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专题 22 数列的概念与表示（九大题型+模拟精练）
目录：
01 数列的有关概念
02 数列的周期性
03 数列的单调性及应用
04 求数列的通项公式—定义法
05 求数列的通项公式—累加法
06 求数列的通项公式—累乘法
07 求数列的通项公式—an与Sn的关系
08 求数列的通项公式—观察法
09 求数列的通项公式—构造法
01 数列的有关概念
1．（23-24高二上·山西·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．数列 可表示为集合
B．数列 与数列 是相同的数列
C．数列 的第 项为
D．数列 可记为
【答案】C
【分析】利用数列定义即可逐个选项判断即可得解.
【解析】对于A，由数列的定义易知A错误；
对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误；
对于C，数列 的第 项为 ，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，这与数列的定义不相符，故D错误.
故选：C.
2．（2024高三·全国·专题练习）下列三个结论中，正确结论的序号的是（ ）
①数列 ， ， ， ， ， ，是无穷数列；
②任何数列都能写出它的通项公式；③若数列 是等差数列，则数列 是等比数列.
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】根据无穷数列的定义判断①，根据数列的定义判断②，根据等比数列的定义判断③.
【解析】解：数列 ， ， ， ， ， ，表示数列有无穷项，所以是无穷数列，故①正确；
不规则数列无法求出其通项，故②错误；
若数列 是等差数列，设公差为 ，所以 ，整理得 ，
所以 （常数） ，故数列 是等比数列，故③正确.
故选：B
3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 满足 ，若要使 为k项的有穷数列，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】只需 时分母有为0即可得解.
【解析】若要使 为k项的有穷数列，则 时 ，解得 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查了数列的通项公式，数列分母不为0是解题的关键，属于基础题.
02 数列的周期性
4．（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）在数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据递推式写出数列前面几项得出数列周期，进一步即可求解.
【解析】由题意可得： ，由此可以发现数列 的周期是3，
从而 .
故选：A.
5．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）在数列 中， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据递推公式列出数列的前几项，找到规律，即可判断.
【解析】因为 且 ，
所以 ， ，
， ， ， ，
所以 是以 为周期的周期数列，所以 .
故选：C
6．（23-24高二下·四川·期中）已知数列 满足 ， ，则数列 前2024项的积为（
）
A．4 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】先找到数列{a }的周期，然后求得数列{a }前2024项的积.
n n
【解析】因为 ，所以 ，，所以数列{a }的周期为4.
n
由 ，则 ， ， ，
所以数列{a }前2024项的乘积为 .
n
故选：B.
03 数列的单调性及应用
7．（23-24高二下·青海海西·期中）设数列 的通项公式为 ，若数列 是单调递增
数列，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．(−∞,8)
【答案】D
【分析】根据题意有 ，解得 的取值范围；
【解析】由数列 是单调递增数列可得，对于 都有 成立，
即 对 都成立，
所以 ．（或通过二次函数的对称性求解）
故选：D.
8．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知数列 满足： ，且数列
是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由数列的单调性求解．【解析】由题意 ，解得 .
故选：C.
9．（24-25高三上·山西大同·期末）等比数列 中， 为其前 项和， ，且 成等差数列，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】先根据等差中项及等比数列得通项求出公比，再根据等比数列的前 项和公式求出 ，判断出数
列 的单调性即可得解.
【解析】设公比为 ，
由 成等差数列，得 ，
又数列{a }为等比数列，所以得 ，解得 ，
n
所以 ，
令 ，
则 ，
所以数列 递增数列，
所以当 时， 取得最小值1.故选：D.
10．（2024·重庆·二模）记正项数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最小值
为 .
【答案】
【分析】由 ，利用数列通项和前n项和的关系求得 ，再令
，利用导数法求解.
【解析】当 时， ，则 或 （舍去），
当 时，由 ，得 ，
两式相减得 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以数列 是等差数列，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
由 随 的增大而增大， ， ，
则 ，
所以 的最小值为 .故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是构造函数 判断得其单调性，从而考虑 ， 的情
况，从而得解.
11．（23-24高二下·辽宁·期末）设数列 满足 ，若对一切 ，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B．1≤m≤2 C． D．
【答案】A
【分析】根据题意列不等式，结合函数的单调性求得 的取值范围.
【解析】因为 ，
设函数 ，则 .
依题意有 ，注意到 在区间 上为增函数，
故当 时， 有最大值，即 ，解得 .
故选：A.
04 求数列的通项公式—定义法
12．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列 满足： ， ， .
(1)证明： 是等差数列，并求 的通项公式；
(2)设 ，若数列 是递增数列，求实数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据条件，利用等差数列定义，即可证明结果，利用等差数列的通项公式得到，再利用累加法，即可求出结果；
（2）由（1）得 ，再利用数列{b }是递增数列，得到 对 恒成立，即可求出结
n
果.
【解析】（1）因为 ，所以 为常数，
又 ，所以数列 是公差为 ，首项为 的等差数列.
所以 ，
当 时， ，
所以 ，又 ，所以 ，又 ，满足 ，
所以数列{a }的通项公式为 .
n
（2）由（1）知 ，因为数列{b }是递增数列，
n
所以 ，对 恒成立，
得到 对 恒成立，所以 .
13．（2023·四川成都·模拟预测）数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ， 的前 项和为 ，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)【分析】（1）由 可知当 时，有 ，两式作差可求出数列 为等比数列，
计算 即可求出通项公式.（2）裂项相消法求出前 项和 ，根据数列的单调性以及极限的思想即可求
出最值.
【解析】（1）因为 ，所以 ，即
当 时， ，则 ，
整理得 （ ），
则数列 是以1为首项，3为公比的等比数列，故 ，
也满足 所以 .
（2）由（1）得
所以
；
显然
又因为 ， 单调递增（ ），所以 ，
所以 的最小值是 .
14．（22-23高三上·天津滨海新·阶段练习）已知 是正项数列 的前n项和 ，
， ， ， 成等差数列．
(1)求 的通项公式；(2)若 ，求 的前2n项和 ；
(3)若 ，证明 的前n项和 ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用 ， ， 成等差数列和 ， 即可求出 ，即可求出奇
偶项数列；
（2）分奇偶项分别利用错位相减求和再相加即可求出答案；
（3）利用裂项相消即可得到答案.
【解析】（1）由 ， ， 成等差数列得
或 （舍）
的奇数项是以首项为1公比为2的等比数列，即
的偶数项是以首项为2公比为2的等比数列，即
则（2）（3）
.
05 求数列的通项公式—累加法
15．（2023·广西南宁·模拟预测）数列 满足 ， （ 为正常数），且
， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)【分析】（1）由题意可得奇数项成等差数列，设公差为d，且偶数项成等比数列，公比为 ，运用
等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差d和公比q，即可得到所求通项公式；
（2）讨论n为偶数和奇数，由等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和.
【解析】（1）数列 满足 , ，
可得 成等差数列，即奇数项成等差数列,设公差为 ,
且偶数项成等比数列,公比为 ,且 ， ， ,
可得 , ,
解得 ,
则 ,化为
（2）当 为偶数时,
数列 的前 项和
当 为奇数时 ,当 时 也适合上式.
综上:
16．（23-24高二下·广东深圳·期末）设数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用累加法求解数列通项公式，再根据分组求和进行化简；
（2）利用裂项相消求解数列的前 项和 ；
【解析】（1）
可知
上式相加得所以数列 {a } 的通项公式
n
（2） ，
所以
所以数列 的前 项和 .
06 求数列的通项公式—累乘法
17．（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）记数列 的前 项和为 ，已知 且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和
【答案】(1)
(2)【分析】（1）由 与 的关系式可得数列{a }的递推公式 ，利用累乘法可求通
n
项公式；
（2）由（1）知， 所以 ，利用分组求和法求 .
【解析】（1）根据题意， ， ，则 ，
两式相减得 ，
即 ，
所以 ，
故{a }的通项公式为 ；
n
（2）由（1）知， ，所以 ，
故 ，
.
18．（23-24高二下·山东日照·期末）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，且 ，令 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）由等差数列及其前 项和基本量的计算即可列方程组求解首项、公差，进而得解；（2）由（1）中结论结合累乘法得数列 的通项公式，通过裂项法得 的表达式说明 单调递增，或由
也可说明 单调递增，进而得解.
【解析】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ．
由 ，得 ，
解得： ，所以 ．
（2）方法一：由（1）得 ，
由题意 ，
，
而 ，从而 ，
，
而 关于 单调递减，从而 关于 单调递增，
所以 关于 也是单调递增，
所以当 时， 的最小值为 ；
方法二：由（1）得 ，
由题意 ，，
而 ，从而 ，
又 ，所以 单调递增，
所以 的最小值为 .
07 求数列的通项公式—an与Sn的关系
19．（23-24高二下·江西萍乡·期中）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ．
(1)求 的值；
(2)试猜想 的通项公式，并证明．
【答案】(1) ，
(2) ，证明见解析
【分析】（1）由数列的递推式，分别令 和 ，计算可得所求值；
（2）猜想 ，由数列的递推式和数列的恒等式，可得证明.
【解析】（1）由题知， ，解得 ，
同理， ，解得 ；
（2）由（1）可猜想 ，证明如下：
已知 ，当 时，有 ，
化简得 ，即 ，
则有 ，又 ，故 ，
则 ，
当 时，上式仍成立，则 ．
20．（2024·辽宁·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)证明： 是等比数列，并求其通项公式；
(2)设 ，求数列 的前100项和 ．
【答案】(1)证明见解析， ．
(2)100.
【分析】（1）利用给定的递推公式，结合 及等比数列定义推理得证，再求出通项公式.
（2）利用（1）的结论求出 ，再利用分组求和法计算即得.
【解析】（1）数列 中， ，当 时， ，两式相减得 ，
而 ，解得 ，所以 是首项为2，公比为5的等比数列，
通项公式为 .
（2）由（1）知， ，
所以
．
08 求数列的通项公式—观察法
21．（23-24高二下·四川成都·期中）数列 满足 ， （ ）．(1)计算 ， ，猜想数列 的通项公式并证明；
(2)求数列 的前n项和；
【答案】(1) ， ，猜测 ，证明见解析
(2)
【分析】（1）直接通过递推公式计算，然后猜测 并证明；
（2）使用错位相减法即可.
【解析】（1） ， .
猜测 ，下面用数学归纳法证明：
当 时，由 知结论成立；
假设结论对 成立，即 ，则 ，故结论对 成立.
综上，有 成立.
（2）设数列 的前 项和为 ，则 .
所以 .
故 .
22．（2023·山东菏泽·二模）已知各项为正数的等比数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；(2)设 ， ，求数列 的前2n项和 .
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）设 首项为 ，公比为q，由 可得 ，化简后可得 ，
即可得答案；
（2）由题可得当 为奇数时， ，当n为偶数时， .后由分组求和法可得答案.
【解析】（1）设 首项为 ，公比为q.
因 ，则 .
又 各项为正数，则 ，故 ；
（2）由（1）及题意可得， ；
当 为奇数时， ；
则当 为偶数时， ..
09 求数列的通项公式—构造法
23．（2024·内蒙古包头·三模）已知数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)证明：数列 是等比数列，并求 ；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】(1)根据题意 及 ，整理可得，即可得证；
(2)根据(1)中 可求出 分类讨论求出 的通项公式，再根据等比数列前n项和可求得 .
【解析】（1）因为 ，又 ，
所以 ，整理得 ．
由题意得 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，故 ，
即 ．
（2）由（1）可 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，
.
当 ，代入 满足公式，
综上，
24．（23-24高二下·辽宁锦州·期末）已知数列 满足 ，则
.
【答案】
【分析】依题意可得 ，两边同除 得到 ，
即可得到 是以 为首项， 为公差的等差数列，即可求出 的通项，即可得解.
【解析】因为 ， ，
则 ，
因为 ，显然 ，
所以 ，所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，
所以 ，则 .
故答案为：
25．（23-24高二下·湖南郴州·期末）已知数列 满足： ．若 ，
则数列 的前 项和 .
【答案】
【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出 ，再利用裂项相消法求和即得.
【解析】数列 中，由 ，得 ，
因此数列 是以 为首项，1为公差的等差数列， ，即 ，
于是 ，
所以 .
故答案为：
26．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知数列 是等差数列，且 ，数列 满足
， ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)将数列 的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列 ，求数列 的通项公式；(3)设数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】(1)
(2)
(3)证明过程见解析
【分析】（1）首先求得 ，由累加法即可求解；
（2）不妨设 ，分 ， 两种情况讨论即可求解；
（3）当 时，结论显然成立，当 时，通过放缩法以及裂项即可得证.
【解析】（1）由题意可知 ，即 ，故 ，
由 ，可得 ，
所以数列 的公差 ，所以 ，
由 ，
叠加可得 ，
整理可得 ，当 时，满足上式，
所以 ；
（2）不妨设 ，即 ，可得 ，
当 时， ，不合题意，
当 时， ，所以 在数列 中均存在公共项，
又因为 ，所以 .
（3）当 时， ，结论成立，
当 时， ，
所以 ，
综上所述， .
一、单选题
1．（2024·贵州遵义·二模）已知数列 的前 项和 ，则 （ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用 求出 ，即可计算即得.
【解析】依题意， ， ，
所以 .
故选：D
2．（2024·全国·模拟预测）在数列 中， ， ，则 （ ）
A．8 B．1 C．18 D．19
【答案】D
【分析】利用给定的递推公式，依次计算即得结果.
【解析】因为 ， ，所以 ， .
故选：D.
3．（2024·浙江·模拟预测）已知 且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意等式两边平方化简为平方得 ，令 ，结合二倍角余弦公式得
，取 ， ，利用二倍角正弦公式和诱导公式计算 的结果；
【解析】平方得 ，令 ，
则 ，
不妨取 ，则 ，
故选：C.
4．（2024·西藏·模拟预测）已知数列 对任意 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】由 ，得 ，从而 ，再利用累乘法求解.
【解析】解：由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，即 ．
①
又因为 ，
②
两式相乘，得 ．
①②
故选：A．
5．（2024·天津南开·二模）设数列 的通项公式为 ，若数列 是单调递增数列，则实数b
的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由递增数列定义可得 ，代入计算即可得解.
【解析】由题意可得 恒成立，即 ，
即 ，又 ， ，故 .
故选：A.
6．（2024·陕西安康·模拟预测）在数列 中， ，若对 ，
则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A【分析】根据递推公式得出 ,进而 即可．
【解析】由 与 相减得： ，
即 ，又 ，故 ，所以 .
故选：A.
7．（2024·内蒙古赤峰·三模）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作
法是：从第一个正三角形（边长为1）P 开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别
1
向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，称为科赫曲线.设P 的
n
周长和面积分别为L、S，下列结论正确的是（ ）
n n
①P₅的边数为
②
③ 既不是等差数列，也不是等比数列；
④
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】设每个图形的边数为 ，写出 ， ， ， ， ，可判断①；求得 ，可判断②；根据等比
数列求得 ，根据迭代累加可得 ，可判断③④．
【解析】设每个图形的边数为 ，由题意可得 ， ， ， ， ，…,，故①正确；
，故②正确；
，
第一个图形的面积即正三角形的面积 ，
从第1个图形到第2个图形，边数增加了，同时每条边上多了一个小三角形，这个小三角形的面积是原图
形的 ，
所以 ， ，
以此类推，第 个图形的面积为 ，
依次迭代，则
，
所以
，故 ， ，故④正确．
，可得 既不是等差数列，也不是等比数列，故③正确
故选：D．
8．（2024·辽宁·三模）已知数列 中各项均为正数，且 ，给出下列四个结论：
①对任意的 ，都有
②数列 可能为常数列
③若 ，则当 时，④若 ，则数列 为递减数列．
其中正确结论有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】结合数列递推式研究数列的单调性，逐项判断即可.
【解析】解：对于①，在数列{a }中， ，则 ，
n
又对于任意的 都有 ，则 ，即 ，
即对于任意的 ，都有 ，
所以 的值不确定大小，故①项错误；
对于②，不妨设数列{a }可能为常数列，则 ，
n
又 ，则 ，则 ，
即 时，数列{a }为常数列，故②项正确；
n
对于③， ，则 ，因为数列{a }中各项均为正数，
n
即 ，同理，当 ，都有 ，
又 ，即数列{a }为递增数列，
n
即当 时， ，故③项正确.
对于④，
又 ，则 ，即 ，
同理，当 ，都有 ，即 ，
同理，当 ，都有 ，即 ，
即 ，即数列{a }为递减数列，故④项正确；
n
故选：C.
【点睛】关键点睛：数列与不等式以及数列与单调性等问题，常利用作差法，需要熟练应用不等式知识解
决数列中的相关问题．
二、多选题
9．（2024·山西太原·二模）已知数列 满足 ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A． 是递增数列 B． 是等比数列
C．当n是偶数时， D． ， ，使得
【答案】BC
【分析】对于A，求出数列的前几项即可判断；对于B，等比数列的定义证明即可；对于C，由B可知，
是以 为首项， 为公比的等比数列，求解判断即可；对于D，由C可知， ，结合
，所以 ，分类讨论判断即可.
【解析】对于A：由 ， ， ，所以A错误；
对于B：当 时，由 ， ，
当 时， ，综上所述：所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，B正确；
对于C：由B可知， 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 ， 为偶数，
所以当n是偶数时， ，故C正确；
对于D：由C可知， ，由 ，
所以 ，因为 ，
所以当 时， ，
当 时， ，而 ，
所以 恒成立，故D错误；
故选：BC.
10．（2024·湖南长沙·三模）设无穷数列{a }的前 项和为 ，且 ，若存在 ，使
n
成立，则（ ）
A．
B．
C．不等式 的解集为
D．对任意给定的实数 ，总存在 ，当 时，【答案】BCD
【分析】根据题意，得到 且{a }是递减数列，结合等差数列的性质以及等差数
n
列的求和公式，逐项判定，即可求解.
【解析】由 ，可得 ，
且 ，即
又由 ，可得数列{a }是等差数列，公差 ，
n
所以{a }是递减数列，所以 是最大项，且随着 的增加， 无限减小，即 ，
n
所以A错误、D正确；
因为当 时， ；当 时， ，
所以 的最大值为 ，所以B正确；
因为 ，
且 ，
所以当 时， ；当 时， ，所以C正确.
故选：BCD.
11．（2023·浙江·二模）已知递增数列 的各项均为正整数，且其前 项和为 ，则（ ）
A．存在公差为1的等差数列 ，使得
B．存在公比为2的等比数列 ，使得
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】ABC【分析】运用公式法计算A，B选项，根据数列的性质推导C，D选项.
【解析】对于A，设数列的首项为 ，则 ，解得 ，
即当等差数列的首项为138，公差为1时， ，正确；
对于B，设首项为 ，则 ，正确；
对于C，欲使得 尽可能地大，不妨令 ，则有
，
又 ，即 ，
，
即 ，正确；
对于D， ， ，即 ，
比如， ，
则 ，D错误；
故选：ABC.
【点睛】思路点睛：数列中与整数有关的不等式或方程问题，注意利用整数的性质来处理.
三、填空题
12．（2024·云南·二模）记数列 的前 项和为 ，若 ，则
.
【答案】 /0.5
【分析】构造得 ，从而得到 ，则 ，再利用等比数列求和公式代入计算即可.
【解析】由 ，得 ，
则 ，
又 ，则 ，则 ，
， ，
，
故答案为： .
13．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，则 ；数列
满足 ，数列 的前 项和为 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】借助数列 与前 项和 的关系，由 得 作差即可得 ；得到 后，结合裂项相消法计算即
可得 ，结合数列的函数特性即可得 的最大值.
【解析】将 代入 ，得 ，
当 时，由 ，得 ，
化简得 ，
因此数列{a }是以2为首项，2为公比的等比数列，
n故 ，
，
则 ，
故 ，
易知函数 在 上单调递增，
在 上单调递增，
且当 时， ，
当 时， ，
所以当 时， 取得最大值 .
故答案为： ； .
14．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列 中， ，且 ，若存在正
整数 ，使得 成立，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】构造数列先计算 ，分奇偶讨论结合指数函数的单调性计算即可.
【解析】由 ，令 ，
若 为奇数，则 ，若 为偶数，则 ，
即 奇数项与偶数项分别成以 为公差的等差数列，
易知 ，
所以 ，则 ，
若 为奇数，则
有解，即 ，
由指数函数的单调性可知 ；
若 为偶数，则
有解，即 ，
由指数函数的单调性可知 ；
综上 满足题意.
故答案为：
【点睛】易错点睛：首先构造等差数列需要分奇偶项进行讨论，务必注意符号，其次结合指数函数的单调
性解不等式有解问题时，注意取值范围的大小，保证有解即可.
四、解答题
15．（2022·重庆·模拟预测）已知数列 满足 .
(1)求证： 是等差数列；(2)若 ，求 的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将原递推关系式变形即可证明；
（2）先求得 ，再用累加法即可求解.
【解析】（1）由题 ，即 ，
是公差为4的等差数列.
（2）
，累加可得
，当 时 也满足上式
.
16．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列 满足 ， ， 是数列 的前 项和，对任意
，有
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 的前100项的和.
【答案】(1) ；
(2)【分析】（1）根据 作差得到 ，从而得到 ，
结合等差数列的定义计算可得；
（2）由（1）可得 ，记 ，则 ，利用并项求和法计算可得.
【解析】（1）由 ， ，
两式相减得 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
故 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ；
（2）由（1）知 ，
所以 ，
记 ，则 ，
17．（2024·贵州贵阳·三模）已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 .试求:
(1)数列 的通项公式;
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，当 时，求满足条件的最小整数 .
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）由已知结合和与项的递推关系进行转化，结合等差数列的通项公式即可求解；（2）利用裂项求和求出 ，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解．
【解析】（1）因为 ，
当 时， ，
当 时， ，
因为 ，
两式相减得， ，
因为 ，所以 ，
所以 ， 均为等差数列， ， ．
所以 ；
（2）由题意得， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
解得 ．所以满足条件的最小整数 为9．
18．（2024·河北沧州·三模）已知数列 满足 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）由数列的递推公式，利用累乘法即可求解；
（2）对 进行不等式放缩，即可证明不等式.
【解析】（1） ， ， ，
，两式相除，得 ，
当 ， 时， ， ，即 ；
当 ， 时， ， ，即 ，
综上所述，数列 的通项公式为 ；
（2） ，
，
又 ，
.
19．（2024·重庆·模拟预测）进位制是人们为了计数和计算方便而约定的记数方式，通常“满二进一，就
是二进制；满八进一，就是八进制；满十进一，就是十进制……；满几进一，就是几进制”．
我们研究的正整数通常是十进制的数，因此，将正整数 的各位上的数字分别记为 ，则
表示为关于10的 次多项式，即 ，其中
， ，记为 ，简记为 ．
随着计算机的蓬勃发展，表示整数除了运用十进制外，还常常运用二进制、八进制等等．更一般地，我们可类似给出 进制数定义．
进制数的定义：给出一个正整数 ，可将任意一个正整数 ，其各位上的数字分别记为
，则 唯一表示为下列形式： ，其中
， ，并简记为 ．
进而，给出一个正整数 ，可将小数 表示为下列形式：
，其中
， ，并简记为
．
(1)设 在三进制数下可以表示为 ， 在十进制数下可以表示为 ，试分别将 转
化成十进制数， 转化成二进制数；
(2)已知数列{a }的前 项和为 ，且满足 ， ，数列{b }满足，当 时，
n n
；
①当 时，求数列{b }的通项公式；
n
②证明：当 时， ．
【答案】(1) ，
(2)① ②证明见解析【分析】（1）直接使用进制表示的定义即可；
（2）①利用数学归纳法求得 ，再用进制表示的定义得到 ，
②利用通项公式直接证明 即可.
【解析】（1）由于 ， ，
故 的十进制表示是 ， 的二进制表示是 .
（2）①由于 ，故 .
用数学归纳法证明： .
当 时，结论显然成立；
假设结论对正整数 均成立，考虑 的情况.
此时 ，
所以结论对 也成立.
由数学归纳法可知 对任意正整数 成立.
当 时，由已知有
.
所以所求的通项公式为 .
② .
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对进制表示定义的理解.
