与抛物线交于点 （异于原点），则 的取值范围是______.
【答案】
【分析】
根据题意，即可求得抛物线方程；联立 与抛物线方程，利用韦达定理，求得点 的坐标，故
可用 表示；同理设出直线 方程，联立抛物线方程，得到 点坐标，即可将 用 表示，据此
可将目标式转化为 的函数，求函数值域即可.
【详解】
根据题意，作图如下：
因为 经过抛物线 ： （ ）的焦点
故可得 ，则 ，
故可得抛物线方程为 .联立直线 与抛物线方程
可得 ，
设 ，
故可得 ，
，
则 中点坐标为 ，
设直线 方程为 ，
故可得 ，解得 ，
联立直线 与抛物线 ，
可得 ，解得 ，
即点 .
则 ，
故可得 ，
又因为 ，故可得 ，
则 .
故答案为： .任务三:邪恶模式(困难)1-20题
