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专题 13 直线和圆的位置关系
考点一 直线与圆的位置关系 考点二 已知直线与圆的位置关系求半径的求值
考点三 切线的性质定理 考点四 判断或补全使直线为切线的条件
考点五 证明某直线是圆的切线 考点六 应用切线长定理求解
考点一 直线与圆的位置关系
例题：（2022·四川成都·二模）⊙O的直径为8，圆心O到直线a的距离为4，则直线a与⊙O的位置关系
是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
【变式训练】
1．（2022·河北承德·九年级期末）在 中， ， ，以A为圆心2.5为半径作圆．下列
结论中正确的是（ ）
A．直线BC与圆O相切 B．直线BC与 相离 C．点B在圆内 D．点C在圆上
2．（2020·全国·九年级期中）已知 的直径为6cm，点O到直线a的距离为 ，则 与直线a的位
置关系是____________．
考点二 已知直线与圆的位置关系求半径的求值
例题：（2022·浙江宁波·九年级期末）已知圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，则该圆的半
径可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练】
1．（2022·江苏南通·一模）如图，点D是等腰直角 ABC斜边AB上一点，点E是BC上一点，AB＝2，DA
＝DE，则AD的取值范围是____． △2．（2021·河北·金华中学九年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为
圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为 _____；若 C与AB边只有一个有公共点，
则r的取值范围为 _____． ⊙
考点三 切线的性质定理
例题：（2022·江苏泰州·中考真题）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在 上，
且与点A，B 不重合，若∠P=26°，则∠C的度数为_________°．
【变式训练】
1．（2022·山东德州·九年级期末）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，C为⊙O上一点，
∠ACB=126°，则∠P的度数为________．
2．（2022·湖北鄂州·中考真题）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如
图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的
A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知
⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，
AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（ ）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
考点四 判断或补全使直线为切线的条件
例题：（2022秋·全国·九年级专题练习）如图， 是⊙O的直径， 交⊙O于点 ， 于点 ，
下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则 是⊙O的切线 B．若 ，则 是⊙O的切线
C．若 ，则 是⊙O的切线 D．若 是⊙O的切线，则
【变式训练】
1．（2022秋·九年级课时练习）如图， 为 的直径， ，当 ________ 时，
直线 与 相切．
2．（2022秋·全国·九年级专题练习）在下图中， 是 的直径，要使得直线 是 的切线，需要添
加的一个条件是________．（写一个条件即可）考点五 证明某直线是圆的切线
例题：（2022·辽宁盘锦·模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°，连接AO并延长交⊙O于点
D，连接BD，过点C作CE∥AD与BA的延长线交于点E．
(1)求证：CE与⊙O相切；
(2)若AD＝4，∠D＝60°，求线段AB，BC的长．
【变式训练】
1．（2022·山东威海·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD．过点A作
⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G．
(1)求证：FG与⊙O相切；
(2)连接EF，若AF＝2，求EF的长．2．（2022·广西·中考真题）如图，在 中， ，以AC为直径作 交BC于点D，过点D作
，垂足为E，延长BA交 于点F．
(1)求证：DE是 的切线
(2)若 ，求 的半径．
考点六 应用切线长定理求解
例题：（2022·湖北·武汉一初慧泉中学九年级阶段练习）如图，在四边形 中，
是四边形 的内切圆， 分别切 于F，E两点，若 ，则
的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022·辽宁·黑山县教师进修学校二模）如图所示，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD．∠DAC＝78°，那么∠AOD等于_____度．
2．（2022·天津河东·二模）已知 是 直径， ， 分别切 于点 ， ．
(1)如图①，若 ，求 的度数；
(2)如图②，延长 到点 ，使 ，连接 ，若 ，求 的度数．一、选择题
1．（2022秋·辽宁沈阳·九年级期末）圆的半径是 ，如果圆心与直线的距离是 ，那么直线和圆的位置
关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
2．（2022秋·甘肃陇南·九年级校考期末）如图， 是 的直径，点 在 的延长线上， 与 相
切于点 ，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·天津宝坻·九年级校考期末）如图， 为 切线，点A为切点， 交 于点C，点B在
上，连接 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·江西上饶·九年级统考阶段练习）如图， 为 的直径，过圆上一点 作 的切线，交
直径 的延长线于点 ，若 ， 的半径为 ，则 的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．（2022秋·河南安阳·九年级校联考期中）如图， 分别切 于点A，B， 切 于点E，且分
别交 于点C，D，若 ，则 的周长为（ ）A．5 B．7 C．12 D．10
二、填空题
6．（2022秋·天津河西·九年级天津市第四十二中学校考期末）如图， 、 是 的切线， 、 是切
点，已知 ， ，那么 的长为________．
7．（2022秋·河南安阳·九年级校联考期中）如图， 是 的直径， 是 的切线， 为切
点．若 ，则 ___________．
8．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）如图， 与 相切于点A， 与 相交于点B，点C在优
弧 上，且与点A、B不重合，若 ，则 的度数为 _____°．
9．（2022秋·河北邢台·九年级金华中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中， 的圆心 的坐标为
，半径为 ，点 为直线 上的动点，过点 作 的切线，切点为 ，则当 ______时，切线长 值最小，最小值为______．
10．（2022秋·福建南平·九年级顺昌县第一中学校考阶段练习）如图，直线 、 相交于点 ，
，半径为 的圆的圆心P在直线 上，且与点 的距离为 ，若点 以 的速度由
A向B的方向运动，当运动时间 为________ 时， 与直线 相切．
三、解答题
11．（2021秋·河南商丘·九年级统考期中）如图，A、B是 上的两点，过O作 的垂线交 于C，交
于E，交 的切线 于D．
(1)求证： ；
(2)当 时，求 及 的长．
12．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在 中， 是 的平分线，O是 上一点，
以 为半径的 经过点D．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长．
13．（2022秋·辽宁沈阳·九年级期末） 是 的直径， 是 上一点， ，垂足为 ，过点
作 的切线，与 的延长线相交于点 ．
(1)如图1，求证 ；
(2)如图2，连接 ，若 ，求 的长．
14．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）如图，已知 为 的直径， 分别与 相切于点
点D是 延长线上一点，连接 ，且 ．(1)证明： 是 的切线；
(2)若 ， ， ，求y关于x的函数解析式．
15．（2022秋·湖北黄冈·九年级校考阶段练习）如图， 是 直径，点 是 上一点， ，
点 为 延长线上一点，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)过点 作 交 于点 ， 的延长线交 于点 ，若 的直径为2，求线段 的长．
16．（2022秋·广东广州·九年级执信中学校考期末）如图， 是 的直径，点D在 的延长线上，
C、E是 上的两点， ， ，延长 交 的延长线于点F．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求弦 的长．
17．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，四边形 内接于 ， 是 的直径，过点
C作 的垂线，交 的延长线于点E，连接 ．
(1)若 平分 ，求证： 是 的切线；
(2)若 是 的切线， ，求 的度数．
18．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）如图，圆O的直径 ， ，点P是射线
上的一个动点
(1)如图1，求 的长；
(2)如图1，若 ，连接 ，求证： 为圆O的切线；(3)如图2，连接 、点P在运动过程中，求 的最小值．
