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2022-2023 学年北师大版数学九年级上册压轴题专题精选汇编
专题 13 投影与视图
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021九上·内江期末）如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时
刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD＝9.6米，
留在墙上的影长CD＝2米，则旗杆的高度（ ）
A．12米 B．10.2米 C．10米 D．9.6米
【答案】C
【完整解答】解：如图，作CE⊥AB于E点，
则四边形BDCE为矩形，BD=CE=9.6米，BE=CD=2米，
根据题意得 ，即 ，
解得AE=8（米），
所以AB=AE+BE=8+2=10（米）.
故答案为：C.
【思路引导】作CE⊥AB于E点，则四边形BDCE为矩形，BD=CE=9.6米，BE=CD=2米，根据物体的高
度与影长成比例可得AE的值，然后根据AB=AE+BE进行计算.2．（2分）（2021九上·商河期末）如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵
大树的影长为5米，则这棵树的高度为（ ）
A．7.8米 B．3.2米 C．2.30米 D．1.5米
【答案】B
【完整解答】设树高为x米，由题意得
，
解得：x=3.2，
故答案为：B.
【思路引导】根据同一时刻两个物体、影子、经过物体顶部的太阳光线构成的两个直角三角形相似可得。
3．（2分）（2021九上·南海期末）身高1.6m的小刚在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻，阳光下旗杆的
影长是l5m，则旗杆高为（ ）
A．14米 B．16米 C．18米 D．20米
【答案】D
【完整解答】解：设旗杆高为x米，
根据同一时刻身高和影长之比等于旗杆与其影长之比可得：
，解得： ，
故旗杆高20米，
故答案为：D．
【思路引导】设旗杆高为x米，根据题意列出方程 求解即可。
4．（2分）（2021九上·包头期末）如图，有一路灯杆AP，路灯P距地面4.8m，身高1.6m的小明站在距
A点4.8m的点D处，小明的影子为DE，他沿射线DA走2.4m到达点B处，小明的影子为BC，此时小明影子的长度（ ）
A．增长了1m B．缩短了1m C．增长了1.2m D．缩短了1.2m
【答案】D
【完整解答】解：过B作BG⊥AE交PC于G，过D作DH⊥AE交PE于H，
则AB=AD-BD=4.8-2.4=2.4（m），BG=DH=1.6m，BG∥AP∥DH，
∴△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP，
∴ ，
即 ，
解得：BC=1.2，DE=2.4，
∴DE-BC=2.4-1.2=1.2（m），
即此时小明影子的长度缩短了1.2m.
故答案为：D．
【思路引导】先求出△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP，再求出BC=1.2，DE=2.4，最后求解即可。
5．（2分）如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走
到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【完整解答】解：∵小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与
行走的路程S之间的变化关系应为：
当小红走到灯下以前：l随S的增大而减小；
当小红走到灯下以后再往前走时：l随S的增大而增大，
∴用图象刻画出来应为C．
故选：C．
【思路引导】根据中心投影的性质得出小红在灯下走的过程中影长随路程之间的变化，进而得出符合要求
的图象．
6．（2分）（2022·海南）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的主视图是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形，
故答案为：C.
【思路引导】主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形，据此可得到此几何体的主视图.7．（2分）（2022·安次模拟）如图，一直角边长为4cm的等腰直角三角板在灯光照射下形成投影，该三
角板与其投影的相似比为2∶3．则投影三角形的面积为（ ）
A．36 B．18 C．16 D．20
【答案】B
【完整解答】解： 由题可知直角三角形的面积为 ，
设投影三角形的面积为 ，
三角形面积的比等于相似比平方，
，
解得 ．
故答案为：B．
【思路引导】先求出直角三角形的面积，再根据三角形面积的比等于相似比平方即可求出投影三角形的面
积。
8．（2分）（2022·路桥模拟）如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【完整解答】解：观察该几何体发现：从正面看到的应该是三个正方形，上面左边1个，下面2个.
故答案为：D.
【思路引导】主视图是从几何体正面观察所得到的平面图形，根据主视图的概念确定出每行每列小正方形
的个数，据此判断.
9．（2分）（2022·洞头模拟）某物体如图所示，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【完整解答】解：该物体的主视图是下面为一个长方形，正上面是一个圆形.
故答案为：A.
【思路引导】主视图是从几何体正面观察所得到的平面图形，据此判断.
10．（2分）（2022·上思模拟）如图，小颖身高为 ，在阳光下影长 ，当她走到距
离墙角（点 ） 的 处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子 的长度
为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】解：如图，过E作EF⊥CG于F，
设投射在墙上的影子DE长度为x，
由题意得：△GFE∽△HAB，
∴AB：FE＝AH：（GC−x），
则240：120＝160：（160−x），
解得：x＝80.
答：投射在墙上的影子DE长度为80cm.
故答案为：B.
【思路引导】如图，过E作EF⊥CG于F，设投射在墙上的影子DE长度为x，由平行投影的性质得
△GFE∽△HAB，于是可得比例式AB：FE＝AH：（GC−x），解之可求解.
二．填空题（共10小题，每题2分，满分20分）
11．（2分）（2022·南海模拟）如图，小树AB在路灯O的照射下形成树影BC． 若树高AB=2m，树影
BC=3m，树与路灯的水平距离BP=5m，则路灯的高度OP为 m．
【答案】
【完整解答】解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变：
∵当树高AB=2m，树影BC=3m，且BP=5m∴ ，
代入得：
∴
故答案为： ．
【思路引导】根据中心投影的性质可得 ，再将数据代入可得 ，然后求出
即可。
12．（2分）（2022九下·长沙开学考）如图，在同一时刻，测得小华和旗杆的影长分别为1m和6m，小华
的身高约为1.6m，则旗杆的高约为 m.
【答案】9.6
【完整解答】解：设旗杆的高度为x（m），则可列比例式为 ，解得x＝9.6（m）.
故答案为：9.6.
【思路引导】设旗杆的高度为xm，根据相同时刻的物高与影长成比例可得关于x的方程，求解即可.
13．（2分）（2021九上·青岛期末）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝
2m，它的影子BC＝1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ 的长
度为 m．【答案】2.3
【完整解答】解：如图，过N点作 于点D，
则四边形 是矩形，
根据同一时刻木竿长和影子长的比是固定的，
∴ ，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ．
【思路引导】过N点作 于点D，利用平行投影的性质即可得出答案。
14．（2分）（2021九上·皇姑期末）如图，数学兴趣小组下午测得一根长为1m的竹竿影长是0.8m，同一
时刻测量树高时发现树的影子有一部分落在教学楼的墙壁上，测得留在墙壁上的影高为1.2m，地面上的影
长为2.6m，请你帮算一下，树高是 m．【答案】4.45
【完整解答】解：如图，
设BD是BC在地面的影子，树高为x，
根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得 ，
则 ，
解得：BD＝0.96，
∴树在地面的实际影子长是0.96＋2.6＝3.56（m），
再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得： ，
∴解得：x＝4.45，
∴树高是4.45m．
故答案为：4.45．
【思路引导】要先知道在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，所以竹竿的高与影子的比值和
树高与其影子的比值相同，利用这个结论即可求解。
15．（2分）如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高13米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆
CD，它们都与地面垂直，为了侧得电线杆的高度，数学兴趣小组的同学进行了如下测量 某一时刻，在
太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为3米，落在地面上的影子BF的长为8米，而电信杆落在围墙上的影子GH的长度为 米，落在地面上的银子DH的长为6米，依据这些数据，该小组的同学
计算出了电线杆的高度是 米
【答案】11
【完整解答】解：过点E作 于M，过点G作 于N．
则 ， ， ， ．
所以 ，
由平行投影可知， ，
即 ，
解得 ，
即电线杆的高度为11米．
故答案为：11．
【思路引导】过点E作 于M，过点G作 于N．根据矩形的性质得出， ， ， ，根据平行投影的性质得出 ，根据比例式
建立方程，求解即可。
16．（2分）（2021九上·泰兴期中）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿
AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ 的
长度为 m.
【答案】2.3
【完整解答】解：如图，过N点作 于点D，
根据同一时刻木竿长和影子长的比是固定的，
∴ ，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ .
故答案为：2.3.【思路引导】过N点作ND⊥PQ于点D，根据同一时刻木竿长和影子长的比是固定的可得 ，代
入数据求出QD，然后根据PQ=QD+DP=QD+MN进行计算.
17．（2分）（2021九上·福州月考）莆田湄洲岛，是亿万妈祖信徒敬仰的圣地，这里的妈祖庙更是名扬四
海.在湄洲妈祖庙的正殿前方上建造了一尊巨型石雕妈祖像，面向台湾海峡，为海峡两岸同胞共同瞻仰.小
颖想测量雕像的高，她先测得雕像的影长为 ，并在同一时刻测得一根长为 的竹竿的影长是
.请你帮她算一下，石雕妈祖像高是 m.
【答案】14.35
【完整解答】解：如图，设石雕妈祖像高为AB，影长为BE，同一时刻竹竿高度为CD，竹竿影长为DE，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴ ，
即 ，
∴AB=14.35m.故答案为：14.35.
【思路引导】设石雕妈祖像高为AB，影长为BE，同一时刻竹竿高度为CD，竹竿影长为DE，易证
△ABE∽△CDE，然后根据相似三角形的性质求解即可.
18．（2分）（2021·双流模拟）平行于墙面的三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示.若
， ，则三角尺与它在墙上影子的周长比是 .
【答案】
【完整解答】解：如图，∵OA=10cm，AA′=15cm，
∴OA′=25cm，
∴ ，
∵三角尺与影子是相似三角形，
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比= .
故答案为： .【思路引导】先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形的周长比等
于相似比解答即可.
19．（2分）（2021九下·江西月考）在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树 的高度．如图，
数学小组发现大树离教学楼有5m，高1.4m的竹竿在水平地面的影子长1m，此时大树的影子有一部分映在
地面上，还有一部分映在教学楼的墙上，墙上的影子离 为2m，那么这棵大树高 m．
【答案】9
【完整解答】解：延长AD交BC延长线于E，
根据同一时刻影长与物高成比例可得CE：CD=1：1.4，
∵CD=2m，
∴CE= m，
∴BE=BC+CE=5+ = m，
∴BE：AB=1:1.4，
∴AB=9m．
故答案为：9．
【思路引导】根据同一时刻影长与物高成比例，先求出CE，再求AB即可．
20．（2分）（2021九上·渠县期末）墙壁CD上D处有一盏灯(如图)，小明站在A处测得他的影长与身长相等，都为1.6m，他向墙壁走1m到B处时发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD＝ .
【答案】 m
【完整解答】解：如图：
根据题意得：BG=AF=AE=1.6m，AB=1m，
∵BG∥AF∥CD，
∴△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD，
∴AE：EC=AF：CD，AB：AC=BG：CD，
设BC=xm，CD=ym，则CE=（x+2.6）m，AC=（x+1）m，
∴ ，
解得：x= ， y= ，
∴CD= m.
∴灯泡与地面的距离为 米.
故答案为： m.【思路引导】对图形进行点标注，根据题意得：BG=AF=AE=1.6m，AB=1m，易证△EAF∽△ECD，
△ABG∽△ACD，设BC=xm，CD=ym，则CE=(x+2.6)m，AC=(x+1)m，由相似三角形的性质可得c、y，
进而求出CD.
三．解答题（共7题，满分60分）
21．（6分）（2022·陕西）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示，在某一
时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG
为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，
EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB.
【答案】解：∵AD∥EG，
∴∠ADO=∠EGF.
又∵∠AOD=∠EFG=90°，
∴△AOD∽△EFG.
∴ .
∴ .
同理，△BOC∽△AOD.
∴ .
∴ .∴AB=OA−OB=3（米）.
∴旗杆的高AB为3米.
【思路引导】根据平行线性质得∠ADO=∠EGF，∠BCO=∠ADO，证明△BOC∽△AOD，
△AOD∽△EFG，根据相似三角形的性质可得AO、BO，然后根据AB=OA-OB进行计算.
22．（8分）（2021九上·禅城期末）如图
（1）（1分）如图①，在8×6的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格
点．点C坐标为（2，4），以O为位似中心，在网格图中作△A′B'C′，使△A′B'C′与△ABC位似，且位似
比为1∶2，（保留作图痕迹） ，则点C'的坐标为 ，周长比C ABC∶C ABC＝
' ' ′
△ △
．
（2）（5分）如图②，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝6m，某一时刻AB在阳光下的投影
BC＝4m，DE在阳光下的投影长为6cm．请你在图中②画出此时DE在阳光下的投影EF．根据题中信息，
求得立柱DE的长为 ▲ m．
【答案】（1） ；（1，2）；1：2
（2）解：连接AC，过D作DF∥AC交BC延长线于F，如图②，EF即为DE在阳光下的投影：图②
；9
【完整解答】解：（1）由图知：A(－2，0)，B（4，0），
∵△A′B'C′与△ABC位似，且位似比为1∶2，O为位似中心，
∴A′（－1，0），B'（2，0），C′（1，2），C ABC∶C ABC＝1：2，
' ' ′
△ △
顺次连接A′、B'、C′，如图①△A'B'C'即为所求作：
故答案为：（1，2），1：2；
（2）连接AC，过D作DF∥AC交BC延长线于F，如图②，EF即为DE在阳光下的投影：
图②
∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，又∠ABC=∠DEF=90°，
∴△ABC∽△DEF，
∴ ，
∵AB=6m，BC=4m，EF=6m，
∴ ，
解得：DE=9，
故答案为：9．【思路引导】（1）利用位似图形的性质得出A′、B'、C′位置进而得出答案；
（2）连接AC，过D作DF∥AC交BC延长线于F，如图②，EF即为DE在阳光下的投影；利用三角形
△ABC∽△DEF，得出比例尺求出DE的长。
23．（7分）（2022·莲湖模拟）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量秦始皇雕塑
的高度.如图所示，首先，在阳光下，某一时刻，小玉在雕塑影子顶端 处竖立一根高2米的标杆 ，
此时测得标杆 的影子 为2米；然后，在 处竖立一根高2.5米的标杆 ，小婷从 处沿 后
退0.8米到 处恰好看到点 、 在一条直线上，小婷的眼睛到地面的距离 米， 米，
已知 ， ， ， ，点 、 、 、 、 在同一水平直线上，
请根据以上数据求出秦始皇雕塑 的高度.
【答案】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
∴ .
过点 作 于点 ，交 于点 ， ， ，， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴秦始皇雕塑 的高度为14米.
【思路引导】易得∠ADB=∠DAB=45°，可得AB=BD，从而得出 ， 过点M作
于点O，交GH于点P，证明 ，可得 ，据此可求出AB的长.
24．（7分）（2022九下·嘉祥开学考）如图是由若干个完全相同的小正方体堆成的几何体．
（1）（4分）图中有几个小正方体；
（2）（3分）画出该几何体的三视图；【答案】（1）解：1+3+6=10（个）
即图中共有10个小正方体
（2）解：所画的三视图如下：
【思路引导】（1）根据图形结合空间想象能力求解即可；
（2）利用三视图的定义求解即可。
25．（8分）（2021·苏州模拟）测量金字塔高度：如图1，金字塔是正四棱锥 ，点O是正方
形 的中心 垂直于地面，是正四棱锥 的高，泰勒斯借助太阳光.测量金字塔影
子 的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔
高度也进行了测量.甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥 表示.
（1）（3分）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形 的边长为
，金字塔甲的影子是 ，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为 m.
（2）（5分）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形 边长为 ，金字塔乙的
影子是 ， ，此刻1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，
计算乙金字塔的高度.
【答案】（1）100
（2）解：如图，根据图1作出俯视图，连接 ， ，过点 作 交 的延长线
于 ，
，
，
，四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
，.
乙金字塔的高度为 .
【完整解答】解：（1）如图2中，连接 交 于 ，
四边形 是正方形，
， ，
，
垂直平分 ，
，
，
，
设金子塔的高度为 ，物体的长度与影子的长度成比例，
，
.
故答案为：100；
【思路引导】（1）连接OP交BC于T，由正方形的性质可得OC=OB，AC⊥BD，BC=CD=80，由线段垂
直平分线的性质可得OT、TC，然后根据勾股定理求出PT，进而求出OP，设金子塔的高度为h，然后根据物体的长度与影子的长度成比例求解即可；
（2）根据图1作出俯视图，连接OP、OC，过点O作OR⊥PC交PC的延长线于R，求出∠OCP、∠OCR
的度数，根据正方形的性质结合勾股定理可得OC，进而求出CR、OR、PR、OP，然后根据物体的长度与
影子的长度成比例求解即可.
26．（11分）如图，A、B、C分别表示甲、乙、丙三个物体的顶端，甲物体高3米，影长2米，乙物体高
2米，影长3米，甲乙两物体相距4米.
（1）（5分）请在图中画出光源灯的位置及灯杆，并画出物体丙的影子.
（2）（6分）若甲、乙、丙及灯杆都与地面垂直，且在同一直线上，求灯杆的高度.
【答案】（1）点O为灯的位置，QF为丙物体的影子；
（2）作OM⊥QH，设OM=x，EM=y，
由△GAE∽△GOM得 ，
即： ①，
由△BDH∽△OMH得
即： ②结合①②得，
x=6，y=2.
经检验，x=6、y=2是方程的解，
答：灯的高度为6米.
【思路引导】（1）首先连接GA、HB并延长交于点O，从而确定点光源，然后连接OC并延长即可确定影
子；
（2）作OM⊥QH ，设OM=x，EM=y，根据三角形相似列出比例式即可确定灯的高度.
27．（13分）（2020·攀枝花）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面
且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线 的距离皆为 ．王
诗嬑观测到高度 矮圆柱的影子落在地面上，其长为 ；而高圆柱的部分影子落在坡上，如
图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线 互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度
，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
（1）（4分）若王诗嬑的身高为 ，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少 ？
（2）（4分）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．
请直接回答这个猜想是否符合题意？
（3）（5分）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为 ，则高圆柱的高度为多少 ？
【答案】（1）解：设王诗嬑的影长为xcm，
由题意可得： ，
解得：x=120，
经检验：x=120是分式方程的解，
王诗嬑的的影子长为120cm；（2）解：符合题意，
因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，
则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，
而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，
∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；
（3）解：如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，
过点F作FG⊥CE于点G，
由题意可得：BC=100，CF=100，
∵斜坡坡度 ，
∴ ，
∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中，
，
解得：m=20，
∴CG=60，FG=80，
∴BG=BC+CG=160，
过点F作FH⊥AB于点H，
∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，
FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，
可知四边形HBGF为矩形，
∴ ，∴AH= =200，
∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，
故高圆柱的高度为280cm.
【思路引导】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．（2）根据落在地面上的
影子皆与坡脚水平线 互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；（3）过点F作
FG⊥CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点
H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.
