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专题 24.1 圆（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 圆的认识】..................................................................................................................................................2
【题型2 判断点与圆的位置关系】..........................................................................................................................4
【题型3 利用点与圆的位置关系求半径】..............................................................................................................6
【题型4 与圆有关的概念】......................................................................................................................................9
【题型5 利用圆的基本性质求角度】....................................................................................................................11
【题型6 利用圆的基本性质求长度】....................................................................................................................14
【题型7 利用圆的基本性质求坐标】....................................................................................................................18
【题型8 利用圆的基本性质求最值】....................................................................................................................22
知识点 1 圆的定义及表示方法
1. 定义：
（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形
叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．
“圆”是指“圆周”（一条封闭曲线）而不是“圆面”．
（2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
{圆心：确定圆的位置，
确定一个圆需要两个要素
半径：确定圆的大小．
2. 圆的表示方法
以点O为圆心的圆，记作“ ⊙ O ”，读作“圆O”．
3. 圆的特性
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 定长（半径 r ） ；
（2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上；（3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形．
知识点 2 点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为
{点P在圆内⟺dr．
知识点 3 圆的有关概念
1. 弦与直径
连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）．
2. 弧、半圆、劣弧、优弧、圆心角
（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
（2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
{ 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示（如图中AB´C)
（3）弧
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示（如图中A´B)
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
3. 同心圆、等圆与等弧
圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆．
能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
同圆或等圆的半径相等．
【题型1 圆的认识】
【例1】（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某
几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查了圆的定义，半径的概念以及确定一个圆的基本要素，熟悉基本概念是解决本题的关
键．根据圆的定义，半径，确定一个圆的基本要素进行判定即可．
【详解】解：同一圆上的点到圆心的距离相等，且都等于半径，故①正确；
如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆，故②正确；圆心和半径共同确定一个圆，半径确定了，圆心位置不确定，圆也不能确定，故③错误．
故选：A．
【变式1-1】到点A的距离等于2厘米的点的轨迹是 ．
【答案】以点A为圆心，2厘米长为半径的圆
【分析】本题考查了轨迹，主要是对圆的轨迹定义的考查，比较简单．根据圆的定义解答．
【详解】解：到点A的距离等于2厘米的点的轨迹是：以点A为圆心，2厘米长为半径的圆．
故答案为：以点A为圆心，2厘米长为半径的圆．
【变式1-2】下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．以点O为圆心 B．以10cm长为半径
C．以点O为圆心，10cm长为半径 D．经过已知点M
【答案】C
【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径．确定一个圆有两个
重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．
【详解】A、只确定圆的圆心，不可以确定圆；
B、只确定圆的半径，不可以确定圆；
C、既确定圆的圆心，又确定了圆的半径，可以确定圆；
D、既没有确定圆的圆心，又没有确定圆的半径，不可以确定圆；
故选：C．
【变式1-3】如图所示，在四边形ABCD ，∠B=∠D=90°，求证：A、B、C、D四点在同一个圆上．
【答案】证明见解析
【分析】根据圆的定义进行判断即可，圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做
圆. 连AC，取AC的中点O，连接OB、OD，利用直角三角形斜边上的中线可得OB=OA=OC=OD，即可推出
A、B、C、D四点在同一个圆上．
【详解】证明：连AC，取AC的中点O，连接OB、OD，
∵∠B=∠D=90°，1 1
∴OB= AC，OD= AC．即OB=OA=OC=OD，
2 2
∴ A、B、C、D四点在同一圆上．
【点睛】本题考查圆的定义，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是连AC，取AC的中点O，连接OB、
OD，构造直角三角形.
【题型2 判断点与圆的位置关系】
【例2】（2025九年级下·全国·专题练习）矩形ABCD中，AB=8，BC=3❑√5，点P在边AB上，且
BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点B、C均在圆P外 B．点B在圆P外、点C在圆P内
C．点B在圆P内、点C在圆P外 D．点B、C均在圆P内
【答案】C
【分析】本题考查了点与圆的位置，由AB=8，BP=3AP得到AP=2，BP=6，再根据勾股定理，计算
出PD=7，PC=9，则PB=6<7，PC=9>7，然后根据点与圆的位置关系进行判断．
【详解】解：如图，连接PC，PD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=3❑√5，
∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP，
∴AP=2，BP=6，
∴r=PD=❑√AD2+AP2=❑√(3❑√5) 2+22=7，
PC=❑√PB2+BC2=❑√62+(3❑√5) 2=9，
∵PB=6<7，PC=9>7
∴点B在圆P内、点C在圆P外
故选：C．
【变式2-1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是(1,2)，点P的坐标是
(5,4)，那么点P在 （填“圆内”“圆上”或“圆外”）．【答案】圆内
【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据两点间的距离公式求出AP的长，再与5相比较即可．熟知点与
圆的三种位置关系是解题的关键．
【详解】解：∵圆心A的坐标是(1,2)，点P的坐标是(5,4)，⊙A的半径为5，
∴AP=❑√(5−1) 2+(4−2) 2=2❑√5<5，
∴点P在圆内．
故答案为：圆内．
【变式2-2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知⊙O的半径是方程x2−5x−24=0的根，且点A到圆
心O的距离为6，则点A在（ ）
A．⊙O上 B．⊙O内 C．⊙O外 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了解一元二次方程、点与圆的位置关系等知识点，掌握判定点与圆的位置关系的判
定方法是解题的关键．
先根据题意求得方程的根，从而得到圆的半径，再根据半径r与d的值的大小关系即可解答．
【详解】解：解方程x2−5x−24=0得：x =8，x =−3（舍去）
1 2
∴圆O的半径是8，
∵点A到圆心O的距离为6，6<8，
∴点A在圆O内．
故选：B．
【变式2-3】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）在等边△ABC中，点A在以BC边为直径的圆 ．
（填“上”“内”或“外”）
【答案】外
【分析】本题主要考查了点和圆的位置关系、等边三角形的性质，勾股定理等知识点，比较半径和A到圆
心的距离之间的大小关系即可得解，熟练掌握点和圆的位置关系、等边三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，△ABC为等边三角形，过A作AD⊥BC于点D，则BD=CD，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BAD=30°，
1
∴BD= AB，
2
∴AD=❑√(2BD) 2−BD2=❑√3BD，即此时d>r，
∴点A在以BC为直径的圆外，
故答案为：外．
【题型3 利用点与圆的位置关系求半径】
【例3】（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P
是AC边上的一个动点，以点P为圆心，PA长为半径作圆，若使点C在⊙P内且点B在⊙P外，则⊙P
的半径可以是（ ）
3 12 25
A． B．2 C． D．
2 5 8
【答案】C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理；分别求得PC,PB的最小值，进而确定⊙P的半径范
围，即可求解．
【详解】解：设⊙P的半径为x，即AP=x，则PC=AC−PC=4−x，∵点C在⊙P内
∴PC2，
连接PB，
在Rt△PBC中，PB2=PC2+BC2
当PB=PA=x时，
x2=(4−x) 2+32
25
解得：x=
8
∵点P是AC边上的一个动点，BC=3，点B在⊙P外
25
∴x<
8
25 12
∴2AB>BC,根据点与圆的位
置关系得到3≤r≤5，注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外； 当d=r时，
点在圆上，当d5时，点B、C、D在⊙A内，
5
∴若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是 AD)的边AB上一动点，F是BC的中点，连
接DP，将△DAP沿DP所在直线折叠，点A的对应点是点E，连接EF．已知AB=2❑√10，当线段EF的
最小值为1时，边BC的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【分析】由矩形的性质可得∠PAD=∠C=90°，AD=BC，CD=AB=2❑√10，通过折叠性质可知：
∠PAD=∠PED，AD=ED，则有点E在以点D为圆心，AD为半径的圆上运动，连接DF，由DE+EF≥DF，从而可知当点D、E、F三点共线时，EF有最小值，然后设BC=2x，则CF=x，
DF=DE+EF=2x+1，最后通过勾股定理，解一元二次方程即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠PAD=∠C=90°，AD=BC，CD=AB=2❑√10，
由折叠性质可知：∠PAD=∠PED，AD=ED，
∴点E在以点D为圆心，AD为半径的圆上运动，连接DF，如图，
∵DE+EF≥DF，
∴当点D、E、F三点共线时，EF有最小值，即此时EF=1，如图，
∵F是BC的中点，
1
∴CF= BC，
2
设BC=2x，则CF=x，DF=DE+EF=2x+1，
由勾股定理得：DF2=CD2+CF2，
∴(2x+1) 2=(2❑√10) 2+x2，整理得：3x2+4x−39=0，
13
解得：x =− （舍去），x =3，
1 3 2
∴BC=2x=2×3=6，
故选：D．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解一元二次方程，圆
的性质的综合运用，掌握知识点的应用是解题的关键．
