文档内容
专题 22 数列的概念与表示
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
1．数列的有关概念
概念 含义
数列 按照确定的顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
数列的通项 数列{a}的第n项a
n n
如果数列{a}的第n项a 与它的序号之间的对应关系可以用一个式子
n n
通项公式
来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
把数列{a}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{a}的前n项
n n
前n项和
和，记作S，即S＝a ＋ a ＋…＋ a
n n 1 2 n
2．数列的表示方法
列表法 列表格表示n与a 的对应关系
n
图象法 把点 ( n ， a )画在平面直角坐标系中
n通项公式 把数列的通项使用a＝f(n)表示的方法
n
公式法 使用初始值a 和a ＝f(a)或a，a 和a ＝f(a，a )等
1 n＋1 n 1 2 n＋1 n n－1
递推公式
表示数列的方法
3．数列的分类
分类标准 名称 含义/性质
按项的个 有穷数列 项数有限的数列
数 无穷数列 项数无限的数列
递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列⇔a
n
a
n＋1
按项的变
常数列 各项都相等的数列⇔a
n
＝a
n＋1
化趋势
从第2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前
摆动数列
一项的数列
温馨提示：
1．已知数列{a}的前n项和S，则a＝
n n n
2．在数列{a}中，若a 最大，则(n≥2，n∈N*)；若a 最小，则(n≥2，n∈N*)．
n n n
本专题主要考查利用递推公式求通项公式，an与Sn的关系的应用，常结合等差或等比数列以解答
题的形式出现。
题型一 由a 与S 的关系求通项公式
n n
例1 设数列 的前 项和为 ，且满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若对任意的 恒成立，求 的取值范围.
答案 (1)(2)
分析 （1）根据 与 之间的关系分析可知数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，进而可得通项公
式；
（2）由（1）可知： ，利用错位相减法可得 ，结合恒成立问题分析求解即可.
解析 （1）因为 ，
当 时，由 ，解得 ；
当 时，则 ，
两方程相减得 ，即 ；
可知数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 .
（2）由（1）可知： ，
则 ，
，
两式相减得 ，
可得 ，即 .
因为 ，可知 是单调递增数列，且 ，可得 ，
因为对任意的 恒成立，可得 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
方法归纳： (1)已知S 求a 的常用方法是利用a＝转化为关于a 的关系式，再求通项公式．
n n n n
(2)S 与a 关系问题的求解思路
n n
方向1：利用a＝S－S (n≥2)转化为只含S，S 的关系式，再求解．
n n n－1 n n－1
方向2：利用S－S ＝a(n≥2)转化为只含a，a 的关系式，再求解．
n n－1 n n n－1
题型二 由数列的递推关系求通项公式
命题点1 累加法
例2 数列 满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前n项和．
答案 (1)
(2) ．
分析 （1）利用累加法结合等差数列求和公式即可得解；
（2）直接用裂项相消法即可求解.
解析 （1）因为 ，所以 ，
又
因此 是以 为首项，1为公差的等差数列，
设 的前n项和为 ，则 ，
又由 ，得 ， ，
当 时，经检验也满足 ，
∴ ．
（2） ．因此
．
命题点2 累乘法
例3 已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式.
(2)求数列 的前 项和.
答案 (1)
(2)
分析 （1）根据题意利用累乘法可求得通项公式；
（2）由（1）得 ，然后利用错位相减法可求得前 项和.
解析 （1）因为 ，所以 ， ， ，……， ，
所以 ，
所以 ，得 ；
（2）由（1）得 ，
令数列 的前 项和为 ，则
所以 ，
所以
，
所以
所以数列 的前 项和为 .方法归纳： (1)形如a －a＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式a＝(a－a )＋(a －a )＋…＋(a
n＋1 n n n n－1 n－1 n－2 2
－a)＋a(n≥2)，即可求数列{a}的通项公式．
1 1 n
(2)形如＝f(n)的数列，常令n分别为1,2,3，…，n－1，代入＝f(n)，再把所得的(n－1)个等式相乘，利用a
n
＝a···…·(n≥2)即可求数列{a}的通项公式．
1 n
题型三 数列的性质
命题点1 数列的单调性
例4 已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，且 单调递增，若 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
答案 D
分析 根据题意，分析可得 ，即数列 从第二项开始，各项均为正数，结合等差数列的
通项公式，列出不等式，即可求解．
解析 解：由 为等差数列，且 ，所以 ，
因为数列 为递增数列，则 ，即 从第二项开始，各项均为正数，
又因为 恒成立，所以数列 为常数数列或递增数列，所以 ，
则有 ，解可得 ，
综上可得， ，所以实数 的取值范围为 ．
故选：D．
命题点2 数列的周期性
例5 若首项为 1 的数列 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
答案 C
分析 利用此数列的递推关系，依次求出下一项，直到出现重复，则可以判断周期，从而利用周期性来得
到结果.解析 由 ， 得：
，
，
，
，
，
，
因为 ，由此得数列 是一个周期为 的数列，
所以 ，则 ，
故选：C.
命题点3 数列的最值
例6 已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则数列 的最大项为（ ）
A． B． C． D．
答案 C
分析 借助等差数列的性质结合所给条件可计算出 ，表示出 后结合对勾函数的性质计算即可得.解析 因为 ，所以 是以1为公差的等差数列，
又 ，所以 ，即 ，
则当 时， ，
又 符合上式，故 ，
则 ，
令 ，由对勾函数性质可得：
在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ，当 时， ，
故数列 的最大项为 ．
故选：C.
方法归纳： (1)解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据a －a 的符号判断数列{a}是递增数列、递减数列还是常数列．
n＋1 n n
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
(3)求数列的最大项与最小项的常用方法
①函数法，利用函数的单调性求最值．
②利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
