专题 24.1 圆（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 圆的认识】..................................................................................................................................................2
【题型2 判断点与圆的位置关系】..........................................................................................................................4
【题型3 利用点与圆的位置关系求半径】..............................................................................................................6
【题型4 与圆有关的概念】......................................................................................................................................9
【题型5 利用圆的基本性质求角度】....................................................................................................................11
【题型6 利用圆的基本性质求长度】....................................................................................................................14
【题型7 利用圆的基本性质求坐标】....................................................................................................................18
【题型8 利用圆的基本性质求最值】....................................................................................................................22
知识点 1 圆的定义及表示方法
1. 定义：
（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形
叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．
“圆”是指“圆周”（一条封闭曲线）而不是“圆面”．
（2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
{圆心：确定圆的位置，
确定一个圆需要两个要素
半径：确定圆的大小．
2. 圆的表示方法
以点O为圆心的圆，记作“ ⊙ O ”，读作“圆O”．
3. 圆的特性
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 定长（半径 r ） ；
（2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上；（3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形．
知识点 2 点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为
{点P在圆内⟺d<r；
点P在圆上⟺d=r；
点P在圆外⟺d>r．
知识点 3 圆的有关概念
1. 弦与直径
连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）．
2. 弧、半圆、劣弧、优弧、圆心角
（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
（2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
{ 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示（如图中AB´C)
（3）弧
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示（如图中A´B)
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
3. 同心圆、等圆与等弧
圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆．
能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
同圆或等圆的半径相等．
【题型1 圆的认识】
【例1】（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某
几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查了圆的定义，半径的概念以及确定一个圆的基本要素，熟悉基本概念是解决本题的关
键．根据圆的定义，半径，确定一个圆的基本要素进行判定即可．
【详解】解：同一圆上的点到圆心的距离相等，且都等于半径，故①正确；
如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆，故②正确；圆心和半径共同确定一个圆，半径确定了，圆心位置不确定，圆也不能确定，故③错误．
故选：A．
【变式1-1】到点A的距离等于2厘米的点的轨迹是 ．
【答案】以点A为圆心，2厘米长为半径的圆
【分析】本题考查了轨迹，主要是对圆的轨迹定义的考查，比较简单．根据圆的定义解答．
【详解】解：到点A的距离等于2厘米的点的轨迹是：以点A为圆心，2厘米长为半径的圆．
故答案为：以点A为圆心，2厘米长为半径的圆．
【变式1-2】下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．以点O为圆心 B．以10cm长为半径
C．以点O为圆心，10cm长为半径 D．经过已知点M
【答案】C
【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径．确定一个圆有两个
重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．
【详解】A、只确定圆的圆心，不可以确定圆；
B、只确定圆的半径，不可以确定圆；
C、既确定圆的圆心，又确定了圆的半径，可以确定圆；
D、既没有确定圆的圆心，又没有确定圆的半径，不可以确定圆；
故选：C．
【变式1-3】如图所示，在四边形ABCD ，∠B=∠D=90°，求证：A、B、C、D四点在同一个圆上．
【答案】证明见解析
【分析】根据圆的定义进行判断即可，圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做
圆. 连AC，取AC的中点O，连接OB、OD，利用直角三角形斜边上的中线可得OB=OA=OC=OD，即可推出
A、B、C、D四点在同一个圆上．
【详解】证明：连AC，取AC的中点O，连接OB、OD，
∵∠B=∠D=90°，1 1
∴OB= AC，OD= AC．即OB=OA=OC=OD，
2 2
∴ A、B、C、D四点在同一圆上．
【点睛】本题考查圆的定义，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是连AC，取AC的中点O，连接OB、
OD，构造直角三角形.
【题型2 判断点与圆的位置关系】
【例2】（2025九年级下·全国·专题练习）矩形ABCD中，AB=8，BC=3❑√5，点P在边AB上，且
BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点B、C均在圆P外 B．点B在圆P外、点C在圆P内
C．点B在圆P内、点C在圆P外 D．点B、C均在圆P内
【答案】C
【分析】本题考查了点与圆的位置，由AB=8，BP=3AP得到AP=2，BP=6，再根据勾股定理，计算
出PD=7，PC=9，则PB=6<7，PC=9>7，然后根据点与圆的位置关系进行判断．
【详解】解：如图，连接PC，PD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=3❑√5，
∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP，
∴AP=2，BP=6，
∴r=PD=❑√AD2+AP2=❑√(3❑√5) 2+22=7，
PC=❑√PB2+BC2=❑√62+(3❑√5) 2=9，
∵PB=6<7，PC=9>7
∴点B在圆P内、点C在圆P外
故选：C．
【变式2-1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是(1,2)，点P的坐标是
(5,4)，那么点P在 （填“圆内”“圆上”或“圆外”）．【答案】圆内
【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据两点间的距离公式求出AP的长，再与5相比较即可．熟知点与
圆的三种位置关系是解题的关键．
【详解】解：∵圆心A的坐标是(1,2)，点P的坐标是(5,4)，⊙A的半径为5，
∴AP=❑√(5−1) 2+(4−2) 2=2❑√5<5，
∴点P在圆内．
故答案为：圆内．
【变式2-2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知⊙O的半径是方程x2−5x−24=0的根，且点A到圆
心O的距离为6，则点A在（ ）
A．⊙O上 B．⊙O内 C．⊙O外 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了解一元二次方程、点与圆的位置关系等知识点，掌握判定点与圆的位置关系的判
定方法是解题的关键．
先根据题意求得方程的根，从而得到圆的半径，再根据半径r与d的值的大小关系即可解答．
【详解】解：解方程x2−5x−24=0得：x =8，x =−3（舍去）
1 2
∴圆O的半径是8，
∵点A到圆心O的距离为6，6<8，
∴点A在圆O内．
故选：B．
【变式2-3】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）在等边△ABC中，点A在以BC边为直径的圆 ．
（填“上”“内”或“外”）
【答案】外
【分析】本题主要考查了点和圆的位置关系、等边三角形的性质，勾股定理等知识点，比较半径和A到圆
心的距离之间的大小关系即可得解，熟练掌握点和圆的位置关系、等边三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，△ABC为等边三角形，过A作AD⊥BC于点D，则BD=CD，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BAD=30°，
1
∴BD= AB，
2
∴AD=❑√(2BD) 2−BD2=❑√3BD，即此时d>r，
∴点A在以BC为直径的圆外，
故答案为：外．
【题型3 利用点与圆的位置关系求半径】
【例3】（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P
是AC边上的一个动点，以点P为圆心，PA长为半径作圆，若使点C在⊙P内且点B在⊙P外，则⊙P
的半径可以是（ ）
3 12 25
A． B．2 C． D．
2 5 8
【答案】C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理；分别求得PC,PB的最小值，进而确定⊙P的半径范
围，即可求解．
【详解】解：设⊙P的半径为x，即AP=x，则PC=AC−PC=4−x，∵点C在⊙P内
∴PC<PA，即4−x<x，解得：x>2，
连接PB，
在Rt△PBC中，PB2=PC2+BC2
当PB=PA=x时，
x2=(4−x) 2+32
25
解得：x=
8
∵点P是AC边上的一个动点，BC=3，点B在⊙P外
25
∴x<
8
25 12
∴2<x< ，结合选项可得⊙P的半径可以是
8 5
故选：C．
【变式3-1】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）圆外一点到圆的最大距离是8，最小距离是2，则这个
圆的半径为（ ）
A．6 B．3 C．8 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径为解题的
关键．根据圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径即可得出答案．
【详解】解：∵圆外一点到圆的最大距离是8，最小距离是2，
∴圆的直径是8−2=6，
∴圆的半径是3．
故选：B．
【变式3-2】已知矩形ABCD中，AB=4，BC=3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一
公共点，则r的取值范围为（ ）A．3≤r≤4 B．3≤r＜5 C．3≤r<4 D．3≤r≤5
【答案】D
【分析】此题考查了点与圆的位置关系以及矩形的性质，勾股定理，由于BD>AB>BC,根据点与圆的位
置关系得到3≤r≤5，注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外； 当d=r时，
点在圆上，当d<x时，点在圆内．
【详解】解：如图：连接AC、BD,
∵矩形ABCD中，AB=4,BC=3,
∴BD=AC=❑√AB2+BC2=5,
AD=BC=3,CD=AB=4,
∵以点B为圆心作圆，⊙B与边CD有唯一公共点，
∴⊙B的半径r的取值范围是：3≤r≤5，
故选：D．
【变式3-3】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D为AB的中点．以A为圆心，r为半径作
⊙A，若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是（ ）
A．2.5<r≤4 B．2.5<r<4 C．2.5≤r≤4 D．2.5≤r<4
【答案】A
【分析】本题主要考查勾股定理，点与圆的位置关系．
由勾股定理可求得AB的长，进而得到AD的长．再根据题意画出简单示意图，由图形可知当r的长度为
AD和AC长度之间时，B、C、D三点中只有点D在⊙A内，据此即可解答．
【详解】∵在Rt△ABC中，BC=3，AC=4，∴AB=❑√AC2+BC2=❑√42+32=5，
∵D为AB的中点，
1 5
∴AD= AB= ．
2 2
5
由上图可知，当⊙A的半径r=AD= 时，点D在⊙A上，
2
当⊙A的半径r=AC=4时，点C在⊙A上，点D在圆内，
当⊙A的半径r=AB=5时，点B在⊙A上，点C、D在圆内，
5
当⊙A的半径满足 <r≤4时，点D在⊙A内，
2
当⊙A的半径满足4<r≤5时，点C、D在⊙A内，
当⊙A的半径满足r>5时，点B、C、D在⊙A内，
5
∴若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是 <r≤4．
2
故选：A.
【题型4 与圆有关的概念】
【例4】下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧 B．优弧一定大于劣弧
C．不同的圆中不可能有相等的弦 D．直径是一个圆中最长的弦
【答案】D
【分析】本题考查了等弧、等弦的概念，优弧、劣弧大小的比较，弦与直径的关系，熟练掌握以上知识点
是解题的关键．根据等弧的定义，弦的定义即可解答．
【详解】解：A、能够互相重合的弧是等弧，长度相等的两条弧不一定是等弧，故A选项错误；
B、两弧若不在同圆或等圆中，则结论不一定成立，故B选项错误；
C、在等圆中，存在长度相等的弦，例如等圆中的直径都相等，故C选项错误；
D、直径是一个圆中最长的弦，正确，故D选项正确；故选：D．
【变式4-1】如图，在 ⊙O 中，
（1）半径有： ．
（2）直径有： ．
（3）弦有： ．
（4）劣弧 B´C 对应的优弧是 ，它们刚好拼成一个完整的圆．
【答案】 OA，OB AB AB，AC，BC BA´C
【分析】本题考查圆的基本概念，根据半径，直径，弦，弧的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：（1）半径有OA，OB；
（2）直径有AB；
（3）弦有AB，AC，BC；
（4）劣弧 B´C 对应的优弧是BA´C；
故答案为：OA，OB；AB；AB，AC，BC；BA´C
【变式4-2】小明在半径为5的圆中测量弦AB的长度，下列测量结果中一定是错误的是（ ）
A．4 B．5 C．10 D．11
【答案】D
【分析】根据直径是圆中最长的弦即可求解．
【详解】解：∵半径为5的圆，直径为10，
∴在半径为5的圆中测量弦AB的长度，AB的取值范围是：0 AB≤10，
∴弦AB的长度可以是4，5，10，不可能为11． <
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的认识，掌握弦与直径的定义是解题的关键．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过
圆心的弦叫直径．
【变式4-3】（24-25九年级上·安徽淮南·期中）下列命题中，正确的是（ ）
①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③半径是弦；④在同圆或等圆中，直径是最长的弦；⑤在同一
平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤
【答案】C
【分析】本题考查命题与定理，根据半圆和弧的定义对①进行判断，根据弦的定义对②③进行判断；根据
直径的定义对④进行判断；根据圆的定义对⑤进行判断．解题的关键是掌握是：判断一件事情的语句，叫
做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个
命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
【详解】解：半圆是弧，故命题①正确；
弦是连接圆上任意两点之间的线段，故命题②错误；
半径不是弦，故命题③错误；
直径是圆中最长的弦，故命题④正确；
在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，故命题⑤正确；
∴正确的是①④⑤．
故选：C．
【题型5 利用圆的基本性质求角度】
【例5】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD，若∠BOD=84°，则
∠ACO的度数为（ ）
A．38° B．46° C．44° D．48°
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，圆的相关定义，掌握相关知识
点是解题关键．先证明△AOB≌△COD(SSS)，推出∠BOD=∠AOC=84°，再根据等边对等角的
性质求解即可．
【详解】解：在△AOB和△COD中，
{OA=OC
)
OB=OD ，
AB=CD
∴△AOB≌△COD(SSS)，∴∠AOB=∠COD，
∴∠AOB−∠AOD=∠COD−∠AOD，
∴∠BOD=∠AOC=84°，
∵OA=OC，
180°−∠AOC
∴∠ACO=∠CAO= =48°，
2
故选：D．
【变式5-1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∠BCD=30°，则
∠ABC等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和定理，垂线定义，由AB⊥CD，得出∠BEC=90°，根据
∠BCD=30°，再由三角形内角和定理计算即可得解．
【详解】解：∵AB⊥CD，
∴∠BEC=90°，
∵∠BCD=30°，
∴∠ABC=180°−90°−30°=60°．
故选：D．
【变式5-2】（24-25九年级上·天津·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆
心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD=（ ）A．15° B．10° C．12° D．50°
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，是基础知识比较简单．先求得∠B=50°
，再由等腰三角形的性质求出∠BCD=180°−2×50°=80°，则∠ACD与∠BCD互余．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠B=50°，
∵CD=CB，
∴∠BCD=180°−2×50°=80°，
∴∠ACD=90°−80°=10°；
故选：B．
【变式5-3】（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）如图，已知点A，D，C在⊙O上，连接OA,OC,AD,CD
，若四边形AOCD是菱形，则∠AOC的度数是（ ）
A．150° B．120° C．90° D．60°
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，先连接DO，结合半径相等以及菱形的性质
得AD=DC=CO=DO=AO，故△AOD,△COD都是等边三角形，即可作答．
【详解】解：连接DO，如图所示：依题意，DO=OC=OA，
∵四边形AOCD是菱形，
∴AD=DC=CO，
即AD=DC=CO=DO=AO，
∴△AOD,△COD都是等边三角形，
∴∠AOD=60°=∠COD，
即∠AOC=60°+60°=120°，
故选：B
【题型6 利用圆的基本性质求长度】
【例6】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在⊙O中，直径MN=20，正方形ABCD的四个顶
点都分别在半径OP、OM及⊙O上，且∠POM=45°，则AB=（ ）
A．4 B．2❑√5 C．2❑√6 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆的基本性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知
识，解题的关键是正确作出辅助线，构造与AB相关的直角三角形．先结合正方形的性质证明△OCD为等
腰直角三角形，易得CO=CD，设AB=BC=CD=CO=x，则BO=2x，在Rt△ABO中根据勾股定理求
得x的值，即可获得答案．
【详解】解：连接OA，如下图，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠DCO=180°−∠BCD=90°，
∵∠POM=45°，
∴∠CDO=90°−∠POM=45°，
∴∠CDO=∠POM，
∴CO=CD，
∵直径MN=20，
1
∴OA= MN=10，
2
设AB=BC=CD=CO=x，则BO=BC+CO=2x，
在Rt△ABO中，可有AB2+BO2=OA2，
即x2+(2x) 2=102，
解得x=2❑√5或x=−2❑√5（舍去），
∴AB=2❑√5．
故选：B．
【变式6-1】（24-25九年级上·广东惠州·期中）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂
足为D，已知CD=4，OD=3，则AB的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】D【分析】本题考查了圆的基本概念、勾股定理，连接OC构造直角三角形利用勾股定理是解题的关键．连
接OC，在Rt△OCD中利用勾股定理求出OC的长，再结合AB是⊙O的直径即可得出答案．
【详解】解：如图，连接OC，
∵CD⊥AB
，
∴∠CDO=90°，
∵CD=4，OD=3，
∴OC=❑√CD2+OD2=5，
∵AB是⊙O的直径，
∴AB=2OC=10．
故选：D．
【变式6-2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在△ABC中∠B=75°，DE⊥AC于点E，
交AB于点M，AE=CE，以点C为圆心CA长为半径作弧，交DE于点F，连结CF交AB于点G．若
CG=FG=2，则AB长为（ ）
A．2 B．4 C．2❑√3 D．4❑√3
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及三角形内
角和定理，灵活运用等腰、等边三角形性质求解是解题的关键．
连接AF，根据线段垂直平分线的性质可得AF=CF，结合题意证△AFC是等边三角形，根据等边三角形
“三线合一”可得∠CAB=30°，在△ABC中三角形内角和定理求出∠ACB=∠B=75°，得出
AB=AC=4．
【详解】解：连接AF，如图．∵DE⊥AC,AE=CE
，
∴AF=CF，
由题意可知CF=CA，
∴AF=CF=CA=4，
∴△AFC是等边三角形，
∴∠ACF=∠CAF=60°，
∵CG=FG=2，
1
∴∠CAB= ∠CAF=30°，
2
∵∠B=75°，
1
∴∠ACB=∠B= (180°−∠CAB)=75°，
2
∴AB=AC=4，
故选：B．
【变式6-3】如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，AB=AC，直径AD交BC于点E，若DE:AD=1:4，
则BE:AB=（ ）．
A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．1:4
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质与判定，圆的基本性质，先证明AO垂直平分
BC，再利用勾股定理用OB分别表示出BE，AB的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接OB，OC，∵⊙O为△ABC的外接圆，
∴OB=OC，
∵AB=AC，
∴AO垂直平分BC，
∴AD⊥BC，
∵DE:AD=1:4，
1
∴DE= OD，
2
1 1
∴OE= OD= OB，
2 2
3
∴AE= OB，
2
❑√3
在Rt△OBE中，由勾股定理得BE=❑√OB2−OE2= OB，
2
在Rt△ABE中，由勾股定理得AB=❑√AE2+BE2=❑√3OB，
∴BE:AB=1：2，
故选：A．
【题型7 利用圆的基本性质求坐标】
【例7】（2025·宁夏银川·模拟预测）小超同学在平面直角坐标系中画的奔驰车车标如图所示，若点A的坐
标为(0，4)，则点B的坐标为 ．
【答案】(2❑√3,−2)【分析】本题主要考查确定点的坐标，由点A的坐标为(0，4)得OA=4，连接OB，过点B作BD⊥x轴
于点D，则OB=OA=4，再求出∠BOD=30°，可得BD=2,OD=2❑√3，从而得点B的坐标．
【详解】解：连接OB，过点B作BD⊥x轴于点D，如图，
∵点A的坐标为(0，4)，
∴OA=4，
∴OB=OA=4，
1
∵∠AOB= ×360°=120°，∠AOD=90°，
3
∴∠BOD=30°，
1
∴BD= OB=2，
2
∴OD=❑√OB2−BD2=2❑√3，
∵点Ｂ是第四象限内的点，
∴点B的坐标为(2❑√3,−2)．
故答案为：(2❑√3,−2)．
【变式7-1】（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，直线l与⊙O相交于点A，B，点A的坐标为
(3,1)，则点B的坐标为 ．【答案】(−3,−1)
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于
原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)，据此解答即可．
【详解】解：由图可以发现：点A与点B关于原点对称，
∵点A的坐标为(3,1)，
∴点B的坐标为(−3,−1)，
故答案为：(−3,−1)．
【变式7-2】（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心，适当长为半径作
1
弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B；再分别以点O，B为圆心，大于 OB的长为半径作弧，
2
两弧相交于点C，D，直线CD与A´B相交于点E．若OA=2，则点E的坐标为（ ）
A．(−2,1) B．(−❑√3,1) C．(−1,❑√3) D．(−1,2)
【答案】B
【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图及性质，连接OE，设
1 1
DE，OB交于F，由作图方法可得CD垂直平分OB，则OF= OB= OA=1，∠OFE=90°，再利用
2 2
勾股定理求出EF的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接OE，设DE，OB交于F，
由作图方法可得CD垂直平分OB，
1 1
∴OF= OB= OA=1，∠OFE=90°，
2 2
又∵OE=OA=2，
∴EF=❑√OE2−OF2=❑√3，∴点E的坐标为(−❑√3,1)，
故选：B．
【变式7-3】（2025·山东淄博·一模）对于点P和线段AB，给出如下定义：若将线段AB绕点P旋转可以得
到⊙O的弦A B （A ，B 分别是A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的以点P为中心的“和谐线
1 1 1 1
段”．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点P(−1,1)，A(−2,3)，B(−1,2)的，连接
AB，已知线段AB是⊙O的以点P为中心的“和谐线段”，则点A 的坐标是（ ）
1
A．(0,1) B．(0,−1) C．(1,0) D．(−1,0)
【答案】B
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，圆的基本特点，根据题意可得C(−1,0)，D(0,1)都在
⊙O上，由PB=1，PC=PD=1可得点B只能在C、D这两个位置，同理点A只能在(1,0)，(0,−1)这两
个位置，进而确定A (0,−1)，B (−1,0)或A (1,0)，B (0,1)，再确定对应情形下旋转的角度即可得到
1 1 1 1
答案．
【详解】解：∵P(−1,1)，B(−1,2)，
∴PB=1，
∵⊙O的半径为1，
∴C(−1,0)，D(0,1)都在⊙O上，
如图，∵PC=PD=1，
∴劣弧CD（不包括端点）上的任意一点到点P的距离都小于1，优弧CD（不包括端点）上任意一点到点
P的距离大于1，
∴点B只能在C、D这两个位置，
同理可得点A只能在(1,0)，(0,−1)这两个位置，
∴A (0,−1)，B (−1,0)或A (1,0)，B (0,1)，
1 1 1 1
当A (0,−1)，B (−1,0)时，此时旋转角度为180度，符合题意，
1 1
当A (1,0)，B (0,1)，此时点A旋转到其对应点时的旋转角度大于90度，点B旋转到其对应点时的旋转
1 1
角为90度，不符合题意，
∴A (0,−1)，B (−1,0)，
1 1
故选：B．
【题型8 利用圆的基本性质求最值】
【例8】（24-25九年级上·海南·期中）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点E,F分别从点A,C同
时出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,CD向终点B,D运动，过点E,F作直线l，过点A作直
线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（ ）
5 3
A． B． C．5 D．3
2 2
【答案】A
【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角
三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键．连接AC,BD交于点O，取OA中点为H，连接GH，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出G的轨迹，从而求出AG的最大值．
【详解】连接AC,BD交于点O，取OA中点为H，连接GH，如图所示，
∵ ABCD
四边形 为矩形，
∴∠ABC=90°,OA=OC,AB∥CD，
∴在Rt△ABC中，AC=❑√AB2+AC2=❑√42+32=5，
1 5
∴OA=OC= AC= ，
2 2
∵AB∥CD，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE与△COF中，
{
AE=CF
)
∠EAO=∠FCO ，
AO=CO
∴ △AOE≌△COF，
∴∠AOE=∠COF，
∴O,E,F三点共线，
∵AG⊥EF，H是OB的中点，
1 5
∴在Rt△AGO中，GH= AO= ，
2 4
5
∴G的轨迹为以H为圆心， 为半径即AO为直径的圆弧，
4
5
∴AG的最大值为AO的长，即AG =AO= ．
max 2
【变式8-1】（24-25九年级下·河北邢台·期末）如图，A、B为⊙O上两点，∠AOB=90°，C为⊙O上
一动点（不与A，B重合），D为AC的中点．若⊙O的半径为2，则BD的最大值为（ ）A．1+❑√5 B．❑√5
C．3 D．2❑√5
【答案】A
【分析】本题考查了中位线的性质，三角形边长关系，勾股定理，连接CO，取AO的中点E，连接
1
DE,BE，根据中位线的性质可得DE= CO=1，再利用勾股定理求得BE，根据三角形边长关系可得
2
DB≤DE+BE，即可解答，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接CO，取AO的中点E，连接DE,BE，
∵D为AC的中点，AO的中点为E，
1 1
∴DE= CO=1，OE= AO=1，
2 2
∵∠AOB=90°，
∴BE=❑√OE2+BE2=❑√5，
根据三角形边长关系可得BE−DE≤BD≤BE+DE，
∴BD的最大值为BE+DE=❑√5+1，
故选：A．
【变式8-2】（24-25九年级下·安徽宿州·期中）如图，在矩形ABCD中，已知AB=5，BC=12，P是BC
边上一动点（点P不与点B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为
（ ）
13
A．❑√26 B． C．7 D．8
2
【答案】D【分析】本题主要考查了轴对称性质、圆的性质、矩形性质、勾股定理等知识点，准确根据题意得出动点
轨迹是解题的关键．
根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，5为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中利用勾股定理求
出线段MC的最小值即可．
【详解】解：如图：连接AM，
∵点B和M关于AP对称，
∴AB=AM=5，
∴M在以A圆心，5为半径的圆上，
∴当A，M，C三点共线时，MC最短，
∵在矩形ABCD中，AC=❑√AB2+BC2=❑√52+122=13，AB=AM=5，
∴CM=13+5=8．
故选：D．
【变式8-3】（2025·海南·一模）如图，P是矩形ABCD(AB>AD)的边AB上一动点，F是BC的中点，连
接DP，将△DAP沿DP所在直线折叠，点A的对应点是点E，连接EF．已知AB=2❑√10，当线段EF的
最小值为1时，边BC的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【分析】由矩形的性质可得∠PAD=∠C=90°，AD=BC，CD=AB=2❑√10，通过折叠性质可知：
∠PAD=∠PED，AD=ED，则有点E在以点D为圆心，AD为半径的圆上运动，连接DF，由DE+EF≥DF，从而可知当点D、E、F三点共线时，EF有最小值，然后设BC=2x，则CF=x，
DF=DE+EF=2x+1，最后通过勾股定理，解一元二次方程即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠PAD=∠C=90°，AD=BC，CD=AB=2❑√10，
由折叠性质可知：∠PAD=∠PED，AD=ED，
∴点E在以点D为圆心，AD为半径的圆上运动，连接DF，如图，
∵DE+EF≥DF，
∴当点D、E、F三点共线时，EF有最小值，即此时EF=1，如图，
∵F是BC的中点，
1
∴CF= BC，
2
设BC=2x，则CF=x，DF=DE+EF=2x+1，
由勾股定理得：DF2=CD2+CF2，
∴(2x+1) 2=(2❑√10) 2+x2，整理得：3x2+4x−39=0，
13
解得：x =− （舍去），x =3，
1 3 2
∴BC=2x=2×3=6，
故选：D．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解一元二次方程，圆
的性质的综合运用，掌握知识点的应用是解题的关键．
