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专题 13 直线和圆的位置关系
考点一 直线与圆的位置关系 考点二 已知直线与圆的位置关系求半径的求值
考点三 切线的性质定理 考点四 判断或补全使直线为切线的条件
考点五 证明某直线是圆的切线 考点六 应用切线长定理求解
考点一 直线与圆的位置关系
例题：（2022·四川成都·二模）⊙O的直径为8，圆心O到直线a的距离为4，则直线a与⊙O的位置关系
是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据直线与圆的位置关系进行解答即可．
【详解】
解：∵⊙O的直径是8，
∴⊙O的半径是4，
又∵圆心O到直线a的距离是4，
∴直线a与⊙O相切．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是直线与圆的位置关系，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d<r时，直线与圆
O相交；当d=r时，直线与圆O相切；当d>r时，直线与圆O相离．
【变式训练】
1．（2022·河北承德·九年级期末）在 中， ， ，以A为圆心2.5为半径作圆．下列
结论中正确的是（ ）
A．直线BC与圆O相切 B．直线BC与 相离 C．点B在圆内 D．点C在圆上【答案】B
【解析】
【分析】
过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得到BH=CH= BC=4，则利用勾股定理可计算出
AH=3，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据点与圆的位置关系对C
选项和D选项进行判断．
【详解】
解：过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵AB=AC，
∴BH=CH= BC=4，
在Rt ABH中， ，
△
∵AH⊥BC，AH=3＞2.5，
∴直线BC与⊙A相离，所以A选项不符合题意，B选项符合题意．
∵AB=5＞2.5，
∴B点在⊙A外，所以C选项不符合题意；
∵AC=5＞2.5，
∴C点在⊙A外，所以D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交⇔d
＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了点与圆的位置关系和等腰三角形的性质．
2．（2020·全国·九年级期中）已知 的直径为6cm，点O到直线a的距离为 ，则 与直线a的位
置关系是____________．
【答案】相离
【解析】【分析】
先求出 的半径，再比较点O到直线a的距离d与圆半径r大小，根据当d>r，则直线与圆相离，当
d=r，则直线与圆相切，当d<r，则直线与圆相交，所此即可求解．
【详解】
解：∵ 的直径为6cm，
∴ 的半径为3cm，
∵4cm>3cm，
∴ 与直线a的位置关系是相离．
故答案为：相离
【点睛】
本题考查直线与圆满的位置关系，熟练掌握“设点O到直线a的距离d，圆半径r，当d>r，则直线与圆相
离，当d=r，则直线与圆相切，当d<r，则直线与圆相交”是解题的关键．
考点二 已知直线与圆的位置关系求半径的求值
例题：（2022·浙江宁波·九年级期末）已知圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，则该圆的半
径可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，即可得到问题答案．
【详解】
解：∵圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，
∴该圆的半径＞4，
故选：D．
【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系，熟悉直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离与半径的关系是解题的关
键．
【变式训练】
1．（2022·江苏南通·一模）如图，点D是等腰直角 ABC斜边AB上一点，点E是BC上一点，AB＝2，DA
＝DE，则AD的取值范围是____． △【答案】
【解析】
【分析】
以D为圆心，AD的长为半径画圆，分BC与圆相交和相切时分情况讨论，即可求出．
【详解】
以D为圆心，AD的长为半径画圆
①如图，当圆与BC相切时，DE⊥BC时，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴BD＝ DE，
∵AB＝2，DA＝DE，
∴ AD+AD＝2，
∴AD＝2 ﹣2；
②如图，当圆与BC相交时，若交点为B或C，则AD＝ AB＝1，∴AD的取值范围是2 ﹣2≤AD≤1．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了圆的作法，圆与直线的位置关系，圆的相关性质，分情况讨论并画出图形是解题的关键．
2．（2021·河北·金华中学九年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为
圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为 _____；若 C与AB边只有一个有公共点，
则r的取值范围为 _____． ⊙
【答案】 0<r< r=
【解析】
【分析】
根据d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，可得答案；根据圆心到直线的距离
等于半径时直线与圆只有一个公共点．
【详解】
解：如图，作CH⊥AB于H．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= =10，∵S ABC= •AC•BC= •AB•CH，
△
∴CH= ，
∵以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，
∴0<r< ；
∵以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线只有一个公共点，
∴r= ．
故答案为：0<r< ；r= ．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
考点三 切线的性质定理
例题：（2022·江苏泰州·中考真题）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在 上，
且与点A，B 不重合，若∠P=26°，则∠C的度数为_________°．
【答案】32
【解析】
【分析】
连接OA，根据切线的性质和直角三角形的性质求出∠O=64°．再根据圆周角的定理，求解即可．
【详解】
解：连接OA，∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO=90°，
∴∠O=90°-∠P，
∵∠P=26°，
∴∠O=64°，
∴∠C= ∠O=32°．
故答案为：32．
【点睛】
此题考查了切线的性质以及圆周角定理，解题的关键是正确利用切线的定理，作出辅助线，求出∠O的度
数．
【变式训练】
1．（2022·山东德州·九年级期末）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，C为⊙O上一点，
∠ACB=126°，则∠P的度数为________．
【答案】72°##72度
【解析】
【分析】
利用圆内接四边形的性质求出∠ADB=54°，再根据圆周角定理得到∠AOB=108°，接着利用切线的性质得到
∠OAP=∠OBP=90°，然后根据四边形的内角和计算∠P的度数．
【详解】
解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，∵∠ACB+∠ADB=180°，
∴∠ADB=180°-126°=54°，
∴∠AOB=2∠ADB=108°，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠P=180°-∠AOB=180°-108°=72°．
故答案为：72°．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
2．（2022·湖北鄂州·中考真题）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如
图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的
A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知
⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，
AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OA，OE，设OE与AB交于点P，根据 ， ， 得四边形ABDC是矩形，根据CD与 切于点E，OE为 的半径得 ， ，即 ， ，根据边之间的关系
得 ， ，在 ，由勾股定理得， ，进行计算可得
，即可得这种铁球的直径．
【详解】
解：如图所示，连接OA，OE，设OE与AB交于点P，
∵ ， ， ，
∴四边形ABDC是矩形，
∵CD与 切于点E，OE为 的半径，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵AB=CD=16cm，
∴ ，
∵ ，
在 ，由勾股定理得，
解得， ，
则这种铁球的直径＝ ，
故选C．
【点睛】
本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
考点四 判断或补全使直线为切线的条件
例题：（2022秋·全国·九年级专题练习）如图， 是⊙O的直径， 交⊙O于点 ， 于点 ，
下列说法不正确的是（ ）A．若 ，则 是⊙O的切线 B．若 ，则 是⊙O的切线
C．若 ，则 是⊙O的切线 D．若 是⊙O的切线，则
【答案】A
【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD
是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选
项正确；
若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确；
根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确；
若 ，没有理由可证明DE是⊙O的切线．
【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴CD=BD，
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确；
当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD，∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴CD∥BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，所以D选项正确；
当CD=BD时，又AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确．
若 ，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·九年级课时练习）如图， 为 的直径， ，当 ________ 时，
直线 与 相切．【答案】1
【分析】直线 与 相切时， ，根据勾股定理即可求出 ．
【详解】解：当 时，直线 与 相切，
∴ （cm），
故答案为：1．
【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定和性质是解题关键．
2．（2022秋·全国·九年级专题练习）在下图中， 是 的直径，要使得直线 是 的切线，需要添
加的一个条件是________．（写一个条件即可）
【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）
【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°
即可．
【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，
∵∠ABT=∠ATB=45°，
∴∠BAT=90°，
又∵AB是圆O的直径，
∴AT是圆O的切线，
故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键．
考点五 证明某直线是圆的切线
例题：（2022·辽宁盘锦·模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°，连接AO并延长交⊙O于点
D，连接BD，过点C作CE∥AD与BA的延长线交于点E．
(1)求证：CE与⊙O相切；
(2)若AD＝4，∠D＝60°，求线段AB，BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)线段AB的长为2 ，线段BC的长为 +
【解析】
【分析】
（1）连接OC，根据圆周角定理得∠AOC＝90°，再根据AD∥EC，可得∠OCE＝90°，从而证明结论；
（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD＝90°，结合AD＝4， 可得到
，根据 ，知△ABF是等腰直角三角形，进而求出
，再结合等腰直角三角形的性质，由勾股定理求出CF，即可求解．
(1)证明：连接OC，如图：
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°．
∵AD∥EC，
∴∠AOC+∠OCE＝180°，
∴∠OCE＝90°，
∴OC⊥CE，
∵OC为半径，
∴CE是⊙O的切线；
(2)
解：过点A作AF⊥BC于F，如图．
∵AD是圆O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵AD＝4，∠D＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴ ，
∴ ．
∵∠ABC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴ ．
∵△AOC是等腰直角三角形，OA＝OC＝2，
∴ ，∴ ，
∴ ．
答：线段AB的长为2 ，线段BC的长为 + ．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，含 角的直角三角形
的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东威海·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD．过点A作
⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G．
(1)求证：FG与⊙O相切；
(2)连接EF，若AF＝2，求EF的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接OC，AC．先证明△ACD为等边三角形．可得∠ACO=∠OAC=30°．再由FG∥DA，可得∠ACF=∠DAC=60°．从而得到∠OCF=90°．即可求证；
（2）根据AD∥FG，可得∠AGF=∠DAE=30°．再根据直角三角形的性质可得FG=2AF=4，
．再证得△ADE≌△GCE．可得AE=GE= ．然后由勾股定理，即可求解．
(1)
证明：连接OC，AC．
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE，AD=AC．
∵DC=AD，
∴DC=AD=AC．
∴△ACD为等边三角形．
∴∠D=∠DCA=∠DAC=60°．
∴∠AOC=30°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC=30°．
∵FG∥DA，
∴∠ACF=∠DAC=60°．
∴∠OCF=90°．
∴OC⊥FG．
∵OC为半径，
∴FG与⊙O相切．
(2)
解∶∵AD∥FG，
∴∠AGF=∠DAE=30°．
∵AF为⊙O的切线，
∴∠FAG=90°，
∴FG=2AF=4，∴ ．
在△ADE和△GCE中，
∵∠AGF=∠DAE=30°．∠CEG=∠AED，DE=CE，
∴△ADE≌△GCE．
∴AE=GE= ．
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，切线的性质和判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角
形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理，切线的性质和判定，直角三角形的性质，等边三角形的
判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
2．（2022·广西·中考真题）如图，在 中， ，以AC为直径作 交BC于点D，过点D作
，垂足为E，延长BA交 于点F．
(1)求证：DE是 的切线
(2)若 ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)13
【解析】
【分析】
（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可；
（2）连接CF，证OD是 ABC的中位线，得CF=2DE，再证DE是 FBC的中位线，得CF=2DE,设
AE=2x，DE=3k，则CF=6△k，BE=EF=AE+AF=2k+10，AC=BA=EF+AE=△4k+10，然后在Rt ACF中，由勾股定
理，得 (4k+10)2=102+(6k)2， △
解得：k=4，从而求得AC=4k+10=4×4+10=26，即可求得 的半径OA长，即可求解．(1)
证明：连接OD；
∵OD=OC，
∴∠C=∠ODC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠ODC，
∴OD AB，
∴∠ODE=∠DEB；
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ODE=90°，
即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
(2)
解：连接CF，
由（1）知OD⊥DE，
∵DE⊥AB，
∴OD AB，
∵OA=OC，
∴BD=CD，即OD是 ABC的中位线，
△∵AC是 的直径，
∴∠CFA=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴∠CFA=∠BED=90°，
∴DE CF，
∴BE=EF，即DE是 FBC的中位线，
∴CF=2DE, △
∵ ，
∴设AE=2x，DE=3k，CF=6k，
∵AF=10，
∴BE=EF=AE+AF=2k+10，
∴AC=BA=EF+AE=4k+10，
在Rt ACF中，由勾股定理，得
AC2=A△F2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，
解得：k=4，
∴AC=4k+10=4×4+10=26，
∴OA=13,
即 的半径为13．
【点睛】
本题考查圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，证OD是 ABC的中
位线， DE是 FBC的中位线是解题的关键． △
△
考点六 应用切线长定理求解
例题：（2022·湖北·武汉一初慧泉中学九年级阶段练习）如图，在四边形 中，
是四边形 的内切圆， 分别切 于F，E两点，若 ，则
的长是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
作DG⊥BC于点G，连接OC、OE，根据切线长定理可得CE=CF，OC平分∠ECF，DF=DH，所以OC垂直
平分EF，令OC、EF相交于点M，则EM=FM，设圆半径为R，则DG=2R，CG=3，CD=6-R+3-R，根据勾
股定理可求出R，再利用 求出EM即可求得EF．
【详解】
连接OC，与EF相交于点M，作DG⊥BC于点G，连接OE，设AD与圆的切点为H，如图，
∵ ，
∴四边形ABGD是矩形，
∴BG=AD=3，CG=BC-BG=6-3=3，
∵点E、F、H是切点，
∴DF=DH，CF=CE，OC平分∠ECF，
∴△ECF是等腰三角形，OC是EF的垂直平分线，
∴EM=FM，
设圆O半径为R，则BE=R，DG=2R，，
∴CE=CF=6-R，DF=DH=3-R，
∵ ，∴
解得：R=2，
∴CE=6-2=4，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选 A．
【点睛】
本题考查了切线长定理，充分利用切线长定理求解相关线段长度是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·辽宁·黑山县教师进修学校二模）如图所示，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到
D，使BD＝OB，连接AD．∠DAC＝78°，那么∠AOD等于_____度．
【答案】64
【解析】
【分析】
由已知条件推导出∠CAO=∠OAB=∠BAD，∠ABD=90°，由此根据∠DAC=78°，能求出∠AOD的大小．
【详解】
解：∵AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，BD=OB，
垂直平分 ,∠CAO=∠OAB
∠OAB=∠BAD，∴∠CAO=∠OAB=∠BAD，∠ABD=90°，
∵∠DAC=78°，
∴∠BAO= ∠DAC=26°，
∴∠AOD=90°-26°=64°．
故答案为：64．
【点睛】
本题考查角的大小的求法，解题时要认真审题，注意切线性质的灵活运用是解题的关键．
2．（2022·天津河东·二模）已知 是 直径， ， 分别切 于点 ， ．
(1)如图①，若 ，求 的度数；
(2)如图②，延长 到点 ，使 ，连接 ，若 ，求 的度数．
【答案】(1)64°
(2)63°
【解析】
【分析】
（1）连接OC，根据切线的性质得到∠PCO=∠PBO=90°，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACO=58°，根
据三角形外角的性质和四边形的内角和定理即可得到结论；
（2）连接OP，根据切线的性质得到∠CPO=∠BPO，∠PBO=90°，证明PB是OD的垂直平分线，可得
∠OPB=∠DPB=∠CPO，进而可以解决问题．
(1)
解∶如图，连接OC，∵PC，PB分别切OO于点C，B，AB是直径，
∴∠PCO=∠PBO=90°，
∵OC=OA，
∴∠A=∠ACO=58°，
∴∠BOC=∠A+∠ACO=116°，
∴∠P=360°-90°-90°-116°=64°；
(2)
解：如图，连接OP，
∵PC，PB分别切OO于点C，B，AB是直径，
∴∠CPO=∠BPO，∠PBO=90°，
∵BD=OB，
∴PB是OD的垂直平分线，
∴PO=PD，
∴∠OPB=∠DPB，
∴∠OPB=∠DPB=∠CPO，
∵∠DPC=81°，
∴∠OPB=∠DPB=∠CPO=27°，
∴∠D=90°-27°=63°．
【点睛】
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．一、选择题
1．（2022秋·辽宁沈阳·九年级期末）圆的半径是 ，如果圆心与直线的距离是 ，那么直线和圆的位置
关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【答案】A
【分析】先确定圆的半径为6.5，而圆心到直线的距离为4.5，即圆心O到直线的距离小于圆的半径，根据
直线与圆的位置关系得到直线与圆相交，则直线与圆有两个交点．
【详解】解：∵圆的半径为 ，
∵圆心到直线的距离为 ，
∴圆心到直线的距离＜圆的半径，
∴直线与圆相交，
故选：A．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，直线 和
相交 ；直线 和 相切 ；当直线 相离 ．
2．（⇔2022秋·甘肃陇南·九年级校⇔考期末）如图， 是⇔ 的直径，点 在 的延长线上， 与 相
切于点 ，若 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，如图，根据切线的性质得 ，利用直角三角形两锐角互余得 ，
再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可得 ，然后计算 即可．
【详解】解：连接 ，如图，
∵ 与 相切于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，
构造定理图，得出垂直关系，正确作出辅助线是解答本题的关键．
3．（2022秋·天津宝坻·九年级校考期末）如图， 为 切线，点A为切点， 交 于点C，点B在
上，连接 ，若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接 ，根据切线的性质得到 ，根据直角三角形的性质、圆周角定理解答即可．
【详解】解：连接 ，
∵ 为 切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由圆周角定理得， ，
故选：D．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
4．（2022秋·江西上饶·九年级统考阶段练习）如图， 为 的直径，过圆上一点 作 的切线，交
直径 的延长线于点 ，若 ， 的半径为 ，则 的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C【分析】连接 ，根据圆周角定理和等腰直角三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】连接 ，
，
，
是 的切线，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质及勾股定理，熟练掌握切线
的性质是解题的关键．
5．（2022秋·河南安阳·九年级校联考期中）如图， 分别切 于点A，B， 切 于点E，且分
别交 于点C，D，若 ，则 的周长为（ ）
A．5 B．7 C．12 D．10
【答案】C
【分析】根据切线长定理得到 ，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵ 分别切 于点A，B， 切 于点E， ，∴ ，
∴ 的周长 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
二、填空题
6．（2022秋·天津河西·九年级天津市第四十二中学校考期末）如图， 、 是 的切线， 、 是切
点，已知 ， ，那么 的长为________．
【答案】
【分析】由切线长定理得到 ， ，判定 是等边三角形，连接 ，得到
，求出 ，再利用勾股定理求出 即可．
【详解】解：∵ 、 是 的切线， 、 是切点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
连接 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】此题考查了切线长定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形 角的性质，熟记各
定理及性质是解题的关键．
7．（2022秋·河南安阳·九年级校联考期中）如图， 是 的直径， 是 的切线， 为切
点．若 ，则 ___________．
【答案】 ## 度
【分析】连接 ，根据切线的性质得到 ，进而求出 ，再根据圆周角定理计算，
得到答案．
【详解】解：连接 ，
是 的切线，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，求得 是解题的关键．
8．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）如图， 与 相切于点A， 与 相交于点B，点C在优
弧 上，且与点A、B不重合，若 ，则 的度数为 _____°．【答案】38
【分析】如图所示，连接 ，先由圆周角定理求出 ，再根据切线的性质得到 ，由此
即可利用直角三角形两锐角互余求出答案．
【详解】解；如图所示，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 与 相切于点A，
∴ ，
∴ ，
故答案为：38．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形两锐角互余，正确作出辅助线构造直角三
角形是解题的关键．
9．（2022秋·河北邢台·九年级金华中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中， 的圆心 的坐标为
，半径为 ，点 为直线 上的动点，过点 作 的切线，切点为 ，则当 ______
时，切线长 值最小，最小值为______．【答案】
【分析】作 ⊥直线 垂足为 ，作 的切线 ，切点为 ，在 中，
，当 最小时，切线长 最小，证明 ，求得 ，
进而勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，作 ⊥直线 垂足为 ，作 的切线 ，切点为 ，此时切线长 最
小，
∵ 的坐标为
设直线与 轴, 轴分别交于 ， ，
∴
∴
∴
∴
在 与 中，∴ ，
∴
∴
故答案为： ，
【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，根据题意得出 时，
最小是解题的关键．
10．（2022秋·福建南平·九年级顺昌县第一中学校考阶段练习）如图，直线 、 相交于点 ，
，半径为 的圆的圆心P在直线 上，且与点 的距离为 ，若点 以 的速度由
A向B的方向运动，当运动时间 为________ 时， 与直线 相切．
【答案】 或
【分析】 在射线 上或在射线 上，设对应的圆的圆心分别在M，根据切线的性质，在
中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得 的长，进而求得 的长，从而求得由P
到M移动的时间；根据 ，即可求得 ，也可以求得由P到M移动的时间．
【详解】解：当 在射线 上，设 与 相切于点E，P移动到M时，连接 ．
∵ 与直线 相切，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，则 ，
∵ 以 的速度沿由A向B的方向移动，
∴ 移动 时与直线 相切．
当 在射线 上时，同理可求 移动 时与直线 相切．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，注意已知圆的切线时，常用的辅助线是连接圆
心与切点，本题中注意到分两种情况讨论是解题的关键．
三、解答题
11．（2021秋·河南商丘·九年级统考期中）如图，A、B是 上的两点，过O作 的垂线交 于C，交
于E，交 的切线 于D．
(1)求证： ；
(2)当 时，求 及 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）要证明 ，只要证明 即可，根据题目中的条件可以得到
，结论得以证明；
（2）根据（1）中的结论和勾股定理可以求得 及 的长．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ；
（2）∵ ，
∴设 ，
则 ，
解得， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查切线的性质，解答此类题目的关键是明确题目中所要证明的结论和所要解答的问题，然
后根据数形结合和勾股定理的相关知识解答．
12．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在 中， 是 的平分线，O是 上一点，
以 为半径的 经过点D．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）要证 是 的切线，只要连接 ，再证 即可．
（2）过点D作 于点E，根据角平分线的性质可知 ，由勾股定理得到 的长，再通过
证明 ，根据相似三角形的性质得出 的长．
【详解】（1）证明：连接 ，∵ 是 的平分线，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ 是 的切线；
（2）解：过点D作 于点E，
∵ 是 的平分线，，
∴ ．
在 中， ，
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题综合性较强，既考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了角平分线的性质，勾股定理得到 的长，及相似三角
形的性质．
13．（2022秋·辽宁沈阳·九年级期末） 是 的直径， 是 上一点， ，垂足为 ，过点
作 的切线，与 的延长线相交于点 ．
(1)如图1，求证 ；
(2)如图2，连接 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明 ， ，即可得出 ；
（2）根据圆周角定理得到 ，根据勾股定理分别求出 ，证明 ，根据相似三
角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
在 和 中， ， ，
∴ ；
（2）解：如图，连接 ．∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ °，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∵ 在 和 中， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ．
【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，综合性
较强，熟练掌握上述知识点，通过证明 是解题的关键．
14．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）如图，已知 为 的直径， 分别与 相切于点
点D是 延长线上一点，连接 ，且 ．
(1)证明： 是 的切线；
(2)若 ， ， ，求y关于x的函数解析式．
【答案】(1)证明见详解
(2)y【分析】（1）连接 ，依据切线的性质可知 ，再证明 ，依据全等三角形的性
质可知 ，故此 是 的切线；
（2）过点C作 于点F，则 ．由切线长定理可得： ，则 ，
在 中依据勾股定理可得到y与x的函数关系式．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 与 相切于点E，
∴ ，
∵ 是半径
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：如图所示：过点C作 于点F，则 ．
∵ ，
∴ ．
由切线长定理可得： ，
∴，
在 中，
∵
∴ ．
整理得：y ，
则y关于x的函数关系式为：y ．
【点睛】本题主要考查的是切线的性质和判定，解答本题主要应用了切线的性质和判定定理、全等三角形
的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
15．（2022秋·湖北黄冈·九年级校考阶段练习）如图， 是 直径，点 是 上一点， ，
点 为 延长线上一点，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)过点 作 交 于点 ， 的延长线交 于点 ，若 的直径为2，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，利用圆周角定理可得 ，利用等边对等角和三角形内角和定
理可得 ，则结论可得；
（2）利用三角形的内角和定理的推论可得 ，则得 ，利用勾股定理可求 的
长，则结论可求．
【详解】（1）证明：连接 ，如图，
∵ ， ，∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
即 ，
∵ 是圆的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ 的直径为2，
∴ ．
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，
勾股定理，等腰三角形的判定与性质，连接 ，证明 是解题的关键．
16．（2022秋·广东广州·九年级执信中学校考期末）如图， 是 的直径，点D在 的延长线上，
C、E是 上的两点， ， ，延长 交 的延长线于点F．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求弦 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，由条件可证得 ，得到 ，即可得到结论；
（2）先证明 ，得到 ，求出 ， ，
∴ ，在 中，由勾股定理得到 ，求出弦 的长．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ,
∴ 是 的切线；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ， ．
【点睛】此题是圆的综合题，考查了圆的切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确掌
握各知识点并综合应用是解题的关键．
17．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，四边形 内接于 ， 是 的直径，过点
C作 的垂线，交 的延长线于点E，连接 ．
(1)若 平分 ，求证： 是 的切线；
(2)若 是 的切线， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由 平分 及 ，可得 ，再由 ，则可证明结论成立；（2）由圆内接四边形的性质可求得 的度数；由 及 是直径，可求得 的度数；由
是 的切线及 可得 ，进而可求得 的度数，最后由三角形内角和定理即可求
得结果．
【详解】（1）证明： 平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
为 的半径，
是 的切线；
（2）解：∵四边形 内接于 ，
，
，
，
，
，
是 的直径，
，
，
是 的切线，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是圆的综合，考查了切线的判定与性质，圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，
平行线的判定与性质等知识，掌握圆的相关知识是解决问题的关键．
18．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）如图，圆O的直径 ， ，点P是射线上的一个动点
(1)如图1，求 的长；
(2)如图1，若 ，连接 ，求证： 为圆O的切线；
(3)如图2，连接 、点P在运动过程中，求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3) 的最小值为3．
【分析】（1）连接 交 于点H，在 中， ，则 ；
（2）先求解 ，再证明 ，即可求解；
（3）过点A作 交 于点P，证明 ，则点P为所求点，进而求解．
【详解】（1）解：∵ 是直径， ，
则 、 、 均为 的弧，
则 ，连接 交 于点H，
∴ ， ，
∵ ，则 ，在 中， ，
则 ；
（2）∵ 为直径，
∴ ，
在 中， ， ，
则 ， 而 ，
在 中， ，
在 中， ， ，
则 ，
故 为直角三角形，且 ，故 ，
∴ 为 的切线；
（3）过点A作 交 于点P，
在 中， ，则 ，
即 为最小，
∵ 、 均为60°的弧，则 ，
而 ，
∴ 为边长为 的等边三角形，
则 ，
即 的最小值为3．
【点睛】本题是圆的综合题，涉及到垂径定理的运用、弧，弦，圆心角之间的关系，切线的判定，等边三角形的性质、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．
